Hoofdstuk 2 Toepassingen van integreren

(1)

Hoofdstuk 2:

Toepassingen van integreren

V-1 a. 1 4 1 2 4 2 ( ) 1 F x  x  x c b. G x( ) cos( ) 3sin( )x  x c c. 1 2 1 1 ( ) 2 h x x x    1 2 ( ) ln | | H x   x c d. _{k x}_{( )}__x2_₂_x3 1 2 2 1 1 ( ) K x x x c x x          e. 1 1 4 ln(3) 4 ( ) 3x M x    x c V-2 a. 1 2 1 ( ) 2 2 f x  x x  x b. g x( ) 4 x13 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 4 5 2 4 5 ( ) '( ) 2 2 2 ( ) F x a x F x a x a a F x x c         2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 ( ) '( ) 4 6 ( ) 6 G x a x G x a x a a G x x c          V-3 a. 1 7 1 7 ( ) x F x _ e  _c b. 1 3 ( ) sin(3 4) F x  x c c. f x( ) (5 x1)15 1 5 1 1 6 ( ) (5 1) F x  x c d. 1 1 4 1 ( ) 4sin(4 ) 4sin(4 ) 4 f x x x x x      1 4 ( ) ln | | cos(4 ) F x  x  x c e. 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 ln(3) 2 2 3 2ln(3) 6 ( ) 3 x (3 1) 3 x (3 1) F x _ _{ }  _{  } x_  _ _  _ x_  _c f. _{( )} 1 ₍₂ ₄₎ 1 2 4 f x x x      F x( ) 12ln | 2x4 |c V-4 a.





₁ 1 2 2ln | | 2 e e dx x x  



b. 2 2 2 1 3 0 3 3 3 0 2sin(3 )x dx cos(3 )x 1    _ _    



c. 3 3 3 2 1 4 1 3 1 4 3 ₀ 4 0 (x x dx) _ x  x _ 11



d.



1



2 0 0

(sin(2 ) cos( ))x x dx cos(2 ) sin( )x x 0 



    



(2)

V-6 a. 1 1 x y   1 1 y x   y 1 1 x   b. _{x e}_ 2y1 _c. _x __ln(_y _₃₎ _d. _x _ ₃_y_₂ 1 1 2 2 2 1 ln( ) ln( ) y x y x     3 ₃ x x y e y e     2 2 1 2 3 3 3y 2 x y x     1 a. f x_n( )x2 en g x_n( ) x24x b. _x2 _{ }_x2_₄_x 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 ₀ 3 0 0 2 4 2 ( 2) 0 0 2 ( 4 ) ( 2 4 ) 2 2 G x x x x x x Opp x x x dx x x dx x x           



   



  _  _  c. 2 2 2 0 0 0 (( ( ) 4) ( ( ) 4))g x   f x  dx  ( ( ) 4g x  f x( ) 4) dx  ( ( )g x f x dx( ))



2 a. 12 4 4 ₄ 1 2 1 2 1 2 1 3 3 2 2 2 3 3 4 0 0 0 ( x (x 3 x dx))  ( x x 3 x dx) _ x  x 1 x _ 12



b. 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ₀ 2 2 0 (_e __e x)_dx___{e x}_ _e x_ _ _e _  



3 a. cos(2 ) cos( )x  x 2 3 2 2 2 2 2 3 2 x x k x x k x k x k x k                    









2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 3 1 2 0 4 0 1 1 ₃ ₃ 1 1 2 4 4 2

(cos( ) cos(2 )) sin( ) sin(2 ) 3

(cos(2 ) cos( )) sin(2 ) sin( ) 3 3 1 3

rood groen Opp x x dx x x Opp x x dx x x                   



b.





