Hoofdstuk 3 Bewegingsvergelijkingen

Hoofdstuk 3:

Bewegingsvergelijkingen

V-1 a. 1 2 1 3 1 4 OA OB      _{     }         uuur uuur en 1 2 3 3 1 2 OA OB     _{    }    _       uuur uuur D(2, 3) en E(-2, 1) b. 3 2 AB_{  }     uuur , _|ABuuur_{| 3}2_{ ( 2)}2 _{ 13 en} 4 2 DE _{  }     uuur , _|DEuuur_{| ( 4)} 2_{ ( 2)}2 _{2 5} V-2 a. 9 1 AB_{  }    uuur , 12 5 BC_{ } _    uuur en 3 4 CA_{  }    uur

b. _|ABuuur_{| 9}2_12 _{ 82, |BC}uuur_{| ( 12)} 2_{ ( 5)}2 _{13 en |CA}uur_{| 3}2_42 _5 c. 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 4 1 3 4 4 OP OA  AB _ __  _{ } _      

uuur uuur uuur

1 1 2 2 (1 , 4 ) P 1 2 1 1 2 2 6 0 6 2 2 5 OQ OB  BC  _{ }_   _{ } _        uuur uuur uuur

1 2 (0, 2 ) Q 1 1 2 2 1 2 6 1 4 0 2 2 OR OC  CA_ _  _{  }  _      

uuur uuur uur

1 2 ( 4 , 2) R  d. 1 1 2 2 1 1 2 2 4 0 4 2 2 QR_   _{ }  _       uuur en 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 4 3 6 9 4 5 1 BA _  _ _ _{ } _          uur klopt V-3 a. 1 2 1 3 1 4 c      _{     }         r , 1 2 2 3 3 1 5 d  _{ }     _{   }       ur en 1 3 2 5 3 1 6 e _{ }     _{   }       r b. 1 2 3 3 1 2 p    _{    }    _       ur , 1 2 2 5 3 1 1 q  _{ }    _{  }  _       ur en 1 3 2 7 3 1 0 r  _{ }    _{  }  _       r

c. De eindpunten liggen op een rechte lijn. V-4 a. de eindpunten zijn: (-3, 2), (-1, 3), (1, 4), (3, 5) en (5, 6) b. de richtingscoëfficiënt is 1 2 en gaat door (0, 3 )21 : y  21x312 c. (99, 52): 1 1 2 99 32 53 y     : nee (-99, -46): 1 1 2 99 32 46 y       : ja d. 1 1

2x32 0 De x-as in het punt (-7, 0) en de y-as in (0, 3 )12

1 1 2 32 7 x x     V-5 a. l: 3 4 4 3 x y               _        b. 4 3  100 c.  3 4 4 3 d.  3 470 4 3   3 96 32     7 17    7  963 P(-131, 100) Q(1, 1) R(-39, 31)

V-6 a. _{2 2 2 2} 3050 7 5 1 5 cos( ) 7 ( 1) 5 5             53 b. _{2 2 2 2} 5040 7 5 1 5 cos( ) 7 ( 1) ( 5) 5  _      _        143 c. 9 1 9 1 3 3 0 3 3 OA OB   _{  } _           uuur uuur

, dus _OAuuur uuur_OB

d. _{2 2 2 2} 2525 3 3 4 4 cos( ) ( 3) 4 3 ( 4)  _      _        180 V-7 a. l: 4 2 0 3 x y                       b. m: 3 3 4 2 x y                       c. 7 4 AC_{  }    uuur

en het midden van AC is 1 2 ( , 2). 1 2 4 7 2 x y        _{ }           1 2 a. b. voer in de GR: mode parametric y= 2 1T 4 x  T en y1T 4T c. 4t 14 1 2 3 t  d. 1 2 2 4 (3 ) 49 Q x    3 _{x t( ) 2 t}2_{3t 0} 1 2 1 4 (2 3) 0 0 1 (0,1) (0, 3 ) t t t t en      t x y 0 0 0 1 2 1 2 1 4 4 1 2 1 9 6 2 16 8

