Hoofdstuk 7:
Periodieke functies.
V_1.
a. De overeenkomstige hoeken zijn gelijk. b. De vergrotingsfactor is 7 3 4 14. c. 3 1 4 4 1 3 5 PR en 3 1 4 2 1 2 3 QR . V_2.
a. PAU QAV APU AQV 90o en dan is de derde hoek ook gelijk (som van de hoeken van een driehoek is 180o) VAPU : VAQV (hhh).
Op dezelfde manier kun je ook bewijzen dat VCSU: VCRV .
AUP CUS
(overstaande hoeken) APU CSU 90o PAU UCS (Z-hoeken), dus VAPU : VCSU (hhh)
b. De verkleiningsfactor van VAQV naar VCRV is 4
2 2 CR 12 AQ4 De verkleiningsfactor van VAQV naar VAPU is 8 1
6 13 3 4 3 PU QV c. AU 6232 3 5 UV 8242 3 5 4 5 3 5 5 2 2 4 2 2 5 CV V_3. a. 4 1 8 2 tan QC AQ QAV b. BAC QAV 27o V_4. a. sin 40 BC4 o 4 cos 40o AB 4sin 40 2,57 BC o AB4cos 40o3,06 b. sin 36 7 BC o 7 sin36 11,91 BC o en AC 7211,912 13,81 c. sin 50 12 AC o 12 sin 50 15,66 AC o en AB 15,662122 10,07 V_5. a. cos 38 BC6 o c. 6 sin 38o AB 2 2 6cos38 4,73 2 4,73 5,13 BC CD o 1 2 6sin 38 3,69 (3,69 2) 4,73 13, 46 ADC AB Opp o V b. 4,73 2 tan D 67 D o V_6. a. AB 2 b. 1 1 2 2 2 sin 45 a 2 cos 45 a o o tan 45 a 1 a o c. PS1 en RS 3
2
a
a a a 2a3
a
d. 3 3 1 2 2 2 sin 60 a 3 a o , 1 2 2 cos 60 a a o en tan 60 a 3 3 a o e. 1 2 2 sin 30 a a o , 3 3 1 2 2 2 cos 30 a 3 a o en 1 1 3 3 3 tan 30 a 3 a o f. 1.
a. Na 8 seconde is de stip helemaal rond en herhaalt zich hetzelfde proces: de periode is 8 s. b. De stip gaat met dezelfde snelheid.
c.
2.
a. De omtrek van de cirkel is 2 1 2 s.
b. 1 4180 45 o o en 1 6 1 180 o210o . c. 3.
a. Bij een hoek van 90o hoort een booglengte van 1 2 .
b. DEG is in graden (DEGREE). Met 360o ben je helemaal rond en heb je één periode in beeld. Met de x-waarden tussen 0 en 720 en de y-waarden tussen –1 en 1 heb je precies twee perioden helemaal in beeld.
c. RAD is in radialen (RADIAN). Langs de horizontale as staat nu de booglengte. Om twee perioden in beeld te krijgen moet je de x-waarden instellen tussen 0 en 4 . De instelling van de y-waarden blijven gelijk.
180o 60o 120o sec 1
3 sec 23 sec
4 kant 6 hoek
in graden sin cos tan
0 0 1 0 30 1 2 12 3 13 3 45 1 2 2 12 2 1 60 1 2 3 1 2 3 90 1 0
-4.
5.
a.
b. De cosinus geeft de uitwijking ten opzichte van de
y-as aan: tijd – uitwijking – grafiek.
6.
a. 12 uur en 20 minuten later; om 03.50 uur
b. Dat is 1 uur en 15 minuten voordat het hoog water
is. Vanwege de symmetrie staat het water 1 uur en 15 minuten na 15.30 uur, dat is om 16.45 uur, weer op 60 cm boven NAP.
7.
a. De grafiek van de cosinus maakt dezelfde vloeiende beweging alleen door de punten 1
2
( , 0), ( , 1) , 1 2
(1 , 0) en (2 ,1) .
b. De symmetrieassen zijn: x k met k een geheel getal.
c. De grafiek is puntsymmetrisch in de snijpunten met de x-as: 1 2 ((k ) , 0)
8.
a. De grafieken hebben 10 snijpunten. b. De symmetrieas is 1
2
x . Het snijpunt rechts van de top is dan : 1 1 1 5 2 (2 6 ) 6 x . Je kunt bij iedere oplossing willekeurig vaak 2 bij optellen of aftrekken.
