H6: Afgeleide functies

(1)

Hoofdstuk 6:

Afgeleide functies.

V-1.

a. Formule B beschrijft een kwadratisch verband en formule C een exponentieel verband.

b. 1 2 3 t 8 100 _0,23_t2__{11 100}_ 1 2 2 7 3 92 26 t t   2 2 0,23 89 386,96 t t   19,67 t  16 0,972_ t _8 Voer in: 1 16 0,972 x y   en y2 8 intersect: x 24,41 c. De groei bij B wordt steeds groter, en de bij C

is er een afnemende daling. V-2.

a.

b. Als t met 1 toeneemt, neemt A met 42 toe. c. 210

42 5: het verschil tussen de waarden van t is 5. V-3. a. b. 12 9 3 8 4 4 a     b. 3 4 : 2 m y  x 3 4 3 4 3 4 9 4 3 6 6 y x b b b b y x           V-4. a. y 2(0,6x3) 1,2 x6 l: y 1,2x12 b. y  0,4x b 14 0,4 22 8,8 22,8 0,4 22,8 b b b y x            V-5. a. l: y 4x c. 4 5 5 2 3 a       d. 3 0 1 3 12 5 a     b. 2 3 y   x b y  3x b 1 5 y  x b 2 3 2 3 7 6 4 3 : 3 b b b m y x              5 3 2 6 11 : 3 11 b b b n y x            3 5 2 5 1 2 5 5 3 2 : 2 b b k y x      V-6. a. OA: 41 1 1  4 AB: 1 4 1 ₃ 2 1 4    BC: 1 4 2 1 ₁ 3 2 14    CD: 1 4 4 2 ₃ 4 3 14   

b. Als de x 1 groter wordt, wordt de richtingscoëfficiënt steeds groter. c. OD: 4

4 1: het gemiddelde van de vier hellingen van a. 1

Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 6

t A B C 0 8 11 16 2 7 26 100 169,92 7,58 19,67 76,85 100 9,15 24,41 93,42 148,01 8 t A 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

(2)

V-7. a. f(0) 0 en y(0) 0 f(20) 1000 en y(20) 1000 b. 5 5 8 8 1: (1) (1) 142 50 92 a f y    en 7 7 8 8 11: (11) (11) 908 550 358 a f y    c. 1 3 1 2 1 3 1 2 8 2 8 2 ( ) ( ) 7 150 50 7 100 f a y a  a  a  a a a  a  a d. Voer in: 1 3 1 2 1 8 72 100 y  x  x  x maximum: x 8,45 1.

a. De grafiek is het steilst in het 6e_{uur: van}_t _₅_tot_t _₆_uur. b. Van 3 tot 4 uur is de temperatuur met 3,5o_afgenomen.

c. Om 7 uur is de temperatuur 2o_{C. (linker grafiek). In de volgende uren neemt de} temperatuur toe met 2o_{C en 1}o_{C. De temperatuur om 8 uur is 4}o_{C en om 9 uur 5}o_C. 2.

a. b.

c. Phil was op z’n 9e_verjaardag

126 3 6 144   cm.

leeftijd in jaren 0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6

(3)

3. Voer in: y2 y x1( )y x1( 1) en kijk in de tabel. a. b. c. d. 4.

a. Bij toenamediagram 1 hoort een steeds langzamer stijgende functie: C b. Bij toenamediagram 2 hoort een constant dalende grafiek: D

c.

5.

a. constante daling: toenamediagram 2 (zie opgave 4) b. afnemende stijging: toenamediagram 1

c. toenemende daling: toenamediagram E (als boven)

d. eerst een afnemende stijging (voor x0) en daarna (voor x0) een toenemende stijging: eerst toenamediagram 1 gevolgd door toenamediagram B.

6.

a. Tussen de 5e_{en 20}e_{minuut legt Jurjen ongeveer 7 km af en tussen de 30}e_{en 40}e minuut ongeveer 8 km. De gemiddelde snelheid tussen de 30e_{en 40}e_{minuut is dus} iets groter.

b. Dan is de grafiek een rechte lijn.

c. In die 15 minuten legt Jurjen ongeveer s(30)s(15) 14,58 3,95 10,63   km af. Hij reed gemiddeld 10,63

15 60 42,5 km/u. 7.

a.

