Aantonen van symmetrie bij grafieken

Aantonen van symmetrie bij grafieken van functies

A) Lijnsymmetrie

Gegeven is een functie f met domein D_f en een getal a . Het getal a hoeft niet tot D_f te behoren.

De grafiek van f is lijn-symmetrisch in de lijn x=a als aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:

I): D_f is symmetrisch t.o.v. a , d.w.z. dat er voor elk getal p geldt: a+ p ligt in D_f ⟺ a−p ligt in D_f ;

II): voor elk getal p waarvoor a+ p in D_f ligt, geldt dat f (a+ p )=f (a− p) . Vaak bestaat Df uit alle reële getallen, anders

uitgedrukt D_f=R . In dit geval geldt:

de grafiek van f is lijn-symmetrisch in de lijn

x=a als voor elk getal p voldaan is aan

f (a+ p )=f (a− p) .

Zie hiernaast een voorbeeld van een grafiek die lijn-symmetrisch is.

(als p<0 , dan ligt a+ p links van a−p ).

Als speciaal geval hebben we:

de grafiek van f is lijn-symmetrisch in de y−¿ as (dus in de lijn x=0 ) als voor elk getal p voldaan is aan f ( p)=f (− p) .

Voorbeeld 1

Gegeven is de functie f ( x)=x2

−6 x +7 .

Oplossing

Voor elk getal p geldt dat f (3+ p)=(3+ p)2_{−6 (3+ p )+ 7}

¿9+6 p+ p2−18−6 p+7=p2−2 en f (3−p )=(3− p)2_{−6 (3− p)+7}

¿9−6 p+ p2−18+6 p+7=p2−2

¿f(3+ p) , dus de grafiek van f is lijn-symmetrisch

in de lijn x=3 .

Opmerking 1

Nadat we in het bovenstaande voorbeeld uitgerekend hebben dat f (3+ p)=p2_{−2 , kunnen we}

sneller dan hierboven f (3−p ) bepalen. De betrekking f (3+ p)=p2_{−2 geldt namelijk voor elk}

getal p , dus geldt ook als we p vervangen door −p .

Dit geeft dat f (3−p )=(− p)2_{−2= p}2_{−2=f (3+ p) .}

Deze aanpak zullen we ook in latere voorbeelden toepassen. Voorbeeld 2

Gegeven is de functie f ( x)=x4

+4 x3+4 x2−2 .

Toon aan dat de grafiek van f lijn-symmetrisch is in de lijn x=−1 . Oplossing

Voor elk getal p geldt dat f (−1+ p)=(−1+ p )4 +4 (−1+ p)3+4 (−1+ p )2−2 ¿1−4 p +6 p2−4 p3+p4+4(−1+3 p−3 p2+p3) +4

(

1−2 p + p2

₎

_−2=p4 −2 p2−1 , dus f(−1−p)=(−p)4−2(−p)2−1= p4−2 p2−1 ¿f (−1+ p) .

De grafiek van f is daarom lijn-symmetrisch in de lijn x=−1 .

Opmerking 2

Stel dat f (x) een veelterm is (constante veelvouden van machten van x bij elkaar opgeteld). Dan zal de grafiek van f lijn-symmetrisch zijn in de lijn x=a als na het uitwerken en herleiden

van f (a+ p ) alleen even machten van p voorkomen. Er volgt dan direct dat f(a− p)=f(a+ p) , want (− p)e=pe als e een even getal is.

Dit verschijnsel hebben we gezien in de voorbeelden 1 en 2. Voorbeeld 3

Gegeven is de functie f ( x)=

|

x3

−3 x2+2

|

.

Toon aan dat de grafiek van f lijn-symmetrisch is in de lijn x=1 . Oplossing

Voor elk getal p geldt dat

f (1+ p)=

|

(1+ p )3−3 (1+p )2+2

|

=

|

1+3 p+3 p2+p3−3−6 p−3 p2+2

|

|

p3−3 p

|

, dus f (1− p )=

|

(−p)3−3(− p)

|

=

|

(−1)( p3−3 p)

|

=

|

p3−3 p

|

=f (1+ p ) . De grafiek van f is daarom lijn-symmetrisch in de lijn x=1 .

Voorbeeld 4

Gegeven is de functie f ( x)=

_√

4 x−x2_.

