Vaardigheden 2

Vaardigheden 2.

Domein en bereik van wortelfuncties 1. a. _9x2 _{0 b. x}2_{ 1 0 c. x}2_{ 5 0} 2 ₉ 3 3 x x     2 ₁ 1 1 x x en x     2 ₅ x    d. _x2_{4x 5 0 e. 6x}2 _{0 f. x}4_2x3 _0 ( 5)( 1) 0 1 5 x x x en x       2 ₆ 6 6 x x     3_{( 2) 0} 0 2 x x x en x     2.

a. _x2_{2x10 0 voor alle waarden van x. Dus :}

f

D  en B_f : 3 ,



 b. Ook bij deze functie is het domein _ . Het bereik: 1

3 0 , _ c. ₁ 2 ₀ x   D_f : , 0 



2 , en B_f : 0 , 1



 1, 2 ₁ 0 2 x x en x    d. 2 x 0 en x0 D_f : 0 , 2



en B_f : 0 ,



 2 x 3. a. x 1 0 1 x b. Randpunt: (1, 1)

c. Vanwege het domein snijdt de grafiek niet de y-as. Omdat 2 x1 voor alle waarden van x uit het domein groter of gelijk is aan 0 zijn de functiewaarden allemaal groter of gelijk aan 1. De grafiek snijdt de x-as dus ook niet.

Vergelijkingen oplossen 4. a. x 2 x b. x  2 x 4 c. 3 x  x 2 2 2 2 2 0 ( 2)( 1) 0 2 1 x x x x x x x x             2 2 2 8 16 9 14 0 ( 2)( 7) 0 2 7 x x x x x x x x x              2 2 3 2 9 4 4 5 4 0 ( 1)(x 4) 0 x x x x x x x x            1 4 x  x d. 3 2 x _{x e.} 3 x   2 2 x f. 2 x5  2x  94 2 2 1 4 3 2 9 4 4 9 0 (4 9) 0 0 2 x x x x x x x x x x          2 2 3 2 2 9( 2) 4 4 13 14 0 ( 14)( 1) 0 14 1 x x x x x x x x x x x                  5 4 9 9 4 2 2 2 2 4 2 4 x x x x x x      

5. a. x 4 x 2 4 4 4 4 0 0 x x x x x       b. _x42  2_x 2 2 4 4

x  x dit is waar voor alle waarden van x. Maar, er moet wel gelden:

2 ₀ x  . En dat geldt voor x 0. c. 1 2 1 3 3

4x  4 x  2 x 2x x dat geldt voor x0

6.

a. _x2_{ 1 0 voor alle waarden van x. Het domein is}

 . b. x 2 0

2 x 

c. Voor grote waarden van x geldt: _x2_{ 1 x}2 _{| |x}

Als x groot negatief is: ( ) x 1

x

f x  _   : H.A. y  1 Als x groot positief is: ( ) x 1

x f x   : H.A. y 1 d. ₂ 2 5 1 x x    2 2 2 2 2 1 2 2 5 5 4 4 5 5 4 4 1 0 (2 1) 0 2 1 0 x x x x x x x x x x               

e. De top van de grafiek ligt op y  5 Dus f x( ) 5 voor 1 2 x . Wortelvormen herleiden 7. a. 3 3 2 3 2 1 2 2 2  2 2  1 2 d. 2 3 2 3 3 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2       1 2 b. 6 6 3 6 3 3 3  3 3  2 3 e. 1875  625 3  625 3 25 3 c. 2 4 2 4 4 16 7 3 3 81 9 ( 3) ( ) ( 3)   9 1 f. 2048  1024 2  1024 2 32 2 8. a. 1 2 2 x 1 x x x x    b. 1 2 2 2 1 1 x x x x x x  _{ }    x y 5 10 15 20 25 -5 -10 -15 -20 1 2 3 -1 -2

9. a. _x2_{4x 2 0} 2 2 4 ( 4) 4 1 2 4 ( 4) 4 12 2 2 4 8 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ABC formule x x x x                        b. 6 45 6 3 5 6 3 5 3 3 3 3 2 5  _  _{   } c. 8 112 8 4 7 8 4 7 2 1 12 12 12 12 3 3 7  _  _{   } 10. a. _x2_{  4 x 2 b. 2 x  2x c. x x 3x} 2 ₄ 2 _{4 4} 4 8 2 x x x x x       4 2 2 0 0 x x x x    3 2 3 2 2 9 9 ( 9) 0 0 9 x x x x x x x x         d. _2x3_4 2 e. _x2_{2x  x 2 f.} 2 x 3 x  _ 1 2 1 4 3 4 7 8 2 4 1 2 4 2 2 1 x x x x         2 ₂ 2 _{4 4} 2 4 2 x x x x x x         2 2 2 3 4 4 9 5 4 0 ( 1)( 4) 0 1 4 x x x x x x x x x x x               g. 2 x  x h. _{6 x 4} i. x x  11 2 2 2 4 4 5 4 0 ( 1)( 4) 0 1 4 x x x x x x x x x x x               6 16 10 100 x x x     3 3 11 11 x x  