3 Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 6

x 0 1 2 3 4 5 6 toename R 2 2 2 2 2 2 x 0 1 2 3 4 5 6 toename K -2 -1,6 -1,3 -1,0 -0,8 -0,7 x 0 1 2 3 4 5 6 toename h 5 3 1 -1 -3 -5 x 0 1 2 3 4 5 6 toename L 2 1,3 1,0 0,9 0,8 0,7 x y x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1

(4)

b. 2 9 2 1 4 

c. De gemiddelde toename is: 4 1 9 1 2 De helling door A en B is: 6 2 4 1

9 1 8 2

a 



  

(5)

8.





5,25 3 (4) (1) 1, 4 1,75 4 1 y f f x   _  _ _{ }   9. a.





13,67 15 (45) (30) 30 , 45 0,91 45 30 s s s t  _  _ _   km/min

b. De 10e_{minuut is van}_t _₉_tot_t _₁₀_:



_{9 , 10}



(10) (9) _0,34 10 9 s s s t  _  _   km/min 10.

(10) (0) 10 10 0 f f f x  _  _  

, … zijn respectievelijk: 0,8 5,6 15,2 29,6 48,8

d. De gemiddelde hoogte van de vijf staafjes is 20.

e. De gemiddelde stijging per twee eenheden is 20 (antwoord d). Dus de gemiddelde stijging per eenheid is 10 (antwoord b).

13.

a. Beide fietsers leggen het traject van 45 km af in 3 uur. De gemiddelde snelheid van de fietsers is dus 45

3 15 km/u.

b. De gemiddelde snelheid van fietser A is op elk interval 15 km/u. Fietser A legt de 45 km af met een constante snelheid van 15 km/u.

Voor fietser B geldt: B



1, 2



15

17,97 B t  _ 

c. Fietser A fietst met constante snelheid: de grafiek is een rechte lijn.

d. Hoe kleiner het interval, hoe nauwkeuriger de benadering van de snelheid. e. De snelheid op tijdstip t 1 zal 18 km/u zijn.

1



2 2 , 2 23,25 s t  _  en



2 , 2.1



23,85 s t  _ 

d. Dat is niet echt goed af te lezen, maar die zal in de buurt liggen van de hieronder berekende differentiequotiënten



1.99 , 2



24,015 s t  _  en



2 , 2.01



23,985 s t  _ 

2,999... s  _{ }  b. In (-4, -112) en (6, 108) is de helling 72. c. In (0, 0) en (2, -4) is helling 0.

d. De grafiek heeft daar een top (minimum of maximum) 18. a. f(3) 9 en _f₍₃__V_x_{) (3}_ __V_x₎2 _₍₃__V_x₎₍₃__V_x_{) 9 6}_{ } _V_x_₍_V_x₎2 b./c.



3 , 3



(3 ) (3) 9 6 ( )2 9 6 ( )2 3 3 y f x f x x x x x x x x x  _ _   _    _  _    V V V V V V V V V 2 6 ( ) 6 x x x x x  V  V  V V V

d. Als Vx heel klein wordt, komt y

x



 in de buurt van 6. De helling van de grafiek van f in (3, 9) is 6. 19. a.



1,1



(1 ) (1) 3(1 )2 3 3(1 2 2) 3 6 3 2 6 3 1 1 y f x f x x x x x x x x x x x x                   

Als x naar 0 nadert , gaat het differentiequotiënt naar 6: dy 6

(7)

a2 2a x ( x)2 a2 2a x ( x)2 2a x x x x  _ _     _   _ _  V V V V V V V V

d. Als Vx nadert tot 0, dan nadert het differentiequotiënt naar 2a en is de helling van de grafiek van f in het punt _{P a a}_{( ,} 2₎_{gelijk aan 2a.}

24. f x'( ) 2 x en de helling in het punt ( 3, 3) is f'( 3) 2 3

25.

a. De grafiek van f is een rechte lijn met hellingsgetal 2. b. In elk punt van de lijn is de helling 2: f x'( ) 2

26. a. _{f a}₍ __V_x_{) (}_ _a__V_x₎3 _₍_a__V_{x a}₎₍ __V_x₎2 _₍_a__V_{x a}₎₍ 2_₂_{a x}_V _₍_V_x_{) )}2 _ 3 ₂ 2 ₍ ₎2 2 _{2 (} ₎2 ₍ ₎3 3 ₃ 2 _{3 (} ₎2 ₍ ₎3 a a x a x a x a x x a a x a x x   V  V  V  V  V   V  V  V 7 Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 6

x f(x) hellin g 0 0 0 1 1 2 2 4 4 3 9 6

(8)

b. _{f a}₍ __V_x₎__{f a}_{( )}__a3_₃_a2_V_x__{3 (}_{a x}_V ₎2_₍_V_x₎3__a3 _₃_a2_V_x__{3 (}_{a x}_V ₎2_₍_V_x₎3



