5VWO-leerlingen over waarom wiskunde
Naam auteur(s) Ir. Peter J.A. van RotterdamVakgebied Wiskunde
Titel 5VWO-leerlingen over waarom wiskunde
Onderwerp Over vergroting van inzicht in het nut van hun schoolwiskunde bij 5VWO-leerlingen
Opleiding Interfacultaire Lerarenopleidingen, Universiteit van Amsterdam
Doelgroep 5VWO
Sleuteltermen Wiskunde, Waarom, Nut, Leerlingen, VWO, Perceptie Bibliografische
referentie
Rotterdam, Peter J.A. (2018). 5VWO-leerlingen over waarom
wiskunde, Amsterdam: Interfacultaire Lerarenopleidingen UvA.
Studentnummer 11643129
Begeleider(s) Mariska Min en Derk Pik
Datum 25/09/2018
Dit document, met herontworpen lessen, is het eindrapport van mijn praktijkonderzoek voor het vak Ontwerponderzoek, onderdeel van mijn Master Leraar Voorbereidend Hoger Onderwijs. Dit eindrapport is opgesteld conform het ‘Format voor opbouw Eindpaper Ontwerponderzoek (versie 07/06/2018)’ en Bijlage 4 van de Studiehandleiding Ontwerponderzoek Pilot Educatief Ontwerpen 2017-2018 (semester 3 deeltijd)1.
Samenvatting
Het probleem ‘hoe kan ik bij mijn 5VWO-leerlingen de perceptie van het nut van hun
schoolwiskunde vergroten?’ heb ik aangepakt met (mijn hypothese): Als ik mijn 5VWO-leerlingen vraag na te gaan wat hun vervolgstudie qua wiskunde vergt, dan vergroot dit hun perceptie van het nut van hun schoolwiskunde.
Het huidige curriculum bevat geen lessen over ‘waarom wiskunde’. Daarom heb ik een eerste versie van een serie van drie lessen ontworpen en gegeven. Na afloop blijkt dat ik uit de effectmetingen geen statistisch bewijs heb gevonden voor mijn hypothese. Voor vergroting van de perceptie van het nut van wiskunde voor algemene vorming en voor burgerschap lijken mijn lessen zelfs contraproductief. En dat terwijl leerlingen aangeven relatief positief te staan tegenover het agenderen van de vraag ‘waarom wiskunde’; ook geven zij aan generieke aspecten als ‘probleem oplossen’, ‘inzicht en handelen’, ‘informatie en onzekerheid’ en de ‘manier van denken’ in wiskunde belangrijk te vinden. Een mogelijke verklaring is dat de lessenserie bij leerlingen heeft geleid tot meer bewustwording over hoe hun schoolwiskunde bijdraagt aan de wiskunde die zij nodig hebben. De ervaringen en resultaten pleiten wel voor het agenderen van de vraag ‘waarom wiskunde’, maar dan anders en derhalve met opnieuw ontworpen lessen. Het laatste hoofdstuk en bijlage 5 bevat de opnieuw ontworpen lessen.
Inhoudsopgave
Samenvatting 1 1 Probleemanalyse 3 1.1 Ontwerpprobleem 3 1.2 Empirische verkenning 3 1.3 Literatuuronderzoek 51.4 Oorzaken, oplossingsrichtingen en de gekozen oplossing 8
2 Ontwerphypothese en ontwerpregels 9 2.1 Ontwerphypothese 9 2.2 Ontwerpregels 9 3 Onderbouwing ontwerplessen 10 3.1 Lessenserie 10 3.2 Onderbouwing 10
4 Opzet onderzoek en effectmetingen 11
4.1 Doel van het onderzoek 11
4.2 Instrumenten en validiteit 11
5 Verslag uitvoering ontwerp en effectmetingen 13
5.1 De lessen 13
5.2 De effectmetingen 13
6 Presentatie effectmetingen 14
6.1 De bevraagde leerlingen 14
6.2 Bevindingen van leerlingen 15
6.3 Analyse van antwoorden op vragenlijsten 15
7 Conclusies en Discussie 18
7.1 Conclusies 18
7.2 Duiding 18
7.3 Terugblik richting herontwerp 19
8 Opnieuw ontworpen lessen 20
8.1 Ontwerpregels opnieuw ontworpen en opnieuw onderbouwd 20
8.2 Lessenserie opnieuw ontworpen 22
Bijlage 1 - Lesplannen, eerste versie 23
Bijlage 2 - Lesmaterialen 26
Bijlage 3A - 24 Vragen over waarom wiskunde en je vervolgstudie 32
Bijlage 3B - 4 Vragen over waarom wiskunde, je vervolgstudie en meer 33
Bijlage 4 - Meetgegevens 36
Bijlage 5 - Lesplannen na herontwerp 46
Bijlage 6 - Beoordelingsmatrijs 53
1 Probleemanalyse
Dit hoofdstuk bevat (1) het probleem, (2) hoe leerlingen en collega’s het probleem ervaren, (3) literatuuronderzoek naar oorzaken en mogelijke oplossingen en (4) de gekozen oplossing inclusief onderbouwing.
1.1 Ontwerpprobleem
Mijn ontwerpvraag is: hoe kan ik bij mijn 5VWO-leerlingen de perceptie van het nut van
hun schoolwiskunde vergroten?
Ik licht mijn ontwerpvraag (= probleembeschrijving) toe in termen van SMART2:
De doelstelling (vergroten de perceptie van het nut van schoolwiskunde) is specifiek en gericht op een gespecificeerde groep leerlingen, mijn 5VWO-leerlingen;
Of de gespecificeerde perceptie door mijn interventie inderdaad worden vergroot lijkt meetbaar, bijvoorbeeld door een vragenlijst en een leerrapport;3
Over de aanvaardbaarheid van mijn ontwerpvraag, in de zin dat het een echt probleem betreft, het volgende: mijn 5VWO-leerlingen volgen de lessen, maken toetsen en examens en behalen uiteindelijk in grote getale hun diploma. En toch ... ik merk dat veel leerlingen hun motivatie voor wiskunde niet ontlenen aan het nut. Ik vind dat mijn 5VWO-leerlingen (leeftijd ongeveer 17 jaar) moeten weten waarom ze iets moeten leren. Ik wil daar voor wiskunde iets aan doen. Als neveneffect hoop ik op meer motivatie bij leerlingen4 en meer kansen voor mijzelf om lessen te richten op
specifieke behoeftes van leerlingen5;
Het doel, leerlingen voor henzelf het nut van hun schoolwiskunde laten inzien, is mijns inziens zeker realistisch in de zin van haalbaar;
Ik denk het doel te kunnen realiseren voor de deadline van mijn OntwerpOnderzoek, door de activiteiten (met name drie lessen) te kunnen inpassen in het lesprogramma van één van mijn 5VWO-lesgroepen.6
1.2 Empirische verkenning
In gesprekken met een deel van mijn 5VWO-leerlingen heb ik gemerkt dat leerlingen wiskunde volgen omdat ‘het op het rooster staat’ en ‘iedereen zegt dat het belangrijk is’. Sommige leerlingen vragen zich af waarom wiskunde zo belangrijk is, en zelfs een kernvak is: ‘waarom moeten wij zoveel wiskunde leren’, want ‘dat gebruik je later nooit’.
2 Specifiek - Is de doelstelling eenduidig?
Meetbaar - Onder welke (meetbare/observeerbare) voorwaarden of vorm is het doel bereikt? Acceptabel - Zijn deze doelen acceptabel voor de doelgroep en/of het management?
Realistisch - Is het doel haalbaar?
Tijdsgebonden - Wanneer (in de tijd) moet het doel bereikt zijn?
