Hoofdstuk 3:
De afgeleide functie.
V_1.a. Voer in: 3 1
y x x 1 Zero: x 0,68
b. Voer in: y2 2x 5 Intersect: x 0,89 (0,89; 2,60)
V_2. a. exact: 6p 8 9p 7(5 p) 3 4 6p 8 9p 35 7p 4p 27 p 6 b. rekenmachine: x 2,32 x 2,84 c. exact: t2 8t 12 0 ABC formule x 6 x 2 d. rekenmachine: geen oplossing. V_3. a. 17x 23 9 (4x 14) b. 0,05t 1, 45(t 2) 1,75t 2,20 17x 23 9 4x 14 21x 0 x 0 0,05t 1, 45t 2,90 1,75t 2,20 0,25t 5,10 t 20, 4 c. 100p 5(12 16p) 15(2p 7) 75 d. 6t 3(7t 1) 0 3 5 100p 60 80p 30p 105 75 150p 90 p 1 9 6t 21t 3 0 27t 3 t e. A2100A 900 0 f. 50t2 900t 2000 g. 10x212x 3 0 ABC formule A 10 A 90 2 ABC formule 50t 900t 2000 0 12 24 12 24 20 20 ABC formule x x t 20 t 2 h. 3q26q 1 2 6 48 6 48 6 6 ABC formule 3q 6q 1 0 x x V_4. a. H(p) p(p 2)(p 3) p(p 2 p 6) p 3p26p b. 1. f(x) x(2x 4)(x 6) x(2x 28x 24) 2x 3 8x224x 2. A(t) 3t(7 t)(4t 1) 3t( 4t 2 27t 7) 12t381t221t 3. U(n) 5n(3n 8) 2 5n(9n2 48n 64) 45n 3240n2320n 4. g(x) x(x24)(7x 5) x(7x35x2 28x 20) 7x4 5x328x220x
V_5. a. x(2x 7)(x 4) 0 1 2 x 0 2x 7 0 x 4 0 x 0 x 3 x 4 b. f(x) x(2x 7)(x 4) x(2x 2 x 28) 2x3x2 28x c. d. Voer in: 3 2 1 y 2x x 28x en y2 20 Intersect: x 3,03 x 0,77 x 4,30 V_6.
a. Van de blauwe dalende lijn (het hellingsgetal is -7).
b. De grafiek wordt 45 naar beneden geschoven. Hij gaat dan door (0, -10). De helling blijft gelijk. c. De grafiek wordt dan stijgend en gaat nog wel door het punt (0, 35).
d. l(x) 5x 10
V_7.
a. y 11 5 6 en x 2 4 2. Het hellingsgetal is gelijk aan y 6 3
x 2 b. f(2) 11 3 2 b 11 b 11 6 17 c. f(x) 3x 17 en f(4) 3 4 17 5 : klopt.
d. y ax b De lijn gaat o.a. door (1, 9):
1 2 1 2 y 11 9 2 a x 5 1 4 y x b 1 2 1 2 1 b 9 b 8 1 1 2 2 y x 8 1.
a. Vanaf t 0 loopt de grafiek even vrijwel horizontaal en begint dan steeds sneller te stijgen. b. gemiddelde snelheid[2, 5]31 55 2 8,7m/s.
c. gemiddelde snelheid[2, 3]11 53 2 m/s.6
d. De snelheid op dat moment.
e. De helling van de raaklijn is 30 07 1 5. De snelheid van de auto op tijdstip t 2 is 5 m/s.
2. a. b. 12 1 2 s(4 ) s(4) 25,3 20 s t 4 4 0,5 10,625 x y 5 -5 50 -50 t 0 1 2 3 4 5 6 s(t) 0 1,25 5 11,25 20 31,25 45
c. st s(4,01) s(4)4,01 4 10,0125 st s(4,001) s(4)4,001 4 10,00125
d./e. Hoe kleiner het interval des te nauwkeuriger de benadering. Dus op het interval
4;4,0001
. f. De helling in (4, 20) is 10.g. Die ligt nog dichter bij 10. 3. a. Op het interval
4;4,001
is f (4,001)3 43 48,012 x 0,001 . De helling in (4, 64) is 48. b. Op het interval
4;4,001
is g 4,001 4 0,24998 x 0,001 . Het differentiaalquotiënt is 0,25. 4. a. Voer in: 2 1y x en y2 nDeriv(y , x, x)1 nDeriv staat bij math optie 8 Kijk in de tabel: voor x 2 geldt dy 4
dx . b. Voor x 0 .