_,



3 2 3 ( )2 ( )3 ₃ 2 ₃ ₍ ₎2 f a x a x x a a x a a x x x x  _ _   _ _ _  V V V V V V V

Als Vx naar 0 nadert, dan wordt f ₃_a2

x  _  . c. _{f x}_{'( ) 3}_ _x2 27. a. _{f x}_{'( ) 5}_ _x4_en_{g x}_{'( ) 6}_ _x5_. b. f'(1) 5 en g'(1) 6 c. g x'( ) 6 d. f x'( )g x'( ) 5 5 6 6 1 1 ( 1, 1) x x x        4 5 4 5 4 4 5 6 5 6 5 6 (5 6 ) 0 0 6 5 0 x x x x x x x x x x           

e. De lijn moet ook nog door het punt (2, 32) gaan. f. g'(2) 192 192 64 192 2 384 320 : 192 320 y x b b b b m y x            28.

a. Door de verschuiving verandert de helling van de grafiek niet.

b. Door een vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as toe te passen met factor 3. De hellingen worden ook met 3 vermenigvuldigd.

c./d. h x'( ) 3 '( ) 3 2 f x   x 6x 29. a. s'( 2) 2  en s'(3) 12 b. f'( 2) g'( 2)    4 6 2 en f'(3)g'(3) 6 6 12   c. s x'( )f x'( )g x'( ) 2 x6 d. v x'( )f x'( )g x'( ) 2 x6 30. a. _{f x}_{'( ) 20 3}_ _ _x2 _₆₀_x2 _f. 5 3 '( ) f x  b. 2 1 2 '( ) 3 2 g x  x  g. g x'( ) 0 c. _{k p}_{'( )}_{ }_{2,5 4}_ _p3 _{ }₁₀_p3 _h. _{h x}_{'( )}_ ₂ d. _{m t}_{( ) (}_{ }_t ₅₎₍_t_₅₎__t2_₂₅ _{m t}_{'( ) 2}_ _t _i. _{m x}_{'( )}_{    }_{7 3} ₁₀ e. _{s t}_{( ) (10 )}_ _t 4 _₁₀₀₀₀_t4 _{s t}_{'( ) 40000}_ _t3

(9)

31.

a. De afgeleide van _y __x5_en_y _ _x2_₄_x_{is respectievelijk}_5x4_en₂_x_₄_. b. ₁₀_x5_₂₀_x4 _₀ 4 10 ( 2) 0 0 2 x x x x     

c. De grafiek heeft bij x 0 en x 2 een raaklijn die horizontaal loopt (meestal heeft de grafiek daar een top).

d. _{k x}_{( )}__{x x}5₍ 2__{4 )}_x __x7 _₄_x6 _{k x}_{'( ) 7}_ _x6_₂₄_x5 e. _{p x}_{( ) (}_ _x3_₁₎₍₂__x₎_{ }_x4_₂_x3 _{ }_x ₂ _{p x}_{'( )}_{ }₄_x3_₆_x2_₁ 32. a. f x'( ) 12x5 f'(1) 7 b. _{g x}_{'( )}_{ }₁₅_x4_₁₆_x _g_'(1)_{ }₃₁ c. _{h x}_{( ) (2}_ _x_₆₎₍₅_x_{ }_{1) 10}_x2_₂₈_x_₆ _{h x}_{'( ) 20}_ _x_₂₈ _h_'(1)_{ }₈ d. _{k x}_{( )}__x2₍₅__x3_{) 5}_ _x2__x5 _{k x}_{'( ) 10}_ _x_₅_x4 _k_{'(1) 5}_ e. _{l x}_{( ) (7}_ _x_₂₎2 _₍₇_x_₂₎₍₇_x__{2) 49}_ _x2_₂₈_x_₄ _{l x}_{'( ) 98}_ _x_₂₈ _l_{'(1) 70}_ f. _{m x}_{( ) (}_ _x2_₁₎₍₅_x__{8) 5}_ _x3 _₈_x2_₅_x_₈ _{m x}_{'( ) 15}_ _x2_₁₆_x_₅ _m_{'(1) 4}_ 33. a. f x'( ) 2 x6 en f'(0) 6 b. f x( ) 0 c. f x'( ) 10 2 ₆ _{5 (} ₅₎₍ _{1) 0} 5 1 '( 5) 4 '( 1) 4 x x x x x x f en f                 2 6 10 2 4 2 x x x     in (2, 21) c. In de top van de grafiek is de helling 0.