3 In het vervolg van dit document blijkt of de verwachte meetbaarheid daadwerkelijk is gerealiseerd. 4 Bij aanvang van schooljaar 2018-2019 vertelde een schoolleider mij, dat enkele leerlingen een verhoogde
belangstelling voor vervolgstudies toonden en aangaven dat dit door de lessen ‘waarom wiskunde’ kwam;
5 In schooljaar 2018-2019 ga ik de opnieuw ontworpen lessen ‘waarom wiskunde’ geven in mijn
4VWO-lesgroep; ik heb aangeboden dit met één of twee Persoonlijk Assistent Leraren (PAL) studenten te doen;
Uiteraard weten leerlingen dat wiskunde vereist is voor veel vervolgstudies, maar waarom die eis wordt gesteld en welke wiskundedomeinen relevant zijn, weten zij niet. De behoefte bij leerlingen om te weten ‘waarom wiskunde’ blijkt ook uit de Brief van het Landelijk Aktie Komitee Scholieren aan het ontwikkelteam Wiskunde/Rekenen van Curriculum.Nu, een initiatief om kerndoelen en eindtermen te actualiseren: ‘Wat kun je
met de stof die je leert? Waar in de samenleving komt de stof terug? Hoe is dit gekoppeld aan de werkelijkheid? Ook LOB speelt hierbij een belangrijke rol. Implementeer vragen als wie ben ik, wat kan ik, wat wil ik, in het curriculum van alle vakken en koppel deze vragen aan de stof’ en ook: ‘Bij zowel rekenen als wiskunde is het van groot belang dat scholieren weten waarom ze het doen’
(zie https://curriculum.nu/ontwikkelteam/rekenen-en-wiskunde);
Collega wiskundedocenten binnen en buiten de sectie reageren divers: van ‘als wiskunde nuttig wordt is het geen wiskunde meer’ tot ‘uiteraard moet wiskunde nuttig zijn’. Desgevraagd gaf mijn supervisor, tevens decaan, op mijn school aan dit een uitstekend onderwerp te vinden, dat goed past bij zowel wiskunde als de oriëntatie van mijn leerlingen op hun vervolgstudie.7 En mijn teamleider VWO hoopt dat dit onderzoek helpt
om de lessen wiskunde sectie-breed gevarieerder, betekenisvoller en actiever maken. Navraag leert mij dat ook mijn vakdidacticus het gebrek aan inzicht op dit gebied bij elke soort wiskunde leerling aantreft (12/02/2018). Peer-feedback op de UvA (08/03/2018) leert mij onder meer: ‘uitleggen van het nut is onderdeel van opvoeden en algemene
vorming. Moet je nooit mee ophouden en altijd over na blijven denken op welke manieren je leerlingen kan bereiken om het nut van kennis uit te leggen.’8
Ook wiskundedocenten elders denken na over hoe leerlingen en ouders wiskunde zien: Soto y Koelemeijer, G. (2015). Blijven nadenken over wiskundeonderwijs. Onderzoekonderwijs.net … Een meerderheid van de leerlingen in het voortgezet
onderwijs vindt wiskunde moeilijk, of saai, of allebei. Met grote regelmaat krijg ik van een leerling de vraag: Meneer, waarom moet ik dit leren? De manier waarop wiskunde vaak wordt aangeboden, werkt voor veel leerlingen demotiverend. Rijtjes sommen maken, het leren en automatiseren van regels, het toepassen van deze regels in geforceerde contexten, is dat waar wiskunde over gaat?
en
Jos van den Einde (2007). Waarom is wiskunde een belangrijk vak? Of is het dat niet? Beter Onderwijs Nederland, blog 17/12/2007 … Toch heb ik de indruk dat het idee sterk
leeft dat wiskunde een belangrijk vak is. Dit hoor ik bijvoorbeeld wel eens terug op ouderavonden of van bijlesklanten: “Ja, we wilden wel eens met u praten, want het gaat niet zo goed met onze zoon/dochter, maar wiskunde is natuurlijk wel een belangrijk vak.”
7 Heet Loopbaanoriëntatie (LOB); ik begeleid een mentorgroep met 5VWO-leerlingen (thans 6VWO). 8 En verder: ‘Leuk maken, aansprekende voorbeelden, succeservaringen, alles kan helpen. Verwacht niet te snel te veel, meetbaar maken op korte termijn lijkt me lastig. Een nameting waaruit komt dat de leerlingen 'voor het eerst leuke dingen met Wiskunde hebben gedaan' is al een mooie aanwijzing dat ze het vak zouden kunnen gaan waarderen.’
Tot slot van mijn empirische verkenning merk ik op dat het gebrek aan nut van wiskunde in de perceptie van leerlingen zich ook uit in de keuzes qua profielwerkstukken. De ‘toegepaste vakken’ natuurkunde, scheikunde, biologie, economie, aardrijkskunde, geschiedenis en ook de talen genieten bij eindexamenleerlingen een veel grotere belangstelling dan wiskunde.9 Slechts zeer weinig eindexamenleerlingen kiezen ervoor
om hun profielwerkstuk te maken bij de sectie van ‘het belangrijke kernvak’ wiskunde.10
1.3 Literatuuronderzoek
Met name Google (Scholar) en de UvA-Bibliotheek heb ik doorzocht; mijn Nederlandstalige zoekcriteria bestonden uit het woord ‘wiskunde’ gecombineerd met één of meer woorden als ‘waarom, nut, noodzaak, relevantie, leerling, perceptie, houding, vwo, vho, onderwijs, loopbaan, loopbaanoriëntatie, lob’; mijn Engelstalige zoekcriteria bestonden uit het woord ‘mathematics’ gecombineerd met één of meer woorden als ‘why, usefulness, need, relevance, students, perception, attitude, secondary school, high school, education, study, career’.11 Dit heeft geleid tot diverse bronnen uit de literatuur, die mij
sterken in mijn mening dat mijn ontwerpvraag een relevante vraag is.
PWN Commissie Onderwijs (2017). Visie op wiskunde in het voortgezet onderwijs. …Wiskunde is in het vo niet alleen nu maar ook over tien jaar een kernvak vanwege haar
waarde voor vorming, voor maatschappelijke toerusting en voor het leggen van een fundament voor andere leergebieden, vervolgopleidingen en beroepen. Hierbij legt de onderbouw een brede basis gericht op burgerschap (waaronder gecijferdheid, statistische geletterdheid en algoritmisch denken) en fundering. De bovenbouw kan zich dan sterker richten op beroepen en vervolgopleidingen. …Wiskunde heeft een vormende waarde door het stimuleren van nieuwsgierigheid en een probleemoplossende houding. …Wiskunde is noodzakelijk voor scientific literacy, wat de verantwoorde burger nodig heeft om te kunnen functioneren in de huidige kennissamenleving. …Wiskunde in het vo gaat over een aantal kernconcepten: getal, formule, functie, verandering, ruimte en toeval. Hierbij hoort een manier van denken die typerend is voor de wiskunde: abstraheren, modelleren en probleemoplossen.…Kennis van statistiek is vereist voor kritisch burgerschap. … Leerlingen krijgen in de onderbouw een brede en stevige basis in de wiskunde. Die basis dient allereerst de burgerschapsontwikkeling. … De tussendoelen voor de onderbouw omvatten momenteel zes domeinen: (A) inzicht en
9 Dit geldt althans voor de school waar ik les geef, waar elk schooljaar de 6V- en 5H-leerlingen in totaal
ongeveer 150 profielwerkstukken produceren. Cijfers vanaf 2013-2014 geven aan dat elk schooljaar in de sectie wiskunde maar 2, 1 of zelfs geen profielwerkstukken worden gemaakt. Ook dit schooljaar 2018-2019 worden vooralsnog 2 profielwerkstukken bij wiskunde gemaakt. Al jaren scoort wiskunde (1%) bijzonder veel lager dan de meer populaire vakken zoals biologie (35%), economie (20%) en natuurkunde (15%).
10 In het schooljaar 2018-2019 ga ik vanuit wiskunde twee leerlingen begeleiden bij beleggingsalgoritmes. 11 Het zoekcriterium ‘mathematics usefulness relevance student perception secondary high school’ geeft in
de UvA Library diverse bruikbare buitenlandse artikelen. Hetzelfde zoekcriterium in het nederlands, maar dan beperkt tot het woord ‘wiskunde’ in combinatie met ‘leerling’ (of met waarom of met bruikbaarheid of met relevantie) geeft teleurstellend weinig bruikbaar resultaat.
handelen, (B) getallen en variabelen, (C) verhoudingen, (D) meten en meetkunde, (E) verbanden en formules, en (F) informatieverwerking en onzekerheid. … De huidige structuur kampt met een aantal problemen. Deze betreffen onder andere de dubbelzinnige invulling van Wiskunde A, dat zowel maatschappij- als natuurprofielen moet bedienen … en het ontbreken van statistiek in Wiskunde B. Ons uitgangspunt daarbij is aansluiting
op vervolgopleidingen. Gegeven de wiskundekennis en -vaardigheden die vervolgopleidingen vragen, lijken zich drie groepen af te tekenen, bestaande uit leerlingen die kiezen voor: culturele of sociale studies of studies in de gezondsheidszorg; economische of toegepaste bètastudies; fundamentelere bètastudies of technische studies. … Alle leerlingen hebben baat bij statistiek.
Duiding PvR: dit document geeft een recent inzicht in de relatie tussen wiskunde in het voortgezet onderwijs en de vervolgstudie. Door deze visie voel ik mij gesterkt in de relevantie van mijn ontwerpvraag; tevens biedt deze visie vele handvatten hoe mijn leerlingen te vragen of zij vinden dat hun schoolwiskunde bijdraagt aan deze visie.
Paul Ernest (2003). Waarom geven we wiskunde? Nieuwe Wiskrant 23-2
Waarom geven we wiskunde? Wat zou de reden moeten zijn om wiskunde te doceren? …
De groep die als doel heeft burgers kritisch en mondig te maken door middel van wiskunde, heeft geen voet aan de grond kunnen krijgen bij de totstandkoming van het curriculum. …Het bewust zijn van hoe en de mate waarin het wiskundige denken elke
dag doordringt in de maatschappij, zelfs als dat geen wiskunde wordt genoemd. … Het kritisch gebruiken van wiskunde in de maatschappij; identificeren, interpreteren, evalueren en bekritiseren van de wiskunde die is gebruikt in sociale en politieke systemen, in reclames en in renteberekeningen. … Gecijferde burgers opleiden die gefundeerd kritiek kunnen leveren op de sociale toepassingen van de wiskunde… Zouden de veranderende persoonlijke voorkeur, beroeps- en carrièreplannen van de leerlingen gedurende de adolescentieperiode niet het wiskundeleerplan kunnen bepalen… Het onderwijs is een opzettelijke activiteit, ideaal gezien zou er een sterke relatie tussen het voorgeschreven curriculum en de dagelijkse praktijk in het wiskundelokaal moeten zijn.
