2.09.2021 Hoofdstuk 2:
Transformaties.
V_1.
a. Bij het uitademen neemt de longinhoud af. In de dalende gedeelten wordt er uitgeademd.
b. Eén periode duurt 3 seconden (van minimum tot het eerstvolgende minimum).
c. V_2. a.
b. c is de hoogte waarop de lijn de y-as snijdt. c. 25 5 c x2 x 20 c 20 x2 x 20 (x 5)(x 4) 0 x 5 x 4 (5, 25) en ( 4, 16) d. x2 x c 2 2 1 4 x x c 0 D ( 1) 4 1 c 1 4c 0 4c 1 c
e. 2x p x 22 heeft maar één oplossing. 2 2 x 2x 2 p 0 D ( 2) 4 1 ( 2 p) 4 4(2 p) 12 4p 0 4p 12 p 3 V_3. a. R(-1, 0) b. D : 1,f en B : 0,f c. f( 1) a 1 b 0 en f(x) gaat door (0, 2): f(0) a 0 1 a 2 1 b 0 1 b 0 b 1 f(x) 2 x 1 V_4.
a. Het domein van f(x) is 0, en het domein van y 2logx2 is ,0 0, .
b. f(2) glog2 2 2 g 2 g 2 t (in seconden) longinhoud (in liter)
0 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 c=4 c=2 c=-1
V_5. a.
-b. h(x) (x 2) 2 1 x24x 4 1 x 24x 5
c. k(x) x 26x 11 x 2 6x 9 2 (x 3) 22
d. Top (3, 2)
e. 3 naar rechts en 2 omhoog.
1. a.
b. Het nulpunt van g is x 0 en van f: x 1,18 . c. Van g is dat (0, 0) en van f: (3, 6)
d. Als je de grafiek van g 3 naar rechts en 6 omhoog verschuift krijg je de grafiek van f.
2.
a. Ze zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de x-as. b. Ze zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de y-as. 3.
f f D : 0, B : 0, Randpunt : (0, 0) g g D : B : 0, Horizontale asymptoot : y 0 ® = ¡ h h D : 0, B : Verticale asymptoot : x 0 ¡ g(x) x y 1 2 3 4 5 -1 -2 5 10 15 -5 -10 g f x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 -1 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 -2 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3f(x)
x
xg(x) 2
2h(x)
logx
2.09.2021 k k D : \ {0} B : \ {0} Horizontale asymptoot : y 0 Verticale asymptoot : x 0 ¡ ¡ m m D : B : 0, Top : (0, 0) ¡ n n D : B : ¡ ¡ 4. a. y x, y sinx en y 2logx
b. * Vermenigvuldigd ten opzichte van de x-as met factor 1 2
en daarna 3 omhoog verschoven.
* Vermenigvuldigd ten opzichte van de x-as met factor 2 en vermenigvuldigd ten opzichte van de y-as met factor 1
2.
* Eén naar links opgeschoven. 5. a. b 1 . b. 1 1 b 2 2 f ( ) sin( b) 0 1 2 b k b 2k
Voor alle even waarden van b.
c. 1 1 b 3 3 f (1 ) sin(1 b) 1 1 1 3 2 3 1 8 2 1 b k 2 b 1 k 6.
a. Het grondtal g van een logaritmische functie is altijd groter dan nul, maar niet gelijk aan 1.
b. Als het grondtal g groter is dan 1, dan heeft de grafiek dezelfde kenmerken als h(x)2logx.
c. Als 0 g 1 dan is de grafiek van f(x) glogx een dalende functie. Het domein van deze functie is 0, , het bereik ¡ . De grafiek heeft een verticale asymptoot x 0 en alle grafieken gaan door het punt (1, 0).
