In deze paragraaf worden de hierboven beschreven principes toegepast op een klassiek tak21 product. De portefeuille wordt vereenvoudigd tot vijf modelpoints, waarvoor de reserves berekend worden op de evaluatiedatum. De input gegevens van de modelpoints zijn: De leeftijd bij aanvang van het contract, de looptijd van het contract, het kapitaal bij leven, het kapitaal bij overlijden, de technische interestvoet, de gebruikte sterftetafel en de bereikte leeftijd op de evaluatiedatum. Het kapitaal overlijden wordt steeds verondersteld 130% van het kapitaal leven te zijn, omdat dit in de praktijk vaak het geval is voor fiscale redenen. De gebruikte gegevens voor de vijf modelpoints worden gegeven in onderstaande tabel. Ten slotte wordt er ook vanuit gegaan dat de NAV op de evaluatiedatum gelijk is aan nul.
Tabel 2 Input gegevens voor de vijf modelpoints
In een eerste stap worden op basis van de hierboven genoemde input gegevens per modelpoint de jaarlijkse premie en de opgebouwde reserve op het moment van de evaluatiedatum berekend. Beide waarden worden berekend aan de hand van formules die gedefinieerd zijn in VBA26. De premie wordt berekend op basis van een actuariële formule voor gemengde tak21 levensverzekeringen (Everaert, 2014):
= ̅ ̅ + . Waarbij: ̅ ̅ ∑
26 De codes van alle gebruikte functies zijn terug te vinden in Appendix 1
M1 M2 M3 M4 M5 Leeftijd begin 30 25 45 55 22 Looptijd 15 10 20 10 18 Kapitaal leven 250.000 300.000 250.000 150.000 400.000 Kapitaal overlijden 325.000 390.000 325.000 195.000 520.000 Interestvoet 2,50% 1,70% 1,80% 2,00% 0,50% Sterftetafel XR XR XR XR XR Bereikte leeftijd 38 27 50 59 23
= Aantal perioden
= Het aantal overlijdens op leeftijd x+t = Het aantal overlevenden op leeftijd x = De verdisconteringsfactor
= Kapitaal leven / Kapitaal overlijden x 10
De reserve wordt berekend op basis van de recurrentiemethode (Everaert, 2014):
( )
Waarbij :
= De reserve op tijdstip t voor een contract onderschreven op leeftijd x = De jaarlijkse premie
= De interestvoet
= Het kapitaal bij overlijden
= De sterftekans op leeftijd x+t
= De overlevingskans van een jaar op leeftijd x+t
De premies en reserves voor de vijf modelpoints zoals berekend met bovenstaande formules worden gegeven in onderstaande tabel.
Tabel 3 De premies en reserves op evaluatiedatum voor de vijf modelpoints
In een volgende stap wordt de PVFP bepaald van de portefeuille. Hierbij is het vooreerst belangrijk dat een goede projectie wordt gemaakt van de reserves en de premies. Dit gebeurt in het model ook via VBA macro’s. De reserves worden telkens aan het begin van iedere periode berekend. Ze nemen enerzijds toe ten gevolge van gestorte premies, kapitalisatie met de technische interestvoet en de survivorship benefit. De reserves nemen anderzijds af door uitbetalingen door afkoop, overlijden of het bereiken van het einde van het contract. Betreffende de afkoop wordt verondersteld dat een vooraf bepaald percentage, dat afhangt van de verstreken periode van het contract, wordt toegepast op het
M1 M2 M3 M4 M5
Premie 13.811 27.480 11.087 14.138 21.424
uitstaande kapitaal leven in het begin van de periode. Er wordt verondersteld dat het afkooppercentage 1% is indien de verstreken tijd kleiner dan acht jaar is. In het andere geval wordt aangenomen dat het afkooppercentage 4% is. Dit onderscheid wordt gemaakt omdat afkoop binnen acht jaar in fiscale nadelen voor de klant resulteert. Bijgevolg nemen reserves, kapitaal bij leven, kapitaal bij overlijden en premies naast overlijdens ook af door de afkooppercentages toegepast op de waarden in het begin van elke periode. De reserve- en premieprojecties voor de eerste acht jaren worden gegeven in onderstaande tabel.
Tabel 4 De projectie van de premies en reserves voor de vijf modelpoints
In een volgende stap wordt een projectie gemaakt van de toeslag voor de kosten. Deze worden voor de eenvoud verondersteld een vast percentage (0,1%) te zijn van de uitstaande reserves in het begin van de periode. De kosten voor de maatschappij worden in het model berekend als 0,05% van de uitstaande reserves. Het berekenen van het financieel rendement wordt bepaald op een gelijkaardige manier. Er wordt verondersteld dat het investeringsrendement gelijk is aan 2% van de uitstaande reserves op het begin van de periode.
