Het arbitragevrije Nelson-Siegelmodel in een ALM-studie

Faculteit Economie en Bedrijfskunde, Universiteit van Amsterdam

Bachelorscriptie Econometrie

Het arbitragevrije Nelson-Siegelmodel in een ALM-studie

Rob van der Voort – 10075259

December 2017

Begeleid door prof. dr. H.P. Boswijk

Abstract - In dit artikel is een model onderzocht of het arbitragevrije Nelson-Siegelmodel met Krippner’s schaduwrente (het B-AFNS(3)-model) de dynamiek van de rentetermijnstructuur correct genoeg kan schatten, zodat het gebruikt dat worden in simulatiestudies, zoals een ALM-studie. Na eerst de in-sample fit van het model te bekijken en vervolgens ermee te simuleren is gebleken dat de huidige vorm van het B-AFNS(3) niet accuraat genoeg is om te gebruiken voor ALM-studies.

2

Verklaring eigen werk

Hierbij verklaar ik, Rob van der Voort, dat ik deze scriptie zelf geschreven heb en dat ik de volledige verantwoordelijkheid op me neem voor de inhoud ervan.

Ik bevestig dat de tekst en het werk dat in deze scriptie gepresenteerd wordt origineel is en dat ik geen gebruik heb gemaakt van andere bronnen dan die welke in de tekst en in de referenties worden genoemd.

De Faculteit Economie en Bedrijfskunde is alleen verantwoordelijk voor de begeleiding tot het inleveren van de scriptie, niet voor de inhoud.

3

1 Introductie

Het begrijpen van de dynamiek achter de rentetermijnstructuur is belangrijk voor vele vakgebieden. Zo wordt het bijvoorbeeld gebruikt door banken, pensioenfondsen, beurzen, wetenschappers en overheidsinstituties. Daarom zijn er ook meerdere modellen ontwikkeld om deze termijnenstructuur te schatten en te voorspellen. Een groot probleem in deze modellen is echter dat deze niet goed omgaan met de risicovrije rente die richting de nul procent gaat, maar volgens de theorie niet lager dan nul procent kan worden. Dit wordt de ‘zero lower bound’ (ZLB) genoemd (Christensen & Rudebusch, 2015). De traditionele modellen om de rentetermijnenstructuur te schatten, zoals de Nelson-Siegelmodellen en de Arbitragevrijemodellen zijn door Christensen, Diebold en Rudebusch (2011) doorontwikkeld tot het arbitragevrije Nelson-Siegelmodel (AFNS-model). Dit model heeft zowel de theoretische onderbouwing die bij de rentetermijnstructuur hoort, als de goede voorspellende resultaten. Het AFNS-model kan tevens ook als kader worden gebruikt om het probleem van de ZLB op te lossen.

Maar om het probleem van de ZLB op te lossen, moet een extensie aan het AFNS-model worden toegevoegd. Hiervoor heeft Black (1995) de schaduwrente bedacht. Dit houdt in dat er in de modellen twee variabelen voor de rente moet worden opgenomen, de schaduwrente en de risicovrije rente. De schaduwrente heeft geen restricties aan de rente en kan onder de nul procent raken, terwijl de risicovrije rente het maximum is van de schaduwrente en nul procent. Hierdoor ontstaat er een dynamiek waarin de risicovrije rente begrensd is van onder door nul, maar de schaduwrente wel negatief kan worden.

Het probleem van Black’s schaduwrente is dat het veel rekenwerk met zich meebrengt. Hierdoor werd het in de periode voor de kredietcrisis niet vaak gebruikt in modellen, omdat bijna nergens de risicovrije rente dichtbij de nul procent lag volgens Christensen & Rudebusch (2015). Sinds de kredietcrisis is Black’s schaduwrente meer bestudeerd en is Krippner (2012) met een alternatieve schaduwrente gekomen, waar makkelijker mee gerekend wordt. Zijn schaduwrente is gebaseerd op opties. Met deze schaduwrente wordt de prijs van een geobserveerde obligatie gelijkgesteld aan de schaduwrente obligatie minus de prijs van een call optie dat de schaduwrente negatief kan worden. Het grote nadeel van Krippner zijn schaduwrente is dat deze call optie moeilijk te waarderen is, daarom wordt er gebruikgemaakt

4 van een benadering van deze call optie. Krippner (2012) beweert dat de benaderingsfout klein is, maar er is weinig bekend over de grote en eigenschappen van deze fout.

Pensioenfondsen maken vaak gebruik van ‘asset liability management’ (ALM)-studies. Dit is een manier om dynamische portfoliokeuzes te modelleren die de opbrengsten maximaliseren met een minimaal risico op onderfinanciëring. Met deze studies is het belangrijk dat er met de juiste rente verdisconteerd wordt. Voor de kredietcrisis werd er vaak gewerkt met een marktconforme actuariële rente door pensioenfondsen (Van Elen, 2010), maar nu de rentes richting de nul procent gaan, gaat het schatten van deze actuariële rente moeilijker. Daarom is het belangrijk om de rentetermijnstructuur goed te kunnen schatten, rekening houdend met de ZLB. In dit artikel wordt er onderzocht of het AFNS-model met Krippner zijn schaduwrente geschikt is om te gebruiken voor ALM studies.

De rest van het artikel heeft de volgende structuur. In Sectie 2 wordt het theoretisch kader besproken met bestaande literatuur om het model op te bouwen. Vervolgens wordt in Sectie 3 het model opgebouwd dat in dit artikel gebruikt is. Sectie 4 wordt gebruikt om de resultaten te analyseren, waarna er in Sectie 5 een conclusie wordt getrokken.

