H3: Exponentiële functies

Hoofdstuk 3:

Exponentiële functies.

a. 25% korting: je moet dan nog 75% betalen, dus g 0,75 _. b. p 39,87 1,19 47,45   V_3. a. 1,03 per dag. b. 1,007 per jaar. c. 0,83 per 5 jaar. d. 0,70 per jaar. e. 3 per 10 minuten. f. 3 per eeuw.

V_4. De verkoper berekent x 0,75 1,19 x 8925    _{terwijl Paul het andersom voorstelt. Dus} x 1,19 0,75 x 0,8925    _{. Het maakt dus niets uit.}

V_5.

a. _{K(10) 5000 1,06 } 10 _{€8954,24 en K(20) 5000 1,06 } 20 _{€16035,68}

b. Ieder jaar komt er 6% bij, dus moet je ieder jaar het bedrag met 1,06 vermenigvuldigen.

V_6.

a. _{B 216 10 1,132 } 6_ t _{t is de tijd in dagen.}

b. _{V 5000 0,86 } t _{met t de tijd per 5 jaar.}

d. _{W 0,87 0,85 } t _{met t de tijd in jaren.} V_7.

a. _{W 6 1,40 } t

b. t 2 invullen: _{W 6 1, 40 } 2 _{11,76 miljoen m}3_.

c. De vermenigvuldigingsfactor is _{1, 40}2 _{1,96. Het waterverbruik is met 96% gestegen.}

d. t 13 invullen: _{W 6 1, 40 } 13 _{476,2 miljoen m}3_.

p

p%

g 1

100

q

q%

g 1

100





 





 

1. a. _{t 0 : H 2 0,89  } 0 _{  2 1 2} g b. g 0,89  p (1 0,89) 100 11%    c. _{t 3 : H 2 0,89  } 3 _1,41g d. _{2 0,89} t_1 Voer in: x 1

y  2 0,89 _en y2 1 en dan met 2nd trace (calc) optie 5 (intersect): x 5,95

Na 6 dagen zit er minder dan 1 g lucht in de band.

2.

a. Als de groeifactor groter is dan 1 is de grafiek stijgend (f en g). Is 0 g 1  _{, dan is er sprake} van een procentuele daling en dus van een dalende grafiek (h, k en m).

b. De lijn y 0 _{is de horizontale asymptoot.} c. f bestaat voor alle waarden van x.

d. f(x) 0 _{voor alle waarden van x.}

e. Voor de andere vier functies geldt hetzelfde als voor f.

3.

a. De grafieken van f en k zijn stijgend. b. De grafieken van g en k gaan door (0, 1). c. D : ¡h en B : 0,h

d. De grafieken staan hiernaast. Alle grafieken hebben dezelfde horizontale asymptoot: y 0 _.

4. f gaat door (0, 21₂) en elke keer als de x-waarde 1 groter wordt, verdubbelt de functiewaarde:

x 1 2

f(x) 2 2  _{. De grafiek van g snijdt de y-as in (0, 15) en (1, 5). De groeifactor is}

5 1

15 3: g(x) 15 ( )  13 x h gaat door de punten (-1, 5) en (0, 25). Met andere woorden: de

beginwaarde is 25 en de groeifactor 5: _{h(x) 25 5 } x _{En tot slot gaat de grafiek van k}

door (1, 15) en (2, 5). De groeifactor is gelijk aan die van g en de beginwaarde is 15 3 45  :

x 1 3 k(x) 45 ( )  _. 5. a.

b. Voor het snijpunt met de verticale as geldt

0

x 0 : f(0) 4 3 0,6    7

c. De horizontale asymptoot kun je vinden door hele grote (positieve of negatieve) waarden voor x te nemen. Als x heel groot wordt nadert 0,6x _{naar 0 en daarmee de functiewaarde}

naar 4. De horizontale asymptoot is dan: y 4 _.

x y 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 x y 5 10 15 20 25 -5 -10 -15 -20 5 10 15 20 25 30 f h g k

6.

a. 3260 0,53 3217 0,53 179 0,53

De groeifactoren zijn vrijwel gelijk en kleiner dan 1, dus er is sprake van een exponentiële afname.

b. T(5) 51,8 T(10) 36,9 _en T(15) 29,0 _{: klopt.} c./d. T 20 : op den duur wordt de koffie 20o_C.