1 3 ₁ 3 1 1 ₃ 1 2 0 4 0

(cos( ) cos(2 ))x x dx sin( )x sin(2 )x 3



    



(3)

4 x 4 1 2 16 ₁₆ 1 2 1 3 3 0 0 16 (4 ) 4 21 x Opp x dx x x    



 _  _  5 a. _x2_{ }_{1 1} 2 ₂ 2 2 x x x      2 2 2 2 1 3 2 2 2 2 3 2 1 1 1 1 3 2 ₂ 3 3 2 2 ( 1 ( 1)) 1 ( 2) 1 2 3 1 2 Opp x x dx x x dx x x x                  _   _  



b. 1 1 1 1 1 2 42 (33 13 2) 16 13 2 Opp      c. 2 2 2 2 2 1 3 2 1 2 3 ₂ 3 2 2 (1 ( 1)) (2 ) (2 2 2 en Opp x dx x dx x x      

_

  

_

 _  _  2 1 1 1 1 1 23 2 (16 13 2) 13 2 16 Opp      6

a./b. de grafieken van f en g snijden elkaar in x1 (niet exact te berekenen) de grafieken van f en h snijden elkaar in x0.





1 2 1 2 1 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ln | 1| ln | | ln | 1| 1 1 ln(2) 1 ln(2) ln(3) ln(2) 1 ln(2) ln(3) 2,50 x e x Opp e dx dx e x e x x x x x e e e e       _   _                 



7 a. 1 1₂ x  x 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 1 ( 1) 0 0 1 ( ( ) ( )) ( ) ln( ) ln(2) G x x x x x x Opp f x g x dx x x dx x x          

_

 

_

 _  _   ( ) 2 g x  f x( ) 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 x x x      1 2 x 





1 2 ₁ 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 (2 ) (x ) 2 ln | | ln | | ( 2 ln( 2)) (1 ln( )) ( 1 2 ln( 2)) 2 2 2 ln( ) H Opp _ _x dx_  _x dx_ x_ x _{ }_ x _ x _ _             



(4)

b. 1 2 1 1 1 1 1 ( ( ) ( )) ( ) ln( ) ln( ) 1 3 a a a a Opp_ f x _g x dx_ x _x dx __ x _x _ _ a _{  }  



Voer in: 1 1 ln( ) 1 y x x    en y2 3 intersect: x 53,6

Voor a54 is de oppervlakte voor ’t eerst groter dan 3.

8 a. _{'( )} 1 _{1 ln( ) 1 1 ln( ) 1 ln( )} _{( )} x F x    x x    x   x f x b. ln( ) 0x 





2 2 2 1 1 1 ln( ) ln( ) 1 e e x x dx x x x e     



c.





1 1 1 1 ₂ ln( ) ln( ) 1 e e e Opp 

_

x dx  x x x   9 a. de straal is f(2) 2 en de oppervlakte ___{( 2)}2 _₂_ b. de straal is f(x) en de oppervlakte ___{( ( ))}_{f x} 2

c. de Riemann-som



 ( ( ))f x 2 x gaat als x naar 0 nadert naar 5 2 1 ( ( ))f x dx 



d. 5 5 5 2 1 2 2 ₁ 1 1 ( x) dx x dx x 12   _ _  



10 a. 12 3 3 3 2 3 0 0 0 ( x) x x ( 1) I 



e dx



e dx _{ }e  e  b.





6 6 6 2 1 1 1 2 4 ( ) 4ln | | 4 ln(6) I dx dx x x x     







  c. 1 3 2x 16x x 0 3 2 1 2 4 4 4 3 2 2 3 3 5 1 1 1 2 4 4 0 0 0 4 4 1 6 1 24 ₀ 3 0 16 (16 ) 0 0 4 4 ( 16 ) (16 ) (4 ) 85 x x x x x x x x I x x x dx x x x dx x x dx x x                            _  _ 



11 a./b. 3 3 3 2 2 2 2 2 4 3 2 0 0 0 (( ( ))f x ( ( )) )g x dx ((4x x ) x dx) (x 8x 15 )x dx 