Toon aan dat de grafiek van f lijn-symmetrisch is in de lijn x=2 . Oplossing

We bepalen eerst het domein van f .

Er moet gelden dat 4 x −x2_{≥ 0 , x(4−x)≥ 0 , dus}

symmetrisch t.o.v. het getal 2. We merken op dat 2+ p juist dan tot D_f behoort als −2≤ p ≤2 .

Voor elk getal p , met −2≤ p≤2 , geldt dat f (2+ p)=

_√

4 (2+ p)−(2+ p )2

¿

√

8+4 p−4−4 p− p2=

√

4− p2 , dus f(2− p)=

√

4−(− p)2=

√

4− p2=f(2+ p) .

De grafiek van f is derhalve lijn-symmetrisch in de lijn x=2 . Opmerking

De grafiek van f in voorbeeld 4 is een halve cirkel. Dit is als volgt in te zien. Stel y=

√

4 x−x2 _{. Kwadrateren geeft dat y}2

=4 x−x2 , dus x2−4 x + y2=0 , oftewel

(x−2)2+y2=4 . Dit stelt, zoals bekend, een cirkel voor met middelpunt M (2, 0) en straal 2. De punten van de grafiek van f vormen de bovenste helft van deze cirkel omdat

y=

√

4 x−x2≥ 0 .

Voorbeeld 5

Gegeven is de functie f(x)=sin(x) .

Toon aan dat de grafiek van f lijn-symmetrisch is in de lijn x=1₂π .

Oplossing

Voor elk getal p geldt dat f

(

1 2π + p

)

=sin

(

1 2π +p

)

¿sin

(

π −

(

1 2π + p

)

)

=sin

(

1 2π− p

)

¿f

(

1

2π −p

)

, dus de grafiek van f is

lijn-symmetrisch in de lijn x=1₂π .

Voorbeeld 6

Gegeven is de functie f ( x)=sin ( x)+cos ⁡(x) .

Toon aan dat de grafiek van f lijn-symmetrisch is in de lijn x=1 4π .

Methode 1

Voor elk getal p geldt dat f

(

1₄π + p

)

=sin

(

1 4 π +p

)

+cos ⁡

(

1 4π + p

)

¿cos

(

1 2π −

(

1 4 π + p

)

)

+sin ⁡

(

1 2π−

(

1 4 π +p

)

)

¿cos

(

1 4π − p

)

+sin

(

1 4 π− p

)

=f

(

1 4 π− p

)

, dus de grafiek van f is lijn-symmetrisch in de lijn

x=1₄π .

Methode 2

M.b.v. de eigenschappen

sin ( A +B)=sin ( A )cos ( B)+cos ( A ) sin ⁡(B) en cos ⁡( A+B)=cos( A )cos (B )−sin ( A ) sin ⁡(B) vinden we dat f

(

1 4π + p

)

=sin

(

1 4 π +p

)

+cos ⁡

(

1 4π + p

)

¿sin

(

1 4π

)

cos ( p )+cos

(

1 4π

)

sin ( p )+cos

(

1 4 π

)

cos ( p )−sin

(

1 4π

)

sin ⁡( p) ¿1 2

√

2 ∙ cos ( p)+ 1 2

√

2 ∙ sin ( p )+ 1 2

√

2 ∙ cos ( p )− 1

2

√

2∙ sin ( p)=

√

2 ∙cos ( p ) , dus (− p)=¿

√

2 ∙cos ( p )=f

(

1

4π+ p

)

f

(

1

4π− p

)

=

√

2 ∙cos¿

.

De grafiek van f is daarom lijn-symmetrisch in de lijn x=1 4π . Methode 3

M.b.v. de eigenschap cos( A−B )=cos( A )cos (B)+sin ( A )sin ⁡(B) blijkt dat f ( x)=

√

2 ∙cos

(

x−1

4 π

)

. De grafiek van de functie y=

√

2 ∙cos ⁡(x ) is symmetrisch in de y−¿ as (omdat cos( A)=cos ⁡(− A) ), dus (translatie!) de grafiek van f is lijn-symmetrisch in de lijn

x=1

4π . Voorbeeld 7

Gegeven is de functie f ( x)=cos2

(x )+cos ⁡(4 x) .