Grafieken van wortelfuncties 11. a. f x( ) 4 4x 121 x x    b. 4 x x x  c. 1 '( ) 2 g x x  1 2 2 2 6 3 32 16 6 '( ) 6 '(4) f x x x x f          2 ₄ 2 2 x x x      1 2 2 1 1 2 2 2 '(2) 2 2 g b b       S(2, 2) 1 1 2 2 2 2 b   1 1 2 2 2 2 y   x d. 6 1 3 1 1 32 4 14 4 14 2 y         en 6 32 '(4) f  

12. a. b. _{g x( )f x( )x}2_{ 2 x}4_4x2 _{ (x}2_2)2 _{ x}4_4x2 _{  x}4_4x2_{ 4 x}4_4x2 _0 c. 2 4 2 1 2 2 4 x   x  x  2 1 4 2 2 4 2 1 4 2 4 2 1 4 1 1 2 2 1 4 3 2 4 2 1 1 x x x x x x x x x x             d. 1 2 ( ) ( ) g x f x  voor 1 1 2 2 1 , 1 x  13. a. f x'( ) 2x 1 x    b. '( ) 1 3 g x x  c. '( ) 3 2 h x x  1 2 1 2 1 2 '(4) 7 12 7 4 30 18 7 18 f b b b y x               1 9 1 9 1 9 '(9) 1 9 1 0 g b b b y x         1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 '(1) 1 5 1 1 1 3 1 3 h b b b y x          d. 1 2 1 2 ( ) 2 3 k x _{ }x _ x _ x 1 1 2 2 2 4 1 b 4 b       1 2 1 2 3 1 2 1 2 '( ) 2 6 '(1) 4 k x x x x k        1 2 1 1 2 2 6 4 6 b y x     14. a. 2x3 x 0 1 4 ( 2 3) 0 0 2 3 0 2 x x x x x x          Snijpunten: (0, 0) en 1 4 (2 , 0) b. 2x3 x  2 2 2 1 4 3 2 2 9 4 8 4 4 17 4 (4 1)( 4) 0 4 x x x x x x x x x x x              

Uit de grafiek volgt: x



0 , 4

c. '( ) 2 3 2 f x x    d.  2 23x 0 3 2 1 2 3 4 9 16 2 2 1 x x x x     In 9 1 16 8

( , 1 ) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn 0.

x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2

Extra oefening Basis.

B-1. a. _x4_{(3x9) 0 b. (t}2_{8 )(t t}4_{6 ) 0t } 4 _{0 3 9} 0 3 x x x x       2 4 3 8 0 6 0 ( 8) 0 ( 6) 0 t t t t t t t t           1 3 0 0 6 t   t   t c. ₍₂ 1_{) 4 10 0} x x    d. _16s2_{ 3s 7 0} 1 1 1 2 2 2 4 10 0 2 x x x x         2 1 3 16 3 7 4 4 2 s s s s s            B-2.

a. 3x 7 0 vert. asymptoot hor. asymptoot

1 3 3 7 2 x x   2 ₂ 2 2 x x x      0 y 

b. _{1 t t}2 _{0 geen vert. asymptoot hor. asymptoot}

1 1 1 1 2 2 5 2 2 5 ABC formule x x         1 y  

c. _s3 _{4s0 vert. asymptoot geen hor. asymptoot} 2 ( 4) 0 0 2 2 s s s s s         2 3(5 ) 0 5 5 s s en s      d. 2 3 2 1 3( 1) (2 1) 2 2 3 ( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) m m m m m m k m m m m m m m m m                 2