Dus 5 1 5 1 1 5 1 5 1 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 , 3 , 1 , 1 , , , 2 , 2 , 4 , 4 9. nulpunten: 1 2 ( 1 , 0), 1 2 ( , 0), 1 2 ( , 0), 1 2 (1 , 0) 1 2 (2 , 0) en 1 2 (3 , 0)
Toppen met y-coördinaat 1: x 2 , x0, x2 en x4 en met y-coördinaat -1: x , x en x3 10. a. b. 1 1 2 2 ( , 6) en (2 , 6) 1 1 2 2 ( , 4) en (1 , 4) c. (, 5), (0, 5), ( , 5), (2 , 5) en (3 , 5) 11. 12. Q(3, 2) en R(5, -2) 13.
a. Nee, je weet de periode nog niet.
b. Nee. Een mogelijke oplossing is dat van (4, 2), op de
evenwichtsstand, naar (8, 5), maximum, een kwart van de periode doorlopen is. De hele periode is dan 16. Maar er kan tussen die punten ook nog een hele periode (of meer perioden) extra liggen.
graden 0 30 45 57,3 60 90 180 radialen (exact) 0 1 6 14 1 13 12 radialen 0 0,52 0,79 1 1,05 1,57 3,14 x y 2 3 4 1 -1 x y 2 3 4 - -2 1 -1 x y 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 -2 1 2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
14. Het volgende nulpunt is: (6, 0) en (12, 0). De grafiek is symmetrisch in deze punten. (1) De coördinaten van de toppen zijn: (3, …) en (9, …). De grafiek is ook symmetrisch in de lijnen x3 en x9. (2)
De grafiek gaat door (7, -3) vanwege (1) en ook door (11, -3) vanwege (2).
Verder kun je bij de x-coördinaten willekeurig vaak de periode optellen; g x( ) 3 voor 7 12
x k en x 11 12 k
15.
a. De periode van ysinx is 2 . Op het interval
0,6 zijn er 3 perioden.
b. intersect: x0,927 en x2, 214
c. In één periode zijn er twee snijpunten. Op het gegeven interval zijn er dus 6 snijpunten.
d. x0,927 2 7, 210 en x0,927 4 13, 494 2, 214 2 8, 497 x en x2, 214 4 14, 781 16. a. sinx 0,9 b. sinx1 4, 261 2 5,163 2 4.26, 5.16, 10.54, 11.45, 16.83, 17.73 x k x k x x x x x x 1 2 1 1 2 2 2 , 2 x k x x c. sinx0,6 d. cosx0,3 0,644 2 2, 498 2 0.64, 2.50 x k x k x x 1, 266 2 5,017 2 13.83, 17.58, 20.12 x k x k x x x e. sinx0,5 5 1 6 6 5 1 6 6 2 2 8 8 x k x k x en x 17. a. (-18, 0) (-6, 0) (6, 0) (18, 0) (30, 0) en (42, 0)
b. De grafiek is puntsymmetrisch in bovenstaande punten. Dus als f(2) 5 dan is f(10) 5 (puntsymmetrisch in (6, 0))
c. De grafiek is ook symmetrisch in de lijn x0, dus f( 2) 5 . En dus geldt f(14) 5. Nu willekeurig vaak de periode bij de x-coördinaat optellen: (-14, -5) (-10, -5) (10, -5) (14, -5) (34, -5) en (38, -5)
18.
a.
b. Door de onnauwkeurigheid/afronding van de GRM.
c. 1 1 1 1 2 2 : 12 , 2 , 22 x k x x x 1 1 1 1 2 2 2 2 sin 1 1 2 : 2 , , 1 x x k x x x 19. a. 0,5 1 1 2 sin 30 BD AB o b. 1 5 1 5 6 , 6 , 26 26 x x x en x x y 2 3 4 5 6 1 -1
20. a. b. c. 2 1 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3 1 , , , 1 , 2 3 x x x x x en x d. 1 1 3 2 cos BD AB 21. a. sinx0,6 voor x 0.64, 2.50 b. sinx0,6 voor x
0,0.64
2.50, 2
22. a. sinx0,9 b. cosx 0,3 5,16 4, 26 1,12 2,02 sin 0,9 : 5.16, 4.26 1.12, 2.02 x x x x x 4, 41 1,88 1,88 4, 41 cos 0,3: 4.41, 1.88 1.88, 4.41 x x x x x c. 2sinx1, 2 d. sinx 1,6
sin 0,6 2 , 5.64 3.79,0.64 2.50, 2 x x 23.a. Voor de grafiek van f(x) is de grafiek van ysinx 2 naar boven verschoven en voor de grafiek van g(x) 3 naar beneden.