7.

a. _{a 0 : N 60 (1 0,64 ) 0   } 0 _{ Op een gebied van 0 km}2 _{komen 0 diersoorten voor.}

b. De grafiek heeft een horizontale asymptoot: N 60

c. Hoe groot het gebied ook wordt, er zullen niet meer dan 60 diersoorten voorkomen. d. N 30

Voer in: x

1

y 60 (1 0,64 )  en y2 30 intersect: x 1,55

e. vermoedelijk niet. Ik verwacht in grote gebieden wel meer dan 60 diersoorten.

8. a. t 0 : N(0) 1000 2   0 1000 1 1000  bacteriën. b. ₂0 _1 c. Om 11.00 uur waren er 1000 2 500 bacteriën. d. 1 1 2 2 _ e. f. 22  14 en 23  81 9. a. 1 1 7 7 _ b. 52 ₅12 ₂₅1  _{ } c. (0,4)2  _(0,4)1 2 6₄1 d. ( )₃1 2 (3 ) 1 2 32 9 10.

a. Je moet de hoeveelheid elke keer met 10 vermenigvuldigen. Na 7 dagen heb je dus met

7

10 10 10 10 10 10 10 10       vermenigvuldigd.

b. Als de groeifactor per halve dag 5 is, dan heb je de hoeveelheid na twee halve dagen (een dag) vermenigvuldigd met 5 5 25  en niet met 10.

c. Als de groeifactor per halve dag g is, dan moet gelden: g g 10  En: 3 3 9 en 4 4 16    _{. Dus g ligt tussen 3 en 4.}

11.

a.

b. k 202₆₄ 3,16 k 360₁₁₄ 3,16 k 640₂₀₂ 3,17 k 1137₃₆₀ 3,16 k2022₆₄₀ 3,16_… p 1,778

c./d. Als k de groeifactor per 2 jaar is, dan is k2 _{de groeifactor per 4 jaar. Er geldt: k}2 _10

en dus ook 1 2

k 10 .

e. p4 _{is de groeifactor per 4 jaar en die is 10.}

tijd temperatuur verschil

0 80 60 5 52 32 10 37 17 15 29 9 20 t -3 -2 -1 0 1 2 N 125 250 500 1000 2000 4000 t in jaren 0 1 2 3 4 5 6 7 8 G in kb 64 114 202 360 640 1137 2022 3595 6392

12. a. 21 half uur g 5  5 _b. 1 4 4 kwartier g 5  5 c. gdag 524 13. a. de hoeveelheid op tijdstip –2: 32  ₃12  ₉1 b. de hoeveelheid op tijdstip –1: _(0,5)1 _2 c. de hoeveelheid op tijdstip –2: 122 ₁₂12 ₁₄₄1

d. de groeifactor per 31 tijdseenheid: 3125 5

e. de groeifactor per 15 tijdseenheid: 532 2

f. 251_100_251 _100_100_{25 }4 14. a. g10 jaar 14,9_14,1 1,0567 1 10 jaar g 1,0567 1,0055 g3 jaar 1,00553 1,0167

b. B(t) 14,1 10 1, 0167  6 t met t de tijd in jaren. 1965: B( 15) 14,1 10 1, 0167_{  } 6_ 15 _11,0 10_ 6 2007: B(27) 14,1 10 1,0167  6 27 22,0 10 6 2010: B(30) 14,1 10 1,0167  6 30 23,2 10 6

15.

a. De groeifactor per maand is 1,3. Per maand moet je de hoeveelheid met 1,3 vermenigvuldigen. Na een half jaar heb je dan 6 keer met 1,3 vermenigvuldigd. En _{1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3 1,3     } 6

Na een jaar heb je dan 12 keer met 1,3 vermenigvuldigd; dus met 1,312_.

b. Als de groeifactor per half jaar 1,36 _{is, dan is de groeifactor per jaar (twee halve jaren)}