2 Theoretisch kader

In deze sectie wordt besproken hoe het Nelson-Siegelmodel werkt en hoe dit vervolgens is uitgebreid naar het AFNS-model. Daarna wordt inzicht gegeven over de schaduwrente die door Black (1995) is geïntroduceerd en vervolgens door Krippner (2012) meer berekenbaar is gemaakt. Hierna wordt gekeken hoe dit toegepast wordt in het AFNS-model en hoe het model er vervolgens uitziet. Om vervolgens schattingen van dit model te kunnen doen, wordt het extended Kalmanfilter toegepast. Tot slot wordt er bestudeerd hoe er met het uiteindelijke model gesimuleerd wordt.

2.2 Het AFNS-model

Het begrijpen van de dynamiek achter de rentetermijnstructuur is belangrijk in de wetenschap, waaronder ook de financiële econometrie. Hier werd vooral geanalyseerd met behulp van het Nelson-Siegelmodel en het arbitragevrijemodel. Het is echter gebleken dat beide modellen

5 hun voor- en nadelen hadden. Zo stellen Christensen, Diebold en Rudebusch (2011) dat het arbitragevrijemodel erg populair is, omdat de theorie achter deze modellen er goed op aansluit. Hiernaast volgen de opbrengsten een juiste lineaire functie van de latente variabelen waar handig mee te rekenen is. Het grote nadeel van dit model is dat het grotendeels slecht voorspelt (Duffee, 2002; geciteerd in Christensen, Diebold, & Rudebusch, 2011, p. 4). Daarnaast zijn de resultaten moeilijk te interpreteren, omdat verschillende likelihood maxima op elkaar lijken, maar compleet andere economische betekenissen hebben. Met het Nelson-Siegelmodel werkt het voorspellen van de rentetermijnstructuur beter volgens Christensen, Diebold en Rudebusch (2011). Hierdoor is het in de praktijk meer gebruikt. Het nadeel van dit model is echter dat het theoretisch minder onderbouwd is. Er zijn nog steeds arbitragemogelijkheden in dit model te behalen, wat het model minder aantrekkelijk maakt.

Om de nadelen van deze beide modellen te overkomen hebben Christensen, Diebold en Rudebusch (2011) het arbitragevrije Nelson-Siegelmodel (AFNS-model) ontwikkeld. Dit model behoudt de empirisch sterke eigenschappen van het Nelson-Siegelmodel en heeft als toevoeging dat er geen arbitragemogelijkheden meer aanwezig zijn. Het originele Nelson-Siegelmodel voor de ‘yield curve’ ziet er als volgt uit

𝑦(𝜏) = 𝛽0+ 𝛽1( 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆𝜏 ) + 𝛽2( 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆𝜏 − 𝑒 −𝜆𝜏_{), (1)} waarin 𝑦(𝜏) de ‘zero-coupon yield’ is met 𝜏 maanden tot oplevering en β0, β1, β2 en λ de

parameters zijn. Omdat er in dit onderzoek de dynamiek van de rentetermijnstructuur bestudeerd wordt, wordt dit herschreven tot de volgende vorm

𝑦𝑡(𝜏) = 𝐿𝑡+ 𝑆𝑡( 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆𝜏 ) + 𝐶𝑡( 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆𝜏 − 𝑒 −𝜆𝜏_{), (2)} waar Lt staat voor het niveau op tijdstip t, St staat voor de helling op tijdstip t en Ct staat dan

voor de kromming op tijdstip t. T is in dit model de totale levensduur, en τ een functie is van t en T (τ = T-t). λ is een parameter binnen dit model. Als vervolgens het model arbitragevrij gemaakt wordt, krijgt het AFNS-model de volgende functionele vorm volgens Christensen, Diebold en Rudebusch (2011) 𝑦𝑡(𝜏) = 𝐿𝑡+ 𝑆𝑡( 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆𝜏 ) + 𝐶𝑡( 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆𝜏 − 𝑒 −𝜆𝜏_{) −}𝐴(𝜏) 𝜏 . (3)

6 𝑦𝑡(𝜏) staat wederom voor de ‘zero-coupon yield’.

𝐴(𝜏)

𝜏 wordt de correctieterm genoemd waardoor het AFNS-model arbitragevrij is. Deze correctieterm wordt als volgt gedefinieerd door Christensen, Diebold en Rudebusch (2011)

𝐴(𝜏) 𝜏 = 𝜎11 𝜏2 6 + (𝜎21 2_{+ 𝜎} 222) [ 1 2𝜆2− 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆3_𝜏 + 1 − 𝑒−2𝜆𝜏 4𝜆3_𝜏 ] + (𝜎312+ 𝜎322+ 𝜎332) [ 1 2𝜆2− 𝑒−𝜆𝜏 𝜆2 − 𝜏𝑒−2𝜆𝜏 4𝜆 − 3𝑒−2𝜆𝜏 4𝜆2 + 2(1 − 𝑒−𝜆𝜏₎ 𝜆3_𝜏 +5(1 − 𝑒 −2𝜆𝜏₎ 8𝜆3_𝜏 ] + 𝜎11𝜎21[ 𝜏 2𝜆+ 𝑒−𝜆𝜏 𝜆2 − 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆3_𝜏 ] + 𝜎11𝜎31[ 3𝑒−𝜆𝜏 𝜆2 + 𝜏 2𝜆+ 𝜏𝑒−𝜆𝜏 𝜆 − 3(1 − 𝑒−𝜆𝜏) 𝜆3_𝜏 ] + (𝜎21𝜎31+ 𝜎22𝜎32) [ 1 𝜆2+ 𝑒−𝜆𝜏 𝜆2 − 𝑒−2𝜆𝜏 2𝜆2 − 3(1 − 𝑒−𝜆𝜏₎ 𝜆3_𝜏 + 3(1 − 𝑒−2𝜆𝜏₎ 4𝜆3_𝜏 ] (4) Nu moet er vervolgens bestudeerd worden hoe deze klasse van AFNS-modellen goed de rentetermijnstructuur kan voorspellen, rekening houdend met de ZLB.