Toon aan dat de grafiek van f lijn-symmetrisch is in de lijn x=π . Oplossing

Voor elk getal p geldt dat

cos( π + p)=cos(π − p)(¿−cos ( p)) en cos

(

4 ( π +p )

)

=cos (4 π +4 p)=cos (4 p)

¿cos (−4 p)=cos (4 π−4 p)=cos ⁡(4 (π −p )) . Door het kwadraat van de eerste betrekking op te tellen bij de tweede vinden we:

f ( π + p)=f (π − p) .

De grafiek van f is daarom lijn-symmetrisch in

de lijn x=π . Voorbeeld 8

Gegeven is de functie f ( x)=sin ⁡(x )∙ sin ⁡(3 x ) .

Toon aan dat de grafiek van f lijn-symmetrisch is in de lijn x=1 2π . Oplossing

Voor elk getal p geldt dat f

(

1₂π + p

)

=sin

(

1 2π +p

)

∙ sin

(

3

(

1 2π + p

)

)

¿cos ⁡( p)∙ sin

(

3 2π +3 p

)

¿cos ( p) ∙sin

(

3 p− 1 2π

)

¿cos ( p) ∙−sin

(

1 2π −3 p

)

=−cos ( p) ∙cos ⁡(3 p) , dus f

(

1₂π − p

)

=−cos (− p )∙ cos ⁡(3(− p))

( p)∙ cos (3 p)=¿f

(

1 2π + p

)

¿−cos¿

.

De grafiek van f is daarom lijn-symmetrisch in de lijn x=π . Voorbeeld 9

Gegeven is de functie f ( x)=2

√

|x−4|−2 .

Oplossing

We bepalen eerst het domein Df van f . Er moet gelden dat |x−4|−2≥ 0 , |x−4|≥ 2 , dus D_f: x ≤ 2∨ x ≥ 6 . We merken op dat D_f symmetrisch is t.o.v. het getal 4.

4 + p behoort tot Df⟺

|

p

|

≥ 2 . Voor elk getal p , met |p|≥ 2 , geldt: f ( 4+ p)=2

_√

|

4+ p−4

|

−2

¿2

√

|p|−2 , dus

f ( 4− p)=2

√

|

−p

|

−2=2

√

|

p

|

−2

¿f(4+ p) .

De grafiek van f is daarom lijn-symmetrisch in de lijn x=4 .

B) Puntsymmetrie

Gegeven is een functie f met domein Df en een punt A (a ,b) . Het punt A hoeft niet op de grafiek van

f te liggen. De grafiek van f is punt-symmetrisch t.o.v. het punt A (a ,b) als aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:

I): D_f is symmetrisch t.o.v. a , d.w.z. dat er voor elk getal p geldt: a+ p ligt in D_f ⟺ a−p ligt in D_f ;

II): voor elk getal p waarvoor a+ p in D_f ligt, geldt dat f (a+ p )+f (a− p)=2 b (*). De betrekking (*) betekent dat b het gemiddelde is van de getallen f (a+ p ) en f (a− p) . Vaak bestaat Df uit alle reële getallen,

anders uitgedrukt D_f=R .

In dit geval geldt:

de grafiek van f is punt-symmetrisch t.o.v.

het punt A (a ,b) als voor elk getal p geldt

dat f (a+ p )+f (a− p)=2 b .

Zie hiernaast een voorbeeld van een grafiek die punt-symmetrisch is

(als p<0 , dan ligt a+ p links van

a−p ).

Als speciaal geval hebben we:

de grafiek van f is punt-symmetrisch in de oorsprong O(0, 0) als voor elk getal p geldt dat

Voorbeeld 10

Gegeven is de functie f ( x)=x3

−3 x2 .

Toon aan dat de grafiek van f punt-symmetrisch is t.o.v. het punt (1 ,−2) . Oplossing

Voor elk getal p geldt dat f(1+ p)=(1+ p)3−3(1+ p)2

¿1+3 p+3 p2+p3−3

(

1+2 p+ p2

)

¿−2−3 p+ p3 , dus f(1− p)=−2−3(−p)+(−p)3=−2+3 p− p3 .

Er volgt dat

f (1+ p)+f (1−p )=

(

−2−3 p +p3

)

+

(

−2+3 p− p3

)

¿−4=2 ∙−2 , dus de grafiek van f is punt-symmetrisch t.o.v. het punt (1 ,−2) .

