Présentation

(1)

Le belge : une espèce en

voie de disparition ?

Un contexte démographique dans les

leçons de mathématiques.

(2)

Présentation

enseignement supérieur

académique non-universitaire, mathématiques dans le Bachelor

des sciences commerciales

agrégation mathématiques

revue Uitwiskeling pour les enseignants de mathématiques du secondaire en Flandre

(3)

Le belge : une espèce en voie de

disparition ?

(4)

Le belge : une espèce en voie de

disparition ?

Etudier l’évolution du

nombre d’habitants de

la Belgique.

(5)

De la réalité au modèle

mathématique

(6)

Fiche de travail 1 - données

• Population Belge par âge et sexe au 1 janvier 2003 • Probabilités de survie pour hommes et femmes

2000-2002

• Taux de fécondité par âge de la femme (Belgique, 1997 (!))

• PAS DE DONNEES SUR LA MIGRATION

- ne cadre pas dans le modèle mathématique - séparer

• l’évolution interne de la population • de la migration

éclaire le rôle du phénomène de la migration !

NOUS ETUDIONS L’EVOLUTION DE LA POPULATION BELGE ADMETTANT QUE ‘LA PORTE SOIT FERMEE’ !

(7)

Fiche de travail 1 – question 3

• dans quelle année ces garçons sont-ils nés? • quel est l’âge de leur mère ...?

• ... au moment de la naissance du garçon? • ... au 1 janvier 2003?

• tous les enfants ne sont pas des garçons!

• quelques-unes de ces femmes meurent entre le 1 janvier 2003 et ...

• quelques-uns de ces garçons meurent entre leur naissance et le 1 janvier 2009

(8)

Fiche de travail 1 – question 2

419

999 .

0

490

999 .

0

743

73 



nombre de femmes âgées de 35 ans au 1

janvier 2005

probabilité de survie d’une femme âgée de 34 ans probabilité de survie d’une femme âgée de 33 ans nombre de femmes âgées de 33 ans au 1 janvier 2003

(9)

Fiche de travail 1 – question 3

un garçon âgé de 3 ans au 1 janvier 2009 est né en 2005 (!)

sa mère avait 15, 16, 17, … ou 49 ans au 1 janvier 2005 sa mère avait 13, 14, 15, … ou 47 ans au 1 janvier 2003

il y a des garçons qui meurent entre 2005 et 2009 il y a des femmes qui meurent entre 2003 en 2005

(10)

Fiche de travail 1 – question 3

848

999 .

0

778

999 .

0

297

61 



0008

.

0 ...



245

54

076

57

076

57 ...





nombre de femmes âgées de 15 ans au 1 janvier 2005

...



567

999 .

0

868

998 .

0

760

995 .

0 ...



nombre d’enfants nés d’une femme ayant 15 ans en 2005(?)

nombre de garçons nés d’une femme ayant 15 ans en 2005

nombre de garçons ayant 3 ans au 1 janvier 2009 et qui sont nés d’une femme ayant

15 ans au 1 janvier 2005

nombre de garçons nés d’une femme ayant 16, 17,

(11)

Fiche de travail 1 – question 4

• Nous travaillons toujours avec les mêmes probabilités de survie et les mêmes taux de fécondité. En réalité ces données ne sont pas constantes (L’ INS fait des projections basées sur l’évolution des probabilités de survie et des taux de fécondité dans le passé !)

(12)

Fiche de travail 2 - introduction

• classes d’âge de 20 années • plus de distinction entre

hommes et femmes

• probalitités de survie et taux de fécondité arrondis à 2 décimales

Âge 1 janvier 2003 _féconditétaux de probalilité _{de survie} 0-19 2 407 368 0.43 0.98 20-39 2 842 947 0.34 0.96 40-59 2 853 329 0.01 0.83 60-79 1 840 102 0 0.30 80-99 410 944 0 0 TOTAL 10 354 690 • évolution de la population par intervalles de 20

années (le temps qui est nécessaire pour avancer d’une classe d’âge)

• calculs selon les mêmes principes, mais moins étendus

(13)

Fiche de travail 2 – question 1

0.43 = le nombre d’enfants par personne

(homme/femme !) dans la première classe

pendant une période de 20 ans

l’ âge des parents est entre 0 (?) et 40 (!) ans

0.98 = la probabilité qu’une personne

appartenant à la première classe survive une

période de 20 ans

(14)

Fiche de travail 2 – question 2

Âge 1 janvier 2003 1 janvier ₂₀₂₃ _féconditétaux de probabilité _{de survie} 0-19 2 407 368 2 030 304 0.43 0.98 20-39 2 842 947 2 359 221 0.34 0.96 40-59 2 853 329 2 729 229 0.01 0.83 60-79 1 840 102 2 368 263 0 0.30 80-99 410 944 552 030 0 0 TOTAL 10 354 690

en deux étapes: d’abord 2023 ...