2.3 De schaduwrente

Om modellen te verkrijgen die goed kunnen voorspellen, terwijl er rekening wordt gehouden met de ZLB, kwam Black (1995) met het concept van schaduwrente. Met dit concept worden er twee variabelen opgenomen in het model, de schaduwrente st, die geen restrictie heeft van

de ZLB en de geobserveerde risicovrije rente rt, die het maximum is tussen 0 en st. Dit zorgt

ervoor dat de schaduwrente negatief kan worden, terwijl de geobserveerde rente op nul blijft hangen.

Voordat de schaduwrente wordt toegevoegd aan het AFNS-model, wordt eerst bekeken wat de schaduwrente precies inhoudt. Het probleem waar de schaduwrente vandaan komt, is dat de originele Nelson-Siegelmodellen en arbitragevrije modellen niet goed kunnen voorspellen wanneer de risicovrije rente rond de nul procent ligt (Christensen & Rudebusch, 2015). Dit werd niet echt als een probleem aanschouwd, aangezien dit bijna niet voorkwam. Tot aan het einde van de 20ste eeuw Japan kampte met lage rentes. Sinds de kredietcrisis gaan

7 de rentes ook in Europa en Amerika richting de nul procent. Dit is aanleiding geweest voor meer onderzoek naar Black zijn schaduwrente.

Het probleem, echter, met Black’s schaduwrente is dat deze moeilijk is te implementeren in modellen en veel rekenwerk met zich meebrengt. Kim en Singleton (2012) zijn er wel in geslaagd om een model te verkrijgen met twee latente variabelen erin, maar drie of meer latente variabelen lukt niet. Dit terwijl volgens de formule gegeven in (3), bij de modellering van het AFNS-model om de rentetermijnstructuur te modelleren er drie latente variabelen nodig zijn.

Om dit probleem te overkomen heeft Krippner (2012) een alternatieve manier bedacht om de schaduwrente te implementeren in modellen. Deze manier is gebaseerd op opties. Het wordt op de volgende manier geïllustreerd door Christensen en Rudebusch (2015). Stel er zijn twee obligaties die op de volgende manier verschillen: één heeft geld in omloop en een constante nominale waarde en geen transactiekosten, terwijl de ander geen geld in omloop heeft. In de wereld zonder geld in omloop, kan de prijs van een schaduwrente ‘zero-coupon’ obligatie hoger worden dan zijn inruilwaarde. Dit komt door de mogelijkheid van negatieve rente. Daarentegen, in de wereld met geld in omloop, kan een obligatie die €1,- uitbetaalt wanneer de obligatie is afgelopen nooit meer dan zijn inruilwaarde opleveren. Dit komt doordat er alleen positieve rentes worden toegestaan. De wisselwerking tussen deze twee obligatiesoorten is de grondlegging voor Krippner zijn schaduwrente.

2.4 Het schaduwrente AFNS-model

Om de schaduwrente te implementeren in het AFNS-model wordt in eerste instantie het standaard AFNS-model met drie latente variabelen beschreven door Christensen en Rudebusch (2015). Hierin wordt de schaduwrente genoteerd als 𝑠𝑡 = 𝑋𝑡1+ 𝑋𝑡2 en wordt de dynamiek van de latente variabelen (𝑋𝑡1, 𝑋𝑡2, 𝑋𝑡3) gegeven door:

( 𝑑𝑋𝑡1 𝑑𝑋_𝑡2 𝑑𝑋𝑡3 ) = − ( 𝜅11 𝜅21 𝜅31 𝜅12 𝜅22 𝜅23 𝜅13 𝜅23 𝜅33 ) [( 𝜃1 𝜃2 𝜃3 ) − ( 𝑋𝑡1 𝑋_𝑡2 𝑋𝑡3 )] 𝑑𝑡 + ( 𝜎11 𝜎21 𝜎31 0 𝜎22 𝜎32 0 0 𝜎33 ) ( 𝑑𝑊_𝑡1,𝑄 𝑑𝑊_𝑡2,𝑄 𝑑𝑊_𝑡3,𝑄 ). (5)

Hoewel dit vrij restrictief lijkt, stellen zij dat dit model zeer flexibel te gebruiken is. Ook volgt uit deze definities dat formule (3) geldt, met voor de latente variabelen de hoogte, hellingshoek en kromming respectievelijk ingevuld.

8 De onmiddellijke forward rate wordt gegeven door de volgende functie:

𝑓𝑡(𝜏) = − 𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝑃(𝜏) = 𝑋𝑡

1_{+ 𝑒}−𝜆𝜏_𝑋

𝑡2+ 𝜆𝜏𝑒−𝜆𝜏𝑋𝑡3+ 𝐴𝑓(𝜏), (6) met 𝐴𝑓(𝜏), de correctieterm, gegeven door de volgende functie:

𝐴𝑓(𝜏) = −𝜕𝐴(𝜏) 𝜕𝑇 = −1 2𝜎11 2_𝜏2₋1 2(𝜎21 2_{+ 𝜎} 222) [ 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆 ] 2 −1 2(𝜎31 2_{+ 𝜎} 322+ 𝜎332) [ 1 𝜆2− 2𝑒−𝜆𝜏 2𝜆2 − 2𝜏𝑒−2𝜆𝜏 𝜆 + 𝑒−2𝜆𝜏 𝜆2 + 2𝜏𝑒−2𝜆𝜏 𝜆 + 𝜏 2_𝑒−2𝜆𝜏_] − 𝜎11𝜎21 𝜏(1 − 𝑒−𝜆𝜏₎ 𝜆 − 𝜎11𝜎31[ 𝜏 𝜆− 𝜏𝑒−𝜆𝜏 𝜆 − 𝜏 2_𝑒−𝜆𝜏_] − (𝜎21𝜎31+ 𝜎22𝜎32) [ 1 𝜆2− 2𝑒−𝜆𝜏 𝜆2 − 𝜏𝑒−𝜆𝜏 𝜆 + 𝑒−𝜆𝜏 𝜆2 + 𝜏𝑒−2𝜆𝜏 𝜆 ]. (7) Om vervolgens het schaduwrente AFNS-model met drie variabelen (in het vervolg B-AFNS(3)-model) af te leiden, wordt eerst de formule van Krippner (2012) voor de onmiddellijke forward rate gegeven door:

