Hoofdstuk 5:
Differentiaalvergelijkingen.
1. a. b. Vn t( )n t( 1) n t( ) 1,3 ( ) n t n t( ) (1,3 1) ( ) 0,3 ( ) n t n t c. Vn t( )n t( 1) n t( ) (1,3 ( ) 2)) n t n t( ) (1,3 1) ( ) 2 0,3 ( ) 2 n t n t 2. a. VA t( )A t( 1) A t( ) 3 A t( ) 5 A t( ) 2 A t( ) 5 b. Vun un1un 1,89 un un 0,89un c. VK p( )K p( 1) K p( )K p( ) 1,9 K p( ) 1,9 d. Vun un1un 0,7un23un 2 un 0,7un22un2 3. a. n t( 1) 3,8 ( ) 1,5n t b. u n( 1) 12 0, 7 ( ) u n c. un1un3,1 d. u n( 1) 12 ( ( )) u n 22,3 ( )u n 4.a. Voor de limiet moet gelden: k t( 1) k t( )
0,85 ( ) 12 ( ) 0,15 ( ) 12 ( ) 80 k t k t k t k t b. Vk t( )k t( 1) k t( ) 0,85 ( ) 12 k t k t( ) 0,15 ( ) 12k t c. Vk t( ) 0,15 80 12 0
Bij de limietwaarde is k t( 1) k t( ) en dus Vk t( ) 0 .
5. a. VA t( )A t( 1) A t( ) 2,3 A t( )A t( ) 1,3 A t( ) b. B t( 1) B t( )VB t( )B t( ) 1, 2 B t( ) 5 2, 2 B t( ) 5 c. VA(1) 1,3 A(1) 1,3 2,3 A(0) 1,3 2,3 12 35,88 (1) 1, 2 (1) 5 1, 2 ( (0) (0)) 5 1, 2 ( (0) 1, 2 (0) 5) 5 42, 68 B B B B B B V V
Dus VB(1) heeft de grootste waarde.
6.
a. K t( 1) 1, 052K t( ) met K(0) 10000
b. VK t( ) 0,052 K t( ) dit is de rente van elk jaar.
7.
a. K t( 1) 1, 052K t( ) 1500 met K(0) 10000
b. VK t( ) 0, 052 K t( ) 1500
toename 1e jaar 2e jaar 3e jaar 4e jaar 5e jaar
A 2 2 2 2 2
B 30 39 50,70 65,91 85,68
8. a. De groeivoet is 0,125 en de groeifactor 1,125 b. recursievergelijking: R t( 1) 1,125R t( ) met R(0) 500000 differentievergelijking: R t( 1) 0,125R t( ) directe formule: R t( ) 500000 1,125 t 9. a. recursievergelijking: u n( 1) 3, 2 ( )u n met u(0) 20 directe formule: u n( ) 20 3, 2 n b. 10 10 20 20 3, 2 1023536, 28 ( ( ( ), , 0, 9)) 1 3, 2 s sum seq u n n 10.
a. De beginwaarde van beide rijen is 1.
b. De groeifactor van f(n) is 1,5 en die van g(x) is 0,85 c. De groeivoeten zijn respectievelijk 0,5 en -0,15
d. beginwaarde: 0,2 groeifactor: 2,530,064 en de groeivoet: -0,936
11. a. 0,3x14x 0,7 14 20 x x
b. De rij convergeert naar 20. c. Vu t( )u t( 1) u t( ) 0,3 ( ) 14 ( ) 0,7 ( ) 14 0,7(20 ( )) u t u t u t u t
d. Dat zijn de afstanden van de termen van de rij tot de lijn y20.
e. De termen van u(t) naderen 20. De verschillen tussen de opeenvolgende termen worden steeds kleiner.
12.
A en C beschrijven asymptotische groei; B niet en voor D hangt het af van de startwaarde.
( 1) 0,8 ( ) 10
u t
u t
( ) 1,3 ( 1) 15
u t
u t
( 1)
0,2 ( ) 100
u t
u t
13.
a. Er wordt 5% afgebroken per minuut, dus de groeifactor is 0,95. En elke minuut komt er 6 mg bij.
b. VC t( )C t( 1) C t( ) 0,95 C t( ) 6 C t( )
0,05C t( ) 6 0,05 (120 C t( ))
c. De concentratie wordt op den duur 120 mg.
