3.3 Het principe van inclusie en exclusie
3.3.2 Torenveeltermen
(n − k)!(−1)k. 3.3.2 Torenveeltermen
Een permutatie van n objecten kan gerepresenteerd worden door n schaakstukken te plaatsen op een n × n schaakbord. Indien het i-de object op de j-de plaats staat dan zetten we een schaakstuk op het veld van de i-de rij en de j-de kolom. Als voorbeeld is de permutatie 2413 hieronder getekend.
P P
P P
Het is duidelijk dat een plaatsing van n stukken op een n × n bord pas dan correspondeert met een permutatie indien geen twee stukken in dezelfde rij of in dezelfde kolom staan. Een plaatsing is een d´erangement indien op de hoofddiagonaal (van links boven naar rechts onder) geen stukken staan. Het aantal d´erangementen van n objecten is dus gelijk aan het aantal manieren waarop n torens op een n × n schaakbord geplaatst worden zdd. zij elkaar niet slaan en er geen toren op de hoofddiagonaal staat.
Zij C een bord van willekeurige vorm met m velden. Voor k ≤ m laat rk(C) het aantal manieren zijn waarop k niet-slaags-rakende torens op C geplaatst kunnen worden. De voortbrengende functie is:
R(x, C) = r0(C) + r1(C)x + r2(C)x2+ · · · + rm(C)xm. We noemen deze functie de torenveelterm voor het bord C.
Voorbeeld 3.4
We berekenen de torenveelterm voor een 4×4 bord. Daartoe moeten we de getallen ri(C) bepalen voor i = 0, 1, . . . , 16. Het is duidelijk dat ri(C) = 0 voor i ≥ 5, r0(C) = 1 en r1(C) = 16.
Bij twee torens moeten we 2 rijen uit 4 kiezen, dit kan op ¡42¢ verschillende manieren. Als de rijen gekozen zijn, dan kunnen we de eerste toren in ieder van de 4 velden plaatsen, er blijven dan 3 velden over voor de andere toren: r2(C) = ¡42¢× 4 × 3 = 72. Analoog berekenen we r3(C) =¡43¢× 4 × 3 × 2 = 96 en r4(C) =¡44¢× 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Dus geldt: R(x, C) = 1 + 16x + 72x2+ 96x3+ 24x4.
Twee gedeelten van een bord C, zeg A en B noemen we niet-interfererend indien geen veld van A in dezelfde rij of kolom ligt als een veld van B.
Eigenschap 1
Indien een bord C bestaat uit twee niet-interfererende gedeelten A en B dan is de torenveelterm voor C gelijk aan het product van de torenveeltermen voor A en voor B.
Bewijs:
Indien k niet-slaags-rakende torens op het bord C geplaatst zijn, dan staan er t op A en (k − t) op B, voor een t met 0 ≤ t ≤ k.
Daar een toren op A nooit slaags raakt met een toren op B, geldt
rk(C) = r0(A)rk(B) + r1(A)rk−1(B) + · · · + rk(A)r0(B). De expressie in het rechterlid is de co¨effici¨ent van x in het product
©
r0(A) + r1(A)x + r2(A)x2+ · · ·ª·©r0(B) + r1(B)x + r2(B)x2+ · · ·ª, d.w.z. het product van de torenveeltermen voor A en voor B.
Eigenschap 2
Voor bord C kiezen we een verboden veld v. Zij D het bord dat uit C ontstaat door alle velden uit de rij en uit de kolom waarin v ligt, weg te laten. Zij E het bord dat uit C ontstaat door het veld v weg te laten. Dan geldt voor de torenveeltermen: R(x, C) = x · R(x, D) + R(x, E). Bewijs:
Indien k niet-slaags-rakende torens op het bord C geplaatst zijn, dan is veld v bezet of niet bezet. Als het bezet is, dan zijn er (k − 1) torens op het bord D geplaatst en dit kan op rk−1(D)
manieren. Als het veld v niet bezet is, dan zijn er k torens op het bord E geplaatst en dit kan op rk(E) manieren. Dus geldt rk(C) = rk−1(D) + rk(E), k ≥ 1.
Hieruit volgt:
R(x, C) = P∞k=0 rk(C)xk = 1 +P∞k=1 rk−1(D)xk+P∞k=1 rk(E)xk = xP∞k=0 rk(D)xk+ 1 +P∞k=1 rk(E)xk
= xR(x, D) +P∞k=0 rk(E)xk= xR(x, D) + R(x, E).