d. f x'( ) 0 2 6 0 2 6 3 x x x    

  De coördinaten van de top zijn: (-3, -4) 34.

a. _{f x}_{'( ) 4}_ _x3_₁₆_x _f_{'( 2)}_{ }_f₍₀₎__f_{(2) 0}_ b. f x'( ) 0 voor x   , 2 0 , 2 en f x'( ) 0 voor 6

c. Als de afgeleide negatief is daalt de grafiek van f. Als de afgeleide positief is, dan is de grafiek stijgend. Bij x 2, x0 en x2 heeft de grafiek van f een top.

35. a. _{f x}_{'( ) 4}_ _x3_₄_x2 3 2 2 4 4 4 ( 1) 0 0 1 x x x x x x        '( ) 0 f x  voor x , 0  0 ,1 en f x'( ) 0 voor x 1,

b. De grafiek van f heeft alleen een top bij x1: (1, 1 3

 )

(10)

36. a. f x'( ) 2 x3 en f'(2) 1 b. y  x b 2 1 2 2 4 4 b b b y x           c. Voer in: 2 1 3

y x  x en plot de grafiek. Dan 2nd_{PRGM optie 5 (}_tangent_):_x _₂_. 37. a. _{f x}_{'( ) 2}_ _x3 _b. _0,5_x4 _{ }_{3 5} '(1) 2 2 2,5 2 1 2 4,5 2 4,5 f y x b b b b y x              4 4 0,5 8 16 2 2 x x x x       '( 2) 16 5 16 2 27 16 27 f b b y x              '(2) 16 5 16 2 27 16 27 f b b y x         38. a. _{f x}_{'( ) 3}_ _x2_₁₂_x_₁₅ '( 1) 0 8 f y   

b. de vraag moet waarschijnlijk zijn: in welke punten van de grafiek van g is de raaklijn

evenwijdig aan de lijn y 9x1?

2 2 '( ) 3 6 9 3( 2 3) 3( 3)( 1) 0 3 1 (3, 0) ( 1, 4) g x x x x x x x x x en                39. a.

b. f is stijgend op het interval



3 , ; de afgeleide is op

dit interval positief.

Als de afgeleide f’ negatief/positief is daalt/stijgt de grafiek van f.

c. Waar de grafiek van de afgeleide functie de x-as snijdt, heeft de grafiek een top.

40. a. b. c. x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 x y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1 -2 2 4 -2 -4 -6 -8 -10 -12 x y 1 2 3 -1 -2 -3 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 -11 x y 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 1 2 3 4 5 -1 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 -1

(11)

(12)

41.

a. De grafiek van f x( ) 7 3  x is een rechte lijn met helling -3. De hellinggrafiek is de horizontale lijn y  3.

b. g x( ) 2 x b

42. De hellinggrafiek van de linker figuur wordt een horizontale lijn boven de x-as. De hellinggrafiek van de rechter figuur wordt een dalende rechte lijn door (4, 0). 43.

a.

Een dalparabool met top bij x5 Een derdegraads functie met toppen bij x 1,2 en x6,8. 44. a. f x'( )g x'( ) 2 2 2 3 2 3 3 2 (3 2) 0 0 x x x x x x x x         b. Voer in: 1 2 x y  , y0 nDeriv y x x( , , )1 en y3 2x. Intersect: x0,485  x 3,212 45. a. L t'( ) 0,027t en B t'( ) 0,05

De plaat krimpt in de breedte op elk tijdstip met 0,05 cm/maand. Op tijdstip t 1

krimpt de plaat in de lengte met 0,027 cm/maand (L'(1) 0,027). Dat is minder snel dan in de breedte.

b. L t'( )B t'( ) 0,027 0,05 1,85 t t    

Na ongeveer 56 dagen krimpt het met dezelfde snelheid. 46. a. f x'( ) 6,75 b. f x'( ) 16 3 3 2 6,75 3,375 1,5 (1.5, 5.53) x x x P    3 3 2 16 8 2 11 16 21 x x x en y y x           x y 5 10 x y 2 4 6 8 10 12 -2