_

 

_

  

_

   3 5 4 3 3 1 5x 2x 5x ₀ 215     _   _ 

(5)

12 a. 2 x x b. 4 ₅ x  x 4 2 2 0 4 2 0 4 2 1 3 2 3 ₀ 3 (2 ) 0 0 4 ((2 ) ) (4 ) 2 10 x x x x I x x dx x x dx x x                   _  _ 



2 2 4 2 2 1 4 2 2 1 4 5 5 4 ( 1)( 4) 0 1 4 16 ((5 ) ) 16 (25 10 ) x x x x x x x x I x dx x x x dx x                    



4 2 1 3 16 3 ₁ 25x 5x x _x 9     _    _  13 a. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2

'( ) ( sin( ) sin( ) cos( ) cos( )) (cos ( ) sin ( ))

F x   x   x  x  x   x  x 

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2(1 sin ( ) sin ( ))x x 2 2(1 2sin ( )) sin ( )x x

       

b. 2 2

0 0

((sin( ) 3) 9) (sin ( ) 6sin( ))

I x dx x x dx

 



_

  

_

 



1 1



1 2

2x 2sin( )cos( ) 6cos( )x x x 0 2 12 

  

    

14

a. dan moet je het gebied 1 naar beneden verschuiven. b. 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ₀ 2 2 0 0 ( x 1) ( x 2 x 1) x 2 x ( 2 2 ) I 



e  dx 



e  e  dx  _ e  e x_  e  e c. 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ₀ 2 2 0 ( x 1) x ( 1 ) I 



e  dx_ e x_  e  15 a. _x__y2_₂ 2 ₂ 2 y x y x     b./c. 5 5 5 2 1 2 1 2 ₂ 2 2 2 ( 2) ( 2) 2 4 I 

_

x dx

_

x dx  _ x  x_   16 a. xln(y1) 1 1 x x y e y e     b./c. 2 2 2 2 2 1 2 1 4 2 1 2 ₀ 2 2 0 0 ( x 1) ( x 2 x 1) x 2 x ( 2 3 ) I 

_

e  dx 

_

e  e  dx _ e  e x_  e  e  2 2 sin ( ) cos ( ) 1x  x 

(6)

17 a. x y 1 2 2 1 1 y x y x     5 5 5 2 2 4 2 1 5 2 3 1 5 3 ₀ 3 0 0 ( 1) ( 2 1) 713 I 



x  dx 



x  x  dx  _ x  x x_   b. 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ₀ 2 2 0 ( x) x ( ) G I 



e e dx _e x e _  e  18 a. _x_₃y1 1 3 3 3 9 3 2 1 log( ) log( ) 1 ( log( ) 1) 145,17 G y x y x I  x dx     



  b. ₃x1_{ }_{9 3}2 3 3 3 1 2 2 2 1 2 2 364 2ln(3) ₀ 9 ln(3) 0 0 3 (81 (3 ) )x (81 3 x ) 81 3 x (243 ) G x I   dx   dx  x      



 



  _  _   19 om de x-as: 1 1 1 2 2 2 2 4 1 3 1 5 2 3 5 ₀ 15 0 0 ( ( ) ) ( ) I 

_

x  x dx 

_

x x dx _ x  x _   om de y-as: 1 1 1 2 2 2 1 2 1 3 1 2 3 ₀ 6 0 0 (( ) ) ( ) I 

_

x x dx 

_

x x dx  _ x  x _   Als je wentelt om de y-as is de inhoud groter.