We zagen dat een d´erangement correspondeert met de plaatsing van n niet-slaags-rakende torens op een bord zdd. er geen torens op de hoofddiagonaal staan. De hoofddiagonaal vormt het bord van de verboden velden voor d´erangementen.
Stelling 3.8
Het aantal permutaties van n symbolen zdd. geen veld van een bord C van verboden velden bezet wordt is gelijk aan Pnk=0 (−1)k· (n − k)! · rk(C).
Bewijs
We gebruiken het principe van inclusie en exclusie. De objecten zijn permutaties, een object heeft de i-de eigenschap als het i-de symbool zich op een verboden veld bevindt. Het aantal permutaties met geen symbool op C is, in de notatie van Stelling 3.7:
n! − {N (1) + · · · + N (n)} + {N (1, 2) + · · · + N (n − 1, n)} − · · · + (−1)nN (1, 2, ..., n). Iedere plaatsing van een toren op het bord C kan door een willekeurige permutatie van de overige (n − 1) torens tot een plaatsing van n symbolen uitgebreid worden. In zo’n plaatsing is minstens 1 verboden veld bezet. Dus N (1) + N (2) + · · · + N (n) = (n − 1)!r1(C).
Op analoge wijze geldt dat iedere plaatsing van twee torens op C door een willekeurige permutatie van de overige (n − 2) torens tot een plaatsing van n symbolen uitgebreid kan worden. In zo’n plaatsing zijn minstens 2 verboden velden bezet. Dus N (1, 2) + · · · + N (n − 1, n) = (n − 2)!r2(C). Dezelfde argumentatie gaat op voor de termen met 3 ≤ k ≤ n.
Voorbeeld 3.5
Een bedrijfsleider moet 5 opdrachten toewijzen aan 5 kandidaten. De kandidaten duiden we aan met 1, 2, 3, 4 en 5 en de opdrachten worden genoteerd met a, b, c, d en e. Kandidaat 1 is ongeschikt voor de opdrachten b en c, kandidaat 2 is ongeschikt voor a en c, kandidaat 3 is ongeschikt voor b, d en e, kandidaat 4 is geschikt voor alle opdrachten en kandidaat 5 is ongeschikt voor d. Op hoeveel manieren kunnen de opdrachten toegewezen worden?
Hieronder is een 5 × 5 bord getekend, de met ∗ gemerkte velden zijn verboden. De rijen behoren bij de kandidaten en de kolommen bij de opdrachten.
* *
* *
* * *
*
Om Stelling 3.8 toe te passen, moeten we de torenveelterm van het bord van verboden velden bepalen. Dit is een bord met 4 rijen (de oorspronkelijke 4-de rij kunnen we weglaten) en 5 kolommen. Ontwikkelen we de veelterm volgens eigenschap 2 met als v het veld in rij 3 en kolom 4, dan krijgen we: R(x, C) = x · R(x, D) + R(x, E) met
D = * * * * en E = * * * * * * *
Berekenen we de torenveelterm van bord D volgens eigenschap 2 met als v het veld in de eerste rij en derde kolom:
R(x, D) = xR(x, F ) + R(x, G) met F = * , zodat R(x, F ) = 1 + x en G = *
* * .
Dus geldt: R(x, G) = 1 + 3x + 2x2.
Hieruit volgt: R(x, D) = x(1 + x) + 1 + 3x + 2x2 = 1 + 4x + 3x2.
Vervolgens berekenen we R(x, E). Omdat in E het veld in rij 4 en kolom 4 niet-interferend is met de rest van het bord van verboden velden geldt: R(x, E) = (1 + x)R(x, H) met H het bord
* *
* *
* *
Het bord H ontwikkelen we naar het veld in rij 3 en kolom 2:
R(x, H) = xR(x, I)+R(x, J) met I = * * * en J = * * * * * , zodat R(x, I) = 1+3x+x2
en R(x, J) = (1 + x)(1 + 4x + 3x2). Dus R(x, H) = 1 + 6x + 10x2+ 4x3, waaruit volgt: R(x, E) = 1 + 7x + 16x2+ 13x3+ 3x4.
We krijgen nu: R(x, C) = x(1+4x+3x2)+1+7x+16x2+14x3+4x4 = 1+8x+20x2+17x3+4x4. Hieruit vinden we: r0 = 1, r1 = 8, r2 = 20, r3 = 17, r4 = 4. Het aantal manieren waarop de opdrachten toegewezen kunnen worden is dus: 5! − 4! · 8 + 3! · 20 − 2! · 17 + 1! · 4 = 18.
