3.5 Burnside’s Lemma en de theorie van Polya
3.5.3 Het tellen van niet-isomorfe grafen
In paragraaf 3.4 telden we grafen waarvan de knooppunten genummerd waren. Dat betekende dat isomorfe grafen als verschillende grafen geteld werden. In deze paragraaf zullen we alleen niet-isomorfe grafen als verschillend tellen. Een normale graaf met n knooppunten kan gezien worden als een functie van D = {alle tweetallen van verschillende knooppunten} naar R = {0, 1}. Aan een tweetal wordt het getal 0 resp. 1 toegevoegd als ze niet resp. wel door een tak verbonden zijn. Twee grafen zijn isomorf indien de bijbehorende functies equivalent zijn onder een zekere permutatie van de elementen van D. Om de Stelling van Polya te kunnen toepassen moeten we de cykelindex van de permutatiegroep op D bepalen.
Indien de n knooppunten van een graaf G worden gepermuteerd, dan induceert dat een permutatie van de tweetallen knooppunten, de elementen van D.
Bijvoorveeld, zij V = {v1, v2, v3, v4}. De permutatie π = ¡v1 v2 v3 v4
v4 v2 v1 v3 ¢
van de elementen van V induceert de permutatie π = Ã (v1, v2) (v1, v3) (v1, v4) (v2, v3) (v2, v4) (v3, v4) (v4, v2) (v4, v1) (v4, v3) (v2, v1) (v2, v3) (v1, v3) ! .
De permutaties van V = {v1, v2, . . . , vn} vormen de symmetrische groep Sn met n! elementen. De door deze permutaties ge¨ınduceerde permutaties op de 12n(n − 1) tweetallen in D vormen ook een groep met n! elementen. Deze groep wordt de tweetallengroep Rn genoemd. In de literatuur is de cykelindex van de groep Rn voor willekeurige n te vinden. Het zou ons te ver voeren deze formules af te leiden. Indien n niet te groot is, dan kan de cykelindex door aftelling bepaald worden.
De cykelindex van R4 gelijk is aan 241(x61+ 9x21x22+ 8x23+ 6x2x4) (zie Vraag 3.47).
We voegen aan de elementen van R gewichten toe. Aan het element 0 voegen we toe het gewicht 1, aan het element 1 het gewicht x. De figurentelreeks wordt dan 1 + x. Volgens de Stelling van Polya wordt de patronentelreeks:
1 24
©
(1 + x)6+ 9(1 + x)2(1 + x2)2+ 8(1 + x3)2+ 6(1 + x2)(1 + x4)ª= 1+x+2x2+3x3+2x4+x5+x6. De co¨effici¨enten van xm geven het aantal niet-equivalente functies met gewicht xm. In grafentaal is dit het aantal niet-isomorfe normale grafen met 4 knooppunten en m takken. In totaal zijn er dus 11 niet-isomorfe normale grafen met 4 knooppunten.
We kunnen ook niet-isomorfe grafen tellen die evenwijdige takken mogen bezitten. Als we maxiaal k evenwijdige takken toestaan, dan wordt de figurentelreeks 1 + x + · · · + xk. M.b.v. de Stelling van Polya is de patronentelreeks te bepalen. Indien we ook lussen toestaan, dan verandert de cykelindex. Immers D wordt nu een verzameling van 12n(n + 1) elementen, ook de n tweetallen met gelijke knooppunten moeten we nu in D opnemen.
Vraag 3.47
Ga na dat de cykelindex van R4 gelijk is aan 241(x6 1+ 9x2
1x2 2+ 8x2
3+ 6x2x4).
Vraag 3.48
Hoeveel verschillende grafen zijn er met 4 knooppunten als tussen ieder tweetal knooppunten hoogstens twee takken zijn toegestaan?
3.5.4 Opgaven
Opgave 3.35
Beschouw nevenstaande volledige graaf K4.