b. y 3 sinx
24.
a. De amplitude verandert.
b. Dan wordt de grafiek gespiegeld in de horizontale as.
25.
a. y 5 6sinx
b. evenwichtsstand -2 en amplitude 2.
26.
a. De grafiek van ysinx is 3 naar rechts verschoven. b. Het ‘beginpunt’ van h is (-2, 1)
c. Als c0 verschuift de grafiek c naar links en als c0 verschuift de grafiek c naar rechts. d. ‘beginpunt’: (c, 0)
27.
a.
b. Voor 0 b 1 is de periode groter dan 2 : de grafiek wordt dan horizontaal uitgerekt. Voor b1 is de periode kleiner
dan 2 . c. 2 periode b d. b 2 2 2 3 3 210 15 periode 2 2 2 2 3 10 x y 2 3 4 - -2 1 -1
28.
29. 1 1 1
2 2 2
cosxsin(x ) sin( x1 ) sin( x3 )
30.
a. De amplitude is 3, de evenwichtsstand 4, de periode 2 en een ‘beginpunt’ (2, 4) b. De amplitude is 1,5 de evenwichtsstand -1, de periode 2 2
3 3 en een ‘beginpunt’ (0, 0.5) 31. a. De periode is 2 2 1 b. De nulpunten zijn: 1 2 x k met k geheel. c. 2.88, 2.62 1.88, 1.62 0.88, 0.62 en 0.12,0.38 1.12,1.38 2.88, 2.38 32. a. 2 6 k 2 1 6 3 k
b. amplitude is 2. De eerste top ligt op een kwart van de periode. En de volgende toppen liggen steeds een halve periode verder. Toppen: 1 1 1 1
2 2 2 2
(1 , 2), (4 , 2), (7 , 2), (10 , 2)
33.
a. De periode is 2
0,5 4 12,57 uur; ongeveer 12 uur en 34 minuten.
b. hstorm 0,60 1,85sin 0,5 t
c. Voer in: y10,60 1,85sin 0,5 x en y2 2,10. Intersect: x1,89 x4,39
Gedurende 2 uur en 30 minuten per periode zal het water een hoogte van meer dan 2,10 m bereiken.
34.
a. De periode is . De oplossingen van 2cos 2(x2) 1,5 op het interval
0, zijn:
1,64 2,36
x x . Dus 2 cos 2(x2) 1,5 als 1.50, 0.78 1.64, 2.36 4.78,5.50
x
b. De periode is 2 . De oplossingen van 1 4cosx1,5 op het interval
0, 2 zijn:
0,90 5,39
x x . Dus 1 4 cosx1,5 als x
, 0.90 0.90,5.39 . c. De periode is 2 2 . De oplossingen van 3sinx 1 op het interval
0, 2
zijn:1,11 1,89
x x . Dus 3sinx 1 als
, 2.89 2.11, 0.89 0.11,1.11 1.89,3.11 3.89,5.11 5.89, 2
x
amplitude periode evenwichtsstand ‘beginpunt’
( ) cos 3 f x x 1 2 y3 (0, 3) ( ) 2 2 cos g x x 2 2 y2 (0, 0) ( ) 1,5 sin1,5( 3) h x x 1 1 2 2 1 3 1 1 1 2 1 y (3, 1.5) ( ) sin j x x 1 2 2 y0 (0, 0) ( ) 2sin 2 2 m x x 2 2 2 y2 (0, 2) x y 1 2 3 4 -1 -2 -3 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4
d. De periode is 2
0,4 5. De oplossingen van 2 3sin 0, 4 x4 op het interval
0,5 zijn:
1,82 6,03
x x . Dus 2 3sin 0, 4 x4 als x
,1.82 6.03, 2
35.