20 a. spiegelen in de lijn y x: ₂₅_y2_₄_x2 _₉ 2 2 2 4 2 9 1 2 25 25 25 2 1 5 25 4 9 (4 9) 4 9 y x y x x y x         b. 1 1 2 3 39 1 1 1 25 25 3 ₂ 25 2 I_model  (4x 9)dx  1 x 9x      



  _  _ 

De inhoud van de koeltoren is 39 3

2525 76576 m3. 21 a. 2 112 2 3 3 0 0 ( ) p _p A p 

_

x dx _ x _  p p b. 2 3p p 18 2 3 27 27 9 p p p    x y 1 2 3 -1 1 2 3 4

G

(7)

22





₀

0

cos( ) sin( ) sin( ) 1

a a x dx  x  a 



1 2 a  23 a. 12 10 10 ₁₀ 1 1 1 1 2 2 10 2 dx x dx x x  _ _  _ _  



10





10 1 1 1 ln | | ln(10) dx x x  



10 10 10 2 1 9 10 10 2 1 1 1 1 1 1 dx x dx x x      _ _      



b. A p( ) 2 p2 B p( ) ln( ) p C p( ) 1 1 p   c. 2 p 2 10 d. ln( ) 10p  6 36 p p   10 ₂₂₀₂₆ p e  e. Voor alle waarden van p is 1 ₀

p  . Er wordt een positief getal van 1 afgetrokken, dus

de uitkomst is kleiner dan 1.

24 a. 0,4 0,4 ₀ 0,4 0 ( ) 20 50 50 50 p p t t p g p _ e dt _{ }_ e _ _ _ e  



Voor grote waarden van p wordt _e0,4p_{nagenoeg gelijk aan 0.} De grafiek van g(p) nadert dan naar 50.

b. _{50 50}_ _e0,4t _₂₅ 0,4 1 1 2 2 0,5 0,4 ln(0,5) 2 ln(0,5) 2 ln(2) t e t t  _      25 a. r h y  x b. 22 22 2 3 2 2 3 1 2 3 2 3 0 0 0 ( ) 3 h h _h r r r h h h r h I x dx x dx x r h h        







 _ _   c. 1 3 tan(30 ) r h    1 3 2 2 3 1 1 1 1 1 3 ( 3 ) 3 3 9 r h I  h h  h h h         26

a. De grafiek van f is een halve cirkel. Het omwentelingslichaam is dan een bol.

b. 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 3 3 ( ) ( ) 1 r r r r r r I  r x dx  r x dx  r x x _ r     

_

 

_

  _  _ 

c. Wentel de lijn y r tussen x0 en x h om de x-as.

(8)

27 diagonaal: y   x p en de kwart cirkel: _y _ _p2 __x2 Geel: 2 2 2 1 3 2 2 1 3 3 ₀ 3 0 0 ( ) ( 2 ) p p p x p dx x px p dx x px p x p 

_

  

_

   _   _   Blauw en geel: 2 2 2 2 2 2 1 3 2 3 3 ₀ 3 0 0 ( ) ( ) p p p p x dx p x dx p x x p 

_

 

_

 _  _  

Rood, blauw en geel: 2 2 ₀ 3

0 p

p

p dx p x p





_ _ 

De inhouden zijn dus allemaal gelijk.

28

a. 1

2

(1 ) 0

f  : de grafiek van f gaat door B.

2 1 3 1 2 1 2 2 2 2 ( ) ( 1)( 1 ) 1 1 '( ) 3 3 1 '(0) 1 f x x x x x x f x x x f             raaklijn 1 2 1

y   x gaat ook door punt B.

b. 1 1 1 1 2 1 12 2 18 OAB Opp_V     1 1 1 3 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 3 2 1 2 2 4 2 2 2 ₀ 4 3 8 0 0 ( ) ( 1 1 ) 1 1 links Opp 



f x dx



x  x  x dx _ x  x  x  x_    Dus de oppervlakte van het linkerdeel is twee keer zo groot als die van het rechterdeel. 29 a. ( )

 

( ) b b b a a a f x dx  c dx  cx bc ac c b a  



b.