Duiding PvR: dit artikel geeft aan dat de inzichten van PWN al wel bestonden, maar niet werden onderwezen: opnieuw voel ik mij gesterkt in de relevantie van mijn ontwerpvraag, te meer omdat ‘waardering’ van/voor wiskunde niet/nauwelijks expliciet wordt gedoceerd.
Curriculum.nu – Ontwikkelteam Rekenen & Wiskunde (2018)
Curriculum.nu vormt een vervolg op het visietraject Onderwijs2032. In januari 2016 heeft Platform Onderwijs2032 een visie opgeleverd over toekomstbestendig onderwijs. Dit jaar buigen … zich over de vraag wat leerlingen in het primair en voortgezet onderwijs moeten kennen en kunnen. In 9 leergebieden, waaronder Rekenen & Wiskunde.
Duiding PvR: op dit moment is er een (concept)visie die (hoe waar ook) zo vaag en hoog-over is, dat ik vrees voor gebrek aan concretisering in het vervolg. Voor mij blijft de uitdaging het nut van wiskunde zo concreet mogelijk te verweven in mijn lespraktijk. Over de relatie tussen wiskunde in het VWO en de vervolgstudie is inmiddels het volgende in de huidige syllabi van het CvTE opgenomen.
College voor Toetsen en Examens vwo, havo, vmbo (2016) WISKUNDE A VWO |
syllabus centraal examen 2018 (versie 2, april 2016). Utrecht: CvTE zegt het volgende: … Het vak bereidt voor op universitaire vervolgstudies in de sectoren economie, gezondheidszorg en landbouw & natuurlijke omgeving. Inhoudelijk ligt de nadruk op het analyseren van verbanden tussen grootheden in een toegepaste probleemsituatie, inclusief het gebruiken van differentiaalrekening, en op statistiek en kansrekening, dat echter niet in het CE getoetst wordt. De inhoud is niet alleen van belang voor vervolgopleidingen, maar dient ook een meer algemeen vormende waarde. Leerlingen worden voorbereid op de (informatie)maatschappij en zij leren in verschillende situaties wiskundige aspecten te herkennen, te interpreteren en te gebruiken. Daarnaast leren leerlingen de mogelijkheden en beperkingen van wiskundige toepassingen op waarde te schatten. Het programma besteedt vooral aandacht aan het toepassen van wiskundige vaardigheden in authentieke situaties passend bij de profielen Economie & Maatschappij en Natuur & Gezondheid, of aan het ‘dagelijks leven’, namelijk modelleren en algebraïseren, ordenen en structureren, analytisch denken en probleem oplossen, formules manipuleren, abstraheren, en logisch redeneren ….
College voor Toetsen en Examens vwo, havo, vmbo (2016) WISKUNDE B VWO |
syllabus centraal examen 2018 (versie 2, april 2016). Utrecht; CvTE zegt het volgende:
… Het vak bereidt voor op universitaire vervolgstudies met een exacte signatuur, zoals
bètawetenschappen, technische wetenschappen en econometrie. Inhoudelijk ligt de nadruk op analyse en meetkunde, met ruime aandacht voor algebraïsche vaardigheden, formulevaardigheden, redeneren, bewijzen en toepassen in authentieke situaties die passen bij examenprogramma wiskunde B – te weten modelleren en algebraïseren, ordenen en structureren, analytisch denken en probleemoplossen, formules manipuleren, abstraheren, en logisch redeneren en bewijzen ...
College voor Toetsen en Examens vwo, havo, vmbo (2016) WISKUNDE C VWO |
syllabus centraal examen 2018 (versie 2, april 2016). Utrecht: CvTE zegt het volgende:
… Het vak bereidt voor op universitaire vervolgstudies in de sector Gedrag en
Maatschappij, de sector Recht en de sector Taal en Cultuur. Inhoudelijk ligt de nadruk op statistiek, op toegepaste analyse en op de kunsthistorische en culturele plaats van wiskunde in wetenschap en maatschappij. De inhoud is niet alleen van belang voor vervolgopleidingen, maar dient ook een meer algemeen vormende waarde. Leerlingen worden voorbereid op de (informatie)maatschappij en zij leren in verschillende situaties wiskundige aspecten te herkennen, te interpreteren en te gebruiken. Daarnaast leren leerlingen de mogelijkheden van wiskundige toepassingen op waarde te schatten. Het programma besteedt vooral aandacht aan het toepassen van wiskundige vaardigheden in authentieke situaties met een kunsthistorische of culturele achtergrond – te weten modelleren en algebraïseren, ordenen en structureren, analytisch denken en probleemoplossen, en logisch redeneren ….
1.4 Oorzaken, oplossingsrichtingen en de gekozen oplossing
Gebaseerd op (1) gesprekken met leerlingen, ouders, collega-praktijkwiskundigen, collega-docenten en de schoolleiding en (2) op literatuur vermoed ik als mogelijke oorzaken van het gebrek aan nut van hun schoolwiskunde in de perceptie van leerlingen: Het nut van wiskunde komt niet expliciet aan bod in het VWO curriculum;
Het boek (de methode) bevat veel wiskunde met sommetjes en suggereert/biedt geen ruimte voor het waarom van de wiskunde en/of wat nodig is voor de vervolgstudie; Een deel van de docenten gaan voorbij aan het nut van wiskunde, heeft geen ervaring
als praktijkwiskundige of benadrukt wel de schoonheid en niet het nut van wiskunde; Nederlands en Engels als kernvak vinden velen normaal, want ‘dat gebruik je immers dagelijks’; de reputatie van wiskunde is zodanig, dat wiskunde als kernvak wordt aangenomen, zonder dat het dagelijks gebruik als argument wordt gezien.
‘Explain connections between present learning and later life’ is zeer motiverend12. Een
oplossingsrichting is om in de lessen de wiskunde te koppelen aan het dagelijks leven en daarmee meer betekenisvol te maken. Wellicht is dit dé oplossing om bij mijn 5VWO-leerlingen het inzicht in het nut van hun schoolwiskunde te vergroten. Echter, deze oplossing lijkt me te breed voor (drie tot vier lessen in) mijn OntwerpOnderzoek. In mijn lespraktijk tracht ik mijn Wiskunde A lessen al in deze richting te verbeteren met voorbeelden uit mijn eigen werk als praktijkwiskundige en ik merk dat dat veel meer doorlooptijd vergt dan past bij het OntwerpOnderzoek. Ook vind ik het beter dat leerlingen zelf eigen voorbeelden vinden dan dat ik als docent mijn voorbeelden aanreik. Een alternatieve oplossingsrichting is om in de lessen de wiskunde te koppelen aan de vervolgstudie van de leerlingen in plaats van aan het ‘dagelijks leven’. De literatuur die ik hierover heb gevonden is met name de visie van PWN dat de relatie tussen schoolwiskunde en vervolgstudie slechts een gebrekkige invulling heeft gekregen in de VWO curricula. Het huidige curriculum bevat inderdaad geen lessen over ‘waarom wiskunde’, en al helemaal niet met leeractiviteiten, waarbij de leerlingen zelf op zoek gaan naar de relatie tussen hun schoolwiskunde en hun eigen vervolgstudie.
Dit bracht mij er toe een eerste versie van een serie van drie lessen ‘Wiskunde en je Vervolgstudie’ te ontwerpen. In schooljaar 2017-18 was ik mentor van een 5VWO-lesgroep met 23 leerlingen en kon ik deze lessen geven in het kader van Loopbaanoriëntatie, op mijn school een activiteit door leerlingen, begeleid door de mentor. Zo ingestoken leek mij deze oplossing praktisch, haalbaar en efficiënt.13
12 Woofolk, A [et al] in Psychology in Education (2013) op p. 465: ‘Explain connections between present
learning and later life’ is onderdeel van ‘Show the value of learning’ als één van de ‘Strategies to encourage motivation to learn’.
13 Ik heb ‘gekozen’ voor mijn wekelijkse mentorles, omdat ik in mei 2018 in geen van mijn vier andere
lesgroepen nog ruimte over had om drie tot vier lessen buiten het programma te geven; risico is wel dat leerlingen niet zijn gewoon de mentorlessen klassikaal te volgen en hiervoor zelfs huiswerk te maken; ik moest leerlingen dan weten ook over te halen zich toch in te zetten voor de lessen ‘waarom wiskunde’.
2 Ontwerphypothese en ontwerpregels
Dit hoofdstuk bevat de ontwerphypothese (met twee effectmetingen) en de ontwerpregels
2.1 Ontwerphypothese
Als ik mijn 5VWO-leerlingen vraag na te gaan wat hun vervolgstudie qua wiskunde vergt, dan vergroot dit de perceptie van het nut van hun schoolwiskunde.
De langere versie van mijn hypothese luidt:
“Als ik het probleem ‘hoe kan ik bij mijn 5VWO-leerlingen de perceptie van het nut van
hun schoolwiskunde vergroten?, te lijf ga met mijn aanpak, nl. ‘drie lessen in het kader van loopbaanoriëntatie, waarin de leerlingen (begeleid) ontdekken welke wiskunde voor hun vervolgstudie wel en niet belangrijk is, zal het effect zijn dat ‘de perceptie van de leerlingen van het nut van hun schoolwiskunde is vergroot’ en ook dat ‘leerlingen het ontdekken van de relatie tussen hun schoolwiskunde en hun vervolgstudie een leuke en zinvolle exercitie vinden’.