4 a. x t( )y t( ) 0 2 _{6 ( 6) 0} 0 6 t t t t t t          3 2 2 1 1 3 2 3 ( 6) 0 0 6 t t t t t t          b. x t'( ) 0 en y t'( ) 0 c. y t'( ) 0 en x t'( ) 0 3 2 6 0 3 (9,9) t t P     2 _{4 0} ( 4) 0 0 4 t t t t t t          2 0(0, 0) 4(8,10 )3 P en P d. x t( )y t( ) of x t( ) y t( ) 2 1 3 2 3 3 2 2 1 1 3 3 1 3 6 2 3 6 ( 9 18) 0 ( 3)( 6) 0 0 3 6 (9, 9) t t t t t t t t t t t t t t t t                    2 1 3 2 3 3 2 2 1 1 3 3 1 3 6 2 6 ( 3 18) 0 ( 3)( 6) 0 0 3 6 ( 27, 27) t t t t t t t t t t t t t t t t                     5 a. 1 2 3 ( ) 5 0 x t  t t  1 3 (15 ) 0 0 15 (0, 12) (0, 123) t t t t A       b. _{y t( )  t}2 _{6t12 0} 6 84 6 84 2 7,6 2 1,6 18,7 7,1 B t t x x                 c. x t'( ) 0 y t'( ) 0 2 3 1 2 5 0 7 t t    6 23 0 t t   

Horizontale raaklijn in P3(12, 21) en verticale raaklijn in 1 2 3 3 4 4 7 (18 , ) P _. 6

a. met de x-as: met de y-as:

2 4 4 ( 4) 0 0 4 (ln(4), 0) t t t t t t P        1 ln( ) 0 1 (0, 3) t t P    b. y t'( ) 0 en x t'( ) 0 2 2 4 0 2 (ln(2), 4) t t P     1 2 1 '( ) '(2) 0 x t t x   

c. als t naar 0 daalt gaat de x-coördinaat naar  de y-coördinaat gaat dan naar 0

d. _t2 _{4t  3} 2 _{4 3 ( 1)( 3) 0} 1 3 (0, 3) (ln(3), 3) ln(3) t t t t t t A en B AB            

7 8 a. b. y  4 t 4 1 3(4 ) 1 12 3 3 11 t y x y y y              c. x3y 11 of 1 2 3 33 y   x 9

a. de steunvectoren zijn gelijk en de richtingsvector van Q is 2 keer zo groot als die van P.

b. Q gaat twee keer zo snel

c. hij gaat dan net zo snel als P. 10 a. P0(1, 1) P6(4, 3) P12(7, 5) P18(10, 7) b. 1 2 1 x  t 1 2 2 2 1 3 3 3 3 3 1 (2 2) 1 y   x   x  x 1 2 1 2 2 t x t x     11 ₁ 2 2 0 1 2 x t y        _{  }           12

a./b. De baan van P is een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1. c. _{sin ( ) cos ( ) 1}2 _{t } 2 _{t  voor alle waarden van t.}

d./e. De baan van Q is weer een cirkel met middelpunt (2, 3) en straal 2. 13

a. _{sin (2 ) cos (2 ) 1}2 _{t } 2 _{t  voor alle waarden van t.}

b. de periode van de bewegingsvergelijkingen van R is  (twee keer zo klein als die van P). De beweging van R is twee keer zo snel als die van P.

c. Punt S doorloopt de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 1. Gaat even snel als P, maar begint in punt (0, 1) en draait rechtsom.

14

a. 2cos( )t  x 4 en 2sin( )t  y 3 b. 6 sin( )t x en 6cos( )t  y 6

2 2 2 2 (2cos( )) (2sin( )) 4 ( 4) ( 3) 4 t t x y       2 2 2 2 (6sin( )) (6cos( )) 36 ( 6) 36 t t x y     

15 _x2_y2 _{2x6y 15} 2 2 2 2 2 1 6 9 15 1 9 ( 1) ( 3) 25 x x y y x y            



( ) 1 5cos( ) ( ) 3 5sin( ) x t t y t t      16 a. 1 2 5 3cos(2 ) x   t  en 1 2 1 3 sin(2 ) y   t  2 2 1 1 2 2 2 2 ( 3cos(2 )) (3 sin(2 )) 9 ( 5) ( 1) 9 t t x y            b. P0(5, 4)

c. De periode van de bewegingsvergelijkingen is 2 2  Dus op tijdstip 1

2

t   is er een halve cirkelboog doorlopen. 17 a.  1 cos( ) 1t   1 sin( ) 1t  4 4cos( ) 4 6 4cos( ) 2 2 t t        3 3sin( ) 3 0 3sin( ) 3 6 t t       b. c. M(-2, 3) d. 1 2 3 sin( ) 3 1t   1 5 6 6 1 2 1 1 6 6 1 1 2 2 1 1 sin( ) 2 1 2 ( 2 3 2, 1 ) (2 3 2, 1 ) t t k t k P _ en P _                  e. 4cos( ) 2t   x 3 sin( ) 3t  y 1 1 4 2 cos( )t  x 1 3 sin( )t  y 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 3 16 9 sin ( ) cos ( ) (t  t  x ) ( y 1)  (x2)  (y3) 1

f./g. Aan de baan van P verandert niets. De beweging wordt alleen 2 keer zo langzaam. De periode is 2 keer zo groot geworden.

