Samenvatting
De motivatie van leerlingen is een landelijk probleem, binnen school lijkt het alsof wiskunde hier het grootste slachtoffer van is. De kennisopbouw van wiskunde is naar het idee van enkele docenten erg afhankelijk van voorkennis en zodoende speelt de motivatie van de leerlingen om in het moment te leren een grote rol in het leren van wiskunde. Dit verslag richt zich op het vinden en toepassen van een intervisie die de motivatie hiervoor verbetert. Het motivatie probleem is aangepakt door het ontwikkelen van een lessenserie die context, visualisatie, een empathische docenten houding en het wiskundig denken in patroneren en connecties vooropstelt.
De lessenserie lijkt een positief effect gehad te hebben op het leren van de leerlingen, een effect grote van 0,41 is bepaald op de invloed op het cijfer. Geen duidelijk effect op de motivatie is zichtbaar door het te korte tijdsbestek wat voor het ontwerponderzoek gegeven is. De kennisopbouw voor wiskunde is gedeeltelijk in kaart gebracht en er is een verband gevonden maar door het ontbreken van een voldoende grote groep leerlingen met een slechte voorkennis is deze niet erg sterk en nog niet te relateren aan de kennisopbouw bij anderen vakken.
WISKUNDE LEREN IN HET MOMENT
ONTWERPONDERZOEK
ONTWERPONDERZOEK
WISKUNDE LEREN IN HET MOMENT
PROBLEEM
Probleembeschrijving
Binnen het Lyceum aan Zee is het cijferbeeld bij wiskunde vaak erg laag maar ook erg gepolariseerd. Leerlingen met onvoldoendes scoren extreem laag terwijl de leerlingen die voldoendes halen het vaak goed doen. Dit gepolariseerde beeld is vreemd en ongewenst, een kort onderzoek binnen verschillende klassen, boven en onderbouw en havo en vwo heeft laten zien dat er een sterke relatie is tussen het gemaakte werk en een voldoende. Dit probleem wordt volgens sectiegenoten, eigen ondervindingen en andere collega’s veroorzaakt doordat
leerlingen de toets pas als prestatie moment zien en zodoende ervoor kiezen om op het laatste moment pas te gaan leren. Een resultaat hiervan is dat er gedurende een groot deel van de lessen weinig tot geen kennisopbouw plaats vindt waardoor bij wiskunde een steeds grotere kennis achterstand ontstaat die in mijn mening niet op het laatste moment weg te werken is. Andere vakken lijken hier minder last van te hebben en zodoende is de vraag of de kennisopbouw binnen wiskunde belangrijker is als bij andere vakken.
Probleemanalyse
Wiskunde is een vak apart. De complexiteit en abstractie van de stof maakt dat het imago van het vak slecht is en dat de leerlingen weinig gemotiveerd zijn (zie kader). Daarnaast “is het overbrengen van wiskunde vaak zo complex dat er interferentie ontstaat tussen
verschillende geleerde onderwerpen. Een uitvoerige beschrijving van alle didactische problematiek is terug te vinden in het handboek van de wiskunde didactiek[ CITATION Dri12 \l 1043 ]. Drijver spreekt over het opbouwen van wiskundige kennis in cognitieve schema’s en de waarde van context en aansluiten bij voorkennis die vereist zijn voor een rijk cognitief schema.
Kennis opgedaan in een eerder stadium wordt bij wiskunde bijna altijd weer in de daarop volgende stappen gebruikt. Het ontbreken van een essentieel kennisonderdeel uit de vorige lessen kan, in daarop
volgende lessen desastreuse effecten hebben voor de opbouw van het cognitieve schema.
MOtivatie bij
wiskunde
Het recent uitgebrachte OESO rapportOngeldige
bron opgegeven. laat zien
dat de onderwijs motivatie van de gemiddelde leerling in Nederland relatief gezien vrij laag is. Voor wiskunde zijn deze cijfers naar alle waarschijnlijkheid, als er de laatste jaren niks veranderd is, gerelateerd aan de rest van de OESO landen nog lager (Figuur 14) (OECD, PISA 2012 Results: Ready to Learn: Students
Engagement, Drive and Self-Beliefs., 2013).
Binnen het gehele Lyceum aan Zee is volgens sectie genoten en andere collega’s bij alle vakken merkbaar dat een grote groep leerlingen pas op het laatste moment ”de toets” leert. Leerlingen die dit proberen scoren vaak nog redelijk bij andere vakken maar bij wiskunde lukt dit bij een groot percentage van de leerlingen niet. Deze houding, die intrinsiek bij de puber aanwezig is moet voor de opbouw van een sterk cognitief wiskundig schema verholpen worden.
Daarnaast is er bij mijn weten nog geen onderzoek gedaan naar de invloed van het ontbreken van voorkennis specifiek binnen wiskunde. Naar mijn idee is de invloed van het ontbreken van voorkennis groter bij wiskunde als bij welk ander vak dan ook.
Probleemverkenning
KENNISOPBOUW WISKUNDE
Het cognitivisme stelt dat leerstof alleen geleerd kan worden op het moment dat het aansluit bij de voorkennis van de ontvanger, de ontvanger dient het dan in context te kunnen plaatsen en zodoende in het lange termijn geheugen op te kunnen slaan. Iets modernere leer theorieën zoals de theorie van Craik & Lockheart [ CITATION Loc72 \l 1043 ] stellen dat kennis op twee wijze verwerkt kan worden. Oppervlakkig verwerking, wat leidt tot korte informatie behoudstijden en beperkte inzetbaarheid van de kennis en de tweede verwerkingswijze, diepgaande verwerking, waar kennis betekenisvol wordt opgeslagen, wat zodoende tot een langer behoud van de informatie leidt en een flexibele inzet van de kennis mogelijk maakt. Craik en Lockheart geven aan dat voor diepgaande verwerking van kennis, context en aansluiting bij de voorkennis nodig is.
Zodoende zal volgens beide theorieën een leerling met een incomplete voorkennis ook minder de kennis die hierop voortbouwt opslaan in zijn geheugen.
Binnen wiskunde, een vak wat leerlingen vaak als lastig en saai ervaren is de afhankelijkheid op voorkennis voor een goede kennisopbouw in mijn optiek groter dan bij andere vakken. De opbouw van de leerstof wordt in alle methodes zo gestructureerd dat het niet begrijpen van een klein stukje kennis in de basis al desastreuse effecten kan hebben in een later stadium. Collega’s en mede docenten beamen dit maar er is nog geen theoretische onderbouwing voor deze gedachte gevonden.
MOTIVATIE
De eerste benodigdheden voor een goede kennisopbouw is natuurlijk een gemotiveerde leerling. Leerlingen motiveren is echter een hekel punt. Elke leerling is door wat anders te motiveren en de wijzen waarop leerlingen te motiveren zijn, zijn legio.
De theorie van Deci en Ryan [CITATION Dec85 \l 1043 ] stelt dat er verschillende stadia van motivatie zijn. De self determination theory (SDT) van Deci & Ryan is gedurende de jaren veranderd van een theorie die voornamelijk over intrinsieke en extrinsieke motivatie spreekt naar een theorie die over autonome en gecontroleerde motivatie spreekt[ CITATION Dec00 \l 1043 ]. Figuur 1 laat de
verschillende vormen van motivatie zien en waar ze onder vallen samen met een korte beschrijving van de onderliggende motivatie processen.
FIGUUR 1: MOTIVATIE VOLGENS DECI & RYAN
Een uitgebreide beschrijving van de soorten motivatie en de achterliggende processen zijn terug te vinden in de literatuur[ CITATION Dec00 \l 1043 ][ CITATION Dec85 \l 1043 ][CITATION Van05 \l 1043 ]. Een belangrijk resultaat uit de bovenstaande onderzoeken laat echter zien dat hogere kwaliteitsmotivatie ook tot veel betere leerprocessen leidt.
Een motivatie meting van de leerlingen in een van mijn eigen klassen, afgebeeld in Figuur 2 laat zien dat een groot deel van de leerlingen binnen een 3 VWO klas gemotiveerd lijkt door externe regulatie en integratie. Een hoger leerrendement kan bereikt worden door de leerlingen meer intrinsiek te
motiveren
Het proces van motiveren is door Van
Steenkiste[CITATION Van05 \l 1043 ] schematisch weergegeven zoals in Figuur 3. De autonomie ondersteunende context heeft twee verschillende niveaus: maatregelen op structureel niveau en op interactioneel niveau.
Het interactionele niveau heeft betrekking op de manier van communicatie met leerlingen. De communicatie kan zo vormgegeven worden dat leerlingen meer autonomie ervaren. Volgens van Steenkiste[CITATION Van05 \l 1043 ] bestaat autonoom motiverende communicatie uit drie
verschillende componenten: concrete communicatie, zinvolle uitleg en motivering en een empathisch perspectief.
Een docent dient volgens van Steenkiste te allen tijde een empathisch perspectief in te nemen richting zijn leerlingen. Dit betekent dat een docent ervoor moet zorgen dat hij zijn leerlingen begrijpt, zich in hun standpunt kan verplaatsen en naar de leerlingen luistert en hier binnen bepaalde mate ook naar
FIGUUR 2: MOTIVATIE VAN 3 VWO KLAS 3C OP LIKERT SCHAAL VAN 0 TOT 4
handelt. Hierdoor vergroot in mijn optiek de eigen waarde en eigen inbreng binnen de lessen waardoor leerlingen zich verantwoordelijker zullen gedragen.