Vervolgens wordt per modelpoint een projectie gemaakt van de winstdeelnames uitgekeerd aan de polishouders. Deze worden berekend aan de hand van volgende formule:
Winstdeelname = Max ((Financieel rendement – 1% - technische interestvoet) * Reserve; 0) Aangezien het financieel rendement wordt verondersteld 2% te zijn, mag de technische interestvoet niet hoger zijn dan 1% om van winstdeelname te kunnen spreken. Dit is enkel het geval voor het vijfde modelpoint, waardoor de winstdeelnameprojecties nul geven voor alle andere modelpoints.
1 2 3 4 5 6 7 8 Reserves M1 121.619 132.899 143.433 153.253 162.391 170.876 178.738 0 Reserves M2 55.910 83.695 111.367 138.928 166.379 193.719 220.950 240.554 Reserves M3 55.160 65.858 76.430 86.867 94.216 100.897 106.937 112.364 Reserves M4 56.142 69.754 83.171 96.380 109.364 118.406 0 0 Reserves M5 21.237 42.134 62.695 82.921 102.818 122.386 141.629 160.549 Premies M1 13.811 13.243 12.698 12.174 11.671 11.187 10.722 0 Premies M2 27.480 27.187 26.896 26.607 26.321 26.037 25.755 24.704 Premies M3 11.087 10.946 10.803 10.660 10.197 9.750 9.320 8.904 Premies M4 14.138 13.909 13.676 13.438 13.193 12.551 0 0 Premies M5 21.424 21.197 20.972 20.749 20.528 20.309 20.091 19.876
Vervolgens worden de uitkeringen bepaald ten gevolge van afkoop, maturiteit en sterfte. De projecties worden opnieuw gemaakt voor ieder afzonderlijke modelpoint. De uitkeringen voor afkoop worden berekend door de afkooppercentages, zoals hierboven besproken, toe te passen op de uitstaande reserves in het begin van de periode. De uitkeringen ten gevolge van maturiteit zijn de nog uitstaande reserves op het einde van de looptijd, dat uitgekeerd worden aan de nog levende polishouders. De uitkeringen bij overlijden worden ten slotte bepaald door de kans op sterfte die gepaard gaat met de bereikte leeftijd van de polishouders toe te passen op het uitstaande kapitaal bij overlijden in het begin van de periode. De uitkeringen voor afkoop, maturiteit en sterfte, per modelpoint en projecties voor de eerste acht jaar, worden gegeven in onderstaande tabel.
Tabel 5 Uitkeringen voor afkoop, maturiteit en overlijden voor de vijf modelpoints
In een volgende stap wordt een projectie per jaar gemaakt van het totale resultaat:
Resultaat = Totale premies + Fin. Rendement – Winstdeelname – Uitkeringen – Reservewijziging + Resultaat op kosten
De geprojecteerde resultaten worden vervolgend verdisconteerd met een interestvoet van 2%. De som van de verdisconteerde waarden leidt tot de PVFP. Onderstaande tabel geeft een samenvatting van de individuele componenten, geprojecteerde en verdisconteerde resultaten. De projecties zijn opnieuw beperkt tot de eerste acht jaren.
1 2 3 4 5 6 7 8 Uitkering afkoop M1 4.865 5.316 5.737 6.130 6.496 6.835 7.150 0 Uitkering afkoop M2 559 837 1.114 1.389 1.664 1.937 8.838 9.622 Uitkering afkoop M3 552 659 764 3.475 3.769 4.036 4.277 4.495 Uitkering afkoop M4 561 698 832 964 4.375 4.736 0 0 Uitkering afkoop M5 212 421 627 829 1.028 1.224 1.416 6.422
Uitkering einde contr M1 0 0 0 0 0 0 186.004 0
Uitkering einde contr M2 0 0 0 0 0 0 0 258.664
Uitkering einde contr M3 0 0 0 0 0 0 0 0
Uitkering einde contr M4 0 0 0 0 0 126.557 0 0
Uitkering einde contr M5 0 0 0 0 0 0 0 0
Uitkering overlijden M1 374 382 391 401 412 424 437 452
Uitkering overlijden M2 265 272 280 288 297 308 319 322
Uitkering overlijden M3 908 976 1.050 1.130 1.181 1.235 1.292 1.352
Uitkering overlijden M4 1.215 1.312 1.417 1.530 1.652 1.728 1.808 0
Tabel 6 Resultaat van PVFP voor de vijf modelpoints
Zoals de tabel aangeeft is de totale PVFP voor de portefeuille 31.864 €.