18



x t_{y t}( ) 5cos( ) 3_{( ) 3sin( )}_{ t}t  19 a. 1 3 2 ₆ x per     _en 2 3 2 ₃ y per    

b. na 6 seconden heeft P de baan één keer doorlopen. 20 a. b. 2 2 5 5 x per _  _{  en} 2 1 6 3 y per _  _{ }

De periode van de beweging van Q is 2 c. perP :perQ 30 : 2

d. De beweging gaat twee keer zo snel. 2 3 4 5 ( ) sin( ) ( ) sin( ) x t t y t t      _ 

0

t



21

a.  1 sin( ) 1t  en 1 3 1 sin(t ) 1

   

b. horizontale raaklijn: verticale raaklijn:

5 5 6 6 1 1 1 1 3 2 3 2 5 5 6 6 1 1 2 1 2 1 1 1 1 ( , 1) ( , 1) y y t t t t P_ en P _                     12 12 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 (1, ) ( 1, ) x x t t P_ en P _            c. 1 2 sin( )t   1 2 sin( )t  5 1 6 6 1 1 6 2 2 2 ( ) : t k t k y F               d. x0 1 1 0 2 2 sin( ) 0 0 2 2 (0, 3) (0, 3) t t k t k P en P_             22 a.  3 x t( ) 3 en  2 y t( ) 2 b. 2 1 2 x per _  _{  en} 2 2 3 3 y

per _  _{  : de gemeenschappelijke periode is 2} c. horizontale raaklijn: verticale raaklijn:

2 2 y   en y  x  3 en x 3 1 1 5 6 2 6 1 1 5 6 2 6 1 2 1 1 6 3 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2sin(3 ) 2 2sin(3 ) 2 sin(3 ) 1 sin(3 ) 1 3 (1 3, 2), (0, 2), ( 1 3, 2), ( 1 3, 2), (0, 2), (1 3, 2) t en t t t t k t k P P P P P P                            0 cos( ) 1 cos( ) 1 0 (3, 0), ( 3, 0) t en t t k P P_         23 a. b. y t( ) 0 35 35cos( ) 0 cos( ) 1 0 2 (2 ) 35 2 70 t t t k x              c. in 2 seconden is er 70 cm afgelegd 0,70 2 0,35 v     m/s; dat is 1,26 km/u d.



x t_{y t}( ) 525_{( ) 35 35cos(15 )}_{ }t35 sin(15 )_t t 24 a. over de vector 30 60   _    b. gemiddelde verplaatsing: 15 30   _    c. Op t 3 in C(45, 55) gemiddelde verplaatsing: 15 25   _   

Op t 2,1 in D(31.5, 77.95) gemiddelde verplaatsing: 15 20,5   _    Op t 2,01 in E(30.15, 79.7995) gemiddelde verplaatsing: 15 20,05   _    d. de snelheid op t 2 zal 15 20 v _{ } _    r zijn. e. _{| |v}r _{ 15}2_{ ( 20)}2 _25

f. de rico van de raaklijn in A zal 20 1 15 13  _{  zijn.} 25 a. x y    _    b. gemiddelde verplaatsing: x t y t           c. 0 '( ) lim '( ) x t y t t x t v y t           _{  } _     r d. _{| |v}r _{ ( '( ))x t} 2_{( '( ))y t} 2 26 a. y 0 3 _{3 (} 2 _{3) 0} 0 3 3 A B B t t t t t t t           b. A(-1, 0) en B(2, 0) c. ₂2 3 3 t v t     _    r ₀ 3 A v _{  }     uur en 2 3 6 B v _{ } _   uur of 2 3 6 B v _{ } _   uur

d. De hoek in A is 90°. De hoek in B is tan (1 _{2 3}6 ) 60  (of -60°) e. _{| | 0}2 _{( 3)}2 ₃

A

vuur     en _{| | (2 3)}2 ₆2 _{4 3}

B

vuur   

f. evenwijdig aan de x-as: y t'( ) 0 en x t'( ) 0 2 1 1 3 3 0 1 1 (0, 2) (0, 2) t t t P_ en P        27 '( ) 2 1 '( ) 4 3 y t t x t  t   1 2 1 4 ( 1, 1 ) P  1 2 2 4 3 6 3 t t t t      1 1 4 4 1 4 1 1 y x b b y x           28

a. De baan van P is een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 4.