7. a. 5 3x 1 3x 6 x 2 S( 2, 5) x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 -1 x y 1 2 3 -1 -2 -3 5 10 15 -5 -10 -15
1
k(x)
x
2m(x) x
3n(x) x
x y 0,5 1,5 2 2,5 3 -0,5 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5 -2s(x) sinx
s s D : B : 1,1 ¡ x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3b. f( 2) 2m 2m 5 5 voor alle waarden van m.
c. Als je x 4 en y 3 in de vergelijking invult, krijg je een bewering die waar is voor alle waarden van n. d. x 4 . 8. a. b. c. g(x) f(x 2)
d. Door de grafiek van f(x) 2 naar rechts te verschuiven. e. h(x) f(x) 3
f. k(x) f(x 2) 3
De grafiek van k ontstaat als je de grafiek van f 2 naar rechts en 3 omhoog verschuift. 9. a. 1 2 1 1 2 2 2 2 g( 5) ( 5) 4 5 8 ( 1) f( 1) 2 2 1 1 1 2 2 2 g(3) 3 4 3 8 24 (7) f(7) b. 1 2 1 2 1 2 2 2 2 g(x) x 4x 8 (x 8x 16) (x 4) f(x 4) c. De grafiek van de f is 4 naar links verschoven.
10.
a. Ts(0, 0) Tt(-2, 0) Tu(3, 5) Tv(-4, 7) Ts(0, 10)
b. t: 2 naar links verschoven u: 3 naar rechts en 5 omhoog. v: 4 naar links en 7 omhoog. w: 10 omhoog verschoven. 11.
a. Uit de standaardfunctie s(x)x1 .
Van de standaardfunctie is de verticale asymptoot x 0 en de horizontale asymptoot y 0 . De asymptoten van de grafiek van f zijn: x 3 (verticale) en y 2 (horizontale).
De grafiek van de standaardfunctie is dus 3 naar rechts en 2 omlaag verschoven.
b. f(x) 1 2
x 3
12.
a. f(x) heeft een horizontale asymptoot: y 0 . g(x) heeft een randpunt (2, 1).
h(x) heeft een verticale asymptoot: x 3 .
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f 0 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 g - - 0 1 1,4 1,7 2 2,2 2,4 2,6 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 f g x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 s t u v w
2.09.2021 b. f: de standaardgrafiek (y 2 x) moet 2 naar links worden verschoven.
g: de standaardgrafiek (y x) moet 2 naar rechts en 1 omhoog worden verschoven. h: de standaardgrafiek (y 2logx) moet 3 naar rechts en 1 omhoog worden verschoven.
13.
a. De grafiek van f moet 4 omhoog worden verschoven. b. De grafiek van f moet 8 naar links worden verschoven.
c. 1 1 1
2 2 2
f(x 8) (x 8) 1 x 4 1 x 5
14.
a. De afstand tot de x-as is respectievelijk met 1
2, 1.2 en 3
vermenigvuldigd.
b. Door het –teken wordt er ook nog gespiegeld in de x-as. 15. a. nulpunten: nulpunten: 2 x 2x x(x 2) 0 x 0 x 2 2 1 1 2x x 2x(x 2) 0 x 0 x 2 Top: (1, -1) Top: (1, 1 2 ) b. 1 2 1 2 1 2 2 2 g(x) x x (x 2x) f(x)
Als je de afstand van de grafiek van f tot de x-as halveert, krijg je de grafiek van g.
c. Door de afstanden van de grafiek van f tot de x-as te vermenigvuldigen met resp. 3, -1 en -5. De vermenigvuldiging met -1 geeft hetzelfde resultaat als je de grafiek spiegelt in de x-as.
16. standaardfunctie factor a. g(x) 3 3 1 x x y 1 x 3 b. h(x) 3 logx 2 y 2logx 3 c. m(x) 10 2 x 2 10 2 2 x 2 40 2 x y 2 x 40 d. n(x) 3 x2 y x 2 -3 17. a. f (3) 10a b. f (27)a 1 c. f (1) 9a 3 a log3 a 10 3 1 3 a log27 3a 1 a 3 a log1 a 0 0 voor alle a d. Hoe groter de a hoe steiler de grafiek.