(13)

47. a. 4 4 : 1 AB  1 4 3 1 3 2 : 1 AC  2 1 : 2 AD  1 4 1 : 4 AE 

b. Naarmate het tweede punt steeds dichter bij A komt te liggen, zal de

richtingscoëfficiënt steeds groter worden. Het verbindingslijnstuk loopt steeds steiler.

c. f



1, 1.001



63

x

 _



d. De raaklijn aan de grafiek in punt A loopt verticaal. De helling bestaat niet. 48.

a. De grafiek heeft bij x4 een top; in dit geval een maximale waarde. b. Een bergparabool met top (4, …)

c. 1 2

2

( ) 1 12

f x   x  x b

Omdat f(0) 4 moet b4, dus 1 2 2 ( ) 1 12 4 f x   x  x 49. a. f a( x) f a( ) a1x a1 a a( a x) a a(a xx) a a( xx) x x x x               V V V V V V V V V V

b. Je mag teller en noemer door Vx delen.

c. Dan nadert het differentiequotiënt naar 2

1 1 ( 0) f x a a a  _  _{ }   d. f x'( ) 1₂ x   e. f x'( ) 4 2 1 4 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , 2) ( , 2) x x x en        13 Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 6

(14)

T-1.

a. Het toenamediagram gaat bij 60 km hoogte van positief (een stijging) naar negatief (een daling). De temperatuur bereikt daar dus een maximale waarde.

b. 12 50 10 30    18 Co c.

De langste staat is 55. T-2.

a. R(15)R(13) 320 . Met 2 extra machines neemt de weekomzet toe met €320000,-en als alle machines draai€320000,-en met

5,6 t  _

 . Dit is een benadering van de snelheid na 10 seconden. c. s



60 , 60.0001



6,6 t  _  en



100 , 100.0001



6,64 s t  _ 

De snelheid verandert op een gegeven moment niet veel meer. Jos rijdt dan met een constante snelheid.

T-4. a. f x'( ) 2x en f'(2) 4 b. f'( 1) 2  c. f x'( ) 6 d. f'(4) 8 2 6 3 ( 3, 6) x x       8 13 8 4 32 19 y x b b b b            

Nee, de lijn y  8x19 raakt de grafiek in (4,-13) h (in km) 60 70 80 90 100 110 120 130 140

T (in o_C) _{-15 -40 -70 -65 -35 -10} ₃₀ ₈₀ ₁₃₀

(15)

T-5. a. _{p x}_{'( )}_{ }₄_x7 b. _{d p}_{( ) (3 )}_ _p 5 _₃5__p5 _₂₄₃_p5 _{d p}_{'( ) 1215}_ _p4 c. _{f x}_{'( ) 0,2 2}_ _ _x19 d. _{s t}_{( ) (4}_ _t_₄₎2_{ }_{4 16}_t2_₃₂_t__{16 4 16}_{ } _t2_₃₂_t_₁₂ _{s t}_{'( ) 32}_ _t_₃₂ e. 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 7 3 9 7 21 9 ( ) (2 ) 4 1 4 1 h t   t  t   t t  t   t t 2 1 9 21 '( ) 1 h t  t f. _{N t}_{( ) (3}_ _t_₅₎₍₃_t__{5) 9}_ _t2_₂₅ _{N t}_{'( ) 18}_ _t g. A u'( ) 1 h. h r'( ) 2 r T-6. a. b. _{f x}_{'( ) 5 5}_{ } _x4 4 4 4 5 5 5(1 ) 0 1 1 1 x x x x x          In (-1, -4) en (1, 4) is de raaklijn horizontaal. c. f'(2) 75 en f(2) 22 22 75 2 150 128 75 128 b b b y x             d. T-7. a. h0 2 2 2 45 4,9 0 4,9 45 9,18 3,03 t t t t     

De gemiddelde valsnelheid is ongeveer 45

3,03 14,8 m/s b. h t'( ) 9,8t en h'(3,03) 29,7 m/s c. h t'( ) 14,8 9,8 14,8 1,5 t t     T-8. a.

b. Er zijn twee raaklijnen aan de grafiek door (0, 0). c. a f x '( ) x 2 2 1 2 2 1 2 2 4 4 8 2 2 2 2 x ax x x x x a x a            15 Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 6

x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -1 x y 1 2 3 -1 -2 -3 5 10 15 20 -5 -10 -15 -20 f(x) f’(x)