FIGUUR 3: SCHEMATISCH OVERZICHT MOTIVATIONEEL PROCES
Het aanbieden van zinvolle uitleg en motivering is al eerder vermeld en is ook van groot belang voor het diepgaand verwerken van kennis. Van Steenkiste geeft aan dat de relevantie van een leertaak essentieel is om leerlingen te motiveren. Door de relevantie van de leertaak duidelijk naar de leerlingen te communiceren gaan de leerlingen het nut in zien van de te leren kennis en de leerlingen gaan de reden vinden waarom ze hun best moeten doen voor het vak.
De laatste component: concrete communicatie, gaat vooral op de wijze waarop structurele motiverende middelen gecommuniceerd worden naar de leerlingen. Van Steenkiste heeft in een eerdere publicatie uitgebreid veldonderzoek naar de invloed van deze manier van communiceren[CITATION Van04 \l 1043 ]. De nadruk bij deze vorm van communicatie ligt op het gebruik van niet dwingende taal en een gevoel van autonomie creëren.
Het interactionele niveau zoals van Steenkiste dat beschrijft past bijna 1 op 1 bij de theorie die Dweck in haar boek: Mindset toepast om mensen vanuit een statische ”ik kan het toch niet houding” naar een houding te krijgen waarin de persoon wil groeien en het niet erg vindt om fouten te maken [ CITATION Dwe07 \l 1043 ].
Het structureel niveau gaat vooral over structurele maatregelen die de autonome motivatie bevorderen. Dit betrekking hebben op de taken in de les, of de structuur om de lessen heen. Een paar voorbeelden van structurele maatregelen die autonomie bevorderend werken zijn: het aanbieden van keuze
trajecten, niveau differentiatie, authentieke context rijke taken, veel samenwerken en zo
verder[ CITATION Leo15 \l 1043 ]. Merk echter op dat het belonen van bepaalde handelingen vaak de autonomie ondermijnt[CITATION Van04 \l 1043 ].
Aan de hand van de bovenstaande theorie kunnen dus verschillende didactische aanpakken bedacht
DIDACTISCHE AANPAKKEN
Enkele didactische aanpakken zijn verdeeld in twee categorieën, structureel of interactioneel.
STRUCTURELE AANPAKKEN
Authentieke taken
Authentieke taken bestaan uit taken die zo vorm gegeven zijn dat ze contextrijk, uitdagend en op een realistisch probleem gericht zijn. Motiverende factoren hierin zijn context, uitdaging, samenwerken Deze taken worden vormgegeven met behulp van de verschillende niveaus van Hiele[ CITATION Dri12 \l 1043 ] en de taxonomie van Bloom.
Boaler laat in haar boek Mathematical Mindsets[ CITATION Boa16 \l 1043 ] verschillende manieren zien waarmee een taak aangepast of ontwikkeld kan worden die bij de eisen van een authentieke taak passen. Deze richtlijnen en de hierbij horende voorbeeld taken kunnen
gebruikt worden voor de ontwikkeling van een authentieke taak. Ideeën:
o medisch/biologisch (populatiegroei) o technisch (radioactief verval)
o sociaal wetenschappelijk (toename social media) o economisch (bellegingsrente spel)
Keuze tussen verschillende trajecten in reguliere taken
Door het aanbieden van verschillende trajecten wordt het gevoel van autonomie versterkt door een keuze die gemaakt kan worden. Daarnaast bieden de ontwikkelde trajecten uitdaging voor leerlingen van elk niveau. De ontwikkelingen van deze trajecten zal sterk gevormd worden door verschillende niveaus van Hiele en de taxonomie van Bloom
Ideeën:
o Tempo differentiatie o Niveau differentiatie
o WisA/WisB traject om keuze te definiëren Samenwerken in projectvorm
Volgens het sociaal constructivisme leren mensen het meest door samenwerken[ CITATION Woo08 \l 1043 ]. Een taak die ontwikkeld is om het samenwerken te stimuleren zal naast motiveren zodoende ook volgens deze theorie een hoog leerrendement hebben. Deze taak moet zo vorm gegeven worden dat iedere leerling hetzelfde leert en dit moet per individu uitdagend genoeg zijn. In deze vorm moet uitvoerig de mate van samenwerking gemonitord worden De taak zelf zal zodoende geconstrueerd worden dat de bovenstaande problemen zo veel mogelijk voorkomen kunnen worden.
Context rijke leerlijn
Betekenis van kennis is niet enkel belangrijk voor het bereiken van motivatie. Meerdere leer theorieën geven aan dat voor diepgaande kennisverwerking, het toepassen, langer onthouden
5
en de transfer context en betekenis een essentieel onderdeel is. Zodoende zal het opzetten van een contextrijke leerlijn dubbel effect hebben als deze correct gestructureerd wordt. De
structurering van deze leerlijn zal naast de rijke context opgebouwd worden met de niveaus van Hiele en de taxonomie van Bloom
INTERACTIONELE AANPAKKEN
Communicatie met leerling over structuur en uitleg
De manier waarop met leerlingen gecommuniceerd wordt is makkelijk te veranderen en schijnt al effect te hebben op de autonome motivatie van leerlingen[ CITATION Van04 \l 1043 ]. Door het aanbieden van context en betekenisvolle uitleg kan het leerrendement en de motivatie al verbeteren. Daarnaast kan in de communicatie van structuur maatregelen gekozen worden voor een communicatievorm die verklaart waarom bepaalde keuzes op een bepaald moment gemaakt moet worden. De kern van deze manier van communiceren over kennis en structuur ligt elke keer in het waarom, waarom doen we deze dingen, als dit voor de leerlingen duidelijk is dan schijnt de autonome motivatie te verbeteren.
Feedback
Feedback op het juiste moment en op de juiste wijze verbetert leermotivatie en prestatie. Volgens Dweck[ CITATION Dwe07 \l 1043 ] dient deze feedback zo gestructureerd te worden dat de leerlingen zo veel mogelijk in een zogenoemde “growth” mindset zit. In de growth mindset wil een persoon leren om het leren (autonoom gemotiveerd). Een uitgebreidere
beschrijving is te vinden in literatuur[ CITATION Dwe07 \l 1043 ]. Een korte formatieve feedback loopt kan ontwikkeld worden waar leerlingen binnen een korte termijn feedback krijgen op hun leerprestatie. Deze feedback wordt aangeboden volgens de methodieken van Dweck.
Een combinatie van twee of drie van de bovenstaande didactische aanpakken kan het mogelijk maken om zowel structurele als interactionele verandering te proberen.
Keuze didactische methode
Na het doornemen van de theorie over autonomie ondersteunende communicatie ben ik deze bewust of onbewust al gaan toepassen. Ik wil mijzelf hier verder in verdiepen en dit nog uitgebreider
aanpakken. Daarnaast hoop ik door het aanbieden van context en uitdagende problemen leerlingen te motiveren. Zodoende is ervoor gekozen om de invloed van de autonomie ondersteunende
communicatie vorm te combineren met een leerlijn die een gekozen authentieke taak combineert met een zelf ontworpen leerlijn waarin meer context wordt aangeboden voor het onderwerp exponentiele functies in 3 VWO. Het aanbieden van context heeft invloed op meerdere onderdelen van leren. Zo wordt naast de motivatie ook de kans op opslag in het lange termijn geheugen groter[ CITATION Loc72 \l 1043 ]
ONTWERPHYPOTHESE
Als ik leerlingen met een lage motivatie (X1) voor wiskunde, waardoor zij vaak enkel op het laatste moment leren en zodoende een slecht cognitief schema opbouwen (X2), aanpak door een autonomie ondersteunende vorm van communicatie (Y1) te combineren met een authentieke uitdagende leerlijn (Y2 )dan verwacht ik dat de leerlingen gemotiveerder zijn (Z1), op het moment leren en hun kennis zodoende beter kunnen opbouwen (Z2).
De twee verschillende aangeboden interventies Y1 en Y2 moet aan enkele onderdelen voldoen om succesvol te kunnen zijn, deze zijn terug te zien in Tabel 1.
TABEL 1: RANDVOORWAARDEN EFFECTIEVE INGREPEN
Autonomie ondersteunende communicatie (Y1) Authentieke uitdagende leerlijn (Y2) Betekenisvolle uitleg
Concrete communicatie
Empathische houding
Feedback op het juiste moment Feedback juiste wijze
Context Uitdaging Realistisch probleem Samenwerken Visualiseren
ONDERBOUWING ONTWERPLESSEN.
De vier hoofdlijnen binnen de ontwerpregels zijn context, empathische feedback samenwerken en visualiseren. Deze vier hoofdlijnen zijn gebruikt in de ontwikkeling van de leerlijn en de afsluitende taak aan het einde van deze lessenserie.
Context zorgt volgens eerder vermelde theorieën voor motivatie maar ook voor een hoger
leerrendement, zodoende is ervoor gekozen om delen van de leerlijn zo te ontwerpen dat deze direct in de belevingswereld van een groot deel van de leerlingen geplaatst kan worden. De eerste exit kaart opdracht gaat bijvoorbeeld over een YouTube kanaal van een groepje leerlingen in de klas wat deze taak direct in hun belevingswereld plaatst.