18.
a. Door de grafiek van y x 2 te spiegelen in de x-as.
b. y 2logx c. n(x) 1 m(x) m(x) x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 g3 g1,2 g0,5
19.
a. g: gespiegeld in de x-as en 3 naar links verschoven.
h: vermenigvuldigd ten opzichte van de x-as met factor 0,5 en vier naar rechts en drie omlaag verschoven. b. g(x) (x 3)2 en 1 2 2 h(x) (x 4) 3 20. a. g(x) 2 1 2 2 2 x x h(x) 1 4 x
b. g: verticale asymptoot: x 0 en horizontale asymptoot: y 2
h: verticale asymptoot: x 0 en horizontale asymptoot: y 4
21.
a. De grafiek van g is 2 naar rechts verschoven.
b. x 2 x 2 1 x
9
f(x) 3 3 3 3 vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met factor 1 9.
c. k(x) g x c g gx c g h(x)c
Een verschuiving van c of een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor gc.
22. f(x) 3 x gespiegeld in x as y 3x3 omhoog, 5 naar rechts y 3x 5 3
23.
a. g(x) 2cos(x 3)
b. Ja, dan krijg je hetzelfde functievoorschrift. c. Dan maakt het wel uit:
x as, 2
x as, 2
V 3 omhoog
V 3 omhoog
f(x) cosx cosx 3 y 2 (cosx 3) 2cosx 6
f(x) cosx 2cosx y 2 cosx 3
24.
a. De afstanden tot de y-as zijn 3 keer zo groot geworden.
b. 1 1
2 2
3 2 7
c. De afstanden tot de y-as moet je nu halveren. De periode wordt 2 keer zo klein.
25. a. 2 1 3 log x 3 1 3x 8 x 24
b. De afstanden tot de y-as (de x-coördinaat) wordt 3 keer zo groot: 1 3
g(x) f( x) c. Vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met factor 3.
d. De grafieken van f en h zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegeling in de y-as.
x y 2 3 4 5 6 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5 sinx f(x)
2.09.2021
26.
a. De afstanden van de grafiek van f tot de y-as zijn met 1
2 vermenigvuldigd.
b. De afstanden van de grafiek van f tot de y-as zijn met 3 vermenigvuldigd.
3 3 1 1 1 1 1 3 3 3 3 81 h(x) f( x) ( x) 6 x x 2x. 27. a. 1 1 4 1 4 4 2 2 16 g(x) f( x) 100( x) 100 x 6,25x b. h(x) f(3x) 100(3x) 4 100 81x 4 8100x4 28. a. 1 1 5 1 5 2 5 3 3 243 243 f( x) 2 ( x) 3 2 x 3 x 3 c. 2 1 3 k(x) log x b. 1 3 1 3 3 9 g( x) x x d. 1 3 m(x) 1 x 29. a. vermenigvuldigen met 1 16.
b. f(x) 16x 16 x 4 x : een vermenigvuldiging met 4 ten opzichte van de x-as. c. f (x)a ax a x
Een vermenigvuldiging ten opzichte van de y-as met 1
a komt overeen met een vermenigvuldiging
ten opzichte van de x-as met factor a.
30.
a. Je moet dan de slingerlengte 4 keer zo klein maken. b./d. c. T 2 0,01 l 2 0,01 l 0,2 l g g g e. m 1 1 6 6 l 1 l l T 2 2 2 6 6 T g g g 31.