Opmerking

Het punt (1 ,−2) is het buigpunt van de grafiek van f . Algemeen kan men aantonen dat de grafiek van een

derdegraadsfunctie punt-symmetrisch is t.o.v. het buigpunt. Voorbeeld 11

Gegeven is de functie f ( x)=( x−6)

_√

−20+12 x−x2_{+10 .}

Toon aan dat de grafiek van f punt-symmetrisch is t.o.v. het punt (6 , 10) . Oplossing

−20+12 x−x2≥ 0 geeft eenvoudig dat 2≤ x ≤ 10 , dus Df=

[

2,10

]

. Df is symmetrisch t.o.v. het getal 6. We merken op dat 6+ p juist dan tot Df behoort als

−4 ≤ p ≤ 4 . Voor elk getal p , met −4 ≤ p ≤ 4 , geldt dat

f (6+ p )=(6+ p−6)

_√

−20+12 (6+ p)−(6+ p )2+10

p

√

−20+72+12 p−36−12 p− p2+10= p

√

16−p2+10 , dus

f (6− p)=(− p)

_√

16−(− p)2+10=− p

√

16−p2+10 . Er volgt dat f(6+ p)+f(6−p)=20=2∙ 10 .

De grafiek van f is daarom punt-symmetrisch t.o.v. het punt (6, 10) .

De puntsymmetrie is evident als we f ( x ) herschrijven als f(x)=(x−6)

√

16−(x −6)2+10 .

De functie y=x

√

16−x2 is punt-symmetrisch in (0, 0) , dus (translatie!) de grafiek van f is punt-symmetrisch t.o.v. het punt (6, 10) .

Voorbeeld 12

Gegeven is de functie f ( x)=3 x−5_x−2 .

Toon aan dat de grafiek van f punt-symmetrisch is t.o.v. het punt (2, 3) . Oplossing

Het domein D_f bestaat uit alle reële getallen,

met uitzondering van 2 , d.w.z. _D ¿ f=R } . Voor elk getal p , met p≠ 0 , geldt dat

f(2+ p)=3(2+ p)−5 (p +2)−2

¿ 1+3 p p , dus f(2− p)=1+ 3(− p) (−p)

¿ −1+3 p p . Er volgt dat f (2+ p)+f (2− p)=1+3 p_p +−1+3 p p ¿6 p

p ¿6=2∙ 3 , dus de grafiek van f

is

punt-symmetrisch t.o.v. het punt (2, 3) . Opmerking

Het punt (2, 3) is het snijpunt van de twee asymptoten van de grafiek van f . Algemeen geldt dat de grafiek van f ( x)=ax +b

cx +d

(c ≠0) punt-symmetrisch is t.o.v. de snijpunt

(

−d c , a c

)

van de asymptoten x= −d c

en y= a

c van de grafiek van f .

Voorbeeld 13 Gegeven is de functie 2+¿ 2 log ⁡

(

x−1 x +1

)

f ( x )=¿ .

Oplossing

We bepalen eerst het domein van f .

x−1

x+1

¿0 geeft Df: x ←1∨ x>1 . D_f is symmetrisch t.o.v. het getal 0. p=0+ p behoort tot Df ⟺ p←1∨ p>1 ⟺ |p|>1 .

Voor elk getal p , met |p|>1 , geldt dat 2+¿2log ⁡

(

p−1 p+1

)

f (0+ p )=f ( p)=¿ en 2+¿2_{log ⁡}

(

−p−1 −p+1

)

f (0− p)=f (−p )=¿ 2−¿2log ⁡

(

p−1 p+1

)

2+¿2_{log ⁡}

(

p−1p+1

)

=¿ ¿ ¿ . (want glog

(

1 a

)

=− g log ⁡(a) ). Er volgt dat 2−¿2_log

(

p−1p+1

)

=4=2∙ 2 2+¿2log

(

p−1 p+1

)

+¿ f (0+ p)+f (0− p )=¿ .

De grafiek van f is daarom punt-symmetrisch t.o.v. het punt (0, 2) . Voorbeeld 14

Gegeven is de functie f ( x)=1+cos (x)+sin ⁡(2 x) .

