Presentatie trillingen (EHT)

Enkelvoudige harmonische

trillingen

Harmonische Trillingen



TRILLING : heen – en weergaande

beweging rond evenwichtsstand.



ELONGATIE : Stand ten opzichte van de

evenwichtsstand.



AMPLITUDE : Maximale elongatie.



HARMONISCHE TRILLING : Elongatie =

Bewegingsvergelijking

( )

sin(

)

y t

 

A



 

t



2

2

T

T











 

2

f

T









Elongatie : fasorvoorstelling



Fasor : vector met

lengte gelijk aan

amplitude die

ronddraait met

hoeksnelheid gelijk

aan pulsatie.

Elongatie =

projectie op de

Y-as.

Snelheid bij EHT - berekening

 Snelheid is opnieuw een trilling met

amplitude A.

 Snelheid is /2 uit fase ten opzichte van

elongatie.

Snelheid bij EHT - grafiek

 Snelheid is maximaal bij doorgang door

evenwichtstand.

Versnelling bij EHT - berekening

sin(

)

( )

dv

_{d y}

a

dt

dt

a

A

t

a

y t



 







 



 

 Versnelling is opnieuw een trilling met amplitude

A².

 Versnelling is  uit fase ten opzichte van elongatie

Versnelling bij EHT - grafiek

 Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal is.  Versnelling is nul bij doorgang door

Fasorvoorstelling (2)

 Snelheid en

versnelling kunnen ook met fasoren

voorgesteld worden.

 Fasor snelheid staat

loodrecht op fasor elongatie.

 Fasor versnelling

maakt hoek van 180° met fasor elongatie.

Krachtwerking bij EHT

(

)

F ma

F

ma

F

m

y

F

ky

k m









 

 





_

Uit eerste wet van

Newton en afleiding

versnelling volgt :

Nodig en voldoende voorwaarde om een massa

Energie bij EHT – Kinetische energie



Kinetische energie – definitie



Kinetische energie op tijdstip t



Kinetische energie bij elongatie y

2

1

2

E



mv

1

cos (

)

2

E



mA



 

t







1

2

E



m



A



y

Energie bij EHT – potentiële energie



E

bij elongatie y

is arbeid verricht

door resultante bij

verplaatsing van y

naar

evenwicht-stand.

Arbeid is

oppervlak onder

F

, y diagram.

 

1

1

2

2

E



F y y



ky

Totale energie

E E





E

1

1

(

)

2

2

E



ky



k A



y

1

1

cos (

)

sin (

)

2

2

E



m



A

 

t





m



A

 

t



1

2

E



kA

Totale energie (2)

Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwicht-stand ?

E_p

E_k E

Massa aan veer

0

0

F

F

k y mg

N















(

)

F

F

F

F

k y

y

mg

F

k y







 

 







Massa aan veer - conclusies



Massa aan veer voert harmonische

trilling uit.

Trilconstante = veerconstante

2

1

2

k

m

k

f

m

m

T

k













Wiskundige slinger

Idealisatie :

Puntmassa

beweegt op

cirkelboog.

Elongatie : afstand

s langs de

cirkelboog.

Wiskundige slinger - krachtwerking



Te bewijzen : kracht die heen – en

weergaan veroorzaakt voldoet aan nodige

en voldoende voorwaarde.



Welke kracht is dat ?



Tangentiële component van resultante.



Spankracht : alléén maar

normaal-component.



Kracht die we zoeken



Tangentiële component van



Tangentiële

component

zwaartekracht :



Voor kleine hoeken

:

Wiskundige slinger – krachtwerking (2)

,

sin

F



mg



,

z t

F



mg



s

F

 

mg



Wiskundige slinger - conclusies

,

2

z t

F

k

s

mg

k m

l



   





1

2

2

g

l

g

f

l

l

T

g













Gedempte trillingen

 Realiteit : energie gaat

verloren door niet

conservatieve krachten zoals wrijving =>

Amplitude gaat

afnemen : trilling wordt gedempt.  Amplitude gaat exponentieel afnemen 2 0

( )

sin(

)

y t



Ae

 

t



Resonantie

 Oscillerend systeem kan

energie overdragen naar andere oscillator door koppeling.

 Energie-verdracht is

maximaal, als frequentie van bron (emittor) gelijk is aan eigenfrequentie van ontvanger

(resonator).

 Resonantievoorwaarde :

femittor = fresonator

Resonantie-catastrofe



Bij continue energietoevoer bij

resonantie-voorwaarde, kan amplitude

zéér groot worden.



Amplitude kan zo groot worden, dat

elasticiteitsgebied overschreden

wordt, en systeem kan permanent

vervormd worden =>

RESONANTIE-CATASTROFE.



Berucht voorbeeld : Tacoma Narrows