De empathische feedback is naast motiverend zoals eerder aangegeven ook goed voor het leerrendement omdat de feedback cyclus kort wordt gehouden. Dit is in de lessenserie
geïmplementeerd door binnen dezelfde les constant op empathische wijze feedback te geven op persoonlijk niveau maar ook op klassikaal niveau.
Samenwerken is volgens het sociaal constructivisme een van de sterkste vormen van leren maar daarnaast motiveert de sociale interactie ook tot diepgang en een betere werkhouding[ CITATION Dec85 \l 1043 ] Samenwerken is uitvoerig geïmplementeerd in de authentieke taak en de leerlingen is ook gevraagd een samenwerkingsplan te schrijven en dit uit te voeren.
Visualiseren is volgens Drijver[ CITATION Dri12 \l 1043 ] een van de wijzen waarop wiskundige materie interessanter wordt. Visualiseren is geïmplementeerd in de leerlijn door de leerlingen in een les functies te laten afbeelden en het gedrag van een functie zodanig te laten analyseren dat ze het concept achter exponentiele verandering gaan zien. Binnen de huidige methode gebeurt dit niet. Om dit toch te
7
bereiken is binnen de les een korte lesopdracht gegeven die de leerlingen vraagt een functie af te beelden en het gedrag te analyseren bij exponentiele groei en afname.
ONDERBOUWING ONDERZOEKSPLAN EN EFFECTMETINGEN
Evaluatieplan
Figuur 4 geeft weer hoe de resultaten van de interventie gemeten gaan worden
Motivatie (Z1) Meetinstrument
Begin meting Eindmeting Gecertificeerde
digitale Vragenlijst 1
Kennisopbouw (Z2) Meetinstrument
Begin meting Tussen meting Eindmeting Exit kaarten/toets Controle groep (andere klas zonder interventie) Meetinstrument
Eindmeting Toets
FIGUUR 4: MEETMETHODEN VERSCHILLENDE INTERVENTIES
MOTIVATIE (Z1)
De motivatie van de leerlingen wordt individueel gemeten voor en na de interventie en wordt na dato met elkaar vergeleken en geanalyseerd aan de hand van eventuele veranderingen. De analyse zal zich vooral richten op de korte termijn verandering in type motivatie per leerling en gemiddeld per klas. Er is gekozen voor een geverifieerde vragenlijst over motivatie vanuit het psychologische onderzoek. Deze vragenlijst meet de mate van de soorten motivatie die bij een leerling aanwezig zijn en deze worden in een soort Roos van Leary weergegeven. Dit meetinstrument is gekozen omdat het een geverifieerde vragenlijst betreft die direct aansluit bij motivatie onderzoeken van Craik en Lockheart. Er is dus met zekerheid te zeggen dat de vragenlijst goed is.
KENNISOPBOUW (Z2)
De kennisopbouw van leerlingen wordt gemeten aan de hand van enkele exit kaarten aan het eind van elke les. In deze exit kaarten wordt elke keer de kennis van alle daarvoor behandelde stof getoetst en geanalyseerd per onderwerp. De groei van leerlingen per onderwerp wordt zodoende in kaart gebracht en er wordt gekeken of leerlingen met een goede voorkennis ook beter presteren als leerlingen met minder goede voorkennis.
Daarnaast wordt het eindresultaat van de interventie gemeten in een afsluitende summatieve toets die ook in een controle klas wordt afgenomen om een vergelijking te trekken met een groep leerlingen die geen interventie gehad heeft.
Kennisopbouw en alle andere tijdsafhankelijke variabelen kunnen volgens correct data verzamelen niet met een enkel een begin meting en een eindmetinggemeten worden. Meetethiek stelt dat er minstens 5 meetpunten nodig zijn om de simpelste verbanden te vinden. Zodoende is ervoor gekozen om
meerdere metingen te doen. Het gegeven tijdsbestek maakt vijf punten helaas onmogelijk maar er is gekozen voor in ieder geval 4 meetpunten. Gedurende deze metingen wordt de beheersing van verschillende lesdoelen bepaald door een korte formatieve toets, de verandering hiervan wordt
vergeleken met de begin kennis ende beheersing van de leerdoelen aan het einde van de lessenserie zodat een relatie gevonden kan worden tussen voorkennis en beheersing.
1 Academic Self-Regulation Questionnaire link: http://psych.rochester.edu/SDT/measures/selfreg_acad.html
VERSLAG UITVOERING ONTWERP EN EFFECTMETINGEN
De lessen zijn voor een groot deel uitgevoerd zoals vermeld in het lesplan. Enkele afwijkingen zijn door rooster technische of factoren buiten mijn directe invloed zone veroorzaakt.
Gedurende de lessen is heeft een enkele afwijking plaats gevonden door tijdsgebrek. In les 1 is niet aan het einde geëvalueerd.
Door een onverwacht en niet in de jaarplanning opgenomen bezoek aan het buitenland heeft een deel van de leerlingen een tussenmeting en een les gemist die door de leerlingen in eigen tijd ingehaald is. Zodoende is er van deze leerlingen geen data verzameld. Hetzelfde is in mindere mate gebeurt bij de andere metingen als een leerling ziek of om andere redenen afwezig was.
Een tweede invloed op de effectmetingen kan zijn dat de leerlingen sinds enkele toetsen wiskunde a en wiskunde b toetsen aangeboden krijgen. Dit heeft een duidelijke invloed op de resultaten. Wiskunde A leerlingen scoren beter omdat zij geen wiskunde B onderdelen meer hoeven te doen terwijl de
wiskunde B leerlingen over het algemeen genomen iets minder goed scoren omdat hun toetsen abstracter en dus ook moeilijker zijn.
PRESENTATIE EFFECTMETINGEN
Motivatie
Het motivatie onderzoek richt zich op twee aspecten: de algemene motivatie van de klas per soort motivatie vergeleken in een voor en na meting en een vergelijking in motivatie tussen de verschillende onderdelen, huiswerk, les enz. van het motivatie onderzoek.
VERANDERING IN DE KLAS
FIGUUR 5: EINDMETING GEMIDDELDE MOTIVATIE
De gemiddelde begin motivatie en eind motivatie zijn gemeten en enkel de eind motivatie is
weergegeven in Figuur 5. Deze meting laat zien dat de twee dominantste vormen van motivatie binnen deze klas nog steeds externe regulatie en integratie zijn. De motivatie lijkt relatief gezien hoog in alle aspecten met uitzondering van de intrinsieke motivatie.
Het verschil tussen begin en eind meting is weergegeven in Tabel 2. De verschillen tussen de soorten motivatie zijn minimaal. Maar over het algemeen lijkt er een stijgende lijn aanwezig te zijn in alle vormen van motivatie met uitzondering van Identificatie. De toename in externe regulatie is in mijn ogen vreemd maar kan verklaarbaar zijn door de manier waarop de leerlingen is gevraagd de vragenlijst in te vullen. Bij het invullen van de eerste vragenlijst is gevraagd of de leerlingen deze wouden invullen met hun algemene motivatie in het oog terwijl de tweede vragenlijst met wiskunde in het oog is laten invullen. Omdat ik als docent leerlingen beloon die hun huiswerk af hebben zal de externe regulatie waarschijnlijk groter zijn voor de motivatie van huiswerk, wat weer zijn invloed op de
1
gemiddelden heeft. De toename bij introjectie is direct te verklaren door de toename bij een enkele vraag waar een groot verschil in het gemiddelde is te vinden. De vraag: Of een leerling moeilijke opdrachten maakt om uit te vinden of hij gelijk heeft richt zich erg op het ego en is zodoende door mij ingedeeld onder introjectie. Hier kan echter over gediscussieerd worden want de vraag zou enigszins een overgang kunnen zijn naar identificatie. Zodoende is hier de vraag of het een slechte vorm van introjectie betreft of dat het juist een kleine verschuiving richting de betere vorm van motivatie:
Identificatie is. Identificatie en integratie zijn beiden procentueel gezien minimaal veranderd en zullen niet verder behandeld worden. Een opvallende groei is echter nog zichtbaar bij de intrensieke motivatie van de leerlingen. Een toename van ongeveer 6% in twee weken is in mijn ogen een goed teken maar ook dit verschil valt jammer genoeg binnen de standaardafwijking van de data.
TABEL 2: VERSCHIL EINDMETING EN STARTMETING GEMIDDELDE MOTIVATIE
Algemeen Absoluut verschil Procentueel verschil
Externe regulatie 0,11 3,75
Introjectie 0,20 8,46
Identificatie -0,08 -2,51
Integratie 0,02 0,61
Intrinsiek 0,11 5,67
De gemeten verschillen vallen bij alle categorieën binnen de standaardafwijking van de data wat het moeilijk maakt om het effect van de interventie op de motivatie van de leerlingen te verklaren. Hatie[ CITATION Hat11 \l 1043 ] geeft aan dat interventies van deze soort pas effect hebben en betrouwbaar meetbaar zijn nadat de leerlingen enkele maanden op deze andere manier les gehad hebben.
VERANDERING PER ONDERDEEL VAN MOTIVATIE
De gemiddelde motivatie scores zijn niet significant veranderd waar dit door veroorzaakt wordt zal beter bekekenen moeten worden. Zodoende is ook onderzocht in welke mate de motivatie voor de
individuele onderdelen van een les veranderd zijn.