2m 2m 3 0, discriminant is kleiner dan 0, dus geen nulpunten. Verticale asymptoten: m0 en m1 Horizontale asymptoot: y 2 B-3. a. b. _{f x( ) (5 x}2_{20)(20x}2_{) 5x}4_80x2_400 3 2 '( ) 20 160 20 ( 8) 0 0 2 2 2 2 (0, 400) ( 2 2, 720) (2 2, 720) f x x x x x x x x               c. '( ) 3 12 2 3 1 2 2 12 2 g x x x x         3 3 12 2 0 12 2 x x x      3 3 12 2 12 2 3 3(12 2 x) 36 6 x 9 x 36 x 4 x x x x          (4, 24) x y 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 100 200 300 400 500 600 700 800 900 -100 -200 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 -2 -3 5 10 15 20 25 30 -5 -10 -15 -20 -25

B-4. a. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) 3 (3 7) 2 (6 3 ) ( 6 14 ) 3 14 6 '( ) (2 ) (2 ) (2 ) x x x x x x x x f x x x x                   b. 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 1 2 ) (1 ) 2 ( 2 2 1) (2 2 2 ) 4 1 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) t t t t t t t t t t t t t g t t t t                       c. 2 2 3 4 2 4 2 2 2 2 2 (15 3 )(3 4) ( 4 ) 6 ( 9 57 60) ( 6 24 ) '( ) (15 3 ) (15 3 ) s s s s s s s s s h s s s                  4 2 2 2 3 81 60 (15 3 ) s s s      d. 2 2 2 2 7 (7 1) 2 (2 1) 7 7 (14 2) (14 7) '( ) 2 (7 1) 2 (7 1) m m m m k m m m m m                  2 2 7 5 2m (7m 1)     B-5. a. 4 2 3 5 4 2 4 2 ( 16) 272 136 4 272 4352 '( ) 0 ( 16) ( 16) x x x x x x f x x x            5 4 272 4352 272 ( 16) 0 0 2 2 x x x x x x x            

De extremen zijn: 0 (voor x0) en 17 (voor x 2 en x 2)

b. _{g x'( ) 3( x1) (}2 _{x3) ( x1)}3 _{(x1) (3}2 _{x   9 x 1) (x1) (4}2 _{x8) 0}

1 2

x  x 

De extremen zijn: 0 (voor x1) en -27 (voor x 2). c. 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)(2 3) ( 3 ) 1 (2 3) ( 3 ) 2 3 '( ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) x x x x x x x x x x h x x x x                   2 _{2 3 ( 3)( 1) 0} 3 1 x x x x x x          

De extremen zijn: -9 (voor x 3) en -1 (voor x 1).

d. 1 1 23 3 3 '( ) 0 k x   x  2 3 1 1 1 x x x  _     De extremen zijn 2 3 1 (voor x  1) en 1 3 (voor x1). B-6. a. b. 1 2 2 (1) 2 (3) 2 (5) 2 3 2 1f  f  f       2 1 11 c. 49 6 3 6 9 6 47 6 3 6 50 50 50 50 50 50 50 50 50 0 ( ) ( ) ... (5 ) ( k) k f f f f        



  d. 6 3 47 6 1 50 50 50 50 ( ( , , , 5 , ) 11,6719 sum seq y x  x y 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7

B-7. a. _3x2_x3 _0 2_{(3 ) 0} 0 3 x x x x      b./c. 3 3 2 3 3 1 4 3 4 ₀ 4 0 (3 ) 6 Opp



x x dx_x  x _  B-8. a. f x( ) 2₂ 3₃ 2x 2 3x 3 x x       1 3 2 2 2 2 3 ( ) 2 2 F x x x x x         b. 1 4 2 ( ) (2 5) G x  x c. 1 2 ( ) 3(5 2 ) h x   x 1 2 1 ( ) (5 2 ) H x    x d. _{k x( ) 4(2 x5)}3 _{K x( ) (2x5)}2 B-9. a. 3 10 10 2 3 2 6 6 6 ( 2 5) ( 2 5) ( 2 5) 2x 5 x dx 2x 5 x dx 2x 5 x dx              







1 1 1 1 2 2 2 2 10 ₁₀ 1 1 2 1 1 3 3 3 3 2 2 (6(2 x 5) (2x 5) )dx 6(2x 5) (2x 5) 71 6 65        _    _   



b. 3 3 3 3 2 2 2 2 1 2 1 3 2 2 3 ₁ 3 1 1 1 (x x 3)dx (x  x 3)dx  (x x dx ) _ x  x _  4







B-10. a. _x3_2x2_{7x x}2_3x 3 ₃ 2 _{4 (} 2 _{3 4) ( 4)( 1) 0} 0 4 1 x x x x x x x x x x x x                (0, 0) (4, 4) (-1, 4) b. 0 0 0 3 2 2 3 2 1 4 3 2 3 3 4 ₁ 4 4 1 1 (x 2x 7x (x 3 ))x dx (x 3x 4 )x dx x x 2x 0             _   _    





4 4 4 2 3 2 3 2 1 4 3 2 4 ₀ 0 0 (x 3x(x 2x 7 ))x dx ( x 3x 4 )x dx  _ x x 2x _ 32





Extra oefening Gemengd.