c.
d. De helling voor x 17 is 34 en voor x 3 21 is die 7.
e. dxdy 2x 5. a. f'(x) 2x b. f'( 5) 10 c. f'(x) 7 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 4 2x 7 x 3 (3 , (3 ) ) (3 , 12 ) 6. a. dA 2pdp b. dA (2,9) 2 2,9 5,8dp 7.
a. De grafiek van s is een rechte lijn.
b. De helling in elk punt is gelijk aan de helling van de lijn: 5
c. s'(t) 5
d. De grafiek van w is een horizontale lijn op hoogte 3. De helling daarvan is 0: w'(t) 0
x -2 -1 0 1 2 3 4 5
dy
8. a. b. W'(p) 10p c. W'(2,7) 10 2,7 27 9. a./c. b. De helling voor p 0 is 0.
c. De waarden van H(p) zijn 3 keer zo klein als die van de hellingen. d. K'(p) 3 p 2 e. K'(10) 3 10 2 300 f. K'(p) 75 2 2 3 p 75 p 25 p 5 p 5 ( 5, 125) en (5, 125) 10.
a. Voer in: y1 x4, y2 nDeriv(y , x, x)1 en y3 4x3 en ga na dat de kolommen onder y2 en y3 gelijk zijn. b. c. g'(x) 10x 9 11. a. f'(r) 9r 8 b. dA 8tdt 7 12.
a. De grafiek van f moet 5 omhoog verschoven worden. b. De hellingen veranderen niet, dus ook 6.
c. De helling van de grafiek van g is gelijk aan die van f in x 1,5
f'(x) 2x f'( 1,5) 3 g'( 1,5) d. g'(x) 2x e. h'(x) 6x 5 x -2 -1 0 1 2 3 4 5 helling -20 -10 0 10 20 30 40 50 p -2 -1 0 1 2 3 4 5 K(p)=p3 -8 -1 0 1 8 27 64 125 K’(p) 12 3 1E-6 3 12 27 48 75 H(p)=p2 4 1 0 1 4 9 16 25 functie f(x) x f(x) x 2 f(x) x 3 f(x) x 4 f(x) x 5 afgeleide f'(x) 1 f'(x) 2x f'(x) 3x 2 f'(x) 4x 3 f'(x) 5x 4
13. a. f'(x) 2x : kolom y2. c. g'(x) 5 2x 10x b. y4 5 y2 d. h'(x) 3 4x 3 12x3 14. a. f'(x) 20 3x 2 60x2 c. A'(p) 23 b. F'(t) 15 6t 5 90t5 d. n'(x) 0,01 25x 24 0,25x24 15. a. ds 12t3 dt b. ds 3,5tdt 6 c. ds 0,9 dt 16. a. L(t) B(t) 2 2 0,0135t 60 60 0,05t 0,0135t 0,05t 0 0,0135t(t 3,70) 0 t 0 t 3,70
Na 3,70 maanden (ongeveer 111 dagen) is de plaat weer een vierkant. b. L'(t) 0,027t en B'(t) 0, 05
De plaat krimpt in de breedte op elk tijdstip met 0,05 cm/maand. Op tijdstip t 1 krimpt de
plaat in de lengte met 0,027 cm/maand (L'(1) 0,027). Dat is minder snel dan in de breedte.
c. L'(t) B'(t)
0,027t 0,05 t 1,85
Na ongeveer 56 dagen krimpt het met dezelfde snelheid. 17.
a. In de periode 30 – 45. b. zie plaatje hiernaast. c. t 15 : v 12,5 2515 2,5 m/s 50 60 t 40 : v 0,83m/s d. s(t) b(t) p(t) e. s'(t) b'(t) p'(t) 18. a. b. h'(x) x en k'(x) 3 c. f'(2) 5 2 3 klopt. h'(2) 2 en k'(2) 3 d. f'( 2) 1 2 3 klopt ook. e. f'(x) h'(x) k'(x) x 3 f. N'(t) 10t 7 x -2 -1 0 1 2 3 4 5 f(x) -4 -2,5 0 3,5 8 13,5 20 27,5 f'(x) 1 2 3 4 5 6 7 8
19. a. f'(x) 18x 28x 8 b. H'(p) 0,3p 97,2p51 c. K'(x) 35x 6 2ax 20. a. W(q) 6q 2 13q 8 W'(q) 12q 13 b. g(t) 5t 5 8t3 g'(t) 25t 4 24t2 c. O(p) p (2p 2 2 p 28) 2p 4p328p2 O'(p) 8p 33p256p 21.
a. Na 3,5 uur heeft ze s(3,5) 29,75 km afgelegd. Haar gemiddelde snelheid is 29,753,5 8,5 km/u.
b. s'(t) 3t 29t 12 s'(1) 6 en s'(2) 6
c. Na 1 uur en na 2 uur lopen liep ze met dezelfde snelheid. d. Haar snelheid was minimaal 5,25 km/u op tijdstip t 1,5 .