4 4 1 1 4 4 ₀ 0 (1 sin( x dx)) x 4cos( x) 4 8 4 c           



geeft 4 8 2 4 1 c       c. 2 112 2 112 3 3 0 0 ( ) 6 p _p p x dx  _ p x _  p  p



2 3 ( 9) 0 0 81 p p p p      30 a. f x'( ) 2 x '(3) 6 f 

Lijn l heeft richtingscoëfficiënt 6 en gaat door A(3, 9): b    9 6 3 9

: 6 9 l y  x snijdt de x-as in 1 2 (1 , 0) B 3 3 2 1 1 1 3 3 1 2 2 3 ₀ 4 4 0 (3 1 ) 9 6 2 V Opp 



x dx    _ x _   3 1 1 1 1 2 2 4 4 4 : 1 9 : 2 6 : 2 27 : 9 3 :1 OBC V Opp_V Opp       b. _{A p p}_{( ,} 2₎

de richtingscoëfficiënt van l is 2p en gaat door A: _b__p2_₂_{p p}_{  }_p2 2 : 2 l y  p x p  _C_(0,__p2₎_en 1 2 ( , 0) B p

(9)

c. 2 1 1 2 1 3 1 3 1 3 2 2 3 ₀ 4 12 0 ( ) p p V Opp 

_

x dx  p p p _ x _  p  p 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 2 2 12 4 12 4 12 : : : : 3 :1 OBC V Opp_V Opp   p p p  p p   31

a. Kantel de emmer. Het middelpunt van de bodem van de emmer is de oorsprong. De lijn gaat dan door (0, 10) en (40, 20)

1 4 : 10 l y  x 40 40 40 2 2 3 2 1 1 1 1 1 4 16 48 2 ₀ 3 0 0 ( 10) ( 5 100) 2 100 9333 I 

_

x dx

_

x  x dx  _ x  x  x_   b. de inhoud is ongeveer 29321,5 cm3_{, ofwel ongeveer 29 liter.}

32 a. 1 2 1 2 2 2 1 1 3 3 ( ) (4 ) 4 (4 ) F x   x x   x

met de kettingregel differentiëren: 1

2 2 2 1 1 2 3 '( ) 1 (4 ) 2 4 ( ) F x    x   x x x f x b. _x ₄__x2 _₀ 1 2 2 2 ₂ 1 2 1 2 2 3 3 0 0 0 4 0 2 2 ( 4 ) (4 ) 2 G x x x x Opp x x dx x           



  _  _  c. 2 2 2 2 2 2 4 1 3 1 5 4 3 5 ₀ 15 0 0 ( (4 )) (4 ) 1 ) 4 G I 



x x dx 



x x dx  _ x  x _   33 a. ₍_x_₄₎2__y2 _₁₆ 2 2 2 2 2 16 ( 4) 16 ( 8 16) 8 8 y x x x x x y x x            b. ₍_x_₄₎2__y2 _ _x2_₈_x_₁₆__y2 _₁₆ 16 8 16 16 8 16 2 x x x    

 de snijpunten van c1 en c2 zijn: (2, 2 3) en (2, 2 3) 2 2 2 2 1 3 2 3 ₀ 3 0 2 (8 ) 2 4 26 G I  

_

x x dx  _ x  x _  

c. spiegelen in de lijn y x geeft c2:x2(y4)2 16 (onderste tak heb je nodig)

2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 3 2 3 ( 4) 16 16 4 (16 ) ( 16 4) 246,98 y x y x I  x dx  x dx          



 



   

(10)

35 a. f x'( ) 2x7 f(4) 20 '( ) 1 2 7 1 2 8 4 f x x x x         20 4 24 24 y x b b y x          b. 8 8 2 1 1 3 1 2 1 2 3 2 ₀ 3 0 ( 7 8) 8 8 3 8 32 85 rood Opp  



x  x dx    _ x  x  x_  

Oppervlakte tussen de twee schuine lijnen: 8(b8) 8 b64

1 1 3 3 1 3 1 3 8 64 85 85 8 149 29 b b b     

Test jezelf

T-1





1 2 1 2 1 2

(1 cos( ) sin( )) sin( ) cos( ) 1 2

rood Opp x x dx x x x        



      