a. De periode is . Op het interval
0, geldt:
( ) 3 f x voor 1 5 6 6 x x ( ) 3 f x voor 1 2 3 3 x x De snijpunten zijn: 1 6 ( , 3), 5 6 ( , 3), 1 6 (1 , 3) en 5 6 (1 , 3) en 1 3 ( , 3) , 2 3 ( , 3) , 1 3 (1 , 3) en 2 3 (1 , 3) b. 1 1 2 5 1 1 2 5 6 ,3 3 ,6 16 ,13 13 ,16 x 36. a. 1,252 5s.b. Het minimum van h is 1, 2 0, 7 0,5 liter.
c. h1 als t2,75 t 4, 79. Gedurende 4,79 2,75 2,04 s is er minder dan 1 liter lucht in de longen.
d. De ademfrequentie is 1,5 keer zo snel geworden. Dat wil zeggen dat de periode ook 1,5 keer zo klein is geworden; ofwel 1
3 3 , en daarmee wordt 1 3 2 3 1,9 b . De maximale longinhoud is 2,4. Bij een minimale longinhoud van 0,5 wordt de amplitude max min 2,4 0,5
2 2 0,95
en de
evenwichtsstand max min 2,4 0,5
2 2 1, 45 y . 1, 45 0,95sin(1,9 ) h t 37. sinxcosx 1 1 4 14 x x
A: sinxcosx voor 1 1
4 x 14 lengte: De lengte van interval B is dan ook . Ze zijn even lang!
38.
a. sinxcosx0 b. sin2 x1
1 2 sin 0 cos 0 0 x x x k x k 1 1 2 2 sin 1 sin 1 1 2 2 x x x k x k 39.
a. periode: 6 0,5 3 ms. Dat zijn dan 1000 1 3 3333 trillingen per seconde. Amplitude is 4 1,5 6 V b. 14 0, 2 2,8 ms is er te zien. Het 2,8 14 3 15 deel van de golf is te zien. c. 3 14 0,214 ms. d.
e. Een frequentie van 1000 Hertz wil zeggen 1000 golven per seconde. Dat is 1 golf in 0,001 s:
2 0,001 2000 b V sin 2000t x y 2 2 4 6 8 -2 -4 -6 t V 1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
40.
a. 100 Hertz: 100 golven per seconde. Dat is 1 golf in 0,01 s: 2
0,01 200 b : f t( ) sin 200 t b. maximum is ongeveer 1,97. c. periode: 0,0422 0,0022 0,04 d. De periode van f is 2 1 200 100 en die van g is 2502 1251 0,04 is de kleinst gemeenschappelijke veelvoud van 1
100 en 1251 . e. De periode van sin120 t is 2 1
120 60 en die van sin150 t is 1502 751 . Veelvouden van 1
60 zijn: 601 , 301 , 201 , 151, 121, 101 , ... en veelvouden van 751 zijn: 6
1 2 1 4 1
75, 75, 25, 75, 15, 25, .... De kleinst gemeenschappelijke veelvoud is 151 : de periode van k.
41.
a. In 88 dagen helemaal rond: t44, t88, t132 b. Van 88 dagen is M(t) 44 dagen negatief. In 1
jaar 4 44 176 dagen. Als M negatief is staat Mercurius links van de zon.
c. 2
225 ( ) 0, 72sin
V t t
d. Voer beide functies in en vind de snijpunten met intersect: 20 99 222 346 x x x x e. Op de intervallen
0, 44
88,112.5
132,176
220, 225
264,308
337.5,352
liggenbeide grafieken aan dezelfde kant van de tijdas; en dus aan dezelfde kant van de zon. Dat zijn 44 24,5 44 5 44 14,5 176 dagen.
f. M(0) 0,39 . Dat is zo ver mogelijk rechts van de zon.
t (in dagen) M 50 100 150 200 250 300 350 0,2 0,4 0,6 0,8 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8
T_1.
T_2. Het plaatje klopt niet helemaal.
a. Het maximum lijkt ligt bij x5 maar moet dus groter zijn dan 2. Een vergelijking van de symmetrieas is dan ook x5. Tel je daarbij telkens een halve periode bij op dan kom je uit op de andere minima of maxima.
