H1: Functies en de rekenmachine

Hoofdstuk 1:

Functies en de rekenmachine.

a. Bij elke meter daling stijgt de temperatuur met 0,03o_{. T 18 0,03 d  }

b. 18 0,03 d 41   0,03 d 23 d 767 meter    V_2. a. Voer in: 2 1

y 2x  x 1 vars y-vars function y (1)1 enter 2nd enter en de 1 vervangen door 1₂

De grafiek van f gaat door de punten (1, 0) en (₂1_{, 0): de nulpunten van f.}

b. f(0) 1_.

c. De x-coördinaat van de top ligt precies tussen de nulpunten in; dus bij x  ₄1

1 1 4 8 1 1 4 8 f( ) 1 T( , 1 )    d. _2x2_{  x 1 3x 5} 2 2 2x 4x 6 2(x 2x 3) 2(x 3)(x 1) 0 x 3 x 1 (3, 14) en ( 1, 2)               e. f(x) g(x) voor   , 1 3, V_3.

a. De grafiek heeft een horizontale asymptoot y 3 _{en een}

verticale asymptoot x 0 . b. f(x) 0 2 3 2 3 x x   Nulpunt: 2 3 ( , 0)

c. Je mag x 0 niet invullen; delen door 0 is flauwekul!

d. f(x) 1003 2 1000 2 ₁₀₀₀ x x     2 1000 f(x) 1003 voor  ,0

e. Voor grote positieve/negatieve getallen van x komt de functiewaarden steeds dichter bij 3. V_4.

a. De grootste macht van x is 3. b.

c. Dat zijn de punten van f die op hoogte -1 liggen: f(x) 1

3 2 2 1 2 1 1 2 2 2x x x(2x 1) 0 x 0 x x 0 x 2 x 2              x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 12 14 16 -2 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 -2 -4 x y 1 2 -1 -2 1 2 3 4 5 -1 -2 -3

V_5. a. b. 2x 5 0  1 2 2x 5 x 2   c. 2x 5 5  2x 5 25 2x 30 x 15     d. h(x) 2 2x 5  e. f. k(x) 2 2x 5 4   V_6. a./b. c. Voer in: 2 1 y  1 x x

2nd _{tracé (calc) optie 2: (zero) x 1,5}

d. x 1,49

1.

a. Voer in: y1x24x xx 4x  b.

2.

a. formule invoeren en dan: zoom ZStandard

b. x-waarden instellen in het window en dan: zoom ZoomFit

x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 2 4 6 g h x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 2 4 -2 -4 x y 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 10 -2

3. a.

Bij de instelling van -2 tot 2 krijg je het beste beeld.

b. Met 2nd _{trace (calc) optie 3 (minimum) kun je de coördinaten van de top berekenen:}

(-0,25; -9,375). Met 2nd _{trace (calc) optie 2 (zero) de snijpunten van de grafiek met de x-as (de}

nulpunten): (-1,5; 0) en (1, 0). En met 2nd _{trace (calc) optie 1 (value) x 0 het snijpunt met de}

y-as: (0, -9).

c. Het verloop van de grafiek voor kleine waarden van x is nu erg onduidelijk. 4.

a. Met 2nd _{window (TBLset) kun je de tabel instellen:}

TblStart 2 en Tbl 1  _{(stapgrootte)}

b. Met 2nd _{trace (calc) optie 4 (maximum) kun je de}

coördinaten van de top berekenen: (1,5; 5,25) 5. a. b. met de x-as: x 8,07 met de y-as: (0, 4) Toppen: (0,15; 3,77) _en (5, 40; 90,44) 6. a. h(0) 166 _meter. b. h(a) 166 Voer in: 2 1

y 0,008x 1,8x 166 en y2 166 2nd tracé (calc) optie 5 (intersect): x 225 De torens staan 225 meter uit elkaar.

c. Bereken het minimum van h:

2nd _{trace (calc) optie 3 (minimum): x 112,5 en y 64,75 }

De kleinste afstand tussen de kabel en het wegdek is 29,75 meter en is op 112,5 meter vanaf de linker toren.