14.
a. Als de tijd met 1 eenheid toeneemt dan is de toename van C(t) gelijk aan 0,05C t( ) 6 . Bij een kleine toename van t neemt C(t) toe met ( 0, 05 C t( ) 6) Vt 6Vt0, 05 ( )C t Vt b. C t( t) C t( ) C t( ) 6 t 0, 05 ( )C t t C t( ) 6 t 0,05 ( )C t t 6 0,05 C t( ) t t t V V V V V V V V
c. Als Vt steeds kleiner wordt is C t( t) C t( ) C t'( )
t V V d. C t( ) 120 K e0,05t 0,05 0,05 0,05 0,05 '( ) 0,05 0,05 '( ) 0,05 ( ) 0,05 0,05 (120 ) 6 t t t t C t K e K e C t C t K e K e e. C(0) 120 K e0,05 0 120 K 0 120 K 15. a. x f x '( ) f x( ) x 1 x 2x b. x f x'( ) f x( ) x (1 C2) (x C) x C x C 2x x x x x c. f(1) 1 C 4 3 3 ( ) C f x x x 16. a. y' 3 x y2 0 3x2 2 6x2 b. 2 2 3 2 3 2 ' 3 ( 3 x ) 3 (2 x ) 6 y x y Cx e x C e x c. y(1) 2 C e15 3 1 1 3 3 2 3 x C e C e y e 17. 2 2 2 2 2 (1 2 ) 2 (1 2 ) 2 2 4 2 4 8 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) x x x x x x x x x x x x dy e e e e e e e e e dx e e e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 (1 2 ) 1 4 4 1 4 4 8 1 ( ) 1 1 1 2 (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) x x x x x x x x x x x x e e e e e e e y e e e e e
18. a. 1,8x0,02x2 x 2 0,02 0,8 0,02 ( 40) 0 0 40 x x x x x x b. c. 3,52 2 1,76 6,09 3,52 1,73 10,22 6,09 1,68 16,30 10,22 1,60 24,03 16,30 1, 47 Voor 0 t 3 zijn de groeifactoren vrijwel gelijk, dus is de
toename bij benadering exponentieel.
d. 2 2 1 1,8 0,02 0,8 0, 02 0,8 (1 0,025 ) t t t t t t t t t t u u u u u u u u u u V 0,8 (40 ) 40 t t u u
e. 2 ut 40, dus de groeiruimte is groter dan 0 (als ut 40) en kleiner dan 40 2 38 40 40 (als 2 t u ). 19. ( ) ( 1) ( ) 1,5 ( ) (1 0,001 ( )) 1,5 ( ) 1000 ( ) 1000 n t n t n t n t n t n t n t
20. In twee jaar is de groeifactor 50 1
12 46. De groeifactor per jaar is dan ongeveer 2,04 2000 ( ) ( ) 1,04 ( ) 2000 ( 1) ( ) 1,04 ( ) (1 0,0005 ( )) m t m t m t m t m t m t m t
Invoeren in de GRM: op tijdstip 8 hebben 1684 leerlingen een mobieltje en een jaar later zijn dat er 1961. In 2005 zal de 90% grens worden bereikt.
21. a. du 0,8 5 (1 0,025 5) 3,5 dt en 0,8 10 (1 0,025 10) 6 du dt b. du 0 dt 0,8 (1 0,025 ) 0 0,8 0 0,025 1 0 40 u u u u u u c. 2 ( ) 0,8 (1 0, 025 ) 0,8 0,02 g u u u u u '( ) 0,8 0,04 0 0,04 0,8 20 g u u u u t 0 1 2 3 4 5 6 7 u(t) 2 3,52 6,09 10,22 16,30 24,03 31,71 36,97
22.