22. a. TW(20) 20 125 TK(20) 2500 1500 €1000, b. TO(q) 125 q c. TW(q) TO(q) TK(q) 125q (0,05q 3q225q 1000) 0,05q3q2100q 1000 d. TW'(q) 0,15q2 2q 100 ABC formule 2 1 3 TW'(q) 0 0,15q 2q 100 0 q 33 q 20
Voor q 33 31 is de winst maximaal.
23. a. f'(x) g'(x) 2 2 2 3 2x 3x 3x 2x 0 x(3x 2) 0 x 0 x
b. Voer in: y12x, y2 nDeriv(y , x, x)1 en y3 2x. Intersect: x 0, 485 x 3,212
24.
a. Na 5 seconden verandert de snelheid niet meer. Vanaf t 5 is de grafiek een rechte lijn.
b. v h 100 0 40
t 9,5 7
m/s Ongeveer met een snelheid van 40 m/s. c. 40m/s 40 3600 144
1000
25. a. h'(t) 9,8t en h'(3) 29, 4 m/s. b. Op h(3) 155,9 m. c. h(t) b 29,4t gaat door (3; 155,9) b 29, 4 3 155,9 b 244,1 h(t) 244,1 29, 4 t d. h(t) 0 244,1 29,4t 0 29,4t 244,1 t 8,3 s 26. a. f'(x) 3x 2 en f'(2) 12 b./c. y 12x b 8 12 2 b b 16 y 12x 16
d. Plot de grafiek van f. Met 2nd prgm (draw) optie 5 (tangent) en x 2 laat je de GRM de raaklijn tekenen en geeft hij ook de vergelijking ervan. Klopt.
27.
a. f'(x) 2x 3 De lijn gaat door het punt P(1, 1
2 2 ): f'(1) 2 y 2x b 1 2 1 2 2 2 1 b b 4 1 2 y 2x 4 b. f'( 1) 2 gaat door Q(-1, 1 2 2 ): 1 2 1 2 1 2 2 2 1 b b 4 y 2x 4
c. De grafiek is symmetrisch in de lijn x 0 . 28. a. A'(p) 3p 2 12p 15 A'(0) 15 y 15p b. p3 6p2 15p 15p 3 2 2 p 6p 0 p (p 6) 0 p 0 p 6 (0, 0) en (6, 90) 29.
a. xy f(2,001) f(2) 9,89 0,001 . De helling in (2, 9) is ongeveer 9,89. b. y 9,89x b 9 9,89 2 b b 10,78 y 9,89x 10,78
Controle op de GRM: Voer in y13x Plot de grafiek.
Met 2nd PRGM (draw) optie 5 (tangent) x 2
c. 9,89x 10,78 0 9,89x 10,78 x 1,09 (1,09; 0) 30. a. Na 3,5 s is de afgelegde weg 3,52 12,25 m. Z’n snelheid is op dat moment d'(3,5) 2 3,5 7 m/s.
d 7t b 12,25 7 3,5 b b 12,25 d 7t 12,25 b. 31. a. Voor x 0 en x 2 . b. 1 3 2 2 f'(x) x 7x 12x f'(0) 0 en f'(2) 0
c. Bijvoorbeeld: xMin 5, xMax 25, yMin 600 en yMax 100
d. Bij x 12 : f'(12) 0
e. Ja. Een vierde graads functie heeft maximaal 3 toppen, want een derdegraads functie (f’) heeft maximaal 3 nulpunten.
32. a.
b. Voor t 0,87 en t 4,30 heeft de functie een extreem.
c. N'(t) 3t 215,5t 11,22
N'(0,87) 0,0057 en N'(4,3) 0, 04 . Ze zouden gelijk
aan 0 moeten zijn. We hebben de exacte waarden niet gevonden. d. N'(t) 0 ABC formule 2 3t 15,5t 11,22 0 15,5 105,61 15,5 105,61 t 0,87 t 4,30 6 6 t (in seconden) d (in meters) 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 -5 t N 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 -5 -10 -15
33.
a. Voer in: y1(x 6) 1,5 x 2nd trace (calc) optie 3 (minimum): y 10,33
b. K'(x) 2x 104 K'(x) 0 2x 104 x 52 K(52) 2714
Het maximum is 2714 en wordt bereikt voor x 52 .