De baan van Q is een ellips met middelpunt (0, 0), lange as 12 en korte as 8. b. _{| | ( 4 sin( ))}2 _{(4cos( ))}2 _{16(sin ( ) cos ( ))}2 2 _{16 4}

P

vuur   t  t  t  t  

c. _{| | ( 4sin( ))}2 _{(6cos( ))}2 _{16(sin ( ) cos ( )) 20cos ( )}2 2 2

Q

vuur   t  t  t  t  t 

2 16 20cos ( )t

De snelheid van Q is maximaal/minimaal als _{16 20cos ( )} 2 _{t maximaal/minimaal is.} Het maximum van _{16 20cos ( )} 2 _{t is 36 en het minimum 16.}

De maximale snelheid van Q is 6 en de minimale 4. 29

a. Zowel voor de x(t) als de y(t) is de periode 2 . En dus ook voor de hele beweging.

b. voer in: y12sin( ) sin(2 )x  x



2.60, 2.60



y2  2cos( ) cos(2 )x  x



3,1.5



c. x0 0 0 2 (0, 3) (0, 1) t t t P P_         d. x t'( ) 2cos( ) 2cos(2 ) t  t en '( ) 2sin( ) 2sin(2 ) y t  t  t 2 2 2 2 ( '( )) ( '( )) 0 0 0 v  x   y     e. B(1, 2) 1 2 2 2 1 2 '( ) 1 '( ) 2 1 3 3 y a x y x b b y x                 30 a. _{v  9}2_{ ( 10 )t} 2 _{ 81 100 t}2 b. y t( ) 0 2 2 80 5 0 16 4 4 (4) 41 t t t t v        

c. x t"( ) 0 : de snelheid in de x-richting is constant d. y t"( ) 10 e. 1 ₂ 200 100 ₂ 2 81 100 81 100 dv t t dt  _{ t}   _{ t} (2) 9,12 dv dt  en (4) 9,76 dv dt  31 a. 1 2 (1, 3) A 2sin( ) cos( ) t v t         r 1 2 3 A v  _ _   uur b. 2cos( ) sin( ) t a t      _    r 1 2 1 3 A a  _  _    uur

c. _{v t( ) ( 2sin( )) t} 2_{(cos( ))t} 2 _{ 3sin ( ) 1}2 _{t }

2 2 1 3sin( )cos( ) ( ) '( ) 6sin( )cos( ) 2 3sin ( ) 1 3 sin ( ) 1 t t a t v t t t t t      

d. De baan van Q is een cirkel met middelpunt (0, 0) en straal 2. (1, 3) A 1 3 1 3 2sin( ) ₃ 2cos( ) ₁ A v         _{   }     uur 1 3 1 3 1 2cos( ) 2sin( ) ₃ A a         _{   }       uur 2 2 2 2

( ) ( 2sin( )) (2cos( )) 4(sin ( ) cos ( )) 4 2 ( ) '( ) 0 v t t t t t a t v t          32 a. start: P0(1,1) en eind: P(1, 1)

b. met de x-as: met de y-as:

1 1 6 2 1 2 1 1 6 3 1 2 cos(3 ) 0 3 ( , 0) ( 1, 0) t t k t k P_ P_             1 3 4 4 1 2 1 1 4 2 1 1 2 2 cos(2 ) 0 2 (0, 2) (0, 2) t t k t k P_ P_            

c. evenwijdig aan de x-as: evenwijdig aan de y-as:

1 3 '( ) 0 '( ) 0 3sin(3 ) 0 3 y t en x t t t k t k           1 2 '( ) 0 '( ) 0 2sin(2 ) 0 2 x t en y t t t k t k           1 3 1 2 ( , 1) P_   _en 2 3 1 2 ( , 1) P_  1 2 ( 1, 0) P_  d. t2   t1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1

( ) cos(2( )) cos(2 2 )) cos( 2 ) cos(2 ) ( ) ( ) cos(3( )) cos(3 2 )) cos( 2 ) cos(2 ) ( )

x t t t t t x t y t t t t t y t                       

De baan is symmetrisch in de x-as.

e. _{v  ( 2sin(2 )) t} 2_{ ( 3 sin(3 ))t} 2 _{ 4 sin (2 ) 9 sin (3 )}2 _{t } 2 _t

2 2 1 1 6 2 ( ) 4( 3) 9 1 2 3 B v v      en 1 2 2 ( ) 9 ( 1) 3 C v v     

f. 8sin(2 ) 2cos(2 ) 18 sin(3 ) 3cos(3 ) 16sin(2 ) cos(2 ) 54sin(3 ) cos(3 )_{2 2 2 2} 2 4 sin (2 ) 9sin (3 ) 2 4sin (2 ) 9 sin (3 )

t t t t t t t t a t t t t           1 2 ( ) 0 C a a   33 a. x t( )y t( ) 1 1 2 2 (1 , 1 ) A 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 t t t t t        '(1) 1 1 '(1) 1 2 y x       b. _{v t( ) ( t 2)}2_{ ( )t} 2 _{ t}2_{4t 4 t}2 _{ 2t}2_4t4 2 4 4 ( ) 2 2 4 t a t t t     en 0 2 (1) 0

a   _{: de snelheid verandert nauwelijks} 34 a. y t( ) 0 b. x t( ) 0 sin( ) 0 0 sin( ) 0 0 t t t t t t k          1 2 cos( ) 0 0 cos( ) 0 0 t t t t t t  k          

c. x t'( ) cos( ) t   t sin( ) cos( )t  t tsin( )t

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

'( ) sin( ) cos( )