a. Die zal ongeveer 350 mm zijn. b. 2 4 ( ) 0, 4 (1 ) 0, 4 350 3500 H H g H H H 8 '( ) 0, 4 0 3500 8 0, 4 3500 8 1400 175 H g H H H H De maximale groeisnelheid is 175 350 (175) 0, 4 175 (1 ) 35 dH dt mm/week c. 0,4 0,4 0,4 0,4 2 0,4 2 (1 13 ) 0 350 ( 0, 4 13 ) 1820 (1 13 ) (1 13 ) t t t t t dH e e e dt e e 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 2 350 1 0,4 350 13 1820 0, 4 (1 ) 1 13 1 13 1 13 1 13 (1 13 ) t t t t t t t e e e e e e e 23. a. 0,01 (1 ) 500 dN N N dt b. 0,01 0,01 0,01 0,01 2 0,01 2 (1 ) 0 500 ( 0,01 ) 5 (1 ) (1 ) t t t t t dN K e Ke Ke dt Ke Ke 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 2 500 1 0,01 500 5 0,01 (1 ) 1 1 1 1 (1 ) t t t t t t t Ke Ke Ke Ke Ke Ke Ke 24.
a. Het aantal niet besmette mensen neemt af; dus dS 0
dt b. ( 1)(1 ) 1 dS S c S n dt n 25. a. dy 22 4 dt
b. Voor al die punten is dy 22 4
dt c. 2 4 y 2 4 2 2 y y y
Alle punten op de lijn y 2 en y2 hebben helling -4. d. Voor alle punten op de horizontale lijn y p geldt: dy p2
26. a. b. 2 2 '( ) f t t en 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 dy dt t t t 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( 2) 0 2 1 2 4 2 '( ) ( ( )) ( 2) ( 2) ( 2) 2 t g t g t t t t t
c. De grafieken volgen precies de lijnelementen.
27.
a. De lijnelementen zijn boven de lijn T 20 negatief en onder die lijn positief. b. Door (0, 5)
c. De grafiek begint dan in (10, 0)
d. dT 0
dt en 0, 4(20 20) 0 dT
dt , dus dat klopt.
e. Als de kromme in de buurt komt van y20 nadeert de helling naar 0. f. T 20 2 e0,4t 0,4 0,4 0, 4 2 t 0,8 t dT e e dt en 0,4 0,4 0,4 0, 4(20 2 t 20) 0, 4(2 t) 0,8 t e e e 0,4 20 4 t T e 0,4 0,4 0, 4 4 t 1,6 t dT e e dt en 0, 4(20 4 e0,4t20) 0, 4( 4 e0,4t) 1,6 e0,4t 28. a. dy(0,1) 1 dt (0, 2) 2 dy dt ( 1,1) 0 dy dt en (1, 0) 1 dy dt b. dy t y 0 dt y t
c. Voor punten rechts van deze lijn geldt: y t. En dan geldt: dy 0
dt ; de hellingen zijn
positief.
d. De toppen (minima) van de oplossingskrommen liggen op de lijn y t.
e. dy 1 dt en ( 1) 1 dy t t dt klopt. f. dy 1 K et dt en ( 1 ) 1 t t dy t t K e K e dt klopt. 29. a. 80 600 (0, 80) 0,3 80 (1 ) 20,8 dN dt b. N(1) N(0) dN(0, 80) 80 20,8 100,8 dt
c. Nee, de groeisnelheid is afhankelijk van N, dus verandert steeds.
d. 100,8 600 (1,100.8) 0,3 100,8 (1 ) 25,16 dN dt t N dN/dt 0 80 20,8 1 100,8 25,16 2 125,96 29,85 3 155,81 34,61 4 190,42 39,00 5 229,42 42,51 6 271,93 44,61 7 316,53 44,86 8 361,39 43,12
e. N(2) N(1) dN(1,100.8) 100,8 25,16 125,96 dt f. 30. a. 103 100,8 103 100% 2,1% b. Bij N(2): 131 125,96131 100% 3,8% en bij N(6): 289 271,93 289 100% 5,9%
c. De snelheid wordt steeds groter, dus de afwijkingen ook. d. Door de stapgrootte kleiner te nemen, bijvoorbeeld per dag. e. N(0, 25) N(0) 0, 25 dN(0, 80) 80 0, 25 20,8 85, 2 dt dN (0.25, 85.2) 21,93 dt (0,50) 85, 2 0, 25 21,93 90,68 N en dN (0.50, 90.68) 23, 09 dt (0,75) 90,68 0, 25 23,09 96, 46 N en dN (0.75, 96.46) 24, 28 dt (1,00) 96, 46 0, 25 24,19 102,53 N
Het verschil met de werkelijke waarde is nu 103 102,53
103 100% 0, 46% 31. a. dN (0) 0,04 10000 400 dt N(1) 10000 1 400 10400 (1) 0,04 10400 416 dN dt N(2) 10400 1 416 10816 b.
c. De tweede benadering ligt dichter bij de werkelijke waarde.