6 6 6 2 12

(1,3) (1,3) ((1,3) ) (1,3)

c. Na 5 maanden (eerst 2 en daarna 3 maanden) heb je vermenigvuldigd met eerst 1,32 _{en daarna}

met 1,33_{. Dus 1,3 1,3}2_ 3 _1,35 16. a. _{(2 3)} 4 _{(2 3) (2 3) (2 3) (2 3) 2 3       } 4_ 4 b. 3 : 36 2 3₂6 3 3 3 3 3 3 34 3 3 3          c. 4 3 4 4 4 3 5 5 5 5 4 4 4 43 ( ) 5 5 5 5          17. a. _{2 2}4 _ 7 _24 7 _211 _e. 3 3 3 3 0 5 5 5 5 1     _{h. (3 x )} 3 2 _{3 (x )}2_ 3 2 _{ 9 x}6 b. _{2 : 2}3 2 _23 2 _25 _{f. 2 5}x_ x _{(2 5)} x _10x _{i. ((y ) )}2 3 4 _{(y )}6 4 _y24 c. (3 )4 5_34 5 _320 _{g. g g}2_ 4 _g2 4 _g6 _j. 5 2 27 5 2 3 9 (27x ) : (9x )_{ }x  _3x d. (5 4) 2 5 42 2

18. a. _{20 : 20}20 4 _2020 4 _2016 _d. 1 1 1 2x 2 2x 2 x2 x 36 (6 ) 6  6 b. 1 3 2 9 ...  e. 1,831,83 1,8 3 3 1,80 1 c. _{3 3}4_ 7 _34 7 _311 _f. 3x 1 3x 1 1 3 x 1 x 2 2  _2 _2 _2 _(2 ) _{ }8 19.

a. De groeifactor per 4 tijdseenheden is 324090 36. De groeifactor per tijdseenheid

1 4

36 2, 45 b. De hoeveelheid op tijdstip t 0 is 90 2,5₃₆  _{. H 2,5 2, 45 } t

20.

a. De groeifactor per 20 jaar is g20 1,70. b. g (1,70) 201 1,0269

c. 2,69% toename per jaar.

21.

a. Een toename met 60% betekent dat de groeifactor per etmaal (24 uur) 1,60 is.

1 24 24 8 8 g 1,60 g (1,60) 1,02 g (1,02) 1,1696     

Een toename van bijna 17% per 8 uur.

b. Een afname met 5% betekent dat de groeifactor per 15 jaar 1 0,05 0,95  is.

1 15 15 25 25 g 0,95 g (0,95) 0,997 g (0,997) 0,918     

Dat betekent dus: 100% 91,8% 8,2%  _{afname per 25 jaar.} c. Een rente van 1,15% per maand betekent dat de groeifactor per maand 1,0115 is.

12 12

g (1,0115) 1,147 Een rentepercentage van 14,7% per jaar.

22.

a. De beginwaarde is 1 en de groeifactor per 37 uur is 2.

1 37 37 24 24 t g 2 g 2 1,019 g 1,018 1,568 B 1 1,568       

Als B het bladoppervlak in km2 _{is, wordt de formule: B 1,0 10 } 6_1,568t

b. De groeifactor per uur is ongeveer 1,0189 en de groeifactor per dag ongeveer 1,5677. c. B(t) 10

Voer in: y11,5677x en y2 10 intersect: x 5,12

Na 6 dagen is de hoeveelheid meer dan vertienvoudigd. d. _1,5677t _{12 10} 6

t 36,25

23. a. b. _{1000 0,995} x _850 Voer in: x 1 y 1000 0,995 _en y2 850. Dan

vervolgens met 2nd _{trace (calc) optie 5 (intersect):}

x 32, 4

c. Het luchtschip kan maximaal 32 dagen vliegen.

