• No results found

Theorie van de lineaire (on)gelijkheden

4.2 Lineaire (on)gelijkheden en polyhedra

4.2.1 Theorie van de lineaire (on)gelijkheden

Beschouw de n-dimensionale Euclidische ruimte Rn met de Euclidische norm k · k. C ⊆ Rn heet convex indien voor alle x, y ∈ C en alle re¨ele getallen 0 ≤ λ ≤ 1 geldt:

λx + (1 − λ)y ∈ C.

Meetkundig gesproken betekent dit dat als twee punten tot C behoren het lijnsegment dat deze punten verbindt (dit wordt ook wel de convexe combinatie van deze punten genoemd) ook tot C behoort.

Een extreem punt x van een convexe verzameling C is een punt dat geen convexe combinatie is van twee verschillende punten van C. Een d 6= 0 heet een richting van een convexe verzameling C als voor iedere x ∈ C geldt dat

x + λd ∈ C voor iedere λ ≥ 0.

Een begrensde verzameling heeft dus geen richtingen. Een extreme richting van C is een richting van C die geen positieve combinatie is van twee verschillende richtingen van C.

Een hypervlak is een verzameling van punten x die voldoen aan a1x1+ a2x2+ · · · + anxn= a0 voor zekere gegeven re¨ele getallen a0, a1, . . . , an.

Een kegel is een verzameling C waarvoor geldt dat als x ∈ C, dan ook λx ∈ C voor alle λ ≥ 0. Stelling 4.1 (Stelling van het scheidende hypervlak)

Zij C ∈ Rn een gesloten convexe verzameling en x /∈ C.

Dan is er een scheidend hypervlak, d.w.z. er bestaan re¨ele getallen a0, a1, . . . , an zdd. a1x1+ a2x2+ · · · + anxn> a0 en a1y1+ a2y2+ · · · + anyn< a0 voor alle y ∈ C.

Bewijs

Het idee van het bewijs is om eerst het punt van C te bepalen dat het dichtst bij x ligt, zeg z, en dat dan het hypervlak dat loodrecht op x − z staat en door het midden van het lijnsegment [x, z] gaat, voldoet.

De uitwerking van dit idee is als volgt formeel op te schrijven. De continue functie

f (y) = kx − yk2

neemt op een compacte verz. een minimum aan. Kies een y ∈ C en laat B = {y | ky − xk2≤ f (y)}.

Dan is C ∩ B een compacte verz. waarop f (y) zijn minimum aanneemt, zeg in het punt z (z is dan het punt van C dat het dichtst bij x ligt). Omdat C convex is, ligt voor iedere y ∈ C en iedere 0 ≤ λ ≤ 1 ook λy + (1 − λ)z ∈ C, zodat geldt:

kx − zk2 ≤ kx − {λy + (1 − λ)z}k2 = k(x − z) − λ(y − z)k2, waaruit volgt dat

−2λ(x − z, y − z) + λ2(y − z, y − z) ≥ 0 voor alle y ∈ C en alle λ ∈ [0, 1].

Dus is (x − z, y − z) ≤ 0 voor alle y ∈ C. Laat a = x − z, dan geldt: a 6= 0 en (a, y) ≤ (a, z). Neem a0 = 1 2 ½ (x, a) + (z, a) ¾ = 1 2 ½ (a, a) + 2(z, a) ¾ . Omdat (a, a) > 0 geldt

(x, a) = (a, a) + (z, a) > 1

2(a, a) + (z, a) = a0> (z, a) ≥ (y, a) voor alle y ∈ C. Stelling 4.2

Laat T = {y ∈ Rn | (x, y) ≤ 0 voor alle x ∈ S} met S een niet-lege verz. in Rn. Dan is T een gesloten convexe kegel.

Bewijs

Indien y, z ∈ T , dan geldt: (x, y) ≤ 0 en (x, z) ≤ 0 voor alle x ∈ S. Dus ook (x, λy + (1 − λ)z) = λ(x, y) + (1 − λ)(x, z) ≤ 0 voor alle λ ∈ [0, 1].

Tevens geldt (x, λy) = λ(x, y) ≤ 0 voor alle λ ≥ 0. Dus T is een convexe kegel. Indien yk T, k = 1, 2, . . . en limk→∞yk = y, dan geldt

(x, y) = n X i=1 xi( lim k→∞yik) = lim k→∞ n X i=1 xiyik≤ 0, dus T is ook gesloten.