De motivatie voor het maken van huiswerk is te zien in Figuur 6. Figuur 6 laat zien dat de leerlingen voornamelijk extern gereguleerd of door integratie gemotiveerd zijn. Doordat ik erg veel nadruk leg en beloon voor het maken van huiswerk is de externe regulatie zoals eerder vermeld vrij hoog. De leerlinge voelen daardoor echter ook de waarde van het huiswerk en vinden dit bij hun waarden en normen van wiskunde horen. De intrinsieke motivatie is echter extreem laag wat weer aangeeft dat de leerlingen het niet met plezier doen. In Tabel 3 zijn de verschillen tussen motivatie waarden
TABEL 3 VERSCHIL EINDMETING EN BEGINMETING HUISWERK MOTIVATIE:
Huiswerk Absoluut verschil Procentueel verschil
Externe regulatie 0,15 4,55 Introjectie 0,13 6,00 Identificatie -0,19 -6,00 Integratie -0,15 -3,41 Intrinsiek 0,27 16,67
1
1
weergegeven voor de start en eind meting. De absolute verschillen zijn hier minimaal en dit is compleet naar verwachting, de manier waarop huiswerk gegeven wordt is namelijk niet veranderd. Een
opvallende toename in de procentuele verandering van de intrinsieke motivatie lijkt interessant maar de hoge waarde wordt hier enkel veroorzaakt door de lagere startwaarde. De leerlingen ervaren huiswerk simpel gezegd als niet prettig maar ze zien wel het nut in van het maken hiervan.
0.00 5.00 Externe regulatie Introjectie Identificatie Integratie Intrensiek
FIGUUR 6: EINDMETING MOTIVATIE HUISWERK
De motivatie voor de lestaak is gemeten en weergegeven in Figuur 7. De externe regulatie ontbreekt hier omdat de vragenlijst geen vragen in deze trend over dit onderdeel van de motivatie heeft
ingesloten. Opvallend is dat weer identificatie de dominante vorm van motivatie is met op de tweede plaats identificatie. Dit suggereert dat de leerlingen zich meer met de lestaak identificeren en de waarde van de lessen inzien maar dat de leerlingen nog steeds niet meer intrinsiek gemotiveerd zijn door de lestaken. Tabel 4 laat ook zien dat de voornaamste groei van deze motivatie zich bij Introjectie en integratie afspeelt. Deze groei valt jammer genoeg nog steeds binnen de standaardafwijking.
TABEL 4: VERSCHIL EINDMETING EN BEGINMETING LESTAAK MOTIVATIE
Lestaak Absoluut verschil Procentueel verschil
Externe regulatie 0,00 0,00 Introjectie 0,29 18,42 Identificatie -0,17 -5,13 Integratie 0,21 6,06 Intrinsiek 0,02 1,11
1
2
0.00 5.00 Externe regulatie Introjectie Identi-ficatie Integratie Intrensiek
FIGUUR 7: EINDMETING MOTIVATIE LESTAAK
0.00 5.00 Externe regulatie Introjectie Identi-ficatie Integratie Intrensiek
FIGUUR 8: EINDMETING MOTIVATIE MOEILIJKE OPDRACHTEN
1
De motivatie voor het maken van moeilijke opdrachten oftewel het doorzettingsvermogen en het genieten van uitdaging is gemeten en weergegeven in Figuur 8. Figuur 8 laat zien dat de leerlingen voornamelijk geïntegreerd gemotiveerd te zijn. Daarnaast is opvallend dat de waardes over het algemeen lager zijn en dat de intrinsieke motivatie hier 0,5 hoger is als bij de hiervoor behandelde onderdelen. De leerlingen genieten dus meer van het maken van moeilijke opdrachten als verwacht. Tabel 5 laat zien dat er minimaal verschil is tussen de beginmeting en de eindmeting bij alle soorten motivatie met uitzondering van Introjectie. Introjectie is procentueel en absoluut gezien significant toegenomen. Deze groei wordt zoals bij de gemiddelde toename al beschouwd is voornamelijk veroorzaakt door een toename van bijna 1,3 bij deze specifieke vraag, de leerlingen willen graag nu liever weten of ze het goede antwoord hebben. Dit kan te maken hebben met de interventie maar ook met de natuurlijke ontwikkeling van de leerlingen, misschien zitten sommige meer in hun puberteit en hechten ze meer waarde aan het zichzelf afwegen in vergelijking met hun gelijken.
TABEL 5: VERSCHIL EINDMETING EN BEGINMETING MOEILIJKE OPDRACHTEN MOTIVATIE
Moeilijke vragen Absoluut verschil Procentueel verschil
Externe regulatie 0,00 0,00
Introjectie 0,40 17,58
Identificatie 0,00 0,00
Integratie 0,08 2,86
Intrinsiek 0,08 3,51
De motivatie tot presteren is gemeten en weergegeven in Figuur 9, deze figuur laat zien dat de
leerlingen presteren omdat ze voornamelijk en vrij hoog door identificatie en integratie gemotiveerd zijn. Ook hier is de intrinsieke motivatie weer hoger als bij de motivatie voor de lestaken en huiswerk.
0.00 5.00 Externe regulatie Introjectie Identi-ficatie Integratie Intrensiek
FIGUUR 9: EINDMETING MOTIVATIE PRESTEREN
1
Dit lijkt te suggereren dat de leerlingen intrensieker gemotiveerd zijn tot presenteren dan het maken van wiskunde. Tabel 6 laat de verschillen zien tussen de eind en voor meting. De verschillen zijn zodoende klein absoluut en procentueel dat ze binnen de standaardafwijking van de data vallen.
TABEL 6: VERSCHIL EINDMETING EN BEGINMETING MOTIVATIE PRESTEREN
Presteren Absoluut verschil Procentueel verschil
Externe regulatie 0,08 2,88 Introjectie -0,13 -4,38 Identificatie 0,02 0,55 Integratie -0,25 -6,32 Intrinsiek 0,06 2,73
Kennisopbouw
In de kennisopbouw van een leerlingen spelen meer factoren mee dan alleen de beheersing van de voorkennis. Om de andere externe effecten zoveel mogelijk uit te sluiten is er enkel naar gemiddelden kennisopbouw scores van de gehele interventie en controle groep gekeken. Deze scores bepaald door een docent voor zowel de controle als de intervisie groep en zijn berekend met behulp van de
beheersing van de verschillende leerdoelen uitgedrukt in percentages of in een cijfer van 1 tot en met 10 in relatie met de beheersing van het gehele spectrum aan leerdoelen gesteld binnen de
ontwerplessen. De controle groep heeft gedurende het schooljaar les gehad van een andere docent
VERHOUDING VOORKENNIS EN BEHALEN LESDOELEN
De voorkennis van een leerling is op twee manieren te achterhalen. De eerste is een meting van de beheersing van de onderwerpen die nodig zijn voor de leerdoelen in de ontwerplessen. De opbouw van kennis is echter uitermate complex en er is een grote kans dat er onderwerpen zijn waar geen rekening mee is gehouden. Om de gekozen leerdoelen te verifiëren is ervoor gekozen om ook een vergelijking te trekken tussen het gemiddelde cijfer van de leerling en het toets resultaat.
Figuur 10 laat een spreidingsdiagram zien waarin de beheersing van de voorkennis uitgezet is tegen de beheersing van de leerdoelen op de toets. Over het algemeen laat de figuur zien dat een overgroot deel van de leerlingen met een goede voorkennis ook goede resultaten behaalt. Van de twee leerlingen met een onvoldoende voorkennis heeft 1 een onvoldoende gescoord terwijl de andere leerling zeer goed gescoord heeft. Een directe relatie tussen beheersing voorkennis en de beheersing van de leerdoelen is niet direct te trekken door het ontbreken van meerdere meetpunten met onvoldoende voorkennis.
1
5
1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00
Verhouding beoordeling voorkennis en eindtoetsl
Beoordeling voorkennis B eo or de lin g ei nd to et s
FIGUUR 10: SPREIDINGSDIAGRAM BEHEERSING VOORKENNIS EN EINDTOETS
De trendlijn in deze figuur zou moeten bepalen in welke mate de kennisopbouw afhangt van de voorkennis maar deze is door het ontbreken van voldoende meetpunten met een lage waardering van de voorkennis ook onbetrouwbaar. Uit de data blijkt wel dat een goede voorkennis leidt tot goede beheersing van de leerdoelen maar nog niet dat een slechte voorkennis ook leidt tot slechte beheersing van de leerdoelen
Figuur 11 laat een gelijksoortige diagram zien met als grote verschil dat hier het toets cijfer uitgezet is tegen het gemiddelde cijfer van de leerling voor de toets. Dit is gedaan voor de interventie groep, de gele meetpunten en de controle groep, de grijze meetpunten Deze figuur laat een eenduidiger verband zien omdat er meerdere meetmomenten in het gemiddelde van de leerling geïntegreerd zijn. De relatie tussen de twee variabelen lijkt eenduidiger te spreken over een directe relatie tussen het gemiddelde cijfer van een leerling en de score van een leerling op deze toets. Echter door het ontbreken van een voldoende grote groep dat met een laag gemiddelde en lage toets score kan weer geen directe conclusie getrokken worden voor de interventie groep. De controle groep laat echter zien dat er wel degelijk een verband is. Doordat er een grotere groep leerlingen present is met een laag gemiddelde wordt zichtbaar dat deze vaak ook lager scoren. Als de interventie groep en de controle groep met elkaar vergeleken worden dan valt op dat de interventie groep veel positieve uitschieters in de data heeft. De leerlingen lijken in het geval van de interventie groep vaker boven hun gemiddelde te scoren als in de controle groep. De trendlijnen van de twee datasets bevestigen dit doordat de trendlijn van de interventie groep in zijn geheel hoger ligt maar ook een kleinere helling lijkt te hebben. Dit wordt
1
6
waarschijnlijk veroorzaakt doordat de interventie een positievere invloed heeft op de leerlingen die lager normaliter lager scoren.