(cos( ) sin( )) (sin( ) cos( ))

cos ( ) 2 sin( )cos( ) sin ( ) sin ( ) 2 sin( )cos( ) cos ( ) sin ( ) cos ( ) (sin ( ) cos ( )) 1

y t t t t v t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t                     d. '( ) 2 _{2 2} 2 1 1 t t a v t t t     

35 de ‘periode’ is dan 4 seconden:

1 2 1 2 ( ) cos( ) ( ) sin( ) x t t t y t t t      _  36

a. met de x-as: met de y-as:

2 2 2 4 0 2 2 ( 12, 0) (4, 0) t t t P_ P        2 0 4 4 (4 ) 0 4 (0, 4) (0, 12) t t t t t t P P       

b. evenwijdig met de x-as: evenwijdig met de y-as: '( ) 0 '( ) 0 2 0 0 y t en x t t t      '( ) 0 '( ) 0 4 2 0 2 x t en y t t t      P0(0, 4) P2(4, 0) c. _{AP  (4t t} 2 2_{) (4  t}2 ₄₎2 _{ (4t t} 2 2_{) (8t}2 2_{) } 2 3 4 2 4 4 3 16t 8t t 64 16t t 2t 8t 64          3 2 4 3 3 2 2 8 24 ' 0 2 2 8 64 8 24 8 ( 3) 0 0 3 t t AP t t t t t t t t            

Het punt P3(3, -5) ligt het dichtst bij A(0, -4)

d. _{(x y )}2_{8(x y ) (4 t t }2 _(4t2₎₎2_{8(4t t  }2 _{4 t}2_) 2 2 2 2 (4t 4) 8( 2t 4t 4) 16t 32t 16 16t 32t 32 48              37 a. x t( ) 0 1 3 1 1 3 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 cos( ) 0 1 3 1 , 4 , 7 , 10 t t k t k t            voor 1 2 4 t  en 1 2 10

t  is y t( ) ook gelijk aan 0.

b.

1 1 1 1 1 1

6 6 6 6 6 6

1 1 1

3 3 3

cos( ) sin( ) cos( ) sin( )

sin( ) 2sin( ) t t t t dy dx t t                1 1 2 2 (4 ) 2 dy dx   en 1 1 2 2 (10 ) 2 dy dx 

De hoek waaronder de baan zichzelf snijdt is: 1 1 2

38 a. 2 3sin ( ) 0 2 sin( ) t t   3cos( ) 0t  2 3 sin ( ) 0 sin( ) 0 0 (3, 0) ( 3, 0) t t t t B en A        1 1 2 2 cos( ) 0 1 (0, 3) (0, 1) t t t D en C      b. x t'( ) 3 sin( )t 2 2 2 2

(2 sin( )) 6sin( )cos( ) 3 sin ( ) cos( ) 12sin( )cos( ) 3 sin ( )cos( ) '( ) (2 sin( )) (2 sin( )) t t t t t t t t t y t t t           2

3 sin( )cos( ) (4 sin( )) (2 sin( )) t t t t     1 2 '( ) 0 y   en 1 2 '( ) 3 x    en ook 1 2 '(1 ) 0 y   en 1 2 '(1 ) 3 x  

Dus in beide punten een horizontale raaklijn.

c. _{( 3)}2 ₀2 ₃2 ₀2 ₃

C D

v      v 

39

a. _{v t( ) (2 2cos( )) t} 2_{(2sin( ))t} 2 _{ 4 8cos( ) 4cos ( ) 4 sin ( ) t } 2 _{t } 2 _{t }

2 2

4 8cos( ) 4(sin ( ) cos ( ))t t t 8 8cos( )t

     

b. v(t) is maximaal als 8 8cos( ) t maximaal is.