𝑓𝑡(𝜏) = 𝑓𝑡(𝜏)Ф ( 𝑓𝑡(𝜏) 𝜔(𝜏)) + 𝜔(𝜏) 1 √2𝜋exp (− 1 2[ 𝑓𝑡(𝜏) 𝜔(𝜏)] 2 ). (8) Bij deze formule is f(τ) gegeven door vergelijking (6) en wordt 𝜔(𝜏) gerelateerd aan de conditionele variantie van de schaduwrente optie prijs op de volgende manier:

𝜔(𝜏)2=1 2𝛿→0lim(

𝑣(𝑡, 𝑇, 𝑇 + 𝛿)

𝜕𝛿2 ) (9) Dit kan ook wel geschreven worden als

𝜔(𝜏)2= 𝜎11𝜏 + (𝜎212+ 𝜎222) 1 − 𝑒−2𝜆𝜏 2𝜆 +(𝜎312+ 𝜎322+ 𝜎332) [ 1 − 𝑒−2𝜆𝜏 4𝜆 − 𝜏𝑒−2𝜆𝜏 2 − 𝜆𝜏2𝑒−2𝜆𝜏 2 ] +2𝜎11𝜎21 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆 + 2𝜎11𝜎31[−𝜏𝑒 −𝜆𝜏₊1 − 𝑒 −𝜆𝜏 𝜆 ] +(𝜎21𝜎31+ 𝜎22𝜎32) [−𝜏𝑒−𝜆2𝜏+ 1 − 𝑒−2𝜆𝜏 2𝜆 ] (10)

9 zoals beschreven door Christensen en Rudebusch (2015). Verder geven zij aan dat de opbrengsten van de ‘zero-coupon’ obligaties die de ZLB observeren, genoteerd als 𝑦(𝑡, 𝑇), gegeven wordt door de volgende uitdrukking:

𝑦𝑡(𝜏) = 1 𝑇 − 𝑡∫ [𝑓𝑡(𝑡, 𝑠)Ф ( 𝑓𝑡(𝑡, 𝑠) 𝜔(𝑡, 𝑠)) + 𝜔(𝑡, 𝑠) 1 √2𝜋𝑒𝑥𝑝 (− 1 2[ 𝑓𝑡(𝑡, 𝑠) 𝜔(𝑡, 𝑠)] 2 ) 𝑑𝑠]. (11) 𝑇 𝑡

Om vervolgens dit model te schatten wordt het Extended Kalman filter gebruikt. Dit filter heeft het effect dat de maximum likelihood schatter van het model eenvoudiger te bepalen is.

2.5 Asset liability management en simulaties

Nu het model voor de rentetermijnstructuur beschreven is, wordt er in dit onderzoek één van de toepassingen van dit model bestudeerd. Zo kunnen de schattingen van deze rentetermijnstructuur bijvoorbeeld gebruikt worden in asset liability management (ALM)-studies. ALM-studies zijn studies die zich vooral focussen op portefeuilles, waarin het rendement gemaximaliseerd wordt terwijl het risico op onderfinanciëring geminimaliseerd wordt. Dit is een aantrekkelijke methode voor pensioenfondsen, omdat die pensioenen ten alle tijden moeten kunnen uitbetalen. Het is in deze ALM studies belangrijk dat de juiste rente gehanteerd wordt en dat hier goede voorspellingen van zijn. Tot voor de crisis werd een marktconforme actuariële rente hiervoor gekozen (Van Elen, 2010). Door de komst van de ZLB, is gebleken dat deze rente moeilijk te berekenen is, en daarom is men op zoek gegaan naar een goed model om de rentetermijnstructuur goed te kunnen voorspellen.

Om te gaan voorspellen met het B-AFNS(3)-model stellen Christensen en Rudebusch (2015) voor om de volgende formule te gebruiken

( 𝑋𝑡1 𝑋𝑡2 𝑋𝑡3 ) = ( 𝑐1 𝑐2 𝑐3 ) + ( 𝜋11 𝜋21 𝜋31 𝜋12 𝜋22 𝜋23 𝜋13 𝜋23 𝜋33 ) ( 𝑋𝑡−11 𝑋𝑡−12 𝑋_𝑡−13 ) + ( 𝜎11 𝜎21 𝜎31 0 𝜎22 𝜎32 0 0 𝜎33 ) ( 𝑑𝑊_𝑡1,𝑄 𝑑𝑊_𝑡2,𝑄 𝑑𝑊_𝑡3,𝑄 ). (12)

In het vervolg wordt de matrix met 𝜋 aangegeven door de Π-matrix en de covariantiematrix voor de storingstermen door de ∑-matrix. De drie storingstermen worden aangeduid door εt,

welke normaal verdeeld is met verwachting nul en covariantiematrix ∑.

Als de kappa-matrix (Κ) en θ-vector geschat zijn volgens het B-AFNS(3) model gegeven in formule (5), dan stellen Christensen en Rudebusch dat er als volgt gesimuleerd kan worden:

10 𝛱̂ = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥𝑒𝑥𝑝(−Κ̂∆𝑡) 𝑐̂ = ( 𝑐̂1 𝑐̂2 𝑐̂3 ) = (𝐼 − 𝛱̂) ∗ 𝜃̂ ∑̂ = ∫ 𝑒−Κ̂𝑠_∑∑′ 𝜏 0 𝑒−(Κ̂)′𝑠_𝑑𝑠 𝑋𝑡+1= 𝑐̂ + 𝛱̂𝑋𝑡+ 𝑒𝑡+1 (13) Tot dusver is besproken hoe het AFNS-model is opgebouwd en hoe deze uitgebreid kan worden tot het B-AFNS(3)-model. Hierna zijn de mogelijkheden besproken hoe met de geschatte waarden uit dit model er gesimuleerd kan worden. Er wordt nu verder besproken hoe dit model is gemodelleerd in dit artikel.