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Spreidingsdiagram Gemiddelde cijfer en Eindresultaat
Controle groep Linear (Cont-role groep) Interventie groep Linear (Inter-ventie groep) Gemiddelde cijfer B eo or de lin g T oe ts
FIGUUR 11: SPREIDINGSDIAGRAM GEMIDDELDE CIJFER EN EINDTOETS
OPBOUW BEHEERSING LEERDOELEN
Gedurende de lessen serie is op verschillende momenten de beheersing van de leerdoelen gemeten om de verandering hiervan te monitoren. De eerste meting, meting 1 in Figuur 12 heeft gemeten in welke mate de leerlingen de benodigde voorkennis beheersen. De tweede meting is een meting van de beheersing van de leerdoelen in de eerste ontwerp les, de derde meting heeft de beheersing van de leerdoelen gemeten in les 4 en meting vier laat zien in welke mate ze deze leerdoelen beheersen gedurende de toets. Daarnaast zijn de leerdoelen uit les 1 een tweede maal gemeten in les 3 en een derde maal in de toets. De verandering van deze leerdoelen wordt weergegeven door de gele meetpunten terwijl de gemiddelde beheersing van de leerdoelen wordt weergegeven door de grijze meetpunten.
1
7
0 1 2 3 4 5 40.0 50.0 60.0 70.0 80.0 90.0 100.0 110.0 95.0 100.0 68.5 66.18 89 84.56 76.95
gemiddelde beheersing doe-len Meting P er ce nt ag e be he er si ng le sd oe le n
FIGUUR 12: SEQUENTIEEL GEMETEN BEHEERSING LEERDOELEN
Uit de beheersing van de leerdoelen uit de eerste les, de gele data blijkt dat er gedurende de lessen een duidelijke groei aanwezig is totdat alle leerlingen deze beheersen. Gedurende de laatste meting blijkt echter dat een relatief groot deel van de leerlingen deze doelen niet meer beheerst. Het kan zijn dat de leerlingen door het ontbreken van context bij de vrij droge stof van deze leerdoelen deze zodoende niet in hun lange termijn geheugen geplaatst hebben. Gedurende de lessen lijken ze het compleet te beheersen maar gedurende de toets is ongeveer 30% deze stof en de beheersing daarvan weer kwijt. Het eerder vermelde feit dat een deel van de leerlingen deze les gemist heeft kan hierbij een zeer grote rol spelen. De gemiddelde beheersing van de leerdoelen is te verklaren door naar de moeilijkheidsgraad van de leerdoelen te kijken en het effect van tijd op de beheersing hiervan in te calculeren. De eerste meting van de voorkennis wordt beïnvloed door het verschil in tijd tussen de laatste instructie hierover en de meting. Kennis zakt langzaam weg naarmate de tijd vordert. En zodoende zal de mate van beheersing zodoende ook lager zijn. De tweede meting is gedaan vlak nadat de leerlingen instructie hebben gekregen over de lesdoelen en enkele toepassingen hiervan hebben uitgevoerd. De beheersing is hier zodoende hoog. Voor de derde meting geldt hetzelfde als de eerste meting alleen wordt hier complexere stof gevraagd die gecombineerd wordt met de leerdoelen uit de eerdere lessen. Zodoende is de beheersing hier lager. De laatste meting wordt beïnvloedt door het tijdsverschil tussen instructie en meting en door de iets hogere moeilijkheidsgraad van de geteste stof. Meer meetpunten zijn nodig om een echt verband te vinden maar het lijkt erop dat er wel degelijk een verband is tussen beheersing van voorkennis uit eerdere hoofdstukken of lessen en de beheersing
van leerdoelen in een later stadium.
1
Verbetering resultaten
Het effect van de interventie is niet alleen zichtbaar in de motivatie maar moet ook zichtbaar zijn in de resultaten. Zodoende is de effectgrote van de interventie bepaald met behulp van de volgende formule:
2 1 1 E
Waarin E(-) de effectgrote is,
2 de gemiddelde afwijking tussen het toets cijfer en het gemiddelde cijfer van de interventie groep is,
1 de gemiddelde afwijking tussen het toets cijfer en het gemiddelde cijfer van de controle groep is en
1 de standaardafwijking van de hele populatie van de controle groep is. Tabel 7 laat de gemeten data zien waarmee de effect grote berekend is. De data is gecorrigeerd voor al aanwezige groei van het gemiddelde binnen de interventie en controle groep.TABEL 7: EFFECT GROTE INTERVENTIE
Interventie groep (2) Controle groep (1) Verschil gemiddelde cijfer en
toets cijfer (
)0,94 0,43
Verschil na correctie trendlijn 0,83 0,36
Standaardafwijking (
1) 1,23Effect grote (E) 0,42 of 0,41 (met correctie voor trend)
Hatie[ CITATION Hat11 \l 1043 ] geeft in zijn analyse van vele metastudies aan dat effect grote boven de 0,4 gewenste effecten zijn binnen het onderwijs en zodoende lijkt de interventie geslaagd.
CONCLUSIE
MOTIVATIE
De interventie lijkt geen invloed gehad te hebben op de motivatie van de leerlingen uit deze klas. Er zijn kleine systematische verschillen opgetreden tussen de begin en eind meting die over het algemeen positief gevonden kunnen worden. Er lijkt namelijk een verschuiving plaats te vinden naar de effectievere soorten motivatie. Deze veranderingen zijn echter zo klein dat ze alle binnen de standaardafwijking van de data vallen. Dit maakt het erg lastig om een uitspraak te doen over de invloed van de interventie op de motivatie van de leerlingen.
Er zijn verschillende opties tot het verbeteren van de motivatie meting. De verkregen motivatie data kan niet vergeleken worden met een controlegroep omdat deze meting niet uitgevoerd is. Het ontbreken van controle data maakt het onmogelijk om te zeggen in welke mate de interventie groep al
gemotiveerd was. Het is goed mogelijk dat de groep al vrij hoog of laag gemotiveerd was waardoor de gemeten verschillen minimaal zijn.
Daarnaast spelen vele andere variabelen nog een rol bij het meten van motivatie. De groep kan
vermoeid zijn omdat het einde van het jaar nadert, de sfeer in de klas kan veranderd zijn en zo nog
1
vele anderen. Om dit uit te kunnen sluiten moet deze interventie eigenlijk in meerdere klassen gedaan worden en dient de motivatie op meerdere momenten gemeten te worden.
Hatie[ CITATION Hat11 \l 1043 ] geeft aan dat onderwijs interventies minimaal 5 maanden toegepast moeten worden voordat een effect te herleiden is tot de interventie. Binnen de huidige structuur van het ontwerponderzoek is dit echter onmogelijk en zodoende zullen alle onderzoeken, dus ook deze, een groot vraagteken hebben bij de reproduceerbaarheid van het resultaat of het effect zoals dat door Hatie genoemd wordt.
KENNISOPBOUW
Uit de data gehaalde trendlijnen laten zien dat een slechtere voorkennis wel leidt toch een slechtere beheersing van de stof maar door het ontbreken van een groep leerlingen met een lage voorkennis is er geen direct verband te leggen tussen de voorkennis van een leerling en de beheersing van nieuwe stof. Het meten van kennisopbouw bij wiskunde en dit relateren aan de kennisopbouw binnen andere vakken heeft behoefte aan een grotere data set van meerdere meetmomenten bij verschillende onderwerpen.
De opbouw van kennis lijkt geslaagd te zijn. De meeste leerlingen hebben een beheersing van de stof laten zien die voor een groot deel van de leerdoelen boven de 80 % lag. Een relatie tussen voorkennis en eindresultaat kan sterker naar voren gebracht worden door de volgende punten:
Het verband tussen voorkennis en nieuwe stof kan nog duidelijker gemaakt worden door ook de
tussenmetingen in een spreidingsdiagram te zetten. Het aantal meetpunten op verschillende momenten zal groter moeten zijn om een uitspraak te kunnen doen over de kennisopbouw. Daarnaast heeft de moeilijkheidsgraad van de meetmomenten nog een grote invloed gehad op de beheersingsscores. Om een vergelijking te kunnen trekken tussen kennisopbouw met en zonder interventie zal ook bij de controlegroep de kennisopbouw gemeten moeten worden.