8 8cos( ) t is maximaal 16 als cos( )t  1; dus op tijdstip t . De snelheid is maximaal 16 4 in het punt P_(2 , 4)

c. 2 2cos( ) 1 t  1 2 1 1 3 3 1 2 2 1 3 3 3 3 cos( ) 2 2 ( ) 3 (1 ) 3 3 t t k t k x x                       40 a.  1 sin( ) 1t  3 1 6 3 1 6 1 sin ( ) 1 4 4sin ( ) 4 t t     

   en hetzelfde geldt voor de x-coördinaat b. met de x-as: met de y-as:

3 1 6 1 6 1 6 0 6 4 sin ( ) 0 sin( ) 0 6 (4, 0) ( 4, 0) t t t k t k P P           3 1 6 1 6 1 1 6 2 3 9 4cos ( ) 0 cos( ) 0 3 6 (0, 4) (0, 4) t t t k t k P P              c. in 12 seconden legt P de baan één keer af.

d. In (4, 0) start de beweging. Op tijdstip t 3 passeert P punt B. e. Na 1

2

1 seconde zal P in M zijn. f.

2 1 1 1 1

6 6 6 6

2 1 1 1 1

6 6 6 6

12sin ( ) cos( ) sin( ) 12cos ( ) sin( ) cos( )

t t t dy dx t t t              

1 2 1 2 1 2 1 2 2 ( 2, 2) 1 2 2 2 2 M P a b         raaklijn in M: y   x 2 2 41 a. 1 6 1 6 1 6 sin( ) tan( ) cos( ) t dy t dx t  _      b. 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 6 6 6 6

( 2 cos ( )) sin( )) ((2 sin ( )) cos( ))

v    t t   t t  2 4 1 2 1 2 4 1 2 1 6 6 6 6 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 6 6 6 6 6 6 1 1 6 6

4 cos ( )sin ( ) 4 sin ( )cos ( )

4 cos ( )sin ( ) (cos ( ) sin ( )) 4 cos ( )sin ( ) | 2 cos( )sin( ) | t t t t t t t t t t t t                          

c. In alle snijpunten van de kromme met de assen is de snelheid gelijk aan 0.

d. 1 1 1 1 1 1

6 6 6 6 6 6

( ) 2 cos( ) cos( ) 2 sin( ) sin( )

a t   t   t     t  t  2 2 2 1 1 1 3 (cos (6t) sin (6t))   2 1 3 (0) a   , 1 2 3 (3) a    , 1 2 3 (6) a   en 1 2 3 (9) a    42

a. De baan lijkt zichzelf op de x-as te snijden.

3 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 4 4

4 sin ( ) 2sin( ) 2sin( ) (2sin ( ) 1) 0 sin( ) 0 sin ( ) 0 sin( ) 2 sin( ) 2 1 1 t t t t t t t t t t t t t t                             1 3 1 3 4 4 4 4 0(2, 0) ( 2, 0) 1 ( 2, 0) 1 ( 2, 0) ( 2, 0) ( 2, 0) P P_  P _  P _ P_ P_ 

De helling van de kromme uitrekenen op de tijdstippen 1 4 t   en 3 4 1 t   2

12sin ( ) cos( ) 2cos( ) 2sin( ) dy t t t dx t     (14 ) 2 dy dx    en 3 4 (1 ) 2 dy dx  

De hoek die de kromme maakt met de x-as is _{tan (2) 63}1 _ 

De hoek waaronder de kromme zichzelf snijdt is dan 180 _{ }2 63 _53 b. _{4 sin ( )}3 _{x asin( ) 0t } 2 2 1 4 sin( ) (4 sin ( ) ) 0 sin( ) 0 sin ( ) t t a t t a      

sin( ) 0t  geeft twee snijpunten op de x-as. De vraag wordt dus: voor welke waarden van a heeft 2 1

4

sin ( )t  a twee oplossingen op



0, .



Dat is als 1

4

Test jezelf

T-1

a. met de x-as: met de y-as: 2 0 6 6 (6 ) 0 0 6 (0, 0) (18, 0) t t t t t t P P        2 3 , 9) 3 ( 3) 0 0 3 (0 t t t t t t P       

b. evenwijdig aan de x-as: evenwijdig aan de y-as:

3 '( ) 6 2 0 3 (0, 9) y t t t P     1 2 1 2 3 1 4 4 1 '( ) 2 3 0 1 ( 2 , 6 ) x t t t P      T-2 a. 4 3 6 2 x t y              _       

b. Voor de beweging van P kan t alle waarden aannemen, terwijl voor de baan van Q geldt:  1 sin( ) 1t  . Dus Q valt samen met P voor   1 t 1.

c. (7, 4) en (1, 8) T-3

a. P0(2, 0)

b. De periode van de x- en y-coördinaat (en dus van de baan) is 2 ₂   . c. x 3 5cos( )t

2 2 2 2

5cos ( ) 5 sin ( ) (t  t  x3) y 25

De baan van P is een cirkel met middelpunt (-3, 0) en straal 5. d. De periode zou dan 4 moeten zijn: 1