7.

a. De grafiek van een tweedegraads functie is een parabool. De getekende grafiek lijkt wel lineair, en heeft zeker geen minimum. b. Bijvoorbeeld: Xmin 10, Xmax 250, Xscl 10, Ymin   100

Ymax 50 en Yscl 10 

8. A is een gebroken functie; B is een kwadratische functie; C een machtsfunctie en D een wortelfunctie. x y 2 4 6 8 10 12 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 -1 -2 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 x y 1 2 3 4 -1 -2 2 4 6 -2 -4 -6 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 -2 -3 20 40 60 80 100 120 -20 -40 -60 -80 -100 x y 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10

9.

a. De grafieken van f en g hebben twee snijpunten: (0, 0) en (1, 1).

b. (-1, 1) (0, 0) (1, 1) 10.

a. De formules zijn lineair ofwel van de vorm: y a x b   _.

b. De formules zijn kwadratisch (tweedegraads functies). f en h zijn dalparabolen omdat het getal voor _x2 _{positief is en g is een bergparabool.}

c. rechte lijn: y x en parabool: _{y x} 2_.

11.

a. De grafiek is een bergparabool; een kwadratische functie. b. _{f(x) x(5 x) 5x x   } 2

c. f(x) 0 _{De x-coördinaat van de top ligt precies tussen de nulpunten:}

x(5 x) 0 x 0 x 5 (0, 0) en (5, 0)      1 2 1 1 1 2 2 4 1 1 2 4 x 2 y 2 2 6 T(2 , 6 )     12.

a. De grafiek lijkt op de grafiek van de standaardfunctie s(x) 1 x  _. b. De standaardgrafiek is 3 naar rechts en 4 omhoog verschoven. c. De standaardfunctie bij g(x) is _{s(x) x} 2_.

De coördinaten van de top van g zijn: (2, -3). De grafiek van de standaardfunctie is 2 naar rechts verschoven en 3 naar beneden.

13.

a. Dit zijn machtsfuncties.

b. In dit geval is n even, omdat de functiewaarden ook voor negatieve x-waarden positief zijn. c. De functiewaarden van x3 _{zijn groter.}

d. Voor 0 x 1  is _x11 _x12 _{en voor x 1 is het net} andersom.

14.

a. Voer in y1 (x 20)(x 30) 

Stel in het window de x-waarden in. Nulpunten

liggen bij x 20 en x 30  _{. Dus b.v.} Xmin 0 en Xmax 50  _{. Dan: zoom optie 0 (ZoomFit).}

Kijk nu in het window om de y-waarden in te stellen voor een goed beeld. b. Top: (25, -25) x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 5 10 15 20 25 -5 -10 x y 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 x3 x4

15. a. 5x 200 0  5x 200 x 40    

Het randpunt is (-40, 0). Bij x 10 is de functiewaarde al ruim 12. Dus valt de grafiek buiten het venster.

b. Xmin 45, Xmax 50, Xscl 10, Ymin   5, Ymax 25, Yscl 5  16.

a. Het is een wortelfunctie. Grafieken van een wortelfunctie hebben een randpunt. (zie ook voorbeeld blz 16). b. 2x 100 0  2x 100 x 50    

Randpunt: (-50, 0). B.v.: Xmin 55, Xmax 50, Xscl 10, Ymin   5, Ymax 20, Yscl 5  17. Na het invoeren van de functie en de x-waarden in het window kun je met zoom optie 0 (zoomfit)

de grafiek laten tekenen. De rekenmachine stelt dan zelf de y-waarden in, zodat de grafiek voor die x-waarden goed zichtbaar is. Daarna kun je in het window zelf de x- en y-waarden aanpassen. a. 12 x 5  en 160 y 20  b.   2 x 2 en 12 y 20  c. 500 x 2000  en 150 y 100  18. a.

b. 2nd _{trace (calc) optie 3 (minimum): x 4472 en y 224 }

Hij zal naar een productie van 4472 fietsen streven. c. Als de productie bijna stil ligt is q dus heel erg klein.