Op hoeveel verschillende manieren kunnen de knooppunten van deze graaf met twee kleuren worden gekleurd wanneer de figuur vrij kan bewegen in:
a. twee dimensies; b. drie dimensies.
Los deze opgave op met het Lemma van Burnside. s s
s s ©©©© ©© HH HH HH J J J J J J J J J J Opgave 3.36
Beschouw nevenstaande figuur met 15 bollen.
Op hoeveel verschillende manieren kunnen de bollen met 3 kleuren worden gekleurd als de figuur (in twee dimensies) mag worden gedraaid.
Los deze opgave op met het Lemma van Burnside.
µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³
Opgave 3.37
Beschouw rijtjes van de lengte n bestaande uit blauwe en rode knikkers. Twee rijtjes heten equivalent als de door spiegeling (d.w.z. door van achter naar voren te lopen) uit elkaar ontstaan. Bepaal het aantal verschillende rijtjes. Los deze opgave op met het Lemma van Burnside.
Opgave 3.38
Veronderstel dat men een getal van 5 cijfers (getallen kleiner dan 10.000 worden aan de voorzijde aangevuld met nullen) op een klein stukje papier wil schrijven. Als het papier onderste boven wordt gehouden worden de getallen 0, 1, 6, 8, 9 gelezen als 0, 1, 9, 8, 6 respectievelijk. Getallen die aldus op twee manieren te lezen zijn (bijv. 89166 en 99168) identificeren we.
a. Welke permutatiegroep is in het spel? b. Hoeveel verschillende getallen zijn er?
Los deze opgave op met het Lemma van Burnside.
Opgave 3.39
Beschouw een regelmatige n-hoek, met n ≥ 3 een priemgetal, die gedraaid en omgeklapt mag worden.
a. Geef aan wat de bijbehorende permutatiegroep is.
b. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de hoekpunten met twee kleuren worden gekleurd? Los deze opgave op met het Lemma van Burnside.
Opgave 3.40
Beschouw het aantal manieren waarop 2 studen-ten en vier stafleden aan de hiernaast getekende tafel kunnen zitten. Van de studenten onderling en van de stafleden onderling nemen we aan dat er geen verschillen zijn en ook noemen we twee opstellingen equivalent als ze in elkaar overgaan via spiegelingen om de in de figuur aangegeven assen a en b. Hoeveel verschillende opstellingen zijn er aan deze tafel?
Los deze opgave op met het Lemma van Burn-side.
b a
Opgave 3.41
Beschouw de hiernaast getekende boom, waarvan ieder knooppunt wit of zwart gekleurd kan worden. Twee kleu-ringen heten equivalent als de een in de ander over te voeren is door verwisseling van de linker en rechter deelbomen. Geef aan wat de bijbehorende permutatiegroep is en bepaal het aantal verschillende kleuringen.
Los deze opgave op met het Lemma van Burnside.
s s s s s s s ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ @ @ @ @ @ @ ¡¡ ¡¡@@ @ @ 1 2 3 4 5 6 7 Opgave 3.42
Beschouw een halssnoer met 4 kralen die rood en blauw kunnen zijn.
a. Welke permutatiegroep is in het spel als twee halssnoeren equivalent heten als ze door draaien of omkeren in elkaar kunnen worden omgezet?
b. Wat is de cykelindex van deze groep? c. Bepaal het aantal verschillende halssnoeren.
d. Bepaal het aantal verschillende halssnoeren met 2 rode en 2 blauwe kralen. Los deze opgave op met het Lemma van Burnside.
Opgave 3.43
Los Opgave 3.35 deel b op met de theorie van Polya.
Opgave 3.44
Los Opgave 3.41 op met de theorie van Polya.
Opgave 3.45
Beschouw kleuringen van de hoekpunten van een regelmatige zeshoek met twee kleuren. Twee kleuringen zijn equivalent als ze door draaiing van de zeshoek in elkaar overgaan.
a. Welke permutatiegroep is in het spel? b. Bepaal het aantal verschillende kleuringen.
c. Bepaal het aantal verschillende kleuringen waarin beide kleuren driemaal voorkomen.