2 ( ) 5cos( ) 3 x t  t  en 1 2 ( ) 5 sin( ) y t  t T-4 a. P0(8, 0) b. 2 1 4 2 x per _  _{  en} 2 2 3 3 y per _  _{ } . De gemeenschappelijke periode is 2 . c. 1 3 ( 4, 0) P_  d. 15cos(3 ) 32sin(4 ) dy t dx   t en (31 ) 16 315 dy dx    e. 8cos(4 ) 8t  5 sin(3 ) 5t  1 2 cos(4 ) 1 4 2 t t k t k        1 2 1 2 6 3 sin(3 ) 1 3 2 t t k t k           

Het eerste moment dat P zich in B bevindt is 1 2 1

t   .

T-5

a. P0(5, 0)

b. de periode van de beweging is 2 .

c. Vanwege de draaisymmetrie van baan bevindt P zich in punt C op tijdstip 2 3 t   en in punt E op tijdstip 1 3 1 t   . 2 3 1 1 2 2 ( 2 , 2 3) P_  _en 1 3 1 1 2 2 1 ( 2 , 2 3) P _  

d. D: t  B: 1 3 t   F: 2 3 1 t   e. P_( 3, 0) , dus AD8 1 3 1 1 2 2 (1 , 1 3) P_ , dus 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 3 2 3) 4 (4 3) 8 BE         

f. _{v t( ) ( 4sin( ) 4sin(4 )) t  t} 2_{(4cos( ) 4cos(4 ))t  t} 2 (0) 8 v  en v( ) 0  T-6 a. 1 6 1 1 2 2 ( , ) P_  2 3 1 1 2 2 ( 3, 3) P_ 1 6 1 1 2 2 1 ( , ) P _  _en 2 3 1 1 2 2 1 ( 3, 3) P _  

lengte korte as: 1 1

6 16 2

P P_{ }  _{lengte lange as:} 2 2

3 13 6 P P_{ }  b. 2 2 1 3 ( ) cos ( ) cos ( ) v t  t  t  1 1 3 3 2 2 1 3 1 2 1 2 6 3 6 3

2cos( )sin( ) 2cos( )sin( ) ( ) '( ) 2 cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 ) 0 t t t t a t v t t t a a a a                    c. 1 1 2 1 2 1 6 2 2 2 ( ) ( 3) ( 3) 6 v     2 1 2 1 2 1 3 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 v      2 2 1 1 1 1 6 2 2 2 (1 ) ( 3) ( 3) 6 v       2 1 2 1 2 1 3 2 2 2 (1 ) ( ) ( ) 2 v     T-7

a. met de x-as: met de y-as:

3 2 2 1 4 1 1 2 2 5 5 1 1 6 6 6 6 4 sin ( ) sin( ) 0 sin( ) (4 sin ( ) 1) 0 sin( ) 0 sin ( ) 0 sin( ) sin( ) 1 t t t t t t t t t t t t t t                             1 1 2 2 2cos( ) 0 1 (0, 3) (0, 3) t t     t   (2, 0) (-2, 0) ( 3, 0) en ( 3, 0) b. 2cos( ) 1t  2cos( )t  1 1 2 1 2 3 3 cos( ) 1 t t  t      1 2 2 1 3 3 cos( ) 1 t t  t       3 1 1 3 3 3 1 1 2 2 4 sin ( ) sin( ) 0 4 ( 3) 3 0 3 a a a         3 2 2 3 3 3 1 1 2 2 4sin ( ) sin( ) 0 4 ( 3) 3 0 3 a a a         2 3 1

t   geeft ook a3 idem

c. x0 als 1 1 2 12 t    t  1 2 ( ) 4 0

y    a geeft a4. Dit volgt ook uit 1 2 (1 ) 0

Extra oefening – Basis

B-1 a. b. x t'( ) 6 2  t 0 3 3 (9, 9) t P  c. _{y t'( ) 4 t t} 2 _0 2 0 4 3 (4 ) 0 0 4 (0, 0) (8, 10 ) t t t t P P      d. e. 2 1 3 2 3 2t  t 6t t 3 2 2 1 1 3 3 1 3 0 3 6 3 6 ( 9 18) 0 ( 3)( 6) 0 0 3 6 (0, 0) (9, 9) (0, 0) t t t t t t t t t t t t P P P               B-2 a. cos( )t  x 3 1 3cos( ) 1 3( 3) 1 3 9 3 8 y   t   x   x  x

voor alle waarden van t is  1 cos( ) 1t  . Begin- en eindpunt (2, -2) en (4, 4). b. 3cos( )t  x 4 en y   2 3 sin( )t

2 2 2 2

(3cos( ))t  ( 3 sin( ))t (x4) (y2) 9 Een cirkel met middelpunt (4, 2) en straal 3.