INVLOED OP RESULTATEN
De eind resultaten van de interventie groep zijn over het algeheel gezien beter als de resultaten van de controlegroep. De grootste invloed lijkt zichtbaar te zijn bij de leerlingen die onder een 8 scoren. De vraag is echter of dit enkel het resultaat is van de interventie. Beide groepen zijn onlangs overgestapt naar wiskunde A en wiskunde B toetsen. De leerlingen die wiskunde B hebben gekozen krijgen moeilijkere toetsen waardoor hun cijfers over het algemeen gezien lager zijn terwijl de wiskunde A leerlingen geen wiskunde B onderdelen meer hoeven te leren waardoor hun cijfers juist hoger zijn. De groep wiskunde A leerlingen is aanzienlijk groter als de groep wiskunde B leerlingen waardoor het gemiddelde stijgt. Daarnaast heeft voor het begin van de interventie al een verandering in mijn docenthouding plaatsgevonden die ook al enige invloed heeft gehad op de motivatie van de klas. Al met al is er een duidelijke verbetering in de resultaten meetbaar maar de directe oorzaak daarvan is binnen de gegeven mogelijkheden van het ontwerponderzoek niet te bepalen omdat teveel factoren de meting nog beïnvloeden.
2
0
TERUGBLIK
Na het uitvoeren van het onderzoek zijn de volgende verbeterpunten voor het ontwerp van de lessen naar vornen gekomen: Het ontwikkelen van goed materiaal is tijdrovend en gedurende de ontwikkeling van de lessenserie ben ik beter
geworden in het ontwikkelen en toepassen van de ontwikkel strategieën die in de theorie vermeld zijn zodoende had ik voor de interventie meer en beter materiaal willen ontwikkelen. Materiaal met meer context en meer aansluiting met de belevingswereld van de leerlingen zou in mijn ogen ideaal zijn geweest. Daarnaast had ik graag meer wiskundige denkactiviteiten willen verwerken in de opdrachten.
Het ontwikkelde materiaal is in mijn ogen nog teveel op de stijl van het boek gericht. Ik heb de wens om het boek meer los te laten maar de ratio lessen en te behandelen stof maakt het moeilijk om op deze manier lessen te vullen. De strategie van het boek lijkt het efficiëntst qua tijd maar heeft een negatieve invloed op de motivatie van de leerlingen.
Reflectie is een van de sterkste vormen van leren en zodoende had ik gedurende de lessen de leerlingen zelf meer willen laten reflecteren. De manier waarop ik dit in de lessenserie heb geïntegreerd heeft in mijn ogen te weinig individuele aanspreekbaarheid.
Het materiaal en de lessen hadden nog meer een visuele component kunnen bevatten. De effect meting zou ik met ongelimiteerde tijd en mogelijkheden als volgt willen verbeteren:
Een vergelijking van de motivatie van de interventie groep in vergelijking met een controle groep had de motivatie van de interventie groep in een ander daglicht kunnen stellen. Een meting van de motivatie van een andere vergelijkbare klas had dus wenselijk geweest.
De motivatie van de leerlingen verandert niet binnen enkele weken. De motivatie meting had dus plaats moeten vinden over een langer tijdsbestek. Een minimum van 5 maanden interventie schijnt vereist te zijn om een herleidbaar effect te meten
Gedurende de langer periode zijn meer metingen wenselijk om de verandering van de motivatie in kaart te brengen. Een begin en eind meting zijn zeer karig en zeggen eigenlijk weinig over de veranderende motivatie.
Voor alle andere gemeten effecten zijn meerdere metingen wenselijk, de kennisopbouw en het effect van de interventie op het cijfer zijn alle tijdsafhankelijk.
Het is mogelijk om een beter beeld te krijgen van de kennisopbouw door de tussenmetingen te vergelijken met de daarvoor opgedane voorkennis. Deze data is beschikbaar voor een kleine groep leerlingen en kan uitgevoerd worden maar is niet gedaan vanwege tijdsgebrek
De kennisopbouw bij andere vakken en de afhankelijkheid van voorkennis bij deze andere vakken heb ik niet in de theorie kunnen terug vinden. Zodoende kan er ook geen vergelijking getrokken worden tussen de kennisopbouw bij wiskunde en andere vakken. Een idee is om de cijfers van een toets bij een ander vak te relateren aan het
gemiddelde of een andere toets waarin de benodigde voorkennis voor de laatste toets getoetst is.
De interventie lijkt op cijferniveau succesvol maar er spelen meerdere variabele mee in de verandering van het cijfer beeld. Om deze veranderingen uit te sluiten kan de interventie uitgevoerd worden bij een andere klas met een andere docent.
Een enkele uitvoering van de interventie zegt nog niks over de effectiviteit van de interventie. De interventie dient in mijn ogen minimaal in 4 andere vergelijkbare klassen uitgevoerd te worden om het effect met zekerheid te kunnen bevestigen.
2
1
LIJST VAN FIGUREN
Figuur 1: Motivatie volgens Deci & Ryan...3 Figuur 2: Motivatie van 3 VWO klas 3C op likert schaal van 0 tot 4...3 Figuur 3:Schemtisch overzicht motivationeel proces...4 Figuur 4: Meetmethoden verschillende interventies...8 Figuur 5: Eindmeting Gemiddelde motivatie...10 Figuur 6: Eindmeting Motivatie huiswerk...12 Figuur 7:EIndmeting motivatie lestaak...13 Figuur 8:Eindmeting motivatie moeilijke opdrachten...13 Figuur 9:Eindmeting motivatie presteren...14 Figuur 10: Spreidingsdiagram beheersing voorkennis en eindtoets...16 Figuur 11: Spreidingsdiagram gemiddelde cijfer en eindtoets...17 Figuur 12: Sequentieel gemeten Beheersing leerdoelen...18 Figuur 13: Begin meting algemene motivatie...46 Figuur 14:Motivatie nederlandse leerling wiskunde en lezen...47
LIJST VAN TABELLEN
Tabel 1: Randvoorwaarden effectieve ingrepen...7 Tabel 2: VErschil eindmeting en startmeting gemiddelde motivatie...11 Tabel 3 Verschil eindmeting en beginmeting Huiswerk motivatie:...11 Tabel 4:Verschil eindmeting en beginmeting lestaak motivatie...12 Tabel 5:Verschil eindmeting en beginmeting moeilijke opdrachten motivatie...14 Tabel 6:Verschil eindmeting en beginmeting motivatie presteren...15 Tabel 7: Effect grote interventie...19
2
2
BIBLIOGRAFIE
Deci, E., & Ryan, R. (1985). Intrinsic motivation and self-determiantion in human behaviour. New York: Plenum.
Deci, E., & Ryan, R. (2000). Intrensic and Extrensic Motivations:Classic definitions and new directions. Contemporary eduacational psyschology.
Drijver. (2012). Handboek wiskunde didactiek. In A. v. P.Drijvers, Handboek wiskunde didactiek. Amsterdam: Epsilon uitgaven.
Dweck, C. (2007). Mindset. Random House Usa Inc.
Leon, J., Nunez, j., & Liew, J. (2015). Self-determination and STEM education:Effects of autonomy, motivation and self-regulated learning on high school math achievment. Elsevier:Learning and individual differences 43, 156-163.
Lockheart, F. C. (1972). Levels of processing: A framework for memory research. Jourerbal Learning and Verbal Behaviour, 671-684.
OECD. (2013). PISA 2012 Results: Ready to Learn: Students Engagement, Drive and Self-Beliefs. Paris: OECD Publishing.
OECD. (2016). Netherlands 2016:Foundation for the future, Reviews of teh national policies for education . Paris: OECD Publishing.
Van Steenkiste, M. e. (2005). Hoe kunnen we leren en presteren bevorderen? Een autonomie-ondersteundend versus controlerend schoolklimaat. Caleidoscoop 17, 18-25.
Van Steenkiste, M., & al, e. (2004). Motivating persistence deep level learning and achievment: The synergistic role of intrinisc autonomy supportive context-goal content. Journal of Personality and Social Psychology 87, 246-260.
Woolfolk, A. (2008). Psychology in education. In A. H. Woolfolf, Psychology in education. Essex: Pearson Education Limited.
2
3
BIJLAGEN
Bijlage 1: Lesplannen
LES 0: VOORKENNIS HERHALEN EN FORMATIEF METEN
Lesplan wiskunde
Datum:9 mei 2016 Tijd: 1 uur Klas: 3de vwo
Lesonderwerp Voorkennis linieare formules opstellen en afbeelden & kwadratische formules oplossen en verschuiven
Beginsituatie De stof moet al beheerst worden Leskern Herhalen benodigde voorkennis
Leerdoelen 1. Lineaire formules opstellen uit een grafiek 2. Lineaire formules opstellen uit een tabel 3. Lineaire formules afbeelden
4. Oplossen kwadratische formules in de vorm x^2=c 5. Verschuiven van kwadratische formules
Docentdoelen Activeren voorkennis en meten voorkennis Boek Geen (Eigen materiaal)
Hulpmiddelen Bord
Tijd (min) Lesfase Leerdoel Wat ik doe en zeg
Wat zij doen Leeractiviteit
5 min uitleg 1,2,3 Lin.
formule opstellen Meeschrijven /noteren Uitleg krijgen Luisteren 10 min Zelfstandig verwerken lestaak deel 1 1,2,3 Proces hulp Verwerken en toepassen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen
5 min uitleg 4,5 Translatie Meeschrijven
/noteren Uitleg krijgen Luisteren 15 min zelfstandig verwerken lestaak deel 2 4,5 Proces hulp Verwerken en toepassen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen 10 min formatieve toets 1,2,3,4,5 Stilte bewaren Toepassen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen 5 min feedback 1,2,3,4,5 Bespreken Controleren
Verbeteren
Controleren Verbeteren
2
4
LES 1:EXPONENTIELE GROEI/AFBEELDEN
Lesplan wiskunde
Datum: 11 mei 2016 Tijd: 1 uur Klas: 3de vwo
Lesonderwerp Exponentiele functies afbeelden en exponentiele functie waarde bepalen Beginsituatie Functie waardes bepalen bij al bekende functies (lineair, kwadratisch
enz.)