1 2 1 2 1 2

(sin( ) 1 cos( )) cos( ) sin( ) 2

blauw Opp x x dx x x x      



        T-2 a. 23 23 2 2 2 ₂ 1 2 3 3 1 3 5 5 0 0 0 ( ) 1 4 A I 

_

x dx 

_

x dx _ x _   b. 3 _x _₂ 2 2 3 3 4 3 8 ₈ 1 ₃ 3 2 1 5 5 5 4 4 2 8 (4 ) 4 (2 16 3 ) B x I  x dx  x x      

_

  _  _   c. 3 2 23 3 123 3 3 2 5 5 0 0 0 ( ) p p p _p A I 



x dx



x dx  _ x _  p p 2 2 3 3 8 ₈ 1 2 3 4 3 3 5 5 5 (4 ) 4 (12 4 ) p B p p I 



x dx _ x x _   p p p Uit IAp IBp volgt 4 5 4p12 ofwel 1 5 3 p

(11)

T-3 a. 1 4 2 x y    4 1 2 x y    4 2 1 y x    4 2 1 y x     b. 2 3 3 2 2 1 2 2 4 16 16 4 ( 2 ) 4 (4 ) 1 1 ( 1) G I dx dx dx x x x                



3 1 2 4 _4x 16ln |x 1| 16(x 1) _ 16 16 ln(2)   _     _   T-4 a. 4 4 4 2 1 5 4 2 ₁ 7 1 1 16 16( 3) 16( 3) 1 ( 3) I dx x dx x x     _  _      _  _  



b. ₂ 2 1 1 1 1 16 16 16( 3) 16( 3) (4 ) ( 3) 3 a a a a I dx x dx x x a     _  _      _  _    



c. (4 16 ) 2 3 a      16 2 3 3 8 5 a a a      T-5 a. 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( ) a a a x a x a a a a a a Opp e e dx e x e a e e e a e  _  _  _    

_

  _   _        1 1 1 1 ₃ a a a a a a ae  e  e  ae  e e        ln(3) a b. 1 1 ₁ ( 1) a a x x a a a W _a a Opp e dx e e e e e   _   

_

_{ }     : a: a( 1) 1: 1 V W

Opp Opp e e e  e en dus onafhankelijk van a.

c. 1 1 2 1 2 1 2 2 ₀ 2 0 ( 1) x x onder I 

_

e dx  _ e _   e  1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ₀ 2 2 0 ( x) x ( ) boven I 

_

e e dx _e x e _   e  Het verschil is  . T-6 a. p f (3) 25 9 4 b. 3 3 3 2 2 2 1 3 3 ₃ 3 3 (25 4 ) (9 ) 9 36 I  x dx  x dx  x x       

_

  

_

  _  _  c. 3 3 3 2 2 2 2 1 3 3 ₃ 3 3 ( ( 9)) (9 ) 9 36 I  r x r dx  x dx  x x       



   



  _  _ 

(12)

Extra oefening – Basis

B-1 a. b. Snijpunten: (-2, 0) en (3, 5) 2 2 ( 2) ( 2) 4 0 2 5 10 ( 2) (3) 3 4 5 3 5 10 (3) f g f g                   c./d. 12 3 ₃ 1 2 2 1 3 15 3 2 2 ( 5 10 ( 4)) (5 10) 4 25 Opp x x dx x x x     



   _    _  B-2 a. 4 x  x x(4 x) 0 0 4 0 16 x x x x       1 2 16 ₁₆ 1 2 2 1 2 3 2 3 0 0 (4 ) 2 42 Opp