 0.98  0.96  0.83  0.30

(15)

Fiche de travail 2 – question 2

Âge 1 janvier 2003 1 janvier ₂₀₂₃ _féconditétaux de probabilité _{de survie} 0-19 2 407 368 2 030 304 0.43 0.98 20-39 2 842 947 2 359 221 0.34 0.96 40-59 2 853 329 2 729 229 0.01 0.83 60-79 1 840 102 2 368 263 0 0.30

80-99 410 944 552 030 0 0

en deux étapes: d’abord 2023 ...

 0.34  0.01  0.43

(16)

Fiche de travail 2 – question 2

Âge 1 janvier 2003 1 janvier ₂₀₂₃ 1 janvier ₂₀₄₃ 0-19 2 407 368 2 030 304 1 702 458 20-39 2 842 947 2 359 221 1 989 697 40-59 2 853 329 2 729 229 2 264 852 60-79 1 840 102 2 368 263 2 265 260 80-99 410 944 552 030 710 479 TOTAL 10 354 690 10 039 047 8 932 746

(17)

Fiche de travail 2 – question 3

Taux de dépendance

2003 0.82

(18)

Un outil mathématique plus évolué

V

IV

III

II

I

0

30 .

0

83 .

0

96 .

0

98 .

0

01 .

0

34 .

0

43 .

0 V

IV

III

II

I

à

L

de















taux de fécondité















944

410

102

840

1

329

853

2

947

842

2

368

407

2

0

X

population au

1 janvier 2003

matrice de

Leslie

(19)

Un outil mathématique plus évolué

                                                            944 410 102 840 1 329 853 2 947 842 2 368 407 2 0 30 . 0 0 0 0 0 0 83 . 0 0 0 0 0 0 96 . 0 0 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0 102 840 1 30 . 0 329 853 2 83 . 0 947 842 2 96 . 0 368 407 2 98 . 0 329 853 2 01 . 0 947 842 2 34 . 0 368 407 2 43 . 0

2003

2023

329 853 2 01 . 0 947 842 2 34 . 0 368 407 2 43 . 0      368 407 2 98 . 0  947 842 2 96 . 0  329 853 2 83 . 0  102 840 1 30 . 0 

(20)

Un outil mathématique plus évolué

de 2003 à 2023: X

₁

= L·X

₀

de 2023 à 2043: X

₂

= L·X

₁

de 2043 à 2063: X

₃

= L·X

₂

...

relation récursive: X

_n

= L·X

_n-1

= L·L·L·X

₀

= L

3

·X

0

relation explicite: X

_n

= L

n

·X

0

(21)

Deux observations

concernant l’évolution à

long terme

(22)

Première observation

à long terme: graphiques montrent une régularité commune y=a/x? décroissance exponentielle? ... passage du babyboom passage du babyboom passage du babyboom à ‘court’ terme

(23)

Première observation

Après … périodes I II III IV V 0 1 -15,7% -17,0% - 4,3% 28,7% 34,3% 2 -16,1% -15,7% -17,0% - 4,3% 28,7% 3 -15,9% -16,1% -15,7% -17,0% -4,3% 4 -16,0% -15,9% -16,1% -15,7% -17,0%

taux de croissance: à long terme, le nombre de personnes _{dans chaque classe diminue de 16%}

(24)

Première observation

à long terme: le nombre de personnes dans chaque classe et la population totale = ...·0.84t (t = temps, en

unités de 20 ans)

à long terme: (dé)croissance exponentielle

0.84 = taux de croissance à long terme (sur périodes de 20 ans)

(25)

Première observation

Extrapolation (sans migration !) des caractéristiques actuelles, donne une décroissance relativement

rapide de la population !

Néanmoins: ‘grossir’ les caractéristiques de la société actuelle; si nous avions fait l’exercice Ce n’est pas une prédiction réaliste (migration pas prise en compte, taux de fécondité et

probabilité de survie ne seront pas constants, ...) !

(26)

Deuxième observation

après ...

périodes 0-19 (I) 20-39 (II) 40-59 (III) 60-79 (IV) 80-99 (V) 0 23.25% 27.46% 27.56% 17.77% 3.97% 1 20.22% 23.50% 27.19% 23.59% 5.50% 2 19.06% 22.27% 25.35% 25.36% 7.95% 3 18.91% 22.04% 25.24% 24.84% 8.98% 4 18.91% 22.07% 25.20% 24.95% 8.87% 5 18.91% 22.06% 25.22% 24.90% 8.91% 6 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.89% 7 18.91% 22.06% 25.22% 24.91% 8.90% 8 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.90% 9 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90% 10 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90% à long terme la distribution d’âges atteint un équilibre distribution d’âges équilibrée

(27)

La deuxième observation est une conséquence

de la première

à long terme:

le nombre de personnes dans chaque classe diminue du même pourcentage



l’importance relative des classes ne change pas à court terme:

le nombre de personnes dans chaque classe diminue/augmente de pourcentages différents

(28)

Une conséquence de la deuxième observation

le taux de dépendance ne continuera pas à

augmenter, mais s’équilibrera:

11 .

1 %

2 .

25 %

1 .

22 %

9 .

8 %

9 .

24 %

9 .