3 Opzet onderzoek

In deze sectie wordt verklaard welke data in dit onderzoek is gebruikt en waar deze vandaan komt. Verder wordt met behulp van de formules besproken in de vorige sectie het model opgesteld wat gebruikt is in dit onderzoek om de rentetermijnstructuur te schatten. Vervolgens wordt er besproken hoe er naar de toekomst gesimuleerd wordt.

3.2 Data

De data die gebruikt wordt in dit onderzoek is wekelijkse Amerikaanse obligatie data van 2000 t/m 31 december 2014 die beschikbaar is gesteld door Gurkaynak, Sack en Wright (2007) en ook door hen up-to-date is gehouden. De ‘yields to maturity’ die gebruikt wordt in dit onderzoek zijn de yields die behoren tot de zero-coupon obligaties die per drie maanden, zes maanden, één jaar, twee jaar, drie jaar, vijf jaar, zeven jaar en tien jaar uitbetalen. Om met de data de rentetermijnstructuur te schatten wordt het AFNS(3)-model en het B-AFNS(3)-model geschat.

11 3.3 Het AFNS(3)-model

Het model wat geschat wordt om de arbitragevrije Nelson-Siegelmodel te schatten, volgt het volgende proces, zoals gegeven in formule (3).

𝑦𝑡(𝜏) = 𝐿𝑡+ 𝑆𝑡( 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆𝜏 ) + 𝐶𝑡( 1 − 𝑒−𝜆𝜏 𝜆𝜏 − 𝑒 −𝜆𝜏_{) −}𝐴(𝜏) 𝜏 . (3) met 𝐴(𝜏)_𝜏 gegeven door formule (4). Dit proces kan omgeschreven worden tot het volgende proces ( 𝑑𝐿𝑡 𝑑𝑆𝑡 𝑑𝐶𝑡 ) = − ( 𝜅11 0 0 0 𝜅22 0 0 0 𝜅33 ) [( 𝜃1 𝜃2 𝜃3 ) − ( 𝐿𝑡 𝑆𝑡 𝐶𝑡 )] 𝑑𝑡 + ( 𝜎11 0 0 0 𝜎22 0 0 0 𝜎33 ) ( 𝑑𝑊_𝑡1,𝑄 𝑑𝑊_𝑡2,𝑄 𝑑𝑊_𝑡3,𝑄 ). (14)

waarin Lt staat voor de hoogte, St staat voor de hellingshoek en Ct staat voor de kromming van

de verdeling. λ is de parameter in dit model en de matrix ( 𝜎11 0 0 0 𝜎22 0 0 0 𝜎33 ) is de covariantiematrix ∑AFNS. ( 𝜅11 0 0 0 𝜅22 0 0 0 𝜅33

) wordt de ΚAFNS-matrix genoemd en (

𝜃1 𝜃2 𝜃3

) de θAFNS-matrix.

Het model wordt vervolgens geschat met behulp van het Kalman filter.

3.4 Schaduwrente AFNS(3)-model

Het model wat geschat wordt, volgt het volgende proces

( 𝑑𝐿𝑡 𝑑𝑆𝑡 𝑑𝐶𝑡 ) = − (10 −7 𝜅21 0 0 𝜅22 0 0 𝜅23 𝜅33 ) [( 0 𝜃2 𝜃3 ) − ( 𝐿𝑡 𝑆𝑡 𝐶𝑡 )] 𝑑𝑡 + ( 𝜎11 0 0 0 𝜎22 0 0 0 𝜎33 ) ( 𝑑𝑊_𝑡1,𝑄 𝑑𝑊_𝑡2,𝑄 𝑑𝑊_𝑡3,𝑄 ). (15)

waarin Lt staat voor de hoogte, St staat voor de hellingshoek en Ct staat voor de kromming van

de verdeling. λ is de parameter in dit model en de matrix ( 𝜎11 0 0 0 𝜎22 0 0 0 𝜎33 ) is de covariantiematrix ∑BAFNS. ( 10−7 𝜅21 0 0 𝜅22 0 0 𝜅23 𝜅33

) wordt de ΚBAFNS-matrix genoemd en (

0 𝜃2 𝜃3

) de θBAFNS-matrix. Dit proces

lijkt erg op het proces van formule (5) met enkele parameters de waarde 0 ingevuld. Dit komt doordat Christensen en Rudebusch (2015) stellen dat deze nauwelijks invloed hebben op de geschatte resultaten.

12 De onmiddellijke forward rate wordt hierdoor gegeven door

𝑓𝑡(𝜏) = − 𝜕

𝜕𝑇𝑙𝑛𝑃(𝜏) = 𝐿𝑡+ 𝑒 −𝜆𝜏_𝑆

𝑡+ 𝜆𝜏𝑒−𝜆𝜏𝐶𝑡3+ 𝐴𝑓(𝜏). (6) met Af als correctieterm gegeven door formule (7).