32. a. b. 2 2 (2) 2 3 dy dt y(1,5) 2 0,5 3 0,5 0,5 1,5 (1,5) 1,5 1,83 dy dt y(1) 0,5 0,5 1,83 0, 42 0,42 1 (1) 1 0,58 dy dt y(0,5) 0, 42 0,5 0,58 0,71 0,71 0,5 (0,5) 0,5 0,92 dy dt y(0) 0, 71 0,5 0,92 0, 25 c. -33. a. b. dy 0 dt 1 0 y y 2 1 y y 1 y1: asymptoten.
c. Voor punten met een verticaal lijnelement bestaat dy/dt niet. Dat is dus voor y0
d. Bij elke x zijn er twee y-waarden; dus geen functie.
t 0 0,25 0,50 0,75 1
N 10000 10100 10201 10303,01 10406,04
e. 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 1 t t t t dy e e dt e e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 t t t t t t t dy e e e dt e e e e en 2 2 ( 1) 1 0 y e 34. a./b. dy 0, 2a e0,2t 0, 2 ae0,2t 0, 2 y dt c. 0,2 4 0,8 (4) 10 y a e ae 0,8 0,2 10 4, 49 4, 49 t a e y e 35. a. Horizontale asymptoot: y10. b. y10 a ect ct ct dy c ae ac e dt en dy 0,3 dt c. dy(1, 10) 0 dt (2, 9) 0,3 dy dt (3, 8) 0,6 dy dt (4, 7) 0,9 dy dt (5, 6) 1, 2 dy dt (6, 5) 1,5 dy dt (7, 4) 1,8 dy dt (8, 3) 2,1 dy dt (9, 2) 2, 4 dy dt (10,1) 2,7 dy dt
d. De kromme gaat dan ongeveer door (0, 4.4) en ook door (-1, 2) 4, 4 10 10 5,6 o a e a a 2 10 5,6 5,6 8 c c e e 1, 4 0,36 c e c e. 20 10 a e0 10a 10 10 10 ct a y e
M.b.v. het richtingsveld moet je een ander punt bepalen waar de kromme door gaat. Daarmee kun je c berekenen.
36. a. N t( ) 53660 ekt b. 5750 1 2 g 1 5750 ln 0,99988 0,00012 0,50 0,99988 0,00012 g e e k c. 7792 53660 e0,00012t d. e0,00012t 0,30 0,00012 0,145 0,00012 1,930 16080 t e t t jaar 0,00012 ln 0,30 1, 20 10033 t t jaar
37.
a. De snelheid waarmee de temperatuur daalt (dT/dt) is evenredig met het verschil van de watertemperatuur en de eindtemperatuur (20 T ). (20 ) dT c T dt 1 12 (0, 80) 60 5 dT c dt c b. 1 12 (20 ) dT T dt en 1 12 ( ) 20 60 t T t e c. T t( ) 20 60 e121t 75 d. 1 12 (20 ) 3 dT T dt 1 12 1 12 1 12 60 55 0,917 0,087 1,044 min t t e e t t 1 12 1 12 20 36 56 20 60 0,6 12 ln 0,6 6,13 min t t T T e e t 38. a. M t( 1) 0,70M t( ) 120 met M(0) 120
b. Voer de vergelijking in de GRM in en kijk in de tabel. Na 5 halve dagen (2,5 dag) is er net iets meer dan 350 mg medicijn in het lichaam.
c. 0,70 x 120x 0,30 120 400 x x d. M t( ) 400 (120 400) 0, 7 t 400 280 0, 7 t e. M(42) 400 280 0,7 42 400 mg.
f. Dan wordt op de 2e dag het niveau van 350 mg bereikt; een halve dag eerder. g. dM 0,3 (400 M) dt 39. a. dy 0, 2 t y2 0 dt 2 0 0 0 0 t y t y b. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 2 0, 2 100 100 10 0, 2 0, 2 0, 2 ( 2) ( 2) ( 2) 2 dy t t t t t y dt t t t t c. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 2 0, 2 100 100 10 0, 2 0, 2 0, 2 ( 5) ( 5) ( 5) 5 dy t t t t t y dt t t t t d. y 210 t c e. zie plaatje. f. x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 y2 y-5 y-5
40.