Afbeelden van al bekende functies (lineair, kwadratisch enz.)) Leskern Concept exponentiele functie plaatsen
Leerdoelen Gebruiken exponentiele functies
berekenen van exponentiele functie waarden en uitzoeken exponent
Tabellen invullen/ opstellen van exponentiele functies Afbeelden exponentiele functie in grafiek
Docentdoelen Aansluiten exponentiele functies bij voorkennis afbeelden en rekenen met functies
Boek Eigen materiaal Hulpmiddelen Bord
Tijd (min) Lesfase Leerdoel Wat ik doe en zeg
Wat zij doen Leeractiviteit
5 min uitleg 1,2 Waardes
bepalen Meeschrijven /noteren Uitleg krijgen Luisteren 10 min Zelfstandig verwerken lestaak deel 1
1,2 Proces hulp Verwerken en toepassen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen
5 min uitleg 3,4 Afbeelden
exp functie Meeschrijven /noteren Uitleg krijgen Luisteren 15 min Samen verwerken lestaak deel 2
3,4 Proces hulp Verwerken en toepassen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen 10 min formatieve toets 1,2,3,4 Stilte bewaren Toepassen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen 5 min feedback 1,2,3,4 evalueren Controleren
Verbeteren
Vertellen Beschrijven Analyseren
LES 2: EXPONENTIELE FORMULES OPSTELLEN
Lesplan
wiskunde Datum: 13 mei 2016 Tijd: 1 uur Klas: 3
de vwo
Lesonderwerp Opstellen exponentiele functies
Beginsituatie Het begrip functie en exponentieel zijn bekend
Leskern Context rijke manier om nut opstellen functie te laten zien
Leerdoelen Begrip groeifactor en start waarde exponentiele functies
2
Exponentiele formules opstellen aan de hand van groeifactor en startwaarde
Snijpunt bepalen van een exponentiele functie en een lineaire functie aan de hand van een tabel
Docentdoelen Sterk inzetten op context met eindopdracht Boek Getal en ruimte vwo 3 deel 2 en eigen materiaal Hulpmiddelen Bord
Tijd (min) Lesfase Leerd oel
Wat ik doe en zeg
Wat zij doen Leeractiviteit 5 min uitleg 1,2,3 Exp functie
opstellen Meeschrijven /noteren Uitleg krijgen Luisteren 10 min Zelfstandig verwerken lestaak
1,2,3 Proces hulp Verwerken en toepassen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen 5 min Uitleg eindopdracht Verduidelijken eindopdracht Meeschrijven /noteren Uitleg krijgen Luisteren 20 min eindopdracht 1,2,3 Proces hulp Toepassen Aantonen
Vergelijken Verbanden leggen Toepassen
5 min feedback 1,2,3 evalueren Controleren
Verbeteren Vertellen Beschrijven Analyseren
2
6
LES 3: RELATIE GROEIFACTOREN EN PERCENTAGES
Lesplan wiskunde
Datum: Tijd: 1 uur Klas: 3de vwo
Lesonderwerp Procentuele verandering en de groeifactor Beginsituatie De leerlingen zijn bekend
Leskern Relatie tussen groeifactor en procentuele verandering
Leerdoelen Relatie groeifactor en herhaaldelijke procentuele verandering Formule kunnen opstellen uit procentuele toe/afname
Docentdoelen Verband tussen twee onderwerpen leggen
Boek Getal en ruimte 3vwo deel 2 hoofdstuk 6 paragraaf 2 Hulpmiddelen Bord
Tijd (min) Lesfase Leerdoel Wat ik doe en zeg
Wat zij doen
Leeractiviteit
5 min uitleg 1 Leskern
verduidelijken Luisteren/ opschrijve n Uitleg krijgen Luisteren 5 min Begeleid inoefenen losse opdracht
1 Proces hulp Verbande
n leggen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen
5 min uitleg 2 Voorbeeld Luisteren/
opschrijve n Uitleg krijgen Luisteren 5 min Toepassen in verhaalsom
2 Proces hulp Toepasse
n Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen 2 min Klassikale controle 2 Antwoorden bespreken Controlere n Verbeteren Controleren Evalueren 15 min Samenwerke n lestaak
1,2 Proces hulp Toepasse n Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen
10 min Mindmap 1,2 Sturen
mindmap Verschille nde onderwerp en verbinden Verbanden leggen
2
7
LES 4: INTERPOLEREN/EXTRAPOLEREN UIT TABELLEN. LINEAIR, EXPONENTIEEL HERKENNEN
Lesplan wiskunde
Datum: Tijd: 1 uur Klas: 3de vwo
Lesonderwerp Interpoleren/Extrapoleren
Beginsituatie De leerlingen zijn bekend met de eigenschappen van zowel lineaire als exponentiele functies
Leskern Soorten tabellen herkennen en functiewaarden buiten de gegeven waarden bepalen door inter/extrapolatie
Leerdoelen Herkennen van exponentiele of lineaire functies uit een tabel Groeifactor en startwaarde uit een tabel opstellen
Exponentiele of lineaire Formule opstellen uit een tabel Interpoleren en extrapoleren met behulp van lineaire en
exponentiele tabellen
Uitleggen waarom er een afwijking is bij interpoleren en extrapoleren van exponentiele functies
Uitleggen waarom er geen afwijking is bij het interpoleren/extrapoleren van lineaire functie
Docentdoelen Begrip inter en extrapollatie en nadruk op benadering leggen Boek Getal en ruimte 3vwo deel 2 hoofdstuk 6 paragraaf 3
Hulpmiddelen Bord
Tijd (min) Lesfase Leerdoel Wat ik doe en zeg
Wat zij doen Leeractivitei t
10 min uitleg 1,2,3 Meeschrijven/n
oteren Uitleg krijgen Luisteren 15 min Zelfstandig verwerken lestaak deel 1
1,2,3 Proces hulp Verwerken en toepassen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen
10 min Uitleg 4,5 Meeschrijven/n
oteren
Uitleg krijgen Luisteren 10 min samenwerken 4,5 Proces hulp Verwerken en
toepassen Aantonen Vergelijken Verbanden leggen Toepassen
10 min Mindmap Alle
lesdoelen Alle lessen met elkaar verbinden Verbinding leggen tussen alle lessen en onderwerpen Verbanden leggen Ordenen Samenvatte n
LES 5 : AUTHENTIEKE TAAK: HET TREINEN PROBLEEM
Lesplan wiskunde
Datum: 24 mei 2016 Tijd: 1 uur Klas: 3de vwo
Lesonderwerp Exponentiele relaties leggen en opstellen Beginsituatie Alle voorgaande lessen zijn bekend
Leskern Exponentieel verband vinden in een toepassing
2
Leerdoelen Zie vorige lessen
Docentdoelen Context en denkactiviteit aanbieden Boek Eigen materiaal / Mathematical mindsets Hulpmiddelen
-Tijd (min) Lesfase Leerdoel Wat ik doe en zeg Wat zij
doen Leeractiviteit
5 min Opdracht
uitleggen
1 Uitleggen luisteren Uitleg
krijgen Luisteren 45 min Werken aan
denkactiviteit 1 Assisteren op proces, monitoren samenwerking Verwerken in groepen Hogere denkacti viteiten
10 min Evalueren 1 Samen evalueren
Resultaten bespreken Verbanden leggen Tegen elkaar afzetten Hogere denkacti viteiten
2
9
Bijlage 2: Lesmaterialen
Voorkennis
VOORKENNIS HOOFDSTUK 8
LINEAIRE FORMULES OPSTELLEN EN KWADRATISCHE
FUNCTIES VERSCHUIVEN
Opdracht 1:
De volgende twee functies zijn gegeven:
( )
3
4
( ) 2
2
f x
x
g x
x
a) Beeld de twee gegeven functies af in een grafiek
b) Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van deze twee functies
c) Geef de helling en het snijpunt met de y-as van beide functies.
Opdracht 2:
a) Geef van de grafiek hiernaast de helling en het snijpunt met de y-as
b) Stel de formule op van f(x)
c) Bereken zonder de formule te gebruiken wat de functiewaarde van f is als x = -6
Opdracht 3:
X
-2
-1
0
1
2
Y
f0
1
2
3
4
Y
g4
1
0
1
4
3
Hierboven zijn de functie waarden gegeven van de functies f(x) en g(x)
a) Welke functie is lineair ? Beschrijf waarom deze functie lineair is?
b) Stel van de lineaire functie de formule op. Geef duidelijk de helling en het snijpunt met de
y-as.
Opdracht 4:
Op 1 januari 2010 telde de plaats Zevenhoven 4200 inwoners. Jaarlijks neemt dit aantal
met 25 toe. Het aantal inwoners van Kruisweg neemt jaarlijks met 40 toe. Op 1 januari
2010 had Kruisweg 3900 inwoners.
a) Stel voor beide plaatsen de formule op van het aantal inwoners N. Neem de tijd t in jaren met
t = 0 op 1 januari 2010.
b) Bereken in welk jaar Zevenhoven en Kruisweg evenveel inwoners hebben.
c) Bereken in welk jaar Zevenhoven en Kruisweg samen 10
050 inwoners hebben.