Symmetrie-assen: x 13, x 7, x 1, x5, x11, x17.
b. Nulpunten liggen een kwart periode voor en na een top. En dan telkens een periode verder. (-16, 0), (-10, 0), (-4, 0), (2, 0), (8, 0) en (14, 0): in totaal 6 nulpunten.
c. (-14, -2), (-12, -2), (-2, -2), (0, -2), (10, -2) en (12, -2): ook 6 punten.
T_3.
a. Het beginpunt van f(x) is (0; 0,8). De rode grafiek is die van f. Het beginpunt van de grafiek
h(x) is (0; 0,5): de groene grafiek. De grafiek van g kan verkregen worden door de grafiek
van ycosx 2 naar rechts op te schuiven: de zwarte grafiek.
b. Voer in: y10,8 sin x en y2 0,5 sin x. Intersect: x3, 29 en x6,13 c. cos(x2) 0,6 voor x
0,1.073
2.927, 2
T_4.
a.
b. De evenwichtsstand van h is y0. c. Door een verschuiving van 1
2 2 naar links of 1
2
1 2 naar rechts.
d. Door de grafiek van h te spiegelen in de x-as en dan 2 omhoog te verschuiven.
e. ,1 , 2
4 2 3
cos Vy as cos 4 Vx as 2cos 4 naar links 2cos 4( 2) omlaag
y x y x y x y x
T_5.
a. De periode is 2 2
Op het interval
0, zijn de oplossingen van
1,5cos 2x1:x0, 42 x2, 721,5cos 2x1 als x 2,72 x0, 42 x3,56 en x 0, 42 x2, 72 x5,86 b. De periode is 2 .
Op het interval
0, 2 zijn de oplossingen van
1 3sin x0,5 :x3,31 x6,12 1 3sin x0,5 als x 2,97 x3,31 en x 0,16 x6,12c. De periode is 2 .
Op het interval
0, 2 zijn de oplossingen van
1 1 13 6 2 2sin(x ) 1:x x1 1 3 2sin(x ) 1 voor 1 1 1
2 ,6 12 , 2 d. De periode is 2 2 .Op het interval
0, zijn de oplossingen van
cos 2x 0,5: 1 23 3 x x cos 2x 0,5 voor
2 1 1 2 1 2
3 3 3 3 3 3 , , ,1 1 , 2 e. De periode is 2 2 3 3 Op het interval
2 30, is de oplossing van 1 sin 3( x 1) 0: x1,52 1 sin 3( x 1) 0 voor x
, 2
behalve { 2.67, 0.57, 1.52, 3.62, 5.71} graden 180 30 150 210 45 135 252 270 3,14 radialen 1 6 5 6 1 6 1 1 4 3 4 1, 4 1 2 1 0,05 x y 2 0,5 1 1,5 -0,5 -1 -1,5 f h g
f. De periode is 2 0,5 4
Op het interval
0, 4 zijn de oplossingen van
3 4 cos 0,5 x5 :x2, 09 x10, 47 3 4cos 0,5 x5 voor x 2.09, 2.09 T_6. a./b. T_7. a. 2 2 1 3 3 2 ( ) sin 3 1 f a a 2 2 3 3 3 a b. Bij een periode van 2
3 hoort 2 3 2 3 b . c. 312 112 2 1 D , 312 112 1 2 22 A en B 2 2 1 2 1 2 sin 2 y x T_8.
a. De maximale waterhoogte is 1,7 meter. b. W 0,60 0,7 cos 0,5 0,60 3,34 9, 22 t x x
Tussen 3.21 uur en 9.13 uur is het water lager dan 60 cm en dus geen gevaar. Voor een tocht van 5 uur kunnen ze dus 13 minuten vertraging oplopen.
c. 2nd trace (calc) optie 2 (zero): t 4,69 en 7,87
t .
Om 04.42 uur valt de plaat voor 't eerste
droog (tot 7.52 uur) en van 17.16 uur tot 20.26 uur voor de tweede keer. Per periode staat de plaat 3 uur en 10 minuten droog.
d.
T_9. De grafiek maakt b perioden op het interval
0, 2 .
Het aantal nulpunten op dit interval is 2b1 en het aantal symmetrieassen (maxima en minima) 2b.
amplitude periode functievoorschrift
zwart 1 4 4 5 5 ysin 2,5x groen 1 4 ycos 0,5x rood 2,5 2 y 2,5sinx t (in uren) W (in meters) 4 8 12 16 20 24 1 2 -1 wadlopen