a.
b. De grafiek lijkt veel te snel te stijgen. De top in (2, 5) is puntig. c. dy(2, 5) 0 53 0 dt en y(2,1) 5 0,1 0 5 (2.1, 5) 3 (2.1, 5) 0,1 5 12,5 dy dt en y(2, 2) 5 0,1 12,5 6, 25 (2.2, 6.25) 3 (2.2, 6.25) 0, 2 6, 25 48,83 dy dt en y(2,3) 6, 25 0,1 48,83 11,13 (2.3, 11.13)
De grafiek stijgt dus heel erg hard.
d. 1 2 1 2 4 4 y en y C t t C t t 2 4 2 2 0,5 3 3 2 4 2 2 1,5 2 1,5 1 2 4 2 ( 2) (( 4 ) ) ( 2) 4 2( 4 ) ( 4 ) t C t t dy t t t C t t t y dt C t t C t t C t t
Voor de andere oplossing gaat dat analoog.
41. a. b. dN (0, 35) 7,875 dt en N(1) 35 7,875 42,875 (1, 42.875) 7,959 dN dt en N(2) 42,875 7,959 50,834 (2, 50.834) 7, 413 dN dt en N(3) 50,834 7, 413 58, 247 (3, 58.247) 6,335 dN dt en N(4) 58, 247 6,335 64,582 (4, 64.582) 4,979 dN dt en N(5) 64,582 4,979 69,561 c. dN 0 dt (0, 4 0,005 ) 0 0,005 0, 4 0 80 N N N N N
De populatie zal dan constant blijven. d. op tijdstip t 1.
42.
a.
b. Het maximale aantal gistcellen zal ongeveer 8 650 10 per cm3 zijn. c. 31 14 2, 21 6631 2,13 13366 2,02 De groeifactor is ongeveer 2. ln 2 0,69 2 c e e e
d. De groeisnelheid is maximaal bij t5. Ongeveer bij 370 10 8 gistcellen. e. dA 0,69 A A 650
dt A
f. 650 15 650 ( 15) 0,69 15 10,11 dA A dt 650 325 650 ( 325) 0,69 15 112,13 dA A dt en 650 640 650 ( 640) 0,69 640 6,79 dA A dt g. ja. T_1.
a. Methode A beschrijft een exponentieel proces. De groeivoet is 0,2.
b. Vanaf t6 t/m t10 is methode B groter. c. Bij methode B. T_2. a. c t( 1) 0,6 ( ) 6c t ( ) ( 1) ( ) 0, 4 ( ) 6 c t c t c t c t V b. 2 0,6 6 0, 4 6 15 / c c c c l m c. dc 0, 4(15 c t( )) dt met c(0) 10
T_3. a. ( ) 0,5 ( )(1 0,02 ( )) 0,5 ( ) 50 ( ) 50 m t m t m t m t m t V
De groeivoet is 0,5: de groeifactor is dan 1,5 b. Het verzadigingsniveau is 50. c. 0,5 ( ) 50 ( ) 50 dm m t m t dt
d. Op tijdstip t3 (dat is na 9 dagen) is de populatiegrootte ongeveer 25.
T_4. a. dy 0, 4 Ce 0,4t 0, 4 y dt (0) 0,9 y C y0,9e0,4t b. y e 0,4t c. -T_5. a. 66 cm2. b./c. d. 2 66 (0, 2) 0, 4 2 (1 ) 0,776 dA dt en A(1) 2 0, 776 2, 776 2,776 66 (1, 2.776) 0, 4 2, 776 (1 ) 1,064 dA dt en A(2) 2,776 1,064 3,839 3,839 66 (2, 3.839) 0, 4 3,839 (1 ) 1, 446 dA dt en A(3) 3,839 1, 446 5, 286 T_6. y125 a e7,3t (0) 125 90 35 y a a 7,3 125 35 t y e T_7. a.
b. De oplossingen lijken cirkels met middelpunt (0, 0)
c. 2 2 2 2 16 16 dy t t t dt t t y en y(0) 16 4 d. y c t 2 2 (12) 144 6 144 36 180 180 y c c c y t e. f. y at dy at y a dt t t
g. De lijnelementen staan loodrecht op elkaar: dy dy1 2 t y 1