2.2 Ontwerpregels14
Voor de inhoud van de lessen hanteer ik drie ontwerpregels:
1. De context is betekenisvol: de vervolgstudie is de betekenisvolle context; belangrijke oorzaak van het gebrek aan nut van schoolwiskunde in de perceptie van leerlingen is, dat de ‘waardering’ van wiskunde niet expliciet aan bod komt in het VWO curriculum. Lessen gericht op het leren welke schoolwiskunde nodig is voor de vervolgstudie15 kan deze leemte enigszins vullen. De eigen vervolgstudie lijkt mij
voor leerlingen een zeer betekenisvolle context;
2. Leerlingen leren door ontdekken: de leerlingen gaan vooral zelf (en samen) aan de slag; dat leerlingen op eigen kracht zelf ontdekken welke (school)wiskunde zinvol is voor hun vervolgstudie lijkt mij vele malen beter dan dat ik, of welke volwassene dan ook, hen ga vertellen hoe nuttig welke wiskunde wel of niet is.
3. De docent begeleidt: het ontdekkend leren vergt begeleiding om te voorkomen dat leerlingen verdwalen of vastlopen op hun ontdekkingstocht; mijn lesmateriaal en ‘ik’ begeleiden de leerlingen bij hun ontdekking.
Aanvullend hanteer ik drie ontwerpregels voor uitvoering en succes van het onderzoek: 1. De doelgroep voor deze lessen is 5VWO (in dit geval mijn 5VWO-mentorgroep). 2. De lessenserie zal bestaan uit drie lessen van 45 minuten.
3. Effectmetingen en leerrapporten geven aan of ‘de perceptie van de leerlingen van het nut van hun schoolwiskunde is vergroot’ en ook of ‘leerlingen het ontdekken van de relatie tussen hun schoolwiskunde en hun vervolgstudie een leuke en zinvolle exercitie vinden’.
14 In hoofdstuk 8 heb ik de ontwerpregels aangepast om te komen tot herontwerp van mijn lessenserie. 15 Het al dan niet volgen van deze lessen is de onafhankelijke variabele zoals bedoeld in het vak
3 Onderbouwing ontwerplessen
Dit hoofdstuk bevat een overzicht van de eerste versie van de lessenserie16 en waarom de
leeractiviteiten een plausibele en efficiënte manier zijn om de ontwerpregels te realiseren.
3.1 Lessenserie
De lessenserie gericht op het leren welke schoolwiskunde nodig is voor de vervolgstudie bestaat uit drie lessen, elk rondom een centrale vraag, die telkens een stap verder gaat.
Les 1:Wat ga je studeren en welke wiskunde heb je daarvoor nodig? Ik vraag de leerling
Vul in ‘24 Vragen over waarom wiskunde en je vervolgstudie’;
En begin met uit te zoeken welke wiskunde je nodig hebt in je vervolgstudie.
Les 2:Krijg je van jouw school/docent/etc. de wiskunde die je nodig hebt? Ik vraag:
Lees de door mij verstrekte teksten17;
En zoek uit of je op school de juiste wiskunde krijgt voor je vervolgstudie.
Les 3: Welke wiskunde wil je meer/minder voor wat jij gaat studeren en/of wilt zijn?
Rond je zoektocht naar de wiskunde voor je vervolgstudie af;
En vul in ‘4 Vragen over waarom wiskunde, je vervolgstudie en meer’.
3.2 Onderbouwing
Mijn aanpak, zoals uitgewerkt in de drie lessen, beoogt dat elke leerling voor zichzelf op een aantrekkelijke manier zich een gefundeerde en genuanceerde mening vormt over het nut van de schoolwiskunde. Dit aan de hand van (1) de voorlopig gekozen vervolgstudie, (2) de brief van LAKS aan Curriculum.NU, (3) relevante teksten uit de wiskunde syllabi van het College voor Toetsen en Examens, teksten uit de visie, inclusief kernconcepten, denkmanieren en domeinen in wiskunde van de PWN Commissie Onderwijs en (5) de eigen mening van leerlingen over hoe zij hun schoolwiskunde nu krijgen aangeboden. Aldus verwacht ik de ontwerppregels effectief en efficiënt te kunnen realiseren:
De context is betekenisvol: de eigen vervolgstudie is voor leerlingen betekenisvol en door hun LOB-activiteiten snel toegankelijk om de relatie met wiskunde uit te zoeken Leerlingen leren door ontdekken: omdat leerlingen vooral zelf (en samen) aan de slag
gaan, ontdekken zij welke schoolwiskunde zinvol is voor hun vervolgstudie; dit is effectiever voor hen en efficiënter voor mij, omdat ik deze informatie niet paraat heb; De docent begeleidt: zo wordt voorkomen dat leerlingen verdwalen of vastlopen; Effectmetingen en leerrapporten: ook door vragenlijst en leerrapport in te vullen leren
de leerlingen effectief over het nut van hun schoolwiskunde; en op efficiënte wijze krijg ik zo de data om vast te stellen of ‘de perceptie van de leerlingen van het nut van hun schoolwiskunde is vergroot’ en of ‘leerlingen het ontdekken van de relatie tussen hun schoolwiskunde en hun vervolgstudie een leuke en zinvolle exercitie vinden’.
16 De lesplannen zelf staan in Bijlage 1 en het lesmateriaal in Bijlage 2
4 Opzet onderzoek en effectmetingen
Dit hoofdstuk bevat de opzet van het onderzoek en van de effectmetingen.
4.1 Doel van het onderzoek
Het onderzoek beoogt twee effecten van de lessenserie ‘Wiskunde en Vervolgstudie’ te meten: (1) of de perceptie van de leerlingen van het nut van hun schoolwiskunde is vergroot en (2) of leerlingen het ontdekken van de relatie tussen hun schoolwiskunde en hun vervolgstudie een leuke en zinvolle exercitie vinden.
4.2 Instrumenten en validiteit
Voor de uitvoering van het onderzoek, met name het meten van de effecten, gebruik ik (in mijn lesmateriaal) zowel een vragenlijst als ook een leerrapport als meetinstrument: Vragenlijst ‘24 Vragen over waarom wiskunde en je vervolgstudie’ (zie bijlage 3)
Het eerste deel van dit format is een vragenlijst met vijf ‘constructs’18:
o (1) waarom schoolwiskunde, (2) wiskunde en algemene vorming, (3) wiskunde en burgerschap, (4) wiskunde en vervolgstudie en (5) wiskunde en loopbaan;
o voor elk van de vijf constructs bevat de lijst vier beweringen (waarvan twee positief en twee negatief geformuleerd)19;
o per bewering kan de leerling zijn perceptie op een 4-puntsschaal kan aangeven; o de volgorde van de beweringen is random verdeeld over de vijf constructs.
Na de 20 beweringen volgt het tweede deel van dit format; dit zijn vier halfopen vragen over inzicht in de relatie tussen wiskunde en vervolgstudie.
Leerrapport ‘4 Vragen over waarom wiskunde, je vervolgstudie en meer’ (zie bijl. 3) Het eerste deel van dit format bevat vier vragen voor een leerrapport20:
o ik gebruik de zogenaamde vrije (liever hanteer ik de term ‘gerichte’) variant; o behoudens de laatste (open) vraag pas ik de basisvorm ‘ik heb geleerd dat …’ toe; o omwille van de verwerking heb ik de vragen op één zijde van het papier gehouden o het taalgebruik van de vragen is afgestemd op mijn 5VWO-leerlingen.
Het tweede deel van dit format bevat opnieuw de eerdere 20 beweringen. Tot slot stel ik nog een vraag om te meten ‘of leerlingen het ontdekken van de relatie tussen hun schoolwiskunde en hun vervolgstudie een leuke en zinvolle exercitie vinden’.
De lessenserie begint met de vragenlijst en eindigt met het leerrapport. Omdat de 20 beweringen zowel aan het begin als aan het eind van de lessenserie worden ingevuld krijg ik de beschikking over een voormeting en een nameting21, die ik statistisch kan toetsen
18 In de literatuur heb ik geen bestaande vragenlijst gevonden, die ik kon gebruiken voor mijn onderzoek.
Daarom heb ik zelf een vragenlijst samengesteld, afgeleid uit de teksten van PWN en de CvTE-syllabi. Daarbij heb ik de aanwijzingen in de workshop ‘Vragenlijsten’ van 15/03/2018 gebruikt en mijn eigen ervaring met vragenlijsten. De formulering van alle vragen is short, simple, specific, etc. en het taalgebruik is afgestemd op mijn 5VWO-leerlingen.
19 Eén van de vijf constructs bevat onbedoeld drie positief en één negatief geformuleerde beweringen. 20 Voor het leerrapport heb ik de aanwijzingen in de workshop ‘Leerrapporten’ van 15/03/2018 gebruikt. 21 Ik had geen mogelijkheid voor een referentiegroep, die de lessenserie niet krijgt.
op het beoogde effect. Daartoe gebruik ik de zogeheten T-toets voor gemiddelden van twee gepaarde steekproeven. De gegevens uit de halfopen vragen en uit de vragen voor het leerrapport heb ik verwerkt door elk antwoord toe te kennen aan een zinvolle categorie (de ‘grounded method’) en de aantallen per categorie te turven.