Voorbeeld 3.6 (Probl`eme des m´enages)9
Hoeveel tafelschikkingen zijn er voor n echtparen aan een ronde tafel zdd. voor iedereen de buren van de andere sexe zijn en bovendien geen man naast zijn eigen vrouw zit. De vrouwen kunnen op (n − 1)! manieren plaatsnemen (de eerste plaats is willekeurig i.v.m. de rondheid van de tafel). Veronderstel dat de vrouwen in de volgorde 1, 2, . . . , n zitten. De toegelaten permutaties van de n mannen is volgens onderstaand bord (voor n = 6) van verboden velden, waarbij de rijen corresponderen met de plaatsen en de kolommen met de mannen, in de volgorde 1 t/m n. In de eerste kolom zien we dan dat de eerste man niet op de plaatsen 1 en n mag zitten, want dan zit hij naast zijn eigen vrouw.
* * * * * * * * * * * *
Zij Rn(x) de torenveelterm voor het bord van verboden velden. Zij Lk(x) de torenveelterm
voor borden met k verboden velden en van het type
* *
* *
* *
*
als k oneven is en van
het type
* *
* *
* *
als k even is.
Dan geldt (ontwikkel naar het veld in de laatste rij en eerste kolom):
Rn(x) = xL2n−3+ L2n−1(x) en Lk(x) = xLk−2(x) + Lk−1(x), (3.21) met als randvoorwaarden L0(x) = 1 en L1(x) = 1 + x. Hieruit volgt (zie Opgave 3.25) dat
Lk(x) = bXk+12 c m=0 µ k − m + 1 m ¶ xm. Substitueren we dit in (3.21), dan vinden we:
9Dit probleem werd door E. Lucas gesteld in zijn boek Th´eorie des nombres (1891) en is begin 1900 opgelost door Laisant, Moreau en Taylor. De gesloten vorm in termen van een som, zoals we in dit voorbeeld afleiden, is afkomstig van Touchard (J. Touchard: Permutations discordant with two given permutations, Scripta Mathematica 1 (1953) 108–119). Zie ook http://mathworld.wolfram.com/MarriedCouplesProblem.html
Rn(x) = Pnm=0 ¡2n−mm ¢xm+Pn−1m=0 ¡2n−m−2m ¢xm+1 = 1 +Pnm=1 n¡2n−m m ¢ +¡2n−m−1m−1 ¢oxm = Pnm=0 2n−m2n ¡2n−mm ¢xm. In de notatie van Stelling 3.8 geldt nu: rk(C) = 2n
2n−k
¡2n−k
k
¢ .
Het aantal toegelaten permutaties van de mannen is volgens Stelling 3.8:
n X k=0 (−1)k 2n 2n − k µ 2n − k k ¶ (n − k)!, n ≥ 2.
Het aantal tafelschikkingen vinden we door dit aantal nog met (n − 1)! (het aantal permutaties van de vrouwen) te vermenigvuldigen, dus dit is:
(n − 1)! · n X k=0 (−1)k 2n 2n − k µ 2n − k k ¶ (n − k)!, n ≥ 2. . Vraag 3.20
Bepaal de torenveelterm van de volgende borden van verboden velden (de verboden velden zijn aangegeven met een *).
a. * * * * * * b. * * * * * * * * Vraag 3.21
Bewijs dat de torenveelterm Rn,m(x) van een rechthoekig n × m bord voldoet aan de recurrentie betrekking Rn,m(x) = Rn−1,m(x) + m x Rn−1,m−1(x).
Vraag 3.22
Beschouw de volgende uitleenprocedure. Tien boeken worden over tien kinderen verdeeld, zodat elk kind ´e´en boek krijgt. Daarna worden de boeken weer ingenomen en opnieuw over de kinderen verdeeld, op zodanige wijze dat elk kind een ander boek krijgt dan de eerste keer.
Op hoeveel manieren kan deze procedure uitgevoerd worden?
Vraag 3.23
Toon met Stelling 3.8 aan dat het aantal d´erangementen gelijk is aan n! ½ 1 − 1 1! + 1 2!− 1 3!+ · · · + (−1) n 1 n! ¾ .
Vraag 3.24
Een huwelijksbureau heeft 5 mannelijke en 5 vrouwelijke cli¨enten: A, B, C, D, E resp. a, b, c, d, e. Na onderzoek van deze personen komt men tot de conclusie dat a niet past bij A en B, b niet bij B, c niet bij D, d niet bij C en E en dat e niet past bij C en E.
Op hoeveel verschillende manieren kunnen de vrouwelijke cli¨enten aan de mannelijke cli¨enten worden gekoppeld?