34. a. f'(x) 3x 2 10x 3 b. f'(x) 0 ABC formule 2 1 3 3x 10x 3 0 x x 3
c. De functie heeft een maximum van 12713 1, 48 voor x 31 en een minimum van –8 voor x 3 .
35. a. f'(x) 3x 2 3 b. K'(q) 12q 324q2 2 f'(x) 0 x 1 x 1 x 1 3 2 2 12q 24q 0 12q (q 2) 0 q 0 q 2
f heeft een maximum –2 voor x 1 K heeft geen uiterste waarde voor x 0
en een minimum –6 voor x 1 . En een minimum 0 voor x 2 . 36. a. I l b h 14 9 1 126 cm3 en 2 I 12 7 2 168 cm3. b. l 16 2x b 11 2x h x 2 3 2 I (16 2x)(11 2x)(x) (176 54x 4x )(x) 4x 54x 176x c. I'(x) 12x 2108x 176 ABC formule I'(x) 0 x 2,1 x 6,9
d. I is maximaal 168,54 cm3 voor x 2,1 cm. (I heeft een minimum voor x 6,9 )
37. Bij een instelling van bijvoorbeeld xMin 75, xMax 250, yMin 250000 en yMax 50000 is de grafiek redelijk goed in beeld en kun je de extremen bepalen.
ABC formule 2 f'(x) x 94x 600 f'(x) 0 x 6 x 100
De grafiek heeft een maximum van 1911 en een minimum van 19659123.
De laatste is natuurlijk effectiever omdat je dan weet waar je de extreme waarden moet gaan zoeken.
38. a. b. A'(t) 2t 2 c. A'(t) 32 A'(t) 0 t 0 2 2 2t 32 t 16 t 4 t 4 d. A'( 1 ) 4 21 21 1 2
y 4 t b . De grafiek gaat door het punt (
1 1 2 4 1 , 2 ) 1 1 1 4 2 2 1 2 2 4 1 b b 4 1 1 2 2 y 4 t 4 39. a. V(0) 10 2 2 40m3. b. V 0 2 1 60 2 1 60 1 60 1 60 10 (2 t) 0 (2 t) 0 2 t 0 t 2 t 120 minuten c.
d. De tank wordt geleegd; de hoeveelheid vloeistof neemt af; de grafiek daalt dus de helling is negatief.
e. In 120 minuten loopt er 40 m3 vloeistof uit de tank. Dat is dan 40 1
120 3 m3/min.
f. Op tijdstip t 0 . (de grafiek loopt daar ’t steilst.)
g. V 10 (2 601 t)2 10 (2 601 t) (2 601 t) 10 (4 604 t36001 t ) 402 32t3601 t2 h. V' 23 3602 t 2 2 1 3 360 3 2 1 360 3 t t t 60 40.
a. Hoe meer bescherming je wil, hoe hoger de kosten om je te beschermen tegen diefstal. De kosten bij een diefstalpoging kunnen nooit tot 0 teruggebracht worden.
b. Daarvoor worden de kosten veel te hoog. c. Veel te duur. d. S(x) B(x) 42000 800x 4x 20,1x3 ABC formule 2 2 3 S'(x) B'(x) 800 8x 0,3x S'(x) B'(x) 0 x 66 x 40 S(x) B(x) is minimaal 22800 voor x=40.
e. Als x 0 zijn de kosten €42000. Het bedrijf bespaart dus €19200.
t A 1 2 3 4 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 -5 -10 -15 -20 -25 -30 t (in minuten) V (in m3) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 -10 10 20 30 40 -10
41. a. 500 5 10 450 flessen. b. TO 450 20 €9000, c. p(t) 15 t d. TO(t) (500 10t)(15 t) 7500 350t 10t 2 e. TO'(t) 20t 350 TO'(t) 0 20t 350 t 17,5
f. Na 17 of 18 jaar is de totale opbrengst maximaal. 42.