De onmiddellijke forward rate met de schaduwrente wordt gegeven door 𝑓𝑡(𝜏) = 𝑓𝑡(𝜏)Ф ( 𝑓𝑡(𝜏) 𝜔(𝜏)) + 𝜔(𝜏) 1 √2𝜋exp (− 1 2[ 𝑓𝑡(𝜏) 𝜔(𝜏)] 2 ), (8) waarin 𝑓(𝜏) wordt gegeven door vergelijking (5) en 𝜔(𝑡, 𝑇) wordt gegeven door vergelijking (8). Dit resulteert in de volgende uitdrukking voor de ‘zero-coupon’ obligatie:

𝑦𝑡(𝜏) = 1 𝑇 − 𝑡∫[𝑓𝑡(𝑡, 𝑠)Ф ( 𝑓𝑡(𝑡, 𝑠) 𝜔(𝑡, 𝑠)) + 𝜔(𝑡, 𝑠) 1 √2𝜋exp (− 1 2[ 𝑓𝑡(𝑡, 𝑠) 𝜔(𝑡, 𝑠)] 2 )]𝑑𝑠. (11) 𝑇 𝑡

Vervolgens wordt het model geschat met behulp van het extended Kalman filter.

3.5 Simulatie

Om te simuleren worden de geschatte parameters van het AFNS(3)-model en het B-AFNS(3)-model gebruikt. Dit wordt op de volgende manier gedaan:

𝛱̂ = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥𝑒𝑥𝑝(−Κ̂∆𝑡) 𝑐̂ = ( 𝑐̂1 𝑐̂2 𝑐̂3 ) = (𝐼 − 𝛱̂) ∗ 𝜃̂ ∑̂ = ∫ 𝑒−Κ̂𝑠_∑∑′ 𝜏 0 𝑒−(Κ̂)′𝑠_𝑑𝑠 𝑋𝑡+1= 𝑐̂ + 𝛱̂𝑋𝑡+ 𝑒𝑡+1. (13) Bij deze simulaties wordt er met een stapgrote van één maand vooruit gesimuleerd, dus ∆𝑡 = 1

12 en wordt er tien jaar vooruit voorspeld. Voor t=1 wordt de laatst gebruikte waarneming genomen uit de steekproef, 31 december 2013. De laatste voorspelling heeft waarde t=121.

13

Resultaten en analyse

4.1 Introductie

In deze sectie wordt eerst uitgelegd hoe het AFNS(3)-model en het B-AFNS(3)-model is geschat. Vervolgens wordt de hieruit volgende rentetermijnstructuur bestudeerd en wordt er bestudeerd hoe goed de in-sample voorspellingen kloppen voor zowel het AFNS(3)-model als het B-AFNS(3)-model en worden deze resultaten ook met elkaar vergeleken. Hierna wordt er aan de hand van de geschatte parameters voor tien jaar in de toekomst gesimuleerd wat de resulterende yields zijn en worden hier de resultaten van besproken.

4.2 Geschatte modellen

De geschatte parameters van het AFNS(3)-model zijn weergegeven in tabel 1. De bijbehorende standaardfouten van deze parameters is helaas niet gelukt om te schatten in dit artikel.

Κ Κ.,1 Κ.,2 Κ.,3 θ Σ

Κ1,. 0,0702 0 0 0,0575 σ11 0,0066

Κ2,. 0 0,2254 0 -0,0338 σ22 0,0105

Κ3,. 0 0 1,2890 -0,0309 σ33 0,0294

Tabel 1: Geschatte parameters AFNS(3)-model

Dit zijn de geschatte resultaten van de Kappa-matrix, theta-matrix en de covariantiematrix van het arbitragevrije Nelson-Siegel model met drie parameters. De bijbehorende maximale loglikelihoodwaarde is 35085,41.

Om te bestuderen hoe goed de in-sample fit is, zijn er in Appendix A grafieken toegevoegd, met voor elke maturity de waargenomen yield en de geschatte yield volgens het AFNS(3)-model. Uit deze grafieken blijkt dat voor de kortste maturities het model het beste de yields kan schatten. Vanaf een tijdsperiode langer dan één jaar blijkt het model op langere tijdsduren de yield niet goed te kunnen schatten en vooral vaak de yield overschat.

Vervolgens ga ik kijken naar het B-AFNS(3)-model en de geschatte parameters hiervan. De resultaten van deze schatting zijn te zien in tabel 2. Wederom zijn de geschatte parameters vermeld zonder de standaardfouten erbij.

14

Κ Κ.,1 Κ.,2 Κ.,3 θ Σ

Κ1,. 10-7 0 0 0 σ11 0,0077

Κ2,. 0,2449 0,3031 -0,3988 0,0165 σ22 0,0128

Κ3,. 0 0 0,5006 -0,0233 σ33 0,0266

Tabel 2: Geschatte parameters B-AFNS(3)-model

Dit zijn de geschatte resultaten van de Kappa-matrix, Theta-matrix en de covariantiematrix van het arbitragevrije Nelson-Siegel model met Krippner’s schaduw rente als extensie en met drie parameters. De bijbehorende maximale loglikelihoodwaarde is 36764,46.

Ook van dit model zijn er enkele grafieken bestudeerd om te kijken hoe de in-sample fit van dit model is. Deze grafieken zijn toegevoegd in Appendix B. Er is voor elke maturity een lijn opgesteld die de waargenomen yield bijhoudt en een lijn die de geschatte schaduwrente van het model weergeeft. Opnieuw is te zien dat voor obligaties met kortere duur, de twee lijnen elkaar goed volgen. Zodra de obligatie een langere duur hebben dan één jaar, beginnen deze lijnen erg uit elkaar te lopen. Verder valt op dat er na 2010 inderdaad negatieve rentes worden voorspeld volgens het B-AFNS(3)-model.

Als de twee geschatte modellen met elkaar vergeleken worden, valt in eerste instantie op dat ze een gelijke trend volgen. Obligaties met een kortere levensduur worden door beide modellen beter geschat dan obligaties met een langere levensduur. Echter kan er wel gezien worden dat in tijden dat de yield niet in de buurt van de ZLB is, het AFNS(3)-model dichter bij de werkelijke yield schat dan het B-AFNS(3)-model.