Opgave 3.46
a. Beschouw een regelmatige vijfhoek die gedraaid en omgeklapt mag worden, waarbij de hoekpunten met rood, wit en blauw worden gekleurd.
Op hoeveel verschillende manieren kunnen de hoekpunten met 2 rode, 1 witte en 2 blauwe kleuren worden gekleurd? Hoeveel verschillende kleuringen zijn er met 3 rode hoekpunten? b. Beschouw een regelmatige n-hoek die gedraaid en omgeklapt mag worden, waarbij n een
priemgetal is. Op hoeveel verschillende manieren kunnen de hoekpunten met twee kleuren worden gekleurd. Los dit op met de methode van Polya.
Opgave 3.47
Beschouw een kubus waarvan de zijvlakken gekleurd worden. Zij G de permutatiegroep van alle rotaties.
a. Wat is de cykelindex van deze groep?
b. Bepaal het aantal verschillende kleuringen met twee kleuren.
c. Bepaal het aantal verschillende kleuringen met rood en blauw zdd. er 2 rode en 4 blauwe vlakken zijn.
Opgave 3.48
Een producent van ge¨ıntegreerde schakelingen bouwt chips met 16 ele-menten die, zoals hiernaast is getekend, in een 4×4 matrix zijn gerangschikt. Teneinde verschillende circuits te maken heeft hij verschillende mallen nodig voor de verbindingen der elementen. Neem aan dat slechts horizontale en vertikale verbindingen mogelijk zijn tussen buurelementen.
13 14 15 16 9 10 11 12
5 6 7 8
1 2 3 4
Om verbindingen op een chip aan te brengen is een foto-masker nodig van het verbindingspatroon. Hetzelfde foto-masker is bruikbaar voor patronen die in elkaar over gaan door draaiing over 90, 180 of 270 graden, of door om te draaien (en daar ook eventueel te draaien). Hoeveel maskers zijn nodig om alle mogelijke patronen te realiseren?
Opgave 3.49
De hoekpunten van een vierkant worden met drie kleuren gekleurd. Twee kleuringen heten equivalent als ze in elkaar overgaan door het vierkant in twee dimensies te draaien en/of de kleuren te permuteren. Bepaal het aantal equivalentieklassen van de kleuringen.
Opgave 3.50
Laat D de verz. zijn van de 2n binaire getallen bestaande uit n bits. Aan ieder element i1i2. . . in van D voegen we een permutatie πi1i2...in op D toe, gedefinieerd door:
πi1i2...in(j1j2. . . jn) = k1k2. . . kn met km= (
jm als im = 0 1 − jm als im = 1 a. Toon aan dat deze permutaties een groep vormen.
b. Toon aan dat de cykelindex gelijk is aan 21n
n
x21n+ (2n− 1)x22n−1 o
is.
c. Zij R = {0, 1}. Bepaal het aantal verschillende (m.b.t. de permutatiegroep) functies van D naar R.
Opgave 3.51
Laat G = {πi, 1 ≤ i ≤ n} een permutatiegroep van een verz. S zijn.
a. Toon met Burnside aan dat het aantal equivalentieklassen, waarin S wordt verdeeld door de equivalentierelatie die ge¨ınduceerd wordt door G, gelijk is aan 1
n
P
d|n ψ(πd)φ(n d), waarbij φ de Eulerfunctie is.
Opgave 3.52
Onderzoek de niet-isomorfe normale gerichte grafen met 3 knooppunten als volgt:
a. Beschouw de symmetrische groep S3 en bepaal de door S3 ge¨ınduceerde permutatiegroep van de geordende tweetallen uit 1,2,3.
b. Bepaal de cykelindex van deze groep.
c. Hoeveel niet-isomorfe normale gerichte grafen met 3 knooppunten zijn er? d. Bepaal de patronentelreeks.