24. a. Voer in: x 1 y  5 1,4 en x 2 y 3 intersect: x 2,11 b. Voer in: y12,1x en y2  3 0,3x intersect: x 0,56

c. Voer in: x 1

y 0,7 en x 2

y 0,1 14 intersect: x 1,36

d. Voer in: y1 4 3x en y2 5x intersect: x 2,71 x 2,71

e. Voer in: x 1 y 10 en x 2 y 15 5 intersect: x 3,91 x 3,91 f. Voer in: x 1 1 y _3  _en 1 x 2 4 y  2 _intersect: x 1,39 x 1,39 25.

a. … ‘op den duur’ betekent voor hele grote waarden van t; dan wordt 0,95t _{vrijwel gelijk aan 0. De}

concentratie komt dan steeds dichter in de buurt van 50 mmol/dm3_.

b. Op tijdstip t 0 . De concentratie was toen 10 mmol/dm3. c. C 40 C 48 t 50 40 0,95 40 t 27     t 50 40 0,95 48 t 58, 4     d. De factor 0,95 moet dan kleiner worden.

26. a. 1 x 3 ( ) 9 _b. x 1 27 3  c. _(0,25)x _{16 d.} 1 x 7 ( ) 1 1 x 2 (3 ) 3 x 2  _   3 x 1 3 3 3 3 x 3      1 x 2 (4 ) 4 x 2  _   x 0 1 1 7 7 ( ) ( ) x 0   x 2 x 2 e. ₂t _(0,25)2 f. _(0,1)2t _100 g. _{32 2} t _{4 h. 3 (0,5)} t _24 4 t 1 1 4 16 2 2 2 t 4       1 2t 2 (10 ) 10 2t 2  _   5 t 2 2 2 2 5 t 2     t 1 t 3 (0,5) 8 (2 ) 2   t 1 t 3 t 3 i. _{14 4} t _{ 7 2}3t t 3t 1 2 t 3t 2 4 2 2 (2 ) 2 1 2t 3t t 1        t (in dagen) P 0 10 20 30 40 50 800 840 880 920 960 1000 0 10 20 30 40 50 t ( in minuten) C (in mmol/dm3) 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 -5

27.

a. De groeifactor per dag is 0,35. De groeifactor per uur 0,35241 0,957

t

P(t) 3 0,957 

b. P(24) 3 0,957  24 1,05 gram. Na de tweede injectie is de hoeveelheid 3,05 ml. c. Omdat de beginhoeveelheid na een injectie meer dan 3 ml bedraagt.

d. Van 24 uur tot 48 uur: _{P(t) 3, 05 0,957 } t _{Na 48 uur: P(t) 3,05 0,957 } 24 _1,0675

Van 48 uur tot 72 uur: P(t) 3, 0675 0,957  t Na 56 uur: P(8) 3, 0675 0,957  8 2,16 ml.

28.

a. Omdat je 0,2 niet als macht van 2 kunt schrijven, en 5 niet als macht van 2. b. Voer in: y1 5 2x en y2 0,2x intersect: x 0,70

29.

a. Ze zijn elkaars spiegelbeeld in de y-as.

b. 1 x 1 x x

2

g(x) ( )_{ }(2 ) _2

c. Je ziet dat bijvoorbeeld f(a) hetzelfde is, als g(-a).

Als de x-waarden tegengesteld zijn, zijn de functiewaarden gelijk.

Daarom zijn de grafieken elkaars spiegelbeeld. d. h(x) f(x) 2x

30.

a. _{g(x) 3 2 } x _{ 3 f(x). De functiewaarden van f (allemaal positief) worden met drie}

vermenigvuldigd. De grafiek van g ligt dus in z’n geheel boven die van f.

b. h(x) 3 2  x f(x) 3 . Als je de grafiek van f 3 omhoog schuift krijg je de grafiek van h. Ook deze hebben dus geen snijpunten.