G-1.

a. Q(3, 0) ligt op de grafiek van g: g(3) 0

(3) (3) (3) (3) 0 0 h f g f   , dus Q ligt op de grafiek van h. b. h(2)f(2)g(2) 3 1 3   , dus P ligt op h. c. G-2. a. b. Horizontale asymptoot: y 1 2 2 2 2 5 4 1 4 4 5 4 4 4 0 (0, 1) x x x x x x x x x P   _        

c. _x2_{ax a 0 heeft geen oplossingen of x}2_{ax a 0 als x}  _{1 x}  ₄

2 _{4 0} ( 4) 0 0 4 D a a a a a en a        2 ( 1)   a a 0  2 1 3 ( 4) 4 0 3 16 5 a a a a       G-3. a. f(2) (4 2) 2 2   4 en (2) 3 2 2 4 2 1 g      b. '( ) 1 2 (4 ) 1 2 2 4 2 2 2 x f x x x x x x            f'(2) 1 2 2 2 ( 1) 3 (3 2) 1 (3 3) (3 2) 1 '( ) ( 1) ( 1) ( 1) x x x x g x x x x                g'(2) 1 G-4. f x( )a x( 1)(x2)(x 4) 1  1 8 1 8 (0) 1 2 4 1 8 1 0 8 1 ( ) ( 1)( 2)( 4) 1 f a a a a f x x x x                     G-5. a. 2 1( ) ( 1) 0 f x  x   x x x  b. _{( )} 2 _{( ) 0} b f x  x bx x x b  1 1 2 1 3 1 2 1 3 2 ₀ 6 0 0 1 ( ) x x O x x dx x x       



  _  _  2 0 0 ( ) 36 b x x b O x bx dx     



  3 2 3 1 1 1 3 2 ₀ 6 3 36 216 6 b x bx b b b          x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 -3 -4 -5 P Q h x y 1 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 1 2 -1 -2 -3

c. f_b'( )x  2x b '(0) b f b y bx   2 '( ) b f b b y bx b      2 2 1 2 2 bx bx b bx b x b     

De coördinaten van C zijn: 1 1 2

2 2

( b b, ) Oppervlakte van de driehoek: 1 1 2 1 3

2 b 2b  4b 3 3 1 1 6 12 : : 2 :1 onder boven

Opp Opp  b b  en dus onafhankelijk van b.

G-6. a. 5 0 3 18,70 1 x dx x 



b. '( ) 6 1 6 1 3 6 1 ( ) 6 1 2 1 1 x g x x x x f x x x x             c. 12 5 5 ₅ 1 0 0 0 ( ) ( '( ) 6 1) 6 1 4( 1) 6 6 4 f x dx  g x  x dx _ x x  x _  





G-7. a. 6 4 2 1 1 3 2 3 0 6 4 ( 2) 2 1 (4 2 ) Opp  



x dx   



 x dx b. 6 6 2 3 1 1 3 9 ₃ 3 (x2) dx _ (x2) _ 7



en 12 4 ₄ 1 4 1 3 ₀ 3 0 (4 2 x dx) _4x x _ 5



Dus 1 2 3 3 24 7 1 5 10 Opp    

Extra oefening Vaardigheden.

Ontbinden in factoren V-1. a. _x2_{7x 8 (x8)(x1)} b. _t2 _{  4 (t 2)(t2)} c. 1 2 2 1 2 1 9x 3x 3 9(x 6x27) 9(x9)(x3) d. _4p2_{16p16 4(p}2_{4p4) 4(p2)}2 e. _3m6 _m2 _m2_(3m4_1) f. _x3_6x2 _{9x x x(} 2_{6x9)x x( 3)}2 g. _{   v}2 _{9 (v}2_{9)  (v 3)(v3)} h. _{a x}2 2_{6ax 8 (ax4)(ax2)} i. _8x8_{4x4 (2x x}7_1) Substitutie gebruiken V-2. a. _p2_{3p 4 0} b. (p4)(p 1) 0 4 1 p  p  c. _x4 _{4  x}4 _{ 1} 1 1 4 4 4 4

x   x  (de tweede vergelijking heeft geen oplossingen)