18 



(29)

Conclusion

Si les taux de fécondité et les probabilités de survie restent constants (!) et si il n’y a pas de migration, alors:

• le nombre de personnes dans chaque classe d’âge évolue selon une (dé)croissance exponentielle; le taux de croissance correspondant est appelé le

taux de croissance à long terme

• la distribution d’âge atteint un équilibre, appelé la

(30)

(31)

Déterminer la distribution

d’âges équilibrée

mathématiquement

(supposant que le taux de

croissance à long terme

(32)

Déterminer la distribution d’âges équilibrée

mathématiquement

à long terme: X_n  0.84·X_n-1, ou: X_n+1  0.84·X_n

cela implique: L·X_n  0.84·X_n si n est grand

il existe une distribution d’âges limite/équilibrée: première observation:

deuxième observation:

et l’approximation devient meilleure si n augmente

n n n

t

X

 

 lim

(33)

Déterminer la distribution d’âges équilibrée

mathématiquement

(1) la distribution d’âges équilibrée X satisfait le systéme lineaire L·X = 0.84·X

(2) ... et à la condition que la somme des éléments combiner les deux observations:

X X L t X t X L t X t X L X X L n n n n n n n n n n n n                 84 . 0 lim 84 . 0 lim 84 . 0 84 . 0

(34)

Condition (1)

                                                   E D C B A E D C B A 84 . 0 0 30 . 0 0 0 0 0 0 83 . 0 0 0 0 0 0 96 . 0 0 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0

la distribution d’âges équilibrée X satisfait le

système linéaire L·X = 0.84·X

E A 30 . 0 83 . 0 96 . 0 98 . 0 84 . 0 4     E B 30 . 0 83 . 0 96 . 0 84 . 0 3    E D 30 . 0 84 . 0  E C 30 . 0 83 . 0 84 . 0 2  

(35)

Condition (2)

trouver E tel que la somme des éléments

égale 1:

... 1891 . 0  A B  0.2206... C  0.2521... D  0.2491... ... 0889 . 0  E après ...

périodes 0-19 (I) 20-39 (II) 40-59 (III) 60-79 (IV) 80-99 (V)

... ... ... ... ... ...

(36)

Synthèse

Modèle de Leslie avec matrice de Leslie L et

taux de croissance à long terme  connu

distribution d’âges équilibrée X?

(1) satisfait le système linéaire L·X =



·X

(2) et la condition que la somme des éléments soit 1 (100%)

(37)

Déterminer le taux de

croissance à long terme

(38)

Déterminer le taux de croissance à

long terme mathématiquement

Le système linéaire L·X = 0.84·X a une infinité de solutions. Cette propriété est caractéristique pour le nombre 0.84.

Le taux de croissance à long terme est un nombre (positif)  pour lequel le système L·X = ·X a une infinité de solutions!

(39)

Déterminer le taux de croissance à

long terme mathématiquement

Le taux de croissance à long terme est un nombre (positif)  pour lequel le système L·X = ·X a une infinité de solutions!                                                    E D C B A E D C B A  0 30 . 0 0 0 0 0 0 83 . 0 0 0 0 0 0 96 . 0 0 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0 0 0 0 98 . 0 0 0 01 . 0 34 . 0 43 . 0 être doit                               0 30 . 0 0 83 . 0 0 96 . 0 0 98 . 0 0 01 . 0 34 . 0 ) 43 . 0 ( E D D C C B B A C B A     

(40)

Déterminer le taux de croissance à

long terme mathématiquement

det (L-I₅ ) = 0 _{le taux de croissance à long}

terme est le seul zéro positif de cette fonction

(41)

Synthèse

λ est une solution (l’unique solution positive)

de l’équation det(L-I

_n

) = 0

taux de croissance à long terme λ?

(42)

Valeurs et vecteurs

(43)

De l’example à la mathématique

• le taux de croissance à long terme est une

valeur propre de la matrice L

• la distribution d’âges équilibrée est un vecteur propre de la matrice L

Définitions

A une matrice de dimensions nn

• Un nombre λ est une valeur propre de A ssi det(A-λIn)=0.

(44)

Modèles de Leslie

Théorème (sous des conditions indulgentes)

(1) L a exactement une valeur propre strictement positive ₁

(2) Il existe un vecteur S, qui est vecteur propre de L avec valeur propre ₁ dont les composantes sont strictement positives et ont pour somme 1

(3) Pour chaque condition initiale X_n/t_n converge vers S (où t_n représente la population totale).

le taux de croissance à long terme

(45)

Expériences

• étudiants 2ième Ba Science Commerciales

à partir de la deuxième fiche de travail jusqu’à la fin + étude de valeurs et vecteur propres in

général

• élèves du secondaire pendant la ‘semaine des sciences’

du début jusqu’aux deux observations y compris le fichier de tableur et parfois aussi le calcul

mathématique de distribution d’âges équilibrée

(46)

Pourquoi?

• laisser éprouver aux élèves/étudiants que construire un modèle mathématique nous oblige à faire des approximations et des simplifications

• montrer que des concepts mathématiques

sont des outils (pas nécessairement en dehors de la mathématique)

(47)