4.3 Simulatie met het AFNS(3)-model

De geschatte variabelen uit tabel 1 worden nu gebruikt om een simulatiemodel mee te maken. Deze variabelen worden als volgt gebruikt, aan de hand van formule (13):

𝛱̂ = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥𝑒𝑥𝑝(−Κ̂∆𝑡) 𝑐̂ = ( 𝑐̂1 𝑐̂2 𝑐̂3 ) = (𝐼 − 𝛱̂) ∗ 𝜃̂

15 ∑̂ = ∫ 𝑒−Κ̂𝑠∑∑′ 𝜏 0 𝑒−(Κ̂)′𝑠𝑑𝑠 𝑋𝑡+1= 𝑐̂ + 𝛱̂𝑋𝑡+ 𝑒𝑡+1, (13) Hierbij worden de residuen getrokken uit een normale verdeling met verwachting nul en een covariantiematrix van ∑. Om deze trekking te doen heb ik de covariantiematrix gesplitst met behulp van Choleski’s factorisatie. Hiermee geld dat de Choleski factorisatie, noem deze matrix L, maal zijn eigen transpose, matrix L’, gelijk is aan ∑. Nu kan er vervolgens eerst een zt+1

worden getrokken uit de normale verdeling met verwachting nul en de identiteit drie matrix. De residu wordt dan de L*zt+1.

Om de simulaties uit te voeren is gebruikt gemaakt van Matlab. Hierin is bovenstaand proces 10000 keer uitgevoerd en is er telkens tien jaar vooruit gesimuleerd. De startwaarden in de loop is telkens de waarden van de level, slope en curviture op 31 december 2013. De beschrijvende statistiek van de resultaten van deze simulaties worden weergegeven in tabel 3. De resultaten zijn ook weergegeven in een histogram voor elke maturity, deze kunt u bestuderen in Appendix C. Duur 3 mnd 6 mnd 1 jr 2 jr 3 jr 5 jr 7 jr 10 jr Gemid. 1,8184 1,9497 2,2898 3,0596 3,7429 4,6401 5,0693 5,3227 Mediaan 1,8149 1,9467 2,2977 3,0559 3,7411 4,6368 5,0713 5,3306 Max 9,2771 8,4936 7,9891 8,5201 8,7368 8,8777 9,2750 9,5929 Min -6,6840 -6,2489 -5,3550 -3,7019 -2,4029 -0,8306 -0,1298 0,2494 Std. Dev. 1,8520 1,7336 1,5808 1,4086 1,3004 1,1978 1,1727 1,1675

Tabel 3: Beschrijvende statistiek simulaties AFNS(3)-model

Deze tabel geeft de gemiddelde, mediaan, maximum, minimum en standaard deviatie weer van de obligaties van alle maturities. Deze resultaten zijn afkomstig van 10000 simulaties.

Er valt op dat de standaard deviatie minder wordt, naarmate de duur van de obligatie langer word. Echter uit de in-sample fit van het AFNS(3)-model is gebleken dat het model het beste voorspeld als de duur zo klein mogelijk is. Zodra deze duur langer dan één jaar wordt, voorspeld het model niet correct meer. Maar juist bij de obligaties met de kortste duur, is de

16 standaard deviatie erg groot. Hierdoor lijkt het niet verstandig om het AFNS(3)-model te gaan gebruiken om de rentetermijnstructuur te schatten voor een ALM-studie, aangezien voor deze studies de rente zeer nauwkeurig geschat moeten worden.

4.4 Simulatie met het B-AFNS(3)-model

Nu er is geconcludeerd dat het AFNS(3)-model geen goed model is om de rentetermijnstructuur te schatten voor een ALM-studie, wordt er gekeken of het B-AFNS(3)-model beter schat in simulaties.

Ditmaal zijn de geschatte variabelen uit tabel 2 gebruikt en ingevuld in formule (13). De residuen worden wederom getrokken met behulp van Choleski’s factorisatie. De beschrijvende statistiek van deze 10000 simulaties worden weergegeven in tabel 4. De resultaten voor elke maturity afzonderlijk zijn ook weergegeven in een histogram, deze histogrammen kunt u bestuderen in Appendix D. Duur 3 mnd 6 mnd 1 jr 2 jr 3 jr 5 jr 7 jr 10 jr Gemid 2,2904 2,4655 2,8232 3,5031 4,0731 4,8354 5,2052 5,3423 Mediaan 2,2922 2,4778 2,8316 3,5205 4,1020 4,8677 5,2209 5,3513 Max 8,2978 8,5514 8,9602 9,4827 9,9149 10,8916 11,2589 11,4364 Min -3,4662 -3,1432 -2,6981 -1,7711 -1,0526 -0,4350 -0,1804 -0,2057 Std. Dev. 1,5439 1,5429 1,5466 1,5408 1,5195 1,4872 1,4828 1,4901

Tabel 4: Beschrijvende statistiek simulaties B-AFNS(3)-model

Deze tabel geeft de gemiddelde, mediaan, maximum, minimum en standaard deviatie weer van de obligaties van alle maturities. Deze resultaten zijn afkomstig van 10000 simulaties.

Uit tabel 4 blijkt dat de standaard deviatie in dit geval voor alle maturities ongeveer gelijk zijn. In de histogrammen kan zelfs gezien worden dat de obligaties met kortere duur meer gepiekt zijn dan de obligaties met langere duur. Het lijkt er op dat het B-AFNS(3)-model beter simuleert naar de toekomst voor de obligaties met kortere duur.

Echter om goed van toepassing te zijn voor een ALM-studie is ook hier de spreiding erg groot. Het B-AFNS(3)-model is een verbetering ten opzichte van het AFNS(3)-model voor het

17 schatten van de rentetermijnstructuur, maar de schattingen zijn niet accuraat genoeg voor een ALM-studie.