Door de 20 beweringen en de overige vragen in de vragenlijst en het leerrapport af te leiden uit de teksten van PWN en de CvTE-syllabi en ook door het moment van gebruik zijn beide instrumenten valide: voor en na de lessenserie meten ze wat ik wil weten, namelijk (1) wat vinden leerlingen van het nut van hun schoolwiskunde voor hun algemene vorming, burgerschap, vervolgstudie en loopbaan en (2) vonden leerlingen het ontdekken van de relatie tussen hun schoolwiskunde en vervolgstudie een leuke en zinvolle exercitie.
5 Verslag uitvoering ontwerp en effectmetingen
Dit hoofdstuk bevat een verslag van de uitvoering van de eerste versie van de lessen en van de effectmeting met de nadruk op de verschillen tussen plan en realisatie.
5.1 De lessen
De eerste versie van de drie lessen zijn uitgevoerd op de woensdagen 11/04, 18/04 en 09/05 in jaar 2018. Alle 23 leerlingen van mijn 5VWO-mentorgroep hebben aan alle drie lessen deelgenomen (één leerling heeft een gemiste les alsnog bij mij ingehaald).
De motivatie van de leerlingen varieerde conform mijn verwachting van matig tot zeer betrokken. Alle leerlingen hebben (vrijwel) alle vragen beantwoord. De vragen leverden behoorlijk wat gespreksstof op tussen de leerlingen onderling en tussen leerlingen en mij; dit varieerde van ‘wat bedoelt u’ tot ‘goed dat ik nu weet dat ik Statistiek in mijn vervolgstudie kan bijspijkeren’. Ook hebben alle leerlingen bij hun vervolgstudie gezocht naar de wiskunde die zij nodig hebben. Vooraf niet, maar ter plekke wel bedacht, heb ik de leerlingen na de eerste les gevraagd (zie de mailberichten in Bijlage 2) hun bevindingen vast te leggen in een document en dat met mij te delen. De meeste leerlingen hebben zulk een tastbaar resultaat ingeleverd.
Al met al ben ik redelijk tevreden over het verloop van de lessen en de inzet buiten de lessen; wel geeft de uitvoering aanleiding de lessen voor de toekomst te herontwerpen.22
5.2 De effectmetingen
De effectmetingen vergden het invullen van het format ‘24 Vragen over waarom
wiskunde en je vervolgstudie’ aan het begin en het format ‘4 Vragen over waarom wiskunde, je vervolgstudie en meer’ aan het eind van de lessenserie. Alle 23 leerlingen
hebben beide formats (vrijwel volledig) ingevuld. De weinige ‘missing data’ heb ik tijdens de bewerking verwerkt door een neutrale waarde in te vullen, tenzij duidelijk anders werd aangegeven. Ik ben zeer tevreden over de volledigheid van de ruwe data.
22 In de herontworpen lessen zet ik veel zwaarder in op het aantoonbaar leren en presteren door leerlingen,
onder meer door het leveren van het verslag met bevindingen conform door mij gestelde eisen.
6 Presentatie effectmetingen
Dit hoofdstuk bevat de beschrijving en analyse van de meetresultaten. De conclusies, duiding van de effecten en terugblik voor herontwerp volgen in een separaat hoofdstuk.
6.1 De bevraagde leerlingen
De lessenserie is verstrekt aan de 23 leerlingen van mijn 5VWO-mentorgroep. Alle leerlingen volgen (verplicht) wiskunde; 4 leerlingen doen Wiskunde A23, 16 leerlingen
doen Wiskunde B en 3 leerlingen doen Wiskunde B én D. Alle leerlingen gebruiken in mijn mentorlessen het schoolbrede programma Keuzeweb om zich te oriënteren op de keuze van een vervolgstudie; in dit stadium hebben alle leerlingen een voorlopige keuze gemaakt; met deze voorlopige keuze voor hun vervolgstudie hebben de leerlingen de lessenserie gevolgd. Ter illustratie: de 23 voorlopig gekozen vervolgstudies zijn:
Technische Wiskunde Geschiedenis/Politiek
Security Studies Klinische Techniek Science Tourism
Technische Informatica Econometrie Verloskunde
Voedingsleer Industrieel Ontwerpen Marine Officier Zeedienst
Bestuurskunde Geneeskunde Engelse Taal en Literatuur
Natuurkunde Werktuigbouwkunde Biomedische Wetenschap
Strafrecht Geneeskunde Piloot
Verloskunde Aardwetenschappen Civiele Techniek
De voormeting was op woensdag 11/04/2018: aan het begin van de lessenserie hebben alle 23 leerlingen van mijn 5VWO-mentorgroep het format ‘24 Vragen over waarom
wiskunde en je vervolgstudie’ ingevuld. De nameting was op woensdag 09/05/2018: alle
23 leerlingen hebben aan het eind van de lessenserie het format ‘4 Vragen over waarom
wiskunde, je vervolgstudie en meer’ ingevuld.
Het totaal van de meetgegevens bestaat uit: Een overzicht van de bevraagde leerlingen;
De ruwe gegevens van de 20 beweringen van de voormeting; De bewerkte gegevens van de 20 beweringen van de voormeting;
De gecodeerde antwoorden op de 4 halfopen vragen tijdens de voormeting; De ruwe gegevens van de 20 beweringen van de nameting;
De bewerkte gegevens van de 20 beweringen van de nameting; De gecodeerde antwoorden op elk van de 4 vragen uit het leerrapport; De gecodeerde antwoorden op de slotvraag uit het leerrapport.
Alle meetgegevens zijn opgenomen in Bijlage 4.
6.2 Bevindingen van leerlingen
De leerlingen hebben, ook als het belang van wiskunde voor de vervolgstudie nihil leek, gewerkt aan het uitzoeken welke schoolwiskunde hun vervolgstudie vergt:
welke schoolwiskunde moet je hebben om tot de vervolgstudie te worden toegelaten; welke onderdelen van deze schoolwiskunde zijn meer of minder belangrijk;
welke aanvullende wiskunde krijg je in (de eerste jaren van) je vervolgstudie.
Dit heeft per leerling geleid tot een meer of minder uitbundig verslag, waarin zij hun bevindingen met mij delen. Bijlage 4 bevat ter illustratie drie van deze verslagen.
6.3 Analyse van antwoorden op vragenlijsten
De betrouwbaarheid van de ruwe gegevens van de 20 beweringen is voldoende om te kunnen gebruiken: Cronbach alpha van de voormeting is 0,90 en van de nameting 0,89. Van elk van de vijf constructs afzonderlijk en van het totaal van de vijf constructs zijn de gemiddelden per leerling met een eenzijdige T-toets voor twee gepaarde steekproeven getoetst (met overschrijdingskans 0,05) op een significante toename van de perceptie van de leerlingen van het nut van hun schoolwiskunde. De statistische resultaten zijn:
Construct Gem Voor SD Voor Gem Na SD Na T P
Wiskunde terecht een kernvak 3,17 0,53 3,20 0,45 -0,31 0,38 Wiskunde nuttig voor algemene vorming 2,68 0,57 2,48 0,63 1,78 n.v.t. Wiskunde nuttig voor burgerschap 2,65 0,58 2,49 0,58 1,50 n.v.t. Wiskunde nuttig voor vervolgstudie 3,39 0,70 3,40 0,49 -0,16 0,44 Wiskunde nuttig voor loopbaan 2,78 0,52 2,93 0,84 -1,22 0,12
Wiskunde nuttig in totaliteit 2,93 0,51 2,90 0,47 0,45 n.v.t.
(Gem = Gemiddelde; SD = Standaarddeviatie en na de toets T = T-waarde; P = P-waarde) Aan het begin van de lessenserie is de mate waarin de leerlingen wiskunde nuttig vinden redelijk hoog (Gem 2,93 met SD 0,51); dat duidt op meer dan de neutrale waarde 2,50 op de schaal van 1 – 4). Het nut wordt vooral ontleend aan het nut voor de vervolgstudie (Gem 3,39 met SD 0,70). Het nut van wiskunde voor algemene vorming (Gem 2,68 met SD 0,57), voor burgerschap (Gem 2,65 met SD 0,58) en voor de loopbaan (Gem 2,78 met SD 0,52) scoren rond de neutrale waarde 2,50. De leerlingen vinden wiskunde terecht een kernvak (Gem 3,17 met SD 0,53).
Aan het begin van de lessenserie hebben de leerlingen ook antwoord gegeven op vier halfopen vragen over de relatie tussen wiskunde en vervolgstudie. In de antwoorden worden met name ‘probleem oplossen’ (21 keer), ‘informatieverwerking en onzekerheid’ (18) en ‘inzicht en handelen’ (15 keer) genoemd als belangrijk voor de vervolgstudie. Alle andere aspecten van schoolwiskunde worden 11 keer of minder (ruimte en meetkunde slechts 7 keer) genoemd als belangrijk voor de vervolgstudie. In aanvulling hierop hebben 5 leerlingen bedenkingen als ‘veel sommen, weinig waarom’ tegenover 2 leerlingen die wiskunde ‘een nuttig vak’ vinden (16 leerlingen hadden geen aanvulling).