V-3. a. _p2_{13p36 0 b. p}2_{  p 2 0} 2 2 ( 1)( 12) 0 1 12 1 12 1, 1, 2 3, 2 3 p p p p x x x x x x                1 1 3 3 ( 2)( 1) 0 2 1 1 2 1 1 3 6 p p p p x x x x                  c. 1 2 4 6 p 10p 4 0 d. 1 2 1 2p 12p 14 0     e. _p2_{ p 0} 2 2 4 1 5 1 4 25 40 16 0 (5 4) 0 5 4 0 1 a p p p p p a           2 _{3 28 0} ( 7)( 4) 0 7 4 7 4 49 p p p p p p x x x                1 2 1 1 2 2 ( 1) 0 0 1 cos 0 cos 1 2 1 p p p p x x x k x k x x x                             f. _8p2_{ p 0 g.} 2 1 6 6 1 0 p p     h. _p2_{  p 2 0} 1 8 3 3 1 8 1 2 (8 1) 0 0 0 0 p p p p t t t t               1 6 1 6 1 6 (6 1)( 1) 0 p 6 6 6 6 1 1 x x p p p x x                 1 1 sin sin 1 2 ( 2)( 1) 0 2 1 2 1 sin sin 1 x x p p p p x x                1 5 1 6 6 2 1 , 1 , x   x   x  

Vergelijkingen oplossen V-4. a. _x4_3x2_{ 4 0 b. x}4_4x3 _3x2 _{0 c. x}4_3x3 _0 2 2 2 2 ( 4)( 1) 0 4 1 2 2 x x x x x x            2 2 2 ( 4 3) 0 ( 3)( 1) 0 0, 3, 1 x x x x x x x x x          3_{( 3) 0} 0 3 x x x x      d. ( )3p 212 3p 0 e. x312x2 0 f. 1 1 6 2 6 (x ) 2x  3 0 3 3 3 3 1 4 1 16 ( 12) 0 0 12 p p p p p p        2_{( 12) 0} 0 12 x x x x      1 1 6 6 1 1 6 6 6 ( 3)( 1) 0 3 1 3 x x x x x         g. 9p 36 h. 2x22x24 0 9 1 36 4 p  ₂₍ 2 _{12) 2( 4)( 3) 0} 4 3 x x x x x x           V-5. a. _{(sin 1) (sin 1)} 1 x x  x x  b. 1 1 2 2 2 sinx (sinx ) 1 2 1 2 sin 1 0 sin 1 1 1 x x x x x x  x           1 1 2 2 1 1 2 2 5 1 6 6 sin 0 sin 1 sin sin 1 x x x x x  x             c. _(4cos2_x3)3 _(4cos2_x3)2 _0 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 1 1 2 2 5 1 1 5 6 6 6 6 (4cos 3) (4cos 3 1) 0 (4cos 3) 0 4cos 4 cos cos 1

cos 3 cos 3 cos 1 cos 1

, 1 , , 1 , , 0, 2 x x x x x x x x x x  x  x  x  x  x x                            

Stelsels van vergelijkingen V-6. a. 3y x  11 c. 1 2 3 3 2x  1 x3 1 2 3 3 3 11 3 y x y x       1 2 3 3 1 2 7 7 2 2 1 3 x x en y       b. V-7. a. y 2x3 b. 1 2 3u v9 2(2 3) 5 6 4 5 10 2 1 x x x x x en y         1 6 1 1 1 3 6 18 3 ( 3) 1 1 u v v v      

Voor alle waarden van u en v waarvoor 1

6 3

c.  x 5y 2 d. y   x 4 e. y 2x4 6 5 2 3 5 1 1 3 y y y y en x         3( 4) 10 4 22 x x x         8 4(2 4) 4 16 4 x x         1 1 2 2 5 1 x  en y   geen oplossing V-8. a. p 4 2s 8s b. 8s s  7s 7 1 8 s  en p V-9. a. _x2_{12x27 0 b.} 1 2 cos( )t  2 3 3 1 1 1 2 2 2 ( 3)( 9) 0 3 9 log(3) log(9) 1 x x x x y y              3 1 4 4 1 2 1 1 2 t t y        c. x 3x  4 d. p2s8 2 2 7 9 1 3 3 4 9 24 16 9 25 16 (9 16)( 1) 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x y en y                 2 8 2 1 9 2 8 2 3 3 4 2 2 4 s s s _s s p  _          