31. a. -b. g(x) 8 2_{ } x _2 23_ x _2x 3 _f(x) 32. a. _{ } 1 2x _ 2_ 1 2x _ 2_ 2x _ 2 2x _ 2 f(x) 4 ( ) 2 (2 ) 2 2 2 g(x) b. x 3 x 3 1 1 x x 8 h(x) 6 2_{ }   _{ }6 2 _2 _{  }6 (2 ) _0,75 (0,5)_{ }k(x) 33. _{f(x) 4} 0,5(x 1) _40,5x 0,5 _40,5x_40,5 _{(2 )}2 0,5x_{ 2 2 2}x_ Beginhoeveelheid en groeifactor is 2. x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 -6 4 8 12 16 -4 f(x) g(x)

34.

a. _{ } 1 2 t _{ } 1 2_ 1 t _{  }1 1 1 t _{ }3 t

2 2 2 4 2 4

f(t) 3 ( ) 3 ( ) ( ) 3 (( ) ) 2  

g 2 1 _{dus de grafiek is stijgend.}

b. De beginhoeveelheid is de hoeveelheid op tijdstip 0: 1 2 1

2 4

f(0) 3 ( )    3 0,75

35.

a. fout. e. fout. h. fout. (zie d)

b. goed. f. fout. i. fout. (zie b)

c. goed. g. fout. j. goed.

d. goed.

36.

a. spiegelen in de x-as: de hele formule vermenigvuldigen met -1: g(x)_{  }5 1,5x 2

b. spiegelen in de y-as: de x in de formule vervangen door –x: _{h(x) 5 1,5 }  x 2

37.

a.

b. Voor hele grote waarden van t wordt _0,8t _vrijwel

gelijk aan 0 en nadert H naar 8 m.

c. 56 : t 3,797 tot t 5,614  : ongeveer 1,8 jaar

  

6 7 : t 5,614 tot t 8,72: ongeveer 3,1 jaar d. H 8 7 0,8   121t

e. Het is bijna niet waarneembaar hoeveel een boom per maand groeit.

38. De opgave is mij niet helemaal duidelijk.

a. D : 1 99 100 ml2   D3 100 9900 10.000 ml 10 l   D4 10 990 1000 liter 

b. 100 100 100 1.000.000   schokken. c.

d. 1 ml is na twee keer verdund tot (1 9) 9 10 100 ml    _{en dit mengsel heeft 100 schokken} ondergaan.

39.

a. 1,751,651,06 1,861,75 1,06 2,071,86 1,11 2,302,07 1,11 2,522,30 1,10 3,022,52 1,20 3,70

3,02 1,23 4,453,70 1,20 5,304,45 1,19

b. Vanaf 1950 is de groeifactor enigszins gelijk, dus de groei exponentieel.

t

A 2,52 1,20  met t de tijd per 10 jaar en t 0 in 1950

c. Het gemiddelde van de 9 groeifactoren is 1,14 _{A 1,65 1,14 } t

d. _{A 2,52 1,20 } 10 _{15,60 en A 1,65 1,14 } 15 _11,78 t (in jaren) h (in m) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 sterkte D1 D2 D3 D4 D5 D6 verdund tot … ml 100 10.000 1.000.000 1004 ₁₀₀5 ₁₀₀6 aantal schokken 100 1002 ₁₀₀3 ₁₀₀4 ₁₀₀5 ₁₀₀6

40.

a. In de eerste jaren is de boom nog klein en levert dus geen hout op.

b.

c. HW is maximaal 47,38 voor t 24,3 _jaar

d. Als r groter wordt, wordt de macht van 2,7 kleiner (groter negatief). Dan gaat de term 2,7-rt _eerder

naar 0 voor toenemende t-waarden. De top ligt dan eerder.

e. Voer in: y12,7{ 0.06, 0.07, 0,08}x   (12x 90)

De uiterste waarden liggen lager.

41.

a. 15 1,3 19,5  gram na een succesvolle jacht.

b. Verhongering bij een gewicht van 15 0,78 11,7  gram c. In de tweede nacht na de jacht.

d. b 0a 130 en b 60a 78

Uit de eerste vergelijking volgt: a 130b . Dit invullen in de tweede vergelijking: 130b ₇₈ b 60 130b 78(b 60) 78b 4680 52b 4680 b 90 a 130 90 11.700            e. E(0) 76 b g   0 76 b 130  b 54 1 60 60 60 60 E(60) 76 54 g 78 54 g 2 g 0,037 g 0,037 0,95          t (in jaren) HW 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 -5 10 20 30 40 50 60 -10

T_1.

a. De kamertemperatuur is 20o_{C. Als de kop chocolademelk namelijk heel lang staat (hele grote}

waarden van t) zal de temperatuur van de chocola en de kamer gelijk worden.

t

C 20 40 0,75   , een afname van 25% per minuut. b. _{S 20 40 0,95  } 0 _{20 40 1 60  }

c. 20 is de kamertemperatuur en 40 het verschil tussen de temperatuur van de soep/chocolademelk en van de kamer op tijdstip t 0 .

d. Op den duur zal de temperatuur van de soep/chocolademelk gelijk worden aan die van de kamer.

e.