De gemiddelde kosten worden dan heel erg groot. d. TK 5000 GK(5000) 1125000  

e. GK(q) 400

Voer in: GK(q) 400 intersect: x 1366,8  x 14633,3

Bij een productie vanaf 1367 tot en met 14633 fietsen zijn de gemiddelde kosten lager dan 400 euro.

19.

a. T is de tijd in uren; die moet dus in ieder geval groter zijn dan 0: b.v. 0 t 24  . De maximale concentratie C(t) is ongeveer 2,5 mg/liter, dus 0 C(t) 3 

b. 2nd _{trace (calc) optie 4 (maximum): De concentratie is}

maximaal 2,4 mg/liter op tijdstip 2,4 uur t (in uren)

C (in mg/liter) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -2 1 2 3 -1 q (fietsen) GK (in euros) 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 0 100 200 300 400 500 600 700

20. a.

b./c. Voor grote negatieve waarden is _1,5x _{vrijwel gelijk aan} 0. De grafiek lijkt dus steeds meer op die van _{y x} 2_. Voor kleine waarden van x speelt de exponentiële term ook nog geen grote rol ten opzichte van x2_{. Voor grotere}

positieve waarden van x gaat _1,5x _{de belangrijkste} bijdrage leveren aan de functiewaarde.

21.

a. functie invoeren en met VARS Y-VARS Function Y1 de waarden

uit laten rekenen: f( 2) f(3) 0  

b. Voor x-waarden tussen –2 en 3 wordt _2x2_{2x 12 negatief. En} we kunnen geen wortel trekken uit een negatief getal.

De grafiek loopt (zoals bij iedere wortelfunctie) vrijwel verticaal in de randpunten (-2, 0) en (3, 0).

22.

a. De grafiek maakt een sprong waar de functie niet bestaat. Bij gebroken functies moet je dan kijken naar de noemer; die mag niet nul worden: 7 2x 0 

₁ 2 2x 7 x 3  

b. Voor grote waarden van x wordt _{7 2x}1 vrijwel gelijk aan 0 en komt de functiewaarde steeds dichter bij 1 te liggen.

23.

a. 3x 6 0  b. Met de x-as: Met de y-as: (0, 4  6)

3x 6 x 2 ( 2, 4)       4 3x 6 0 3x 6 4 3x 6 16         1 3 3x 10 x 3   c. _{32 2x} 2 _0 2 2 2x 32 x 16 x 4 x 4      

De randpunten en snijpunten met de x-as zijn: (-4, 0) en (4, 0). Het snijpunt met de y-as is (0, ₃₂)

x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 x y 5 10 15 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 -5 -10 -15

24. a. 2x 3 0  1 2 2x 3 x 1   b.

c. De horizontale asymptoot is y 4 _{. Voor grote waarden}

van x wordt de term _{2x 3}6_{ vrijwel 0, en komen de} functiewaarden steeds dichter bij 4 te liggen. 25.

a. 3 uur en 20 minuten is gelijk aan 3 60 20 200   minuten: P 0,13  0,12₂₀₀ 0,1306 b. De totale kosten per maand zijn dan 0,1306 200 €26,12 

c. Als x steeds groter wordt, nadert de prijs per belminuut naar 0,13. d. De horizontale asymptoot is P 0,13 .

e. De prijs wordt niet lager dan 13 cent per belminuut. 26.

a. De grafiek heeft een verticale asymptoot als de noemer 0 wordt. 2

x  5 0 voor alle waarden van x. Maar _x2_{ 5 0 als x  5  x 5. Dat zijn dan ook de} vergelijkingen van de verticale asymptoten.

b. De horizontale asymptoten kun je vinden door hele grote waarden van x (positief of negatief) in te vullen. Voor grote waarden van x is +5 en –5 verwaarloosbaar en krijg je voor beide functies 10 gedeeld door een groot getal; dat wordt vrijwel 0. Zowel de grafiek van p(x) als q(x) heeft een horizontale asymptoot y 0 _.