Aan het eind van de lessenserie hebben de leerlingen vier ‘gerichte’ vragen, in de zin van een leerrapport, beantwoord:
1. Antwoorden op ‘Krijg je de schoolwiskunde die je nodig hebt voor je vervolgstudie?
Hierover heb ik ontdekt/geleerd dat …’ heb ik verdeeld over drie categorieën:
Ja (2 punten), bijvoorbeeld ‘Ja, Wiskunde B en je moet er ook goed voor staan’ Ja en Nee (1 p.), bijv. ‘Ja en Nee, want tijdens de vervolgstudie krijg je statistiek’ Nee (0 p.), bijv. ‘Nee, want ik heb geen wiskunde nodig’
Met 12 keer Ja, 5 keer Ja en Nee, en 6 keer Nee geven de leerlingen aan vaker wel dan niet de schoolwiskunde te krijgen die nodig is voor hun vervolgstudie.
2. De antwoorden op ‘Wat vind je in de schoolwiskunde het meest belangrijk en moet
volgens jou blijven? Hierover heb ik heb geleerd/ontdekt dat …’ heb ik ingedeeld in 7
categorieën24 en vervolgens geturfd:
Alles (3 keer genoemd)
Manier van Denken (9)
Toepassing in andere vakken (transfer) (4)
Statistiek (5)
Formules (3)
Meetkunde (2)
Niets (1)
Vooral de manier van denken noemen leerlingen als iets dat in wiskunde moet blijven 3. De antwoorden op ‘Wat vind je in de schoolwiskunde het minst belangrijk en mag
volgens jou verdwijnen? Hierover heb ik geleerd/ontdekt dat …’ heb ik ingedeeld in
eveneens 7 categorieën25 en vervolgens geturfd:
Niets (7 keer genoemd)
Goniometrie/Meetkunde (5)
Integreren (2)
Statistiek (1)
Onnodige Onderwerpen (niet nader gespecificeerd) (3)
Geen Idee (3)
Overig (bv. ‘minder huiswerk en meer theorie in de les’) (2)
4. Antwoorden op de vraag ‘Een groep deskundigen die de schoolwiskunde wil
verbeteren vindt dat het een vak moet zijn dat je nodig hebt om (later) zelfredzaam te zijn, bij te dragen aan de maatschappij en vol zelfvertrouwen in het leven te staan. Kortom een vak wat je nodig hebt om te leren, te werken en te leven in de toekomstige samenleving. Voldoet jouw huidige schoolwiskunde aan dit beeld? Hierover heb ik geleerd/ontdekt dat …’ heb ik verdeeld over drie categorieën:
24Een antwoord kan meer dan één categorie betreffen, bijv. ‘ondersteuning van andere vakken en
ingewikkeld nadenken’ of ‘wiskunde voor natuurkunde en voor kansberekening (verschil WiA en WiB te groot)’ of ‘ruimtelijk inzicht en logica’.
25Dit zijn andere categorieën dan bij de antwoorden op de voorgaande vraag; ook hier kan een antwoord
Ja (2 punten), bijvoorbeeld ‘Ja, het geeft algemene kennis’
Ja en Nee (1 p.), bijv. ‘is wel handig, maar niet noodzakelijk voor zelfvertrouwen’ Nee (0 p.), bijv. ‘Nee, je kan ook overleven zonder wiskunde’
Met 6 keer Ja, 6 keer Ja en Nee, en 11 keer Nee geven de leerlingen aan vaker niet dan wel het nut van wiskunde om te leven in de toekomstige samenleving te ervaren. Tot slot heb ik de antwoorden op ‘Over de opdracht ‘Wiskunde en Vervolgstudie’ vind ik
dat …’ verdeeld over drie categorieën:
Positief (2 punten), bijv. ‘interessant en goed dat er naar gekeken wordt’; Neutraal (1 p.), bijv. ‘fijn dat ik u kon helpen’
Negatief (0 p.), bijv. ‘ik had er niet zoveel aan (weet nu niet meer dan ik al wist)’ Met 13 keer Ja, 7 keer Ja en Nee, en 3 keer Nee geven de leerlingen aan vaker wel dan niet positief te staan tegenover deze opdracht over hun ‘Wiskunde en Vervolgstudie’. De antwoorden dragen bij aan mijn begrip van hoe mijn 5VWO-leerlingen het nut van hun schoolwiskunde ervaren, welk effect de lessenserie hierop heeft gehad, hoe betekenisvol zij hun eigen activiteiten ten aanzien van de relatie tussen schoolwiskunde en hun vervolgstudie ervaren en de wijze waarop zij deelnamen aan de lessenserie.
7 Conclusies en Discussie
Dit hoofdstuk bevat de conclusies, duiding van de effecten en een terugblik om lessen en metingen te herontwerpen.
7.1 Conclusies
Als belangrijkste conclusies formuleer ik:
er is geen statistisch bewijs voor mijn hypothese ‘Als ik mijn 5VWO-leerlingen vraag na te gaan wat hun vervolgstudie qua wiskunde vergt, dan vergroot dit hun perceptie van het nut van hun schoolwiskunde’;
de leerlingen zien het nut van wiskunde meer in relatie tot hun vervolgstudie dan in relatie tot zaken als loopbaan, burgerschap en zelfredzaamheid in de maatschappij; dit strookt met de visie van PWN om hieraan meer aandacht te geven in de curricula; de leerlingen ontlenen het nut van wiskunde vooral aan de ‘manier van denken’; de leerlingen staan redelijk positief tegenover deze opdracht over ‘waarom wiskunde’ Disclaimer: de conclusies zijn gebaseerd op slechts een startversie voor deze lessenserie.
7.2 Duiding
In mijn lespraktijk merk ik dat veel leerlingen hun motivatie voor wiskunde niet ontlenen aan het nut en weinig weten over ‘waarom wiskunde’. Ik wil daar iets aan doen. Na mijn empirische verkenning en literatuuronderzoek maakte ik het probleem ‘hoe kan ik bij
mijn 5VWO-leerlingen de perceptie van het nut van hun schoolwiskunde vergroten? tot
onderwerp van mijn Ontwerponderzoek. Ik dacht (mijn hypothese): Als ik mijn
5VWO-leerlingen vraag na te gaan wat hun vervolgstudie qua wiskunde vergt, dan vergroot dit hun perceptie van het nut van hun schoolwiskunde. Nu het onderzoek is afgerond stel ik
de vraag ‘in hoeverre ben ik geslaagd in mijn opzet’?
Uit het verschil tussen de meting aan het eind van de lessenserie en de meting aan het begin blijkt dat er geen statistisch bewijs is voor mijn hypothese. Op geen van de vijf constructs is een significante toename van de perceptie van de leerlingen van het nut van hun schoolwiskunde waar te nemen. Op de constructs ‘wiskunde en algemene vorming’ en ‘wiskunde en burgerschap’ is zelfs sprake van een afname26. In die zin ben ik niet
geslaagd in mijn opzet; sterker nog, mijn aanpak lijkt zelfs contraproductief! Dit is anders dan ik had verwacht. Hoe dit te duiden? En vooral: wat kan ik verbeteren?
Wellicht is de reputatie van wiskunde ook bij leerlingen zodanig dat zij zonder meer aannemen dat wiskunde wel nuttig moet zijn. En wordt bij de voormeting zo hoog gescoord op het nut van wiskunde, dat een toename nauwelijks meer is te realiseren. Een mogelijke verklaring voor de afname op enkele constructs bij de nameting is, dat de lessenserie heeft geleid tot meer bewustwording bij de leerlingen over hoe hun schoolwiskunde bijdraagt aan de wiskunde die zij nodig hebben. Dat het op deze manier agenderen van de vraag ‘waarom wiskunde’ beduidend andere effecten geeft dan ik had verwacht en beoogd, stemt tot nadenken voor een opnieuw te ontwerpen lessenserie.
Wat pleit voor het agenderen van het onderwerp ‘waarom wiskunde’ is de relatief positieve waardering van de leerlingen (‘interessant en goed dat er naar gekeken wordt’). Ook de antwoorden in het leerrapport in relatie tot de bewering ‘wiskunde is een vak wat je nodig hebt om te leren, te werken en te leven in de toekomstige samenleving’ geven aan dat leerlingen weinig weten over het nut van wiskunde voor doelen verder weg (minder concreet) dan de vervolgstudie. En dat terwijl juist generieke aspecten als ‘probleem oplossen’, ‘inzicht en handelen’, ‘informatie en onzekerheid’ en de ‘manier van denken’ door de leerlingen in de wiskunde als belangrijk worden gezien.
Samengevat: de ervaringen en resultaten pleiten wel voor het agenderen van de vraag ‘waarom wiskunde’, maar dan anders en derhalve met opnieuw ontworpen lessen.