Voor een kegel C ⊆ Rn defini¨eren we de duale kegel C door

C= {y ∈ Rn | (x, y) ≤ 0 voor alle x ∈ C}. Uit Stelling 4.2 volgt dat C een gesloten convexe kegel is.

Stelling 4.3

Indien C een gesloten convexe kegel is, dan geldt dat de duale van de duale kegel gelijk is aan C, d.w.z. (C) = C.

Bewijs

Volgens de definitie van duale kegel geldt C = {y | (x, y) ≤ 0 voor alle x ∈ C}. Uit de symmetrie van het inwendig product geldt voor x ∈ C dat (y, x) ≤ 0 voor alle y ∈ C.

Omdat (C) = {z | (y, z) ≤ 0 voor alle y ∈ C}, zien we dat x ∈ C impliceert dat x ∈ (C) en dus geldt: C ⊆ (C).

Via een tegenspraak zullen we nu aantonen dat (C) ⊆ C. Laten we veronderstellen dat z ∈ (C) en z /∈ C. Volgens de Stelling van het scheidende hypervlak zijn er re¨ele getallen a0, a1, . . . , an zdd.

a1z1+ a2z2+ · · · + anzn> a0 en a1x1+ a2x2+ · · · + anxn< a0 voor alle x ∈ C. (4.7) Omdat de nulvector tot C behoort, geldt dat a0 > 0. Stel dat er een x ∈ C bestaat zdd. (a, x) > 0. Dan geldt voor λ groot genoeg dat (a, λx) > a0, wat in tegenspraak is met (4.7). Dus (a, x) ≤ 0 voor alle x ∈ C, zodat geldt a ∈ C. Volgens de definitie van (C) volgt hieruit dat (a, z) ≤ 0. Dit is echter in tegenspraak met (4.7).

In de lineaire optimalisering werken we met convexe veelvlakkenkegels. Zij A = (aij) een m × n-matrix met re¨ele elementen, dan is C = {x | Ax ≤ 0} een convexe veelvlakkenkegel. Met Ax ≤ 0 bedoelen we dat iedere component van de m-dimensionale vector Ax kleiner dan of gelijk aan nul is. De zijvlakken van C zijn de hypervlakken {x ∈ Rn | (ai•, x) = 0}, waarbij ai• de vector behorend bij de i-de rij van A is.

Stelling 4.4

De convexe kegels {x | Ax ≤ 0} en {y | y = ATu; u ≥ 0} zijn elkaars duale. Bewijs

Zij C = {y | y = ATu; u ≥ 0}. Volgens Stelling 4.3 is het voldoende om aan te tonen dat C = {x | Ax ≤ 0}. Per definitie geldt C = {x | (y, x) ≤ 0 voor alle y ∈ C}, waaruit volgt dat

C = {x | yTx ≤ 0 voor alle y = ATu met u ≥ 0} = {x | uTAx ≤ 0 voor alle u ≥ 0} = {x | Ax ≤ 0}.

Gevolg 4.1 (Stelling van Farkas, 1902)1

De vector p ∈ Rn maakt een niet-scherpe hoek met iedere vector van de convexe veelvlakkenkegel C = {x | Ax ≤ 0} d.e.s.d. als p = ATu voor zekere u ≥ 0, ofwel:

p behoort tot de duale kegel C d.e.s.d. als p = ATu voor zekere u ≥ 0.

De Stelling van Farkas kan ook worden geformuleerd als een keuze tussen twee alternatieven: `ofwel er is een u ≥ 0 zdd. ATu = p, `ofwel er is een x zdd. Ax ≤ 0 en pTx > 0.

Met de Stelling van Farkas kan de volgende stelling worden bewezen, waarbij voor een vector y > 0 betekent dat alle componenten van y strict positief zijn.

Stelling 4.5 (Stelling van Tucker, 1956)2

Het stelsel Ax ≥ 0, ATu = 0, u ≥ 0 heeft altijd een oplossing (x, u) met de eigenschappen: (1) Ax+ u > 0; (2) (x)TATu = 0.

Bewijs

Om eigenschap (1) aan te tonen nemen we de k-de rij van A.