_

x x dx _ x  x _  b./c. 16 16 ₁₆ 2 2 2 1 2 1 3 8 5 3 ₀ 15 0 0 (4 ) (16 8 ) 8 3 136 I 



x x dx 



x x x x dx  _ x  x x  x _   B-3 _x__ln(5__y2₎ 2 2 5 5 5 x x x y e y e y e       ln(5) ln(5) 0 0 (5 x) 5 x (5ln(5) 4) I 

_

e dx  _ x e _   B-4 a. 2 112 2 3 3 0 0 p _p V Opp 

_

x dx _ x _  p p en 2 1 1 3 3 2 W V Opp  p p p p  p p  Opp b. 1 2 1 2 2 ₀ 2 0 p p V I 

_

x dx _ x _  p en 2 2 2 2 1 1 1 2 ₀ 2 2 0 ( ) ( ) p p W I 

_

p x dx _px x _  p  p  p x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 -4 -5 -6

(13)

Extra oefening - Gemengd

G-1 a. 2 5 2 4 1 x x x   3 3 2 2 1 5 2 2 20 2 18 2 ( 9) 0 2 0 9 0 3 3 (0, 0) (3, 1 ) x x x x x x x x x x x x x                 b. '( ) ₂1 2 2₂ 1 1 cx F x c x x x       2 4 2 c c   3 3 2 2 2 1 4 5 5 5 2 ₀ 0 4 2ln | 1| 2ln(10) 1 1 G x Opp x dx x x x   _ _  _  _ _   _     



G-2 a. _{f x}'( )__ex _y __{e x e}2_{ } 2 2 2 2 2 2 '(2) 2 f e y e x b e e b b e          2 2 2 2 0 1 A e x e e x e x       b. 2 2 2 2 2 1 1 1 2 ₀ 2 2 0 (2 1) 1 x x G Opp 



e dx   e  _{ }e  e  e  c. 2 2 2 2 2 2 4 2 4 1 2 1 4 1 2 ₀ 2 2 0 0 (( ) ( ) )x ( x) x (1 ) H I 



e  e dx 



e e dx  _e x e _  e  d. _{'( )} _{2ln( )} 1 _{1 ln ( ) 2x}2 1 _{2ln( ) 2 ln ( )}2 x x G x  x x    x    x   x e. 2 2 2 2 2 1 1 ln ( ) ln ( ) 2 ln( ) 2 (2 2) e e I 



x dx _x x  x x  x_  e  G-3 a. b. 1 2 10_ (_ex __ex) 0_ Voer in: 1 1 10 2( ) x x y   e e zero: x   3 x 3 c. 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 ₃ 3 (10 x x) 10 x x) 40 O e e dx x e e     



  _   _  d. e. 3 3 2 1 3 3 ₃ 3 (9 ) 9 36 parabool O x dx x x    

(14)

Uitdagende opdrachten

U-1

a. de cilinders hebben straal 6. De hoogte van het kruisgewelf is dus ook 6.

2 2 2 2 36 (2 ) 4(36 ) 144 4 R h Opp R h h       

b. De inhoud is de Riemannsom van de balkjes met

vierkant grondvlak van 2R bij 2R en hoogte h. c. 6 6 2 1 3 3 ₀ 0 (144 4 ) 144 1 576 I 



 h dh_ h h _  m3_. U-2 a. _{g x}_{( ) 3}_{ } ₄__x2 b. ₍₃_ ₄__x2 2₎ _₍₃_ ₄__x2 2₎ _{ }_{9 6 4}__x2 _{ }₄ _x2__{(9 6 4}_ __x2 _{ }₄ _x2₎_ 2 12 4 x   c. 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ( ) ( )) 12 4 12 4 12 2 24 I  f x g x dx  x dx  x dx       



 



  



     d. _x2_₍_{y R}_ ₎2 __r2 2 2 2 2 2 2 2 (y R) r x y R r x y R r x           2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (( ) ( ) (( ) ( ) 4 4 4 2 r r r r r r r r I R r x R r x dx R r x R r x dx R r x dx R r x dx R r Rr                                