Opdracht 5:
Los op.
a)
x2 6 7xb)
x2 7 6xc)
(2x5)(6 3 ) 0 x d)
a2 2a13
1
e)
16p
2
13p
2
12f)
2x2 6x224xOpdracht 6:
Bij de boog van de brug in de figuur
hiernaast hoort de formule
0, 008( 10)( 55).
h x x
Hierin zijn x en
h in meters.
a) Bereken de afstand tussen de punten A
en B.
b) Hoeveel meter ligt het hoogste punt van
de brug boven het wegdek?
Opdracht 7:
Hoe zijn de volgende functies verschoven:
a)
2 ( ) 3 3 6 f x x b)
2 1 ( ) 2 3 2 g x x c)
2 ( ) 0, 44 7 30 h x x Opdracht 8:
De grafiek van
y
3
x
2wordt telkens verschoven.
Stel de formule op van de beeldgrafiek.
a) 5 omhoog en 1 naar links
b) 8 naar rechts en 3 omlaag
3
3
3
Exponentiele vergelijkingen oplossen
EXPONENTIELE
VERGELIJKINGEN OPLOSSEN
Methode 1: Gelijke exponenten algebraïsch oplossen
Opdracht 1: Los algebraïsch op a) 2x 8 d)
2
2x
2
b) 3x127 e)2
2x
1
c) 2x164 f) 22
x
16
Opdracht 2: Los algebraïsch op
a) 3 2 x 4 28 d) 3 2 2x 48 b) 3x1 2 25 e) 5 2 x 5 85 c) 5 2 3x1 80 f) 2x x2
Methode 2: Logaritmen algebraïsch oplossen met de rekenmachine
De hierboven aangeboden methode voor het oplossen van een exponentiele vergelijking is alleen handig als beide kanten van de vergelijking met hetzelfde grondgetal als exponent te schrijven zijn. De vergelijking 2x5 is bijvoorbeeld erg lastig op deze manier op te lossen. 5 is namelijk niet als 2 tot de macht van een geheel getal te schrijven. Om deze vergelijking toch op te kunnen lossen wordt het
logaritme gebruikt.
3
Het logaritme
log
g
a e
is de omgedraaide operatie van de exponent, net zoals delen de
omgedraaide operatie is van vermenigvuldigen en aftellen de omgedraaide operatie is van optellen. Zo kan het logaritme gebruikt worden om de bovenstaande vergelijking op te lossen:
2
2
5
log 5 2,321928... 2,32
xx
Om de exponent (e) uit te rekenen wordt het grondgetal (g) van de macht samen met het antwoord (a)
in het logaritme geplaatst
Om het logaritme uit te rekenen moet op de rekenmachine het volgende gedaan worden: 2
log 5
log 5
2,32
log 2
4log 6
log 6
1, 29
log 4
12log 3
log 3
0, 44
log12
Opdracht 3: Los algebraïsche op
a) 2x 7 d) 3 2 x 15 b) 3x28 e) 4 3 x 2 14 c) 4x 2 f)
16 1,3
x
32
Opdracht 4:
Gegeven is de formule
N
850 1, 032
ta) Geef de startwaarde en de groeifactor
b) Welke procentuele verandering hoort bij deze groeifactor? c) Bereken algebraïsche bij welke t, N precies 1000 is.
Opdracht 6
a) Los de volgende vergelijkingen algebraïsche op
3
x
3
4
x
4
5
x
5
b) Wat valt je op aan de antwoorden
3
c) Is het met behulp van het bovenstaande antwoord mogelijk om een wortel als een macht te schrijven en schrijf de bovenstaande wortels dan als machten?
Eindopdracht
Delano, Tijs en Donner hebben in hun vrije tijd een Youtube kanaal opgezet (DTD). Ze hopen hiermee geld te gaan verdienen. Dit gebeurt met reclame gelden die per view worden uitbetaald. Het probleem is echter dat ze nog niet genoeg views hebben om boven het uitbetalingsminima te komen.
Het aantal views (V) van Youtube filmpjes groeit vaak exponentieel en het geval van het kanaal van deze jongens gebeurt dat gemiddeld per filmpje volgens de volgende formule:
V =240 ∙ 1,03
t waarint het aantal weken is.
a) Geef de startwaarde en groeifactor van deze formule en beschrijf wat deze betekenen. b) Hoeveel views zijn er na 10 weken?
c) Bereken algebraïsche hoeveel weken het duurt voordat elk van de 1000 euro met hun Youtube kanaal verdient hebben. Zoek via het internet de benodigde informatie op
Het DTD kanaal maakt een vlog die viral gaat. De video begint met 2 views en vertienvoudigt elke week in aantal views.
d) Geef de exponentiele formule voor het aantal views van dit filmpje.
e) Bereken algebraïsche hoelang het duurt voordat er een miljoen euro aan reclame geld verdient is met deze viral.
3
6
Wiskundige denkactiviteit
TREINEN PROBLEEM
HOEVEEL MANIEREN ZIJN ER OM EEN TREIN SAMEN TE STELLEN1. Zoek met hulp van de blokjes uit hoeveel manieren er zijn om een trein met een lengte van twee van de kleinste blokjes te maken
2. Zoek met hulp van de blokjes uit hoeveel manieren er zijn om een trein met een lengte van vier van de kleinste blokjes te maken
3. Hoeveel manieren zijn er om een trein te maken met een lengte gelijk aan 10 van de kleinste blokjes
4. Stel de formule op van het aantal blokjes in verband met de lente van de trein
5. Welke verbanden kan je vinden tussen de verschillende samenstellingen (probeer een pyramide te maken van alle verschillende mogenlijkheden)
6. Verzin een moeilijkere vraag en probeer deze te beantwoorden.
7. Beschrijf het verband tussen het treinenprobleem en de in dit hoofdstuk geleerde stof2
2 Bron: Mathematical Mindsets Boaler, J. 2016
3
7
Bijlage 3: Onderzoeksinstrumenten
VRAGENLIJST MOTIVATIE:
www.socrative.com sharecode: SOC-20749814
Engelse versie: http://psych.rochester.edu/SDT/measures/selfreg_acad.html EINDTOETSEN
Wiskunde A
Toetsopgaven 3 VWO deel 2
Hoofdstuk 8 Allerlei verbanden
OPGAVE 1
De Europese Commissie heeft afspraken gemaakt met de autofabrikanten om de uitstoot van schadelijke stoffen te verminderen. Een van de resultaten is dat in Nederland de hoeveelheid koolmonoxide die personenauto’s in een heel jaar uitstoten met 3,6% per jaar afneemt. In 2010 werd door personenauto’s 315 miljoen kg koolmonoxide uitgestoten. 2p a Stel de formule op van de jaarlijkse uitstoot K van koolmonoxide door personenauto’s in
Nederland. Neem K in miljoenen kg en de tijd t in jaren met t = 0 in 2010.
1p b Hoeveel koolmonoxide zal er naar verwachting door personenauto’s in 2018 worden uitgestoten?
4p c Hoeveel procent minder koolmonoxide wordt er door personenauto’s in 2020 uitgestoten vergeleken met 2010?
2p d In welk jaar is de uitstoot van koolmonoxide door personenauto’s voor het eerst minder dan 200 miljoen kg?
3p e Van de totale uitstoot van koolmonoxide door het wegverkeer is 75% afkomstig van personenauto’s.
In welk jaar is de totale uitstoot van koolmonoxide voor het eerst minder dan 200 miljoen kg?
3
8
OPGAVE 2
Gegeven zijn de volgende tabellen. I t 0 1 2 3 4 N 800 400 200 100 50 II t 0 1 2 3 4 N 800 740 680 620 560 III t 0 1 2 3 4 N 80 120 180 270 405 IV t 0 1 2 3 4 N 8,5 17 25,5 34 42,5
2p a Welke tabellen horen bij lineaire groei? Waarom? 2p b Welke tabellen horen bij exponentiële groei? Waarom? 4p c Stel bij elke tabel de formule op.
4p d Bereken voor elke tabel N voor t = 7.
3
9
OPGAVE 3
In de tabel zie je de aantallen inwoners in miljoenen van de vijf grootste wereldsteden.
AANTALINWONERS INMILJOENEN
1950 1970 2012 1 New York 12,4 2 Londen 8,7 3 Tokio 6,7 4 Parijs 5,4 5 Sjanghai 5,3 1 New York 16,2 2 Tokio 14,9 3 Sjanghai 11,2 4 Mexico-Stad 9,4 5 Londen 8,6 1 Tokio 31,2 2 Mexico-Stad 21,5 3 New York 18,3 4 Sao Paulo 17,9 5 Mumbai 7,4
3p a Geef door interpoleren een schatting van het aantal inwoners van New York in 1958. 3p b Geef door interpoleren een schatting van het aantal inwoners van Tokio in 2000. 3p c Geef door extrapoleren een schatting van het aantal inwoners van Mexico-Stad in
2020.
OPGAVE 4
In de figuur hieronder zie je de grafiek van een periodiek verband. Hierin is t in weken.
3p a Lees de periode, de evenwichtsstand en de amplitude af. 2p b Geef N voor t = 130.
2p c Noem drie tijdstippen na t = 100 waarop de hoogste stand wordt bereikt. 1p d Op welk tijdstip na t = 250 wordt de laagste stand voor het eerst weer bereikt?