a. Bij een prijs van €1,50 zijn er q 74 12 1,50 56 klanten en is TO 56 1,50 €84,
b. TO q p (74 12p) p 74p 12p 2 TO' 74 24p TO' 0 24p 74 p 3,08
Bij een prijs van €3,08 is de totale opbrengst maximaal. c. q 86 24 1,502 6 2 56, klopt. d. TO q p (86 24 p 6 t) p 86p 24p2 6pt t t e./f. TO 86p 24p2 6p 4 62p 6p2 4 TO' 62 12p TO' 0 12p 62 p 5,17
Bij een ritprijs van €5,17 (ritjes van 4 minuten) is de totale opbrengst maximaal €160,17. g. TO 86 3 24 32 6 3t 258 216 18t
t t
Voer in: y1258216x 18x 2nd trace (calc) optie 4 (maximum): x 3, 46 en y 133,29
Bij een rittijd van bijna 3,5 minuut is de totale opbrengst maximaal €133,29
t 0 1 2 3 t
prijs/fles 15 16 17 18 P(t) 15 t
T_1. a. r
4,001;4
3 4,001 6 0,75 t 0,001 cm/s. b. Opp r2 (1 3 t)2 c. O
4,001;4
(1 3 4,001)2 49 33 t 0,001 cm2/s. d. L 2 r dL 2 dr dt dt T_2. a. 5 4 7 dy x dx c. 13 dy 210x dx b. dy 2x3 dx d. 11 dy 1,44x dx T_3. a. f'(x) 0,2 2x 19 b. s'(t) 65t 4 18t2 c. H(p) (6p 13)(4 p) 6p2 37p 52 H'(p) 12p 37 d. Q(w) w(3w 5) 2w(9w230w 25) 9w 330w225w Q'(w) 27w 260w 25 e. A(q) q (3q 1) 5q 3q 2 3q25q A'(q) 9q 22q 5 f. g'(t) 15t 2 2at T_4. a. 1 1 2 1 3 2 2 2 2 f(x) x(x 2)(x 4) x(x 6x 8) x 3x 4x 2 1 2 f'(x) 1 x 6x 4 b. f'(2) 2 c. 1 2 f'(x) 1 y 2x b 0 2 2 b b 4 y 2x 4 ABC formule 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 x 6x 4 1 1 x 6x 2 (3x 12x 5) 0 x 0,47 x 3,53 T_5. a. f'(x) 12x3 60x2 3 2 2 12x 60x 12x (x 5) 0 x 0 x 5 b. Alleen bij x 5 is er een uiterste waarde. c. Het maximum is 650.
T_6.
a. Het produceren van 20 spellen kost TK(20) €1572, en van 100 spellen TK(100) €4500,
b. Er wordt winst gemaakt als de opbrengst (TO 40q ) groter is dan de kosten.
ABC formule 2 3 3 2 2 2 90q 0,6q 0,0015q 40q 0,0015q 0,6q 50q 0 q(0,0015q 0,6q 50) 0 q 0 0,0015q 0,6q 50 0 q 0 q 118, 4 q 281,6
(mag ook met GRM!)
Vanaf 119 spellen tot en met 281 spellen wordt er winst gemaakt.
c. TK'(q) TO'(q) ABC formule 2 2 90 1,2q 0,0045q 40 0,0045q 1,2q 50 0 q 51,7 q 215,0
(mag ook met GRM!) d./e. Bij een productie van 215 spellen is de winst maximaal €2077,44 T_7.
a. s'(t) 3t 30 s'(0) 30 m/ s 108 km/u
b. s'(5) 15 m/s en s'(10) 0 m/s.
c. Na 10 seconden staat de auto stil. In die 10 seconden legt hij nog s(10) 150 m af. Hij staat
25 m voor het stoplicht stil. T_8.
a.
b. Er zijn twee raaklijnen door (0, 0).
c. De functiewaarden moeten aan elkaar gelijk zijn (raakpunt is een gemeenschappelijk punt) en in het raakpunt moeten de hellingen aam elkaar gelijk zijn. d. a f'(x) x 1 2 2 2x 4 f'(x) x x x x 2 2 1 2 2 1 2 2 x 4 x x x x 4 x 8 x 2 2 x 2 2 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1
T_9.
a. TK(6) 39,6 De totale kosten bij 6000 vazen zijn €
39600,-b. TK'(q) 0,3q 24q 15
c. De grafiek van TK’(q) ligt helemaal boven de horizontale as. Dat wil zeggen dat de afgeleide altijd positief is en dus dat de grafiek van TK altijd stijgend is.
d. TO(q) 17,5q
De winst kan berekend worden door: TO(q) TK(q) .
Voer in: 3 2
1
y 17,5x (0,1x 2x 15x) maximum: x 13,9
Bij een productie van 13931 vazen is de winst maximaal ongeveer € 152610,-T_10.
a. Nee, de grafieken kunnen precies boven elkaar liggen.
g(x) f(x) c