27. f(x) en g(x) zijn wortelfuncties. (die hebben dus randpunten). De grafiek van f bestaat niet voor   2 x 2, dus de middelste grafiek is die van f.

h(x), k(x) en j(x) zijn gebroken functies, dus met een horizontale en verticale asymptoot. h(x) heeft twee verticale asymptoten: x 2 en x 2 . Daar hoort de eerste grafiek bij.

Voor alle waarden van x is _x2 _{positief en k(x) dus ook. De rechter grafiek hoort bij de functie} j(x).

28. a.

b. Je mag niet delen door 0, dus onderzoek waar de noemer 0 is: 5 x 0 

x 5

c. Uit de wortel komt altijd een positief getal. Deze functie heeft geen randpunt, want als x in de buurt komt van

x 5 worden de functiewaarden heel erg groot. En voor grote waarden van x worden de functiewaarden vrijwel 0. Bereik: 0, x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 2 4 6 8 10 12 14 -2 -4 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 6 7 -1

29. a. 4 3x 0  b. _x2_{ 4 0 c. 3x 7 0 } 1 3 1 f 3 f 3x 4 x 1 D : x 1 B : y 5       2 g g x 4 D : B : \ {0}    ¡ ¡ 1 3 1 f 3 f 3x 7 x 2 D : \ {2 } B : \ {2}   ¡ ¡ 30. 31.

a. kwadratische functie: domein: ¡ en bereik: _{ }, 5 b. wortelfunctie: domein:  , 5 _{ } 0, _{en bereik: 0,} _ c. gebroken functie: domein: ¡ \ {0} _{en bereik:} , 0  0,

32.

a. h(0) 41,5 _{: de hoogte van het projectiel na 0 seconden, dus op het moment van afschieten.}

b. t moet in ieder geval groter of gelijk zijn aan 0. Na ongeveer 4,1 seconden is de hoogte gelijk aan 0 en is het projectiel op de grond. Dus 0 t 4,1  _.

c. De grootste hoogte van het projectiel is ongeveer 46,6 meter: 0 h 46,6  _.

33. _x2_{ 4 0 x}2_{ 4 0 x}2 _0 2 x 4 x 2 x 2      2 x 4 voor alle x  



Het bereik van alle drie de functies is  0, . Met andere woorden: IIIf IIg,h

34. a. _h2_32 _102 _{b. h}2_x2 _102 2 2 h 9 100 h 91    2 2 2 h 100 x h 100 x     h 91 9,54 m c./d. D : 0, 10h   en B : 0, 10h  

e. x moet dus groter zijn dan 2,5 m. Als de x groter wordt dan 7, dan wordt h

kleiner dan 7 en wordt het steeds onwaarschijnlijker een ladder zo neer te zetten.

ongelijkheid   2 x 6 x 9 x 0   2 x 1

getallenlijn

35.

a. _{1 2} x _0 x

2  1

Er bestaat geen x waarvoor dit geldt omdat ₂x _{0 voor} alle x.

b.

c. Als x heel groot negatief wordt, wordt ₂x _{vrijwel 0.} x 8 1 x 8 2 b(x) 8 1 2    

 . De lijn y 8 is dan een horizontale asymptoot,

Voor grote positieve waarden van x, wordt ₂x _{heel erg groot. De 8 in de teller en 1 in de} noemer zijn dan verwaarloosbaar. b(x) 8 2_xx 2_xx 1

1 2 2

 

   

 . De lijn y 1 is dan een horizontale asymptoot. d. B : 1, 8b  36. a. b. f(x) 0 _c. g(x) 0 3 2 2 16x x 0 x(16 x ) 0 x 0 x 16 x 0 x 4 x 4              3 3 zie f(x) 16x x 0 16x x 0 x 4 x 0 x 4           f snijdt de x-as in de punten (-4, 0),

(0, 0) en (4, 0).

d. Omdat g(x) f(x), moet f(x) 0

Het domein van g zijn de x-waarden waarvoor de functiewaarden van f boven de x-as liggen. Dus



g

D :    , 4 _0, 4_

e. B : 0,g  

37.

a. De driehoeken PBQ en RDS vormen samen een vierkant met zijde 6. De driehoeken APS en QCR vormen samen een vierkant met zijde 4. De oppervlakte van PQRS is dan gelijk aan