7.3 Terugblik richting herontwerp
Als ik het onderzoek nog eens zou doen in een volgende lesgroep dan overweeg ik27:
Een andere onderzoekhypothese ‘Als ik mijn 5VWO-leerlingen vraag na te gaan wat
hun vervolgstudie qua wiskunde vergt, dan vergroot dit hun inzicht in het nut van hun schoolwiskunde’ te toetsen. De reden is, dat ik merk dat door de lessenserie de
leerlingen hun schoolwiskunde niet meer, maar juist minder nuttig vinden. Als verklaring vermoed ik dat leerlingen door de lessenserie een meer gefundeerde en genuanceerde mening (positief of negatief) krijgen, zich meer bewust worden, van het (gebrek aan) nut van hun schoolwiskunde voor de wiskunde die zij nodig hebben. om mijn andere hypothese te toetsen zou ik (1) dezelfde instrumenten opnieuw als
voor- en nameting gebruiken en de antwoorden op de 20 beweringen niet één-, maar tweezijdig toetsen, om te meten of er een significante verandering in de perceptie van het nut van schoolwiskunde is opgetreden en (2) om de verandering te duiden door op de antwoorden op de 20 beweringen door te vragen, bijvoorbeeld door leerlingen na afloop van de lessen hun antwoorden te laten toelichten in een groepsgesprek;
het zoeken naar de wiskunde die nodig is voor de vervolgstudie uit te breiden met, of toe te spitsen op, het vinden van een levensecht wiskundig probleem afkomstig uit hun vervolgstudie; dit levert voor elke leerling (en voor mij als docent) een eigen wiskundeopgave, waarmee zij het nut van hun schoolwiskunde kunnen ‘pakken’. Ondanks en dankzij de resultaten van dit onderzoek wil ik meer aandacht voor het nut van wiskunde inbrengen in mijn lespraktijk. In mijn lespraktijk tracht ik mijn Wiskunde A lessen al in die richting te verbeteren door meer voorbeelden uit mijn praktijkwiskunde in de lessen te verweven en zo het nut van wiskunde te benadrukken. Daarnaast wil ik, indien de gelegenheid zich voordoet, lessen geven die specifiek ingaan op wiskundige opgaven die te maken hebben met de vervolgstudie en het ‘leven’ van mijn leerlingen. Ook kan ik de wiskundeopgaven uit een vervolgstudie of het dagelijks leven gebruiken als voorbeelden bij mijn informatie aan onderbouwleerlingen over welke wiskunde te kiezen in de bovenbouw. En ik kan mijn bovenbouwleerlingen met zulke opgaven beter dan nu inzetten als leerling-coach wiskunde om hun ‘bijles’-leerlingen meer te motiveren.
8 Opnieuw ontworpen lessen
Dit hoofdstuk bevat een overzicht van de opnieuw ontworpen lessenserie.
8.1 Ontwerpregels opnieuw ontworpen en opnieuw onderbouwd
Voor de inhoud van de lessen hanteer ik vier ontwerpregels:
1. De context is betekenisvol: dit omdat juist het leren (over het nut) van wiskunde zeer is gebaat bij de betekenis die wiskunde kan hebben voor leerlingen. Zie bijvoorbeeld Drijvers, P. , Streun, A. van, Zwaneveld, B. (2016), Handboek Wiskundedidactiek, Hoofdstuk 1 over het belang van onder meer ‘weten waarom’ en ‘houding’ om betekenisrijk wiskundeonderwijs te ontwerpen en uit te voeren. In mijn lessenserie wil ik het ‘weten waarom’ toepassen op het geheel van de schoolwiskunde (waarom wiskunde) om zo de houding van leerlingen over hun schoolwiskunde positief te beïnvloeden: ‘het is belangrijk, ik kan, mag en moet het leren voor later’.28 De eigen
vervolgstudie lijkt mij voor 4/5VWO-leerlingen een zeer betekenisvolle context. 2. Leerlingen werken samen: dit omdat voor leerlingen samen leren leuker, effectiever
en efficiënter kan zijn. Zie bijvoorbeeld Dekker, R., & Elshout-Mohr, M. (2007).
Niveauverhoging door samenwerkend leren, waar wordt gesteld dat, als leerlingen
hun aanpak (bij het oplossen van wiskundige problemen) aan elkaar uitleggen, bekritiseren en verantwoorden, dit leidt tot reconstructie en verbetering van de aanpak en tot verhoging van inzicht. Samenwerkend leren vergt wel de juiste samenstelling en rolverdeling van groepjes. In een lessenserie met deels gestructureerde taken is een overeenkomstige vervolgstudie een goed criterium voor de samenstelling van groepjes. Omwille van de diversiteit qua vervolgstudies ga ik uit van duo’s; daarbij moeten beide leerlingen elkaar wel liggen. In dat geval kan ik leerlingen van 4/5VWO de ruimte geven het werk naar eigen inzicht te verdelen. De rol van de leraar is cruciaal in het bewaken van de voortgang van samenwerkend leren om, bijvoorbeeld ingeval van onevenwichtige werkverdeling, te kunnen bijsturen. Ook het kennen en begrijpen van meningen van leerlingen met een geheel andere vervolgstudie bevordert het vormen van een gefundeerde en genuanceerde mening over ‘waarom wiskunde’. Daarom is in de lessen ook ruimte voor de groep als geheel nodig.29
3. Leerlingen leren door ontdekken: dit omdat het geleerde bij leerlingen beter beklijft als zij de stof zelf hebben ontdekt in plaats van aangereikt gekregen. Woofolk refereert op p. 337 aan onderzoek van Bruner: ‘in order to grasp the structure of information pupils must be active – they must identify key principles for themselves rather than simply accepting teacher’s explanations. This process has been called discovery learning.’ Eén van de manieren om ontdekkend leren in praktijk te brengen is het stellen van een vraag en de leerlingen te laten proberen een antwoord te vinden. Gezien de het niveau van 4/5VWO en de aard van de vraag ‘waarom wiskunde’ is deze manier toepasselijk. De docent moet de leerlingen begeleiden om te voorkomen
28 Zie bijvoorbeeld Ebbens, p.54: het relevante sleutelbegrip voor effectief leren hierbij is betekenis geven;
dit in relatie tot de vierde vraag van Perkins: welke maatschappelijke argumenten heb ik voor deze leerstof?
29 Woofolk, A [et al] in Psychology in Education (2013) geeft op p.487 e.v. een tabel met overwegingen
dat zij vastlopen; de lesstructuur, het lesmateriaal, de eisen aan (resultaten van) leerlingen en de praktijkervaring als wiskundige, docent en mentor worden hierbij ingezet. De docent moet bevorderen dat leerlingen een mening ontwikkelen zonder een mening over ‘waarom wiskunde’ te suggereren; ik noem dit ‘semi-guided discovery’. Tot slot is het efficiënter dat bij het beantwoorden van de vraag ‘waarom wiskunde’ de leerlingen vooral zelf aan de slag gaan: immers, dankzij hun LOB-activiteiten kennen leerlingen, beter dan de docent, de weg naar hun vervolgstudie. 4. Leerlingen weten wat van hen wordt verwacht: op p.62 in Ebbens, S. & Ettekoven, S.
(2015). Effectief leren staat het belang van het expliciteren van het gewenste gedrag. In deze lessen wordt het gewenste gedrag met name ingevuld door van de leerlingen te verwachten dat zij een verslag met hun bevindingen leveren conform door de docent daaraan gestelde eisen. Dit is ten opzichte van de eerste versie van de lessen een wezenlijke verandering, waarmee de herontworpen lessen veel zwaarder inzetten op het aantoonbaar leren en presteren door leerlingen. Bovendien bieden de verslagen de mogelijkheid deze door andere leerlingen te laten lezen en zo te laten leren hoe andere leerlingen denken over hun schoolwiskunde; ook dit bevordert de ontwikkeling van een gefundeerde en genuanceerde mening over ‘waarom wiskunde’. Aanvullend hanteer ik drie ontwerpregels voor uitvoering en succes van het onderzoek: 5. De doelgroep voor deze lessen is 4/5VWO; dit omdat de syllabi van CvTE voor het
VWO vermelden, dat ‘de inhoud niet alleen van belang is voor vervolgopleidingen, maar ook een meer algemeen vormende waarde dient. Leerlingen worden voorbereid op de (informatie)maatschappij en zij leren in verschillende situaties wiskundige aspecten te herkennen, te interpreteren en te gebruiken. Daarnaast leren leerlingen de mogelijkheden en beperkingen van wiskundige toepassingen op waarde te schatten. Het programma besteedt vooral aandacht aan het toepassen van wiskundige vaardigheden in authentieke situaties (PvR: binnen hun profiel) of aan het dagelijks leven.’ Bovendien hebben juist VWO leerlingen in de bovenbouw voldoende wiskunde genoten en voldoende vaardigheden ontwikkeld om onder begeleiding zelfstandig samen te werken en te reflecteren op de vraag ‘waarom wiskunde’.
6. De lessenserie zal bestaan uit vier lessen van 45 minuten met maakwerk buiten de les; naar verwachting is vier lessen genoeg (en binnen het lesprogramma kunnen niet meer dan vier lessen beschikbaar worden gemaakt) om de vraag ‘waarom wiskunde’ voldoende nadrukkelijk te agenderen. Omdat van de leerlingen uitzoekwerk en verslaglegging wordt verlangd moeten leerlingen, evenals voor reguliere lessen, ook buiten de les werk verrichten.