5 Conclusie

In dit artikel is gepoogd de dynamiek achter de rentetermijnstructuur te bepalen, terwijl er rekening wordt gehouden met de ‘Zero Lower Bound’. Hiervoor is het AFNS-model gebruikt, met als extensie de toevoeging van Krippner’s schaduwrente. Om inzicht te krijgen naar het effect van het toevoegen van de schaduwrente, zijn de schattingen en berekeningen gedaan voor zowel het AFNS(3)-model als het B-AFNS(3)-model. Als uiteindelijke doel stond de vraag centraal of dit B-AFNS(3)-model geschikt was om de rentermijnstructuur te bepalen voor simulatiestudies zoals een ALM-studie. Dit zijn studies die onder andere door pensioenfondsen worden gebruikt.

Na eerst de in-sample fit te bestuderen van de modellen, is de conclusie getrokken dat alleen de obligaties met een korte duur goed de rentetermijnstructuur voorspellen. Zodra de maturity langer wordt, komt er steeds vaker een overschatting van de yield voor. Verder is gebleken dat het AFNS(3)-model beter de rentetermijnstructuur schat op het moment dat de yields geen last hebben van de ZLB.

Ook is uit de simulaties gebleken dat de obligaties met een langere duur een minder grote spreiding hebben. Hierdoor zijn deze obligaties beter te gebruiken voor een ALM-studie. Echter blijft ook bij de obligatie met een duur van 10 jaar de spreiding erg groot. Er is verder gebleken dat het B-AFNS(3)-model betere simulatieresultaten geeft dan het AFNS(3)-model.

Uiteindelijk wordt er geconcludeerd dat de toevoeging van de schaduwrente de simulatie eigenschappen van het model bevordert. Het B-AFNS(3)-model is echter nog niet accuraat genoeg om te gebruiken in een ALM-studie. Hiervoor is de spreiding van de schattingen nog te hoog.

Beperkingen van dit onderzoek is dat er niet altijd een standaardfout gemeld staat. Hierdoor is niet altijd te controleren of de gebruikte variabelen wel significant verschilde van nul. Verder is er niet heel diep ingegaan op wat een ALM-studie verder doet. Er is alleen gekeken naar de mogelijkheid om de verkregen rentetermijnstructuur hierin te verwerken.

18 Voor vervolgonderzoek adviseer ik om eerst verder te kijken naar een model dat de dynamiek van de rentetermijnstructuur beter weergeeft. Het AFNS-model is zeker al een verbetering ten opzichte van de Nelson-Siegelmodellen en de arbitragevrije modellen, maar het is nog niet universeel het beste model om de dynamiek te beschrijven. Verder kan er gekeken worden naar een uitgebreidere dataset, zodat de dynamiek beter geschat kan worden.

19 Bibliografie

Black, F. (1995). Interest rates as options. Journal of Finance, 50, (5), 1371-1376.

Christensen, J.H.E., Diebold, F.X., & Rudebusch, G.D. (2011). The affine arbitrage-free class of Nelson-Siegel term structure models. Journal of Econometrics, 164, 4-20.

Christensen, J.H.E., & Rudebusch, G.D. (2015). Estimating shadow-rate term structure models with near-zero yields. Journal of Financial Econometrics, 13, (2), 226-259.

Duffee, G.R. (2002). Term premia and interest rate forecasts in affine models. Journal of

Finance, 57, (1), 405-443.

Gurkaynak, R.S., Sack, B., & Wright, J.H. (2007). The U.S. treasury yield curve: 1961 to present.

Journal of Monetary Economics, 54, (8), 2291-2304.

Kim, D.H., & Singleton, K.J.. (2012). Term structure models and the zero bound: an empirical investigation of the Japanese yields. Journal of Econometrics, 170, 32-49.

Krippner, L. (2012). Modifying Gaussian term structure models when interest rates are near the zero lower bound. Discussion paper 2012-02, reserve bank of New Zealand.

Van Elen, E.A.L.J. (2010). Term structure forecasting: does a good fit imply reasonable simulation results? Tilburg School of Economics and Management. Tilburg University.

20

Appendix

Appendix A: in-sample fit voor alle maturities van het AFNS(3)-model

-1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 1 0 2 0 1 4

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 3 maanden

Waargenomen yields

Geschatte yields

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 6 maanden

Waargenomen yields

Geschatte yields

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 1 jaar

Waargenomen

yields

21 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 1 0 2 0 1 4

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 2 jaar

Waargenomen yields

Geschatte yields

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 3 jaar

Waargenomen yields

Geschatte yields

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 5 jaar

Waargenomen yields

Geschatte yields

22 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 1 0 2 0 1 4

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 7 jaar

Waargenomen yields

Geschatte yields

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 10 jaar

Waargenomen yields

Geschatte yields

23 Appendix B: in-sample fit voor alle maturities van het B-AFNS(3)-model

-2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 1 0 2 0 1 4

R

en

te

in %

Obligatie met tijdsduur 3 maanden

Waargenomen yields

Geschatte Schaduwrente

R

en

te

in %

Obligatie met tijdsduur 6 maanden

Waargenomen yields

Geschatte Schaduwrente

R

en

te

in %

Obligatie met tijdsduur 1 jaar

Waargenomen yields

Geschatte Schaduwrente

24 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 1 0 2 0 1 4

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 2 jaar

Waargenomen yields

Geschatte Schaduwrente

R

en

te

in %

Obligatie met tijdsduur 3 jaar

Waargenomen yields

Geschatte Schaduwrente

R

en

te

in %

Obligatie met tijdsduur 5 jaar

Waargenomen yields

Geschatte Schaduwrente

25 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 1 0 2 0 1 4

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 7 jaar

Waargenomen yields

Geschatte Schaduwrente

R

en

te

in

%

Obligatie met tijdsduur 10 jaar

Waargenomen yields

Geschatte Schaduwrente

26 Appendix C: Histogrammen simulaties AFNS(3)-model

30 Appendix D: Histogrammen simulaties B-AFNS(3)-model