100 36 16 48   b. zie a. c. f(x) 100 x  2(10 x) 2100 x 2(100 20x x ) 100 x  2   2100 20x x  2  _{20x 2x} 2 d. 0 x 10  e. 0 f(x) 50 

f. De maximale oppervlakte is 50 als x 5 .

x y 5 10 -5 -10 2 4 6 8 10 -2 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 5 10 15 20 25 30 -5 -10 -15 -20 -25 -30

38.

a. x 2 0  _{Het domein van f is}



x 2

Randpunt: (-2, -2)

b. Voer in: y1 x2  2 7 x 2 maximum: (1,01; 13,12) c. B :f ; 13,12



a. B.v. xMin 100 , xMax 50 , yMin  40000 , yMax 20000

b. -T_2.

a. f(x) is een exponentiële functie, dus één horizontale asymptoot: 1e _grafiek.

g(x) is een wortelfunctie; deze heeft een randpunt: 2e _{grafiek. H(x) is een gebroken functie en}

heeft een horizontale en een verticale asymptoot: grafiek 3. En k(x) is een maxhtsfunctie: 4e

grafiek.

b. A: f(0) 3 1,5  0 3 A(3, 0)

B: g(0) 16 4 B(0, 4) C: g(4) 0 0 C(4, 0) D: h(0) 22 1 D(0, 1)

E: k(0) 0 _{E(0, 0)}

c. f(x) heeft een horizontale asymptoot: y 0

T_3.

a. 1 25 3

2

f(25) (1 ) 25  3 9623_{. Blijkbaar heeft de grafiek}

van f nog een minimum.

b. 2nd _{trace (calc) optie 2 (zero): (-1,34; 0) en (23,29; 0)}

c. T_4. a. x 9 0  x 9 y 3 2 0 3 R( 9, 3)          b. Met de x-as: 1 2 y 0 2 x 9 3 x 9 1      1 4 3 4 3 4 x 9 2 x 6 ( 6 , 0)     

c. Mijn instellingen: xMin 10 , xMax 5 , yMin  5 , yMax 7

d. D : 9 ,f   en B : 3 ,f  

T_5.

a. _x2_{ 4 0 x}2 _{ 4 0 voor alle waarden van x} 2 g h x 4 x 2 en x 2 D : \ { 2, 2} en D :      ¡ ¡ b.

c. De grafiek van g heeft twee verticale asymptoten:

x 2 en x 2 _{en een}

horizontale asymptoot: y 0 _.

De grafiek van h heeft een horizontale asymptoot: y 0 _. T_6.

a. f(2) 8 _{, dus A(2, 0), B(2, 8) en C(0, 8):} Opp_OABC   2 8 16 f(5) 5 _{, dus A(5, 0), B(5, 5) en C(0, 5):} Opp_OABC   5 5 25

b. f(x) x26x, dus A(x, 0), B(x, _x2_{6x) en C(0, x}2 _6x)

2 3 2

OABC

Opp   x ( x 6x) x 6x

c. 0 x 6 

d. De coördinaten van het maximum zijn: (3, 9). Dus 0 f(x) 9  _.

e. xMin 0 , xMax 7 , yMin 0 , yMax 10   

x y 5 10 15 20 25 30 -5 -10 -15 -20 1000 2000 -1000 -2000 -3000 -4000 -5000 x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 -2 -4 -6 -8 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 0,5 -0,5 x y 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4

T_7. a. V(0) 30 3 27000_mm3 b. V 0 3 (30 1,5t) 0 30 1,5t 0 1,5t 30 t 20 min       Dus 0 t 20  c. 0 V 27000  d.

-e. Voer in: y2 10000 en dan met 2nd trace (calc) optie 5 (intersect): t 5,6 _minuten

T_8. Voor x 25 bestaat de functie niet (dan wordt de noemer 0). De grafiek van f heeft een verticale asymptoot: x 25 . t (in minuten) V (in mm3) 5 10 15 20 5000 10000 15000 20000 25000 30000