B-3 1 2 2 ₄ x per     _en 21 2 a y per  a   

Als a1 is de periode van de beweging 4; als a2 is de periode ook 4. Als a3 is de periode van de beweging 12 en als a4 is de periode 8. B-4

a. de periode van de beweging is 2 .

b. 1

2

5cos( ) 2t  5cos(2 23 ) 2 2cos(2 23 ) 5sin( ) sin( ) t t y x t t            1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 1 1 1 2 1 2 2 cos( ) 1 (2 , 0) (2 , 2 3) t t t P_ en P _       1 2 1 2 1 3 ₃ 3 ( ) 1 3 y x    _{  }  en 1 2 2 1 2 3 ₃ 3 (1 ) 3 y x   _{ }  B-5 _{v t( ) (6 2 ) t} 2_{(4t t} 2 2_{)  36 24 t4t}2_16t2_8t3_t4 _ 4 3 2 3 2 4 3 2 8 20 24 36 4 24 40 24 ( ) 2 8 20 24 36 t t t t t t t a t t t t t              a'(0) 1224  2

Extra oefening – Gemengd

G-1 a. x t'( ) 0  y t'( ) 0 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 4 4 5cos( ) 0 ( 5, ) (5, ) t t t P _ P_            b. t2  t1 2 1 1 1 ( ) 5 sin( ) 5 sin( ) ( ) x t    t t  x t en 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) y t  t  t y t

De x-coördinaten zijn tegengesteld en de y-coördinaten even groot: symmetrisch in de y-as. c. 2 5cos( ) dy t dx  t ( ) 25 25 dy dx         d. 2 2 5 5 ( ) dy dx    _    e. _{v t( ) (5cos( ))t} 2_{(2 )t} 2 _{ 25cos ( ) 4}2 _{t  t}2 _{v(0) 5} 2 2 50cos( ) sin( ) 8 ( ) 2 25cos ( ) 4 t t t a t t t      a(0) 0 G-2 a.

-b. x 3 sin( )t en y  2 cos( )t : _{(sin( ))t} 2_{ ( cos( ))t} 2 _(x3)2_(y2)2 _1 1 2(x2) sin( ) t en 31(y  1) cos( )t : 2 2 2 2 ( 2) ( 1) (sin( )) (cos( )) 1 4 9 x y t  t      c. P0(3, 1), Q0(-2, 2) en dus M0 2( , 1 )1 12 1 2 (4, 2) P_{ ,} 1 2 (0, 1) Q_  _{en dus} 1 2 1 2 (2, ) M _ d. 1 1 1 2 2 2

( ) (3 sin( ) 2 2sin( )) 1 sin( )

x t    t    t   t

1 1

2 2

( ) (2 cos( ) 1 3cos( )) cos( )

y t    t    t   t e. 1 4 2 2 1 1 1 2 2

2 (x ) (y ) 1 De baan van M is een ellips met middelpunt ( , )12 12 , een lange as van 3 en een korte as van 2.

G-3

a. met de x-as: met de y-as:

0 sin( )(1 cos( )) 0 sin( ) 0 cos( ) 1 0 (2, 0) (0, 0) t t t t t t P P_          1 1 2 2 2 1 1 2 2 1

cos ( ) cos( ) cos( )(cos( ) 1) 0 cos( ) 0 cos( ) 1 1 (0,1) (0, 1) t t t t t t t t t P_ P _                 

b. x t'( ) 2cos( ) t  sin( ) sin( )t  t y t'( ) sin( ) sin( ) cos( )(1 cos( )) t  t  t  t

1 2 2 1 3 3 sin( )(2cos( ) 1) 0 sin( ) 0 cos( ) 0 1 t t t t t t  t  t                2 3 1 3 '(0) 0 '( ) 2 '( ) 0 '(1 ) 0 y y y y         2 1 3 3 3 3 1 1 0(2, 0) ( 4,4 3) 1 ( 4, 4 3) P P_  P _  

Uitdagende opdrachten

U-1

a. De lengte van boog AB is t r b. -c. CMP r t en DMP  DMC CMP AOB CMP  t r t d. x_M (r 1)cos( )t en y_M (r 1)sin( )t e. x_P x_M MD(r 1)cos( ) cos(t  t r t  ) ( 1)sin( ) sin( ) P M y y DP  r  t  t r t  U-2 a.

b. dat is dan de gemeenschappelijke periode van 2

1 2 en 5 3 2 3 4 1  _   . Dat is dan 6 .