Als voor alle x met Ax ≥ 0, d.w.z. (−A)x ≤ 0, geldt dat (ak•, x) ≤ 0, dan volgt uit de Stelling van Farkas dat ak• = −ATu voor zekere u ≥ 0, d.w.z. ATu + ak• = 0. Er is dus een uk ≥ 0, namelijk de uk= u + ek, waarvoor geldt Auk= 0 en uk

k> 0. Neem xk= 0, dan geldt: {Axk+ uk}k = ukk> 0 en Auk= 0; uk≥ 0.

Als niet voor alle x met Ax ≥ 0 geldt dat (ak•, x) ≤ 0, dan is er een xk met Axk≥ 0 waarvoor geldt (ak•, xk) > 0. Neem uk= 0, dan geldt

{Axk+ uk}k= (ak•, xk) > 0 en Auk= 0; uk≥ 0.

Laat nu x =Pmk=1 xk en u =Pmk=1 uk, dan is Ax+ u > 0 en Au = 0; u≥ 0. Omdat ATu = 0 is ook (x)TATu= 0.

Toepassing 4.6 Prijzen van financi¨ele producten

Beschouw een financi¨ele markt gedurende ´e´en periode waarin n producten worden verhandeld. Afhankelijk van de economische ontwikkelingen zijn er aan het einde van de periode m mogelijke situaties. Als we ´e´en eenheid van product j nemen en de toekomstige situatie blijkt i te zijn, dan ontvangen we een gegeven bedrag rij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n). Laat de matrix R = (rij) deze uitbetalingsmatrix zijn.

Veronderstel dat we xj eenheden van product j nemen, j = 1, 2, . . . n. Een portefeuille is een vector x = (x1, x2, . . . , xn), waarbij xj zowel positief, nul of negatief mag zijn. Een positieve xj

1J. Farkas, Theorie der einfachen Ungleichungen, Journal f¨ur reine und angewandte Mathematik 124 (1902) 1 – 27.

betekent dat we xj eenheden van product j kopen; een negatieve xj betekent dat we xj eenheden van product j verkopen (short gaan in financi¨ele termen). Als aan het einde van de periode de toestand i blijkt te zijn, dan ontvangen we rijxj als xj positief is en betalen we −rijxj als xj negatief is. De waarde wi van toestand i voor portefeuille x voldoet dus aan:

wi =Pnj=1 rijxj, 1 ≤ i ≤ m, of in vectornotatie w = Rx.

Zij cj de kostprijs van product j aan het begin van de periode. Dan kost portefeuille x het bedrag

n

X

j=1

cjxj = cTx.

Het probleem bij het prijzen van financi¨ele producten is om cj ’eerlijk’ te bepalen voor alle j. Dit begrip ’eerlijk’ betekent in de financi¨ele wereld dat er geen arbitrage plaatsvindt, d.w.z. dat de prijzen z´o moeten worden vastgesteld dat geen enkele portefeuille een gegarandeerde niet-negatieve opbrengst kan halen uit een niet-negatieve investering.

Wiskundig betekent dat moet gelden:

voor iedere x met Rx ≥ 0, is cTx ≥ 0.

Volgens de Stelling van Farkas (neem in Gevolg 4.1 A = −R en p = −c) geldt: er is een u ≥ 0 zdd. (−R)Tu = −c, d.w.z. c = RTu.

Dit betekent dus dat in het geval er geen arbitrage is, er toestandsprijzen ui≥ 0 zijn die gebruikt kunnen worden om de prijs cj te bepalen, namelijk

cj =

m

X

i=1

rijui, 1 ≤ j ≤ n.

De toestandsprijs ui heeft de volgende interpretatie. Beschouw een elementair product dat 1 euro uitbetaalt als de toestand aan het einde van de periode i is en anders niets uitbetaalt, en laat ui de prijs van dit product zijn. Uit

cj =

m

X

i=1

rijui

volgt dat de prijs van product j de som is van de prijzen van de elementaire producten waaruit het is samengesteld.

Vraag 4.5

Zij A de volgende 2 × 2-matrix A = Ã

1 −1

1 0

! .

Bepaal de kegels C = {x | Ax ≤ 0} en C = {y | y = ATu; u ≥ 0} en teken deze in de R2. Vraag 4.6

Bewijs de versie van de Stelling van Farkas als keuze tussen twee alternatieven: `ofwel er is een u ≥ 0 zdd. ATu = p, `ofwel er is een x zdd. Ax ≤ 0 en pTx > 0.