a. f(x) 1 (2x 1) 21 naar rechts y 1 (2(x 1) 1) 2 1 (2x 3) 2 1 omlaag y 2 (2x 3) 2
b. 2 1 2 2 1 2 1 2
2 2 2
f(x) 1 (2x 1) 1 (2(x )) 1 2 (x ) 1 4(x )
c. 2 Vx as, 4 2 12naar rechts 1 2 1 omlaag 1 2
2 2
f(x) x y 4x y 4(x ) y 1 4(x )
32. * s(x) x 2. De afstanden tot de symmetrieas zijn 3 keer zo groot geworden, en de top is
(3, -2). 2 Vy as, 3 1 2 1 2 3 naar rechts, 2 omlaag 1 2
3 9 9
s(x) x y ( x) x y (x 3) 2 * s(x) sinx . De periode is 2 en de standaardgrafiek is ten opzichte van de x-as vermenigvuldigd met factor -2. y(x) 2sin( x)
lengte (in meter) Tijd (in seconden)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 2 4 6 8 10 12 T maan T
* s(x) 1 x
. De asymptoten zijn x 2 en y 2 en verticaal vermenigvuldigd met factor 2. y 2 2
x 2
33.
a. s(x) 2logx; verschuif de standaardgrafiek 6 naar rechts en 8 omhoog.
b. s(x) 2 x; een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 2 en t.o.v. de x-as met factor 3.
c. s(x) x 2; een verschuiving van 6 naar rechts en daarna een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met
factor 1
3. Maar ook: k(x) (3x 6) 2 (3(x 2)) 2 9(x 2) 2; s(x) x 2 is t.o.v. de x-as
vermenigvuldigd met factor 9 en 2 naar rechts opgeschoven. 34.
a.
b. Vx as, 2 Vy as, 2 1
2
h(x) cosx y 2cosx f(x) 2cos x
c. x as,1 1
3 2
V naar links
1 2
g(x) 3sin x y sinx h(x) sin(x ) cosx
d. y as,1 x as, 11 1 2 2 2 V V naar rechts f(x) y 2cosx y 3cosx g(x) 35. a. geen invloed. b. f(x) x 2 omhoog y x 2 Vx as, 3 y 3( x 2) 3 x 6 x as, 3 V 2 omhoog f(x) x y 3 x y 3 x 2 c. geen invloed. d. y as,1 3 V 2 naar rechts f(x) x y 3x y 3(x 2) 3x 6 1 y as, 3 V 2 naar rechts f(x) x y x 2 y 3x 2 e. geen invloed. 36.
a. Een verschuiving van 2 omhoog.
b. f(x) 2 2logx 2log 42logx 2log 4x; een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1 4. c. g(x) 2logx 2
d. g(x) 2logx2log 42log4x 2log x41 ; een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 4. e. y 8logx 22logxlog8 2log81 2logx 31 2logx; een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as
met factor 31.
37.
a. De grafiek van g krijg je door op de grafiek van f een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as toe te passen met factor –1: g(x) 1 f(x) x 4 x
x y 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 g(x) f(x)
2.09.2021 c. k(x) g(x) 6 x 4 x 6
d. Eerst spiegelen in de y-as: y x 4 x . En vervolgens 10 naar rechts verschuiven: k(x) (x 10) 4 (x 10) x 10 4 10 x . 38. a. t 0 : C 110 0,8 0 10 mg/liter. 8 1 t 8 : C 10 0,8 1,68 mg/liter.
b. De concentratie is dan ongeveer 11,68 mg/liter. c. De 10 mg van de tweede injectie neemt volgens de
formule C1 af. En het restant van de eerste
injectie neemt nog verder af, alleen is de tijd 8 uur verder. t t 8 2 1 1 C (t) C (t) C (t 8) 10 0,8 10 0,8 t t 8 t 10 0,8 10 0,8 0,8 69,6 0,8 d. C (t) C (t) C (t 8) C (t 16)3 1 1 1 t t 8 t 16 t 10 0,8 10 0,8 10 0,8 425 0,8
e. Er komt steeds meer geneesmiddel in het bloed. 39.
a. Een soort van kwalificatie. Iedereen moet minstens 75 cm hoog springen. Anders zijn er geen punten te verdienen.
b. Om punten te krijgen op de 1500 m hardlopen moet je dat sneller doen dan 480 s (dat is 8 minuten).
c. Men wil aan een 'goede' sprong ongeveer evenveel punten geven als aan een 'goede' tijd.