Om de frictionele kosten te bepalen moet vooreerst een projectie gemaakt worden van de kapitaalkosten in de toekomstige jaren. Deze worden in het model berekend op basis van de Solvency I regels (Everaert, 2014):
- Prestaties Leven (Tak21): 4% van de wiskundige reserve
- Prestaties Overlijden met duurtijd groter dan 5 jaar: 0,3% van het risicokapitaal27 Op de geprojecteerde risicokapitalen wordt vervolgens een veronderstelde gemiddelde taks op investeringen van 5% toegepast. De som van de verdisconteerde waarden geeft dan de frictionele kosten. Onderstaande tabel geeft hiervan een overzicht, waarbij projecties worden weergegeven van de eerste acht jaren.
Tabel 7 Frictionele kosten voor de vijf modelpoints
Voor de kost van non-hedgeable risico’s wordt voor de eenvoud verondersteld dat 30% van het totale risicokapitaal, zoals hierboven beschreven, toe te wijten is aan risico’s die niet hedgeable zijn. Op deze wijze kunnen de risicokapitalen gemakkelijk geprojecteerd worden.
27 Risicokapitaal = Kapitaal overlijden – Wiskundige reserve
1 2 3 4 5 6 7 8 Totale premies 87.940 86.482 85.045 83.628 81.910 79.834 65.889 53.484 Fin. Rendement 6.201 7.887 9.542 11.167 12.703 14.126 12.965 10.269 Winstdeelname 106 211 313 415 514 612 708 803 Uitkeringen 9.825 11.191 12.536 16.468 21.212 149.368 211.899 281.697 Reserve wijziging 84.272 82.756 81.253 76.818 71.117 -58.030 -134.787 -222.544 Resultaat op kosten 155 197 239 279 318 353 324 257 Resultaat 92 408 723 1.374 2.087 2.363 1.358 4.054 Verdiconteerd Res. 91 392 681 1.269 1.890 2.098 1.182 3.460 PVFP 31.864 1 2 3 4 5 6 7 8 Risicokapitaal 16.738 19.765 22.737 25.656 28.383 30.886 28.615 23.006 Frictionele kosten 837 988 1.137 1.283 1.419 1.544 1.431 1.150
Verdisc. frict. kosten 820 950 1.071 1.185 1.285 1.371 1.246 982
Hierop wordt telkens een kapitaalkost percentage van 6% toegepast. De som van de verdisconteerde waarden geeft dan de kost voor non-hedgeable risico’s. Onderstaande tabel geeft hiervan een overzicht.
Tabel 8 Kapitaalkosten non-hedgeable risico's voor de vijf modelpoints
Ten slotte wordt de kost van de gegarandeerde intrestvoet aan de polishouders bepaald aan de hand van een stochastisch model, waarbij een gemiddelde stochastische PVFP berekend wordt op basis van 30.000 simulaties van financiële rendementen. Voor elke simulatie wordt de PVFP berekend zoals hierboven beschreven, maar op basis van een gesimuleerd financiële rendement. De rendementen worden gesimuleerd op basis van een normale verdeling met gemiddelde 2% en standaarddeviatie 0.75%. Het verschil tussen de deterministische en de gemiddelde stochastische PVFP geeft de waarde van de optie. De resultaten worden gegeven in onderstaande tabel.
Tabel 9 Waarde van de minimale garantie optie
De opmerking dient te worden gemaakt dat het voor zich spreekt dat bij de simulaties hogere financiële rendementen leiden tot hogere PVFP waarden. Onderstaande figuur geeft een overzicht van de relatie tussen de financiële rendementen en PVFP waarden voor de 30.000 gesimuleerde PVFP waarden.
1 2 3 4 5 6 7 8
Non hedg. risicokapitalen 5.021 5.929 6.821 7.697 8.515 9.266 8.585 6.902
Kap.kost non hedg ris. 301 356 409 462 511 556 515 414
Verdisc. kap. kost 295 342 386 427 463 494 448 353
PVFP 4.888
Determin. PVFP 31.864
Gemiddelde stoch. PVFP 27.532
Tabel 10 Relatie tussen financieel rendement en PVFP
Ten slotte kan op basis van de berekende componenten de totale MCEV berekend worden voor de portefeuille. Onderstaande tabel geeft een overzicht.
Tabel 11 Overzicht MCEV componenten van de toepassing
Aangezien de NAV verondersteld wordt nul te zijn, is de MCEV van de portefeuille 9.067 €. Det. PVFP 31.864 Optie 4.332 Frict.kost 13.577 Kap.kost 4.888 Totaal 9.067 Overzicht