-T_2.

a. Na 3 halve uren later: _{H 3100 1,90 } 3 _{21263 bacteriën.}

b. _{H 3100 1,90 } t

c. Als het toen ook al exponentieel groeide: _{H 3100 1,90 } 1 _{1632 bacteriën.}

d. _{H 3100 1,90 } 0,5 _{4273 bacteriën.} T_3. a. 1 1 4 4 _ 5 5 1 1 32 2 2 _{ } 4 4 1 1 25 ( 5) ( 5) _{ } b. 6 6 1 1 64 2 2    1 1 2 22 5 5 32 2 (2 ) 2 3 3 1 1 125 5 5    1 3 3_{5 5} 1 1₂ 2 4 2 0,25_{  }2 T_4. a. g37 jaar 3 g 3 371 1,03 b. In 1960: _{B 98 500 1,03 } 10 _{132 376} c. _{B 98 500 1,03 } t _{197 000} Voer in: x 1 y 98500 1,03 en y2 197000 intersect: x 23, 4 jaar.

Na bijna 23,5 jaar is de bevolkingsgrootte verdubbeld.

T_5.

a. De groeifactor per vier jaar is 486 8. De groeifactor per jaar

1 4

8 1,68 b. Na 01.01.1987 is dat 2,5 jaar: _{P 6 1,68 } 2,5 _22%

c. _{P 6 1,68 } t _90

Voer in: y1 6 1,68x en y2 90 intersect: x 5,22

T_5.

a. Per 3 tijdseenheden is de hoeveelheid ver-3-voudigd. Weer 3 tijdseenheden later is H 36 b. _g3 _{3 punt invullen: 4 b 1,44 } 2 _{2,08 b} 1 3 t g 3 1,44 H b 1,44     t b 1,92 H 1,92 1,44    T_6.

a. De groeifactor per meter is 0,90. De lichtsterkte op een diepte van 5 meter is dan

5

L 100 0,90  59% en op en diepte van 10 meter L 100 0,90  10 35% b. _{L(d) 100 0,90 } d

c. L(d) 50

Voer in: y1100 0,90 x en y2 50 intersect: x 6,58 meter.

T_7. a. 25 5 x  ₁₂₅1 _{b. 16}x _{8 c. 0,25}x 3 _162 2x 3 2 x 1 3 5 2 x 3 5 5 5 5 5 2 x 3 x 5             4 x 4x 3 3 4 (2 ) 2 2 4x 3 x     2 x 3 4 2 2x 2x 6 8 8x 2 10 (2 ) (2 ) 2 2 2x 6 8 8x x               d. ( ) ₃1 x ₉1 x 2 3 3 x 2  _   T_8. a. _{N(0) 4,32 1,44 } 1_{3 en N(1) 4,32 1, 44 } 0,5 _3,6

De groeifactor per uur is 3,6₃ 1,2.

b. De beginwaarde is de hoeveelheid op tijdstip 0, dus b 3 en g 1,2  _.

T_9.

a. S(m) 2,2 0,97  m b. S(m) 1,8

Voer in: y12,2 0,95 x en y2 1,8 intersect: x 3,91

m 3,91

c. 3,91 maand is elke 117 dagen moet de band opgepompt worden, er vanuit gaande dat elke maand 30 dagen telt.

d. 3020 m m

B

S (m) 2,3 (0,98 )  2,3 0,97 met m de tijd in maanden.

B

S (m) 1,9

Voer in: y12,3 0,97 x en y2 1,9 intersect: x 6,27