Toon aan dat de grafiek van f punt-symmetrisch is t.o.v. het punt

(

1

Oplossing

Voor elk getal p geldt dat f

(

1₂π + p

)

=1+cos

(

1

2π + p

)

+sin

(

2

(

1

2π + p

)

)

¿1−sin ( p)+sin ( π +2 p )=1−sin ( p)−sin ⁡(2 p) , dus f

(

1₂π − p

)

=1−sin (− p)−sin ⁡(−2 p)

¿1+sin ( p )+sin ⁡(2 p) . Er volgt dat

f

(

1

2π + p

)

+f

(

1

2π − p

)

=2=2∙ 1 , dus de grafiek van f is punt-symmetrisch t.o.v. het punt

(

1

2π ,1

)

. Voorbeeld 15

Gegeven is de functie f ( x)=2+cos ( x)+sin ⁡(x) .

Toon aan dat de grafiek van f punt-symmetrisch is t.o.v. het punt

(

3₄ π ,2

)

. Methode 1

Voor elk getal p geldt dat f

(

3 4π + p

)

=2+cos

(

3 4π + p

)

+sin

(

3 4 π + p

)

en f

(

3 4π − p

)

=2+cos

(

3 4π − p

)

+sin

(

3 4 π− p

)

¿2+sin

(

−1 4 π + p

)

+cos

(

−1 4 π + p

)

( cos( A)=sin

(

1₂π− A

)

en sin ( A )=cos

(

1₂π− A

)

)

¿2−sin

(

3

4π + p

)

−cos

(

3 4π + p

)

( sin ( A )=−sin ⁡(π + A) en cos( A)=−cos ⁡(π + A) ).

Er volgt dat f

(

3

4π + p

)

+f

(

3

4 π− p

)

=4=2∙ 2 , dus de grafiek van f is punt-symmetrisch t.o.v. het punt

(

3

Methode 2

M.b.v. de eigenschappen

sin ( A +B)=sin ( A )cos ( B)+cos ( A ) sin ⁡(B) en cos ⁡( A+B)=cos( A )cos (B )−sin ( A ) sin ⁡(B) vinden we dat: f

(

3₄π + p

)

=2+cos

(

3

4π + p

)

+sin

(

3 4π + p

)

¿2+cos

(

3 4π

)

cos ( p)−sin

(

3 4π

)

sin ( p)+sin

(

3 4π

)

cos ( p )+cos

(

3 4π

)

sin ( p ) ¿2−1 2

√

2 ∙ cos( p)− 1 2

√

2 ∙ sin ( p )+ 1 2

√

2 ∙ cos ( p)− 1

2

√

2 ∙ sin ( p )=2−

√

2 ∙ sin ( p ) , dus

f

(

3

4π − p

)

=2−

√

2 ∙sin (− p )=2+

√

2∙ sin ( p ) . Er volgt dat : f

(

3

4π + p

)

+f

(

3

4 π− p

)

=4=2∙ 2 , dus de grafiek van f is punt-symmetrisch t.o.v. het punt

(

3

4π ,2

)

. Methode 3

M.b.v. de eigenschap sin ( A−B)=sin ( A ) cos(B )−cos( A )sin ⁡(B) blijkt dat

f ( x )=2−

√

2 ∙ sin

(

x−3

4 π

)

. De functie y=2−

√

2 ∙ sin ( x) is punt-symmetrisch t.o.v. het punt (0, 2) (omdat sin(−A)=−sin(A)¿ , dus (translatie!) is de grafiek van f punt-symmetrisch

t.o.v. het punt

(

3

4 π ,2

)

. Voorbeeld 16

Gegeven is de functie f ( x)=1−cos

(

1₄πx

)

+3 cos3

(

1 4 πx

)

.

Oplossing

Voor elk getal p geldt: f (2+ p)=1−cos

(

1₄π (2+p)

)

+3 cos3

(

1

4π (2+ p)

)

1−cos

(

1 2π + 1 4πp

)

+3 cos 3

(

12π + 1 4πp

)

=1−sin

(

1 4 πp

)

−3 sin 3

(

14πp

)

, dus f (2− p )=1−sin

(

1 4π (− p )

)

−3 sin 3

(

14π (− p)

)

=1+sin

(

1 4πp

)

+3 sin 3

(

14πp

)

. Er volgt dat f (2+ p)+f (2− p)=2=2∙ 1 .