7. Effectmetingen en leerrapporten. De effectmetingen en het leerrapport worden op precies dezelfde wijze ingezet als tijdens de eerste versie van de lessen. Zo wordt op efficiënte wijze de data verkregen om, opnieuw en in vergelijking met de eerste versie van de lessen, vast te stellen of ‘de perceptie van de leerlingen van het nut van hun schoolwiskunde is vergroot’ en of ‘leerlingen het ontdekken van de relatie tussen hun schoolwiskunde en hun vervolgstudie een leuke en zinvolle exercitie vinden’. Bovendien leren leerlingen ook door het invullen van de vragenlijst en het leerrapport over het nut van hun schoolwiskunde.
Door de ontwerppregels als bovenstaand in te vullen zijn ze naar verwachting plausibel, effectief en efficiënt te realiseren: leerlingen kunnen in vier lessen op een leuke manier een gefundeerde en genuanceerde mening vormen over ‘waarom wiskunde’. Dit houdt niet in dat deze herontworpen lessen in hun eindversie zijn: ook nadat de lessen in deze vorm dit schooljaar zijn gegeven verwacht ik verdere verbetering aan te brengen; de lessen ‘waarom wiskunde’ zijn voorlopig nog onderwerp van een iteratief ontwerpproces.
8.2 Lessenserie opnieuw ontworpen
De lessenserie gericht op het leren welke schoolwiskunde nodig is voor de vervolgstudie bestaat uit vier lessen, elk rondom een centrale vraag, die telkens een stap verder gaat. Bij elk van de vier lessen staan de belangrijkste leeractiviteiten genoemd.
Les 1:Wat ga jij studeren en welke wiskunde heb jij daarvoor nodig?
Vul in ‘24 Vragen over waarom wiskunde en je vervolgstudie’;
Lees teksten uit PWN visie, CvTE syllabi en de Brief van LAKS aan Curriculum.Nu Begin in duo’s met zoeken naar minstens één wiskundig probleem (opdracht, opgave)
uit je vervolgstudie en zoek zo uit welke wiskunde jij nodig hebt in je vervolgstudie; Maakwerk: zoek verder en beschrijf kort (één pagina, evt. met bijlagen) welke
website(s) je gebruikt en met wie van jouw vervolgstudie jij contact hebt opgenomen.
Les 2:Krijg jij van jouw school/docent/etc. de wiskunde die jij nodig hebt?
Zoek en beschrijf verder en vul dit aan met nagaan of je op school de juiste wiskunde krijgt voor je vervolgstudie;
Maakwerk: zoek verder en vul je verslag aan met (1) je wiskundige probleem, (2) welke wiskunde je voor je vervolgstudie wel/niet nodig hebt en (3) of je deze wiskunde wel/niet krijgt op school en (4) de bronnen, die je hiervoor hebt gebruikt.
Les 3: Welke wiskunde wil jij meer/minder voor wat jij gaat studeren en/of wilt zijn?
Rond je zoektocht naar de wiskunde voor je vervolgstudie af en vul je verslag aan met welke wiskunde je meer/minder op school zou willen krijgen;
Maakwerk: rond je verslag af (max. 3 pagina’s, ex. bijlagen) met (5) welke wiskunde wil ik waarom meer/minder op school en mail het uiterlijk 2 dagen voor de laatste les.
Les 4: Welke wiskunde willen anderen voor wat zij gaan studeren en/of willen zijn?
Je krijgt twee verslagen van andere duo’s leerlingen en een beoordelingsmatrijs waarmee je de verslagen kan beoordelen; beoordeel de twee verslagen;
Vul in ‘4 Vragen over waarom wiskunde, je vervolgstudie en meer’;
Tot slot een korte groepsdiscussie: wat is opgevallen en wat vond je van de opdracht? De opnieuw ontworpen lesplannen staan in Bijlage 5; de beoordelingsmatrijs in bijlage 6.
Bijlage 1 - Lesplannen, eerste versie
Les 1: Wat ga je studeren en welke wiskunde heb je daarvoor nodig?
Docent:
Peter van Rotterdam
Datum: 11/04/2018 Tijd: 11.35-12.20 Klas: 5VJ3MEN Aantal lln: 23
Lesonderwerp Wat ga je studeren en welke wiskunde heb je daarvoor nodig?
Beginsituatie Lln volgen Wiskunde A of B of B+D en hebben in meer of mindere
mate hun vervolgstudie in beeld
Leskern Vind je jouw schoolwiskunde nuttig voor je vervolgstudie en
meer?
Leerdoelen Lln denken na over het nut van hun schoolwiskunde en zoeken uit
welke schoolwiskunde belangrijk is voor hun vervolgstudie
Docentdoelen Ik wil dat lln zich een mening vormen over het nut van hun
schoolwiskunde
Boek (+ blz.) Format ‘24 Vragen over waarom wiskunde en je vervolgstudie’ Media, spullen, hulp Website van en navraag bij vervolgstudie (en/of elders)
Tijd Lesfase +
Leerdoel Wat ik doe en zeg
Wat zij doen (werkvorm) Leeractiviteit Noem de specifieke! 05 Aandacht richten
Ik leg het doel van de lessenserie uit
Lln luisteren en stellen vragen
Verkennen
15 Vragenlijst Ik vraag de lln elk de vragenlijst in te vullen Lln vullen vragenlijst in en stellen vragen Verkennen 20 Instructie, Zelf ontdekken Begeleiding Ik vraag lln zelf te ontdekken welke schoolwiskunde hun vervolgopleiding vraagt en help wie vastloopt
Lln zoeken op internet of anderszins uit welke schoolwiskunde hun vervolgopleiding vergt en stellen vragen
Verkennen
05 Afsluiten Ik vraag lln hun eerste ervaringen te delen
Lln delen hun eerste ervaringen en reageren
Les 2: Krijg je van jouw school/docent de wiskunde die je nodig hebt?
Docent:
Peter van Rotterdam
Datum: 18/04/2018 Tijd: 11.35-12.20 Klas: 5VJ3MEN Aantal lln: 23
Lesonderwerp Wat ga je studeren en krijg je de wiskunde die daarvoor nodig is?
Beginsituatie Lln volgen Wiskunde A of B of B+D en hebben in meer of mindere
mate hun vervolgstudie in beeld + hebben deelgenomen aan les 1
Leskern Krijg je de schoolwiskunde die nodig is voor je vervolgstudie?
Leerdoelen Lln denken na over het nut van (onderdelen van) hun
schoolwiskunde voor hun vervolgstudie en meer
Docentdoelen Ik wil dat lln zich een meer genuanceerde mening vormen over het
nut van hun schoolwiskunde
Boek (+ blz.) Brief Laks + Teksten uit visie op wiskunde van PWN en de syllabi
van CvTE
Media, spullen, hulp Website van en navraag bij vervolgstudie (en/of elders) Tijd Lesfase +
Leerdoel Wat ik doe en zeg
Wat zij doen (werkvorm) Leeractiviteit Noem de specifieke! 05 Aandacht richten
Ik herhaal het doel van de lessenserie
Lln luisteren en stellen vragen
Herkennen
15 Teksten
Ik vraag de lln door mij geselecteerde teksten te lezen Lln lezen teksten en stellen vragen Verkennen 20 Instructie, Zelf ontdekken Begeleiding Ik vraag lln verder te gaan met zelf ontdekken welke schoolwiskunde hun vervolgopleiding vraagt en help wie vastloopt
Lln zoeken op internet of anderszins uit welke schoolwiskunde hun vervolgopleiding vergt en stellen vragen
Verkennen
05 Afsluiten Ik vraag lln hun nieuwe ervaringen te delen
Lln delen hun nieuwe ervaringen en reageren
Les 3:Welke wiskunde wil je meer/minder voor wat jij gaat studeren en/of wilt zijn?
Docent:
Peter van Rotterdam
Datum: 09/05/2018 Tijd: 11.35-12.20 Klas: 5VJ3MEN Aantal lln: 23
Lesonderwerp Wat ga je studeren en welke wiskunde heb je meer/minder nodig?
Beginsituatie
Lln volgen Wiskunde A of B of B+D en hebben in meer of mindere mate hun vervolgstudie in beeld + hebben deelgenomen aan les 1+2
Leskern Welke wiskunde heb je meer/minder nodig voor je vervolgstudie?
Leerdoelen Lln denken in meer detail na over het nut van (onderdelen van)
hun schoolwiskunde voor hun vervolgstudie en meer
Docentdoelen Ik wil dat lln zich een meer gefundeerde en genuanceerde mening
vormen over het nut van hun schoolwiskunde
Boek (+ blz.) Format ‘4 Vragen over waarom wiskunde, je vervolgstudie en
meer’
Media, spullen, hulp Website van en navraag bij vervolgstudie (en/of elders) Tijd Lesfase +
Leerdoel Wat ik doe en zeg
Wat zij doen (werkvorm) Leeractiviteit Noem de specifieke! 05 Aandacht richten
Ik herhaal het doel van de lessenserie Lln luisteren en stellen vragen Herkennen 35 Leerrapport + Vragenlijst
Ik vraag de lln elk hun leerrapport op te stellen
en (opnieuw) de
vragenlijst in te vullen
Lln stellen leerrapport op, vullen vragenlijst in en stellen vragen
Concluderen
05 Afsluiten
Ik dank lln voor hun deelname en vraag hen naar hun ervaringen
Lln delen hun
ervaringen en reageren