40.
a. Op het moment van injecteren neemt de concentratie flink toe, en
daarna wordt het verdovingsmiddel opgenomen in het lichaam en neemt de concentratie af. b. Voer in: y1 (x 10)200x 2 maximum: x 10 en y 5
De concentratie is maximaal 5%, 10 minuten na de injectie.
c. De concentratie wordt uiteindelijk 0%. Als de t heel groot wordt, wordt de noemer veel groter dan de teller, en gaat de breuk naar 0.
d. Voer in: y2 1 intersect: x 0,6 x 179, 4
Na ongeveer 33 seconden verliest de patient zijn bewustzijn en 179 minuten naderhand komt de patiënt weer bij kennis.
e. c(t) c(t) 21c(t 60) (t 10)200t2 2(t 60 10)200(t 60)2 (t 10)200t2 100(t 60)(t 50)2
f. t 60
g. De operatie mag dan ongeveer 302 minuten (5 uur) duren.
t (in uren) C (in mg/liter) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 h P 50 100 150 200 250 300 350 500 1000 1500 2000 2500 t (in sec) P 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 -50 500 1000 1500 2000 2500 hoog 1500 m
T_1. s(x) x 2 is 2 naar rechts en 3 omlaag verschoven: y (x 2) 23 1
s(x) x
is 2 naar rechts en 1 omlaag verschoven: y 1 1 x 2
3
s(x) x is 1 naar links en 2 omlaag verschoven: y (x 1) 32.
T_2.
a. f heeft een randpunt (-2, -3)
De grafiek g heeft als ‘bijzonder’ punt (4, 7) en de grafiek van h heeft een verticale asymptoot x 5 . b. Om de grafiek van f te krijgen moet je de grafiek
van y x 2 naar links verschuiven en 3 omlaag. De grafiek van g krijg je uit de grafiek van y x 3 door deze achtereenvolgens te spiegelen in de x-as en dan 4 naar rechts en 7 omhoog te verschuiven. Als je de grafiek van y 2logx 5 naar rechts en 2 omhoog verschuift, ontstaat de grafiek van h. T_3.
a. Een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 3. b. Een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 0,4. c. Een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 7. d. Een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor -1. T_4.
a. Een vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 1 2
.
b. s(x) logx log8 log8x : een vermenigvuldiging t.o.v. y-as met factor 1 8. c. 2 3 2 1 r(x) 3x x
: een vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 2 3 . T_5. a. u2 2sin t b. u3 sin t12 c. T_6.
a. De standaardgrafiek is y sin x . De amplitude is 3 (vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 3). De periode is (vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 21) en de verschuiving is 1 naar rechts.: y 3sin2(x 1)
b. De standaardgrafiek is y2logx. De verticale asymptoot is x 2 (een verschuiving van 2 naar rechts). Vanuit (3, 0) gaat de grafiek 1 naar rechts en 2 omhoog. De grafiek is dus
vermenigvuldigd t.o.v. de x-as met factor 2: y 2 log(x 2) 2
x y 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 f g h x y 0,5 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 0,5 1 1,5 2 2,5 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 u1 u u2 3
2.09.2021
T_7.
a. Dat komt dan eerst in (-4, 0), dan in (-4, -2) en vervolgens in (-4, -1). b. Eerst in het punt (-3, 1), dan in (-3, -1) en daarna in ( 3, 21). c. -d. g(x)21((x 4) 32)21(x 4) 3 1 T_8. a. 1 naar rechts: y 1 x 1
vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 2: 21
1 2
y
x 1 x 2
b. vermenigvuldiging t.o.v. de y-as met factor 2: 1 2 1 2 y x x 1 naar rechts: y 2 x 1 c. 4 naar boven: y 1 4 x
vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 2: y 2(1 4) 2 8
x x
d. Eerst de vermenigvuldiging t.o.v. de x-as met factor 2: y 2 x
en dan pas de verschuiving van 4 naar boven: y 2 4 x . T_9. f(x) 2x 5 2(x 3) 1 2(x 3) 1 2 1 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
