Theorie en voorbeelden
1.5 Sinusoïden Inleiding
Je hebt leren werken met de functies u� = u�u�u�(u�) en u� = u�u�u�(u�) (met u� in radialen). Als je op deze functies transformaties toepast, krijg je andere periodes en kunnen de grafieken om een andere lijn dan de u�-as gaan slingeren met een andere uitwijking. Dat is belangrijk omdat de sinusfunctie en de cosinusfunctie dan kunnen worden gebruikt om periodieke verschijnselen meer in het algemeen te beschrijven. Functies die door transformatie ontstaan uit u� = u�u�u�(u�) noem je sinusoïden.
Je leert in dit onderwerp
> de grafieken van u� = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� en u� = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� tekenen;
> de vergelijkingen u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� = u� en u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� = u� oplossen.
Voorkennis
> de grafieken van u� = u�u�u�(u�) en u� = u�u�u�(u�) tekenen met u� in radialen; > de vergelijkingen u�u�u�(u�) = u� en u�u�u�(u�) = u� oplossen als u� een constante is. > transformaties op functies toepassen.
Verkennen
Opgave 1
Gegeven is de functie u�(u�) = 2 ⋅ u�u�u�(4u�) + 3.
a Maak met de grafische rekenmachine de grafiek van u� op [0, 2𝜋]. b Bepaal de periode van deze periodieke functie.
c Bereken de coördinaten van alle toppen van de grafiek op [0, 2𝜋]. Gegeven is de functie u�(u�) = 4 ⋅ u�u�u�(0,5(u� − 𝜋)) − 1.
d Maak met de grafische rekenmachine de grafiek van u� op [0, 4𝜋]. e Bepaal de periode van deze periodieke functie.
f Bereken de coördinaten van alle toppen van de grafiek op [0, 4𝜋].
Uitleg
Bekijk de applet. Je kunt met de applet in
> www.math4all.nl > Math4All > 4/5 HAVO B > Sinusoïden > Uitleg
de grafiek van de functie u�(u�) = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� maken. Deze grafiek ontstaat door transformatie uit die van u�(u�) = u�u�u�(u�). De grafiek van u� noem je een sinusoïde.
> u� verandert de maximale uitwijking, de amplitude is u�;
> u� zorgt voor een horizontale verschuiving over −u�;
> u� verandert de evenwichtslijn, die is u� = u�.
Je ziet hier de grafiek van de sinusoïde u�(u�) = 1,5 ⋅ u�u�u�(2(u� − 1)) + 0,5. Je ziet:
> de amplitude is 1,5;
> de evenwichtslijn is u� = 0,5;
> de periode is2𝜋2 = 𝜋;
> de horizontale verschuiving is 1.
Het bereik is daarom Bu�= [0,5 − 1,5; 0,5 + 1,5] = [−1, 2].
De toppen van u� zijn te vinden door de transformaties toe te passen op de toppen van u�.
Opgave 2
Bekijk bij de Uitleg op pagina 36de grafiek van u� (u�) = 1,5u�u�u� (2 (u� − 1)) + 0,5 op [0, 2𝜋]. a Maak zelf deze grafiek op de grafische rekenmachine.
b Leg uit welke transformaties er achtereenvolgens op de grafiek van u� = u�u�u� (u�) moeten worden toege-past om die van u� te krijgen.
c Het punt (0, 0) ligt op de grafiek van u� = u�u�u� (u�). Welk punt op de grafiek van u� ontstaat door deze transformaties uit (0, 0)?
d Welke toppen heeft de grafiek van u�?
Opgave 3
Gegeven is de functie u� met u� (u�) = 1 − 2u�u�u� (3 (u� + 2)).
a Lees uit het functievoorschrift de periode, de amplitude, de evenwichtslijn en de horizontale verschui-ving af. Schets de grafiek.
b Controleer met behulp van de applet in de Uitleg op pagina 36of je grafiek juist is. c Oefen dit een aantal keer.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES
Theorie en voorbeelden
Bekijk de applet.
De grafiek van de functie u�(u�) = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� is een sinusoïde. Dat is een functie die door transformatie ontstaat uit u�(u�) = u�u�u�(u�). Voor de grafiek van u� geldt:
> de amplitude (maximale uitwijking van de evenwichtslijn) is u�;
> de periode is 2𝜋u� dus u� =periode2𝜋 ;
> de horizontale verschuiving is −u�;
> de evenwichtslijn is de lijn u� = u�. Bekijk de applet.
De grafiek van de functie u�(u�) = u� ⋅ u�u�u�(u�(u� + u�)) + u� is een sinusoïde. Dat is een functie die door transformatie ontstaat uit u�(u�) = u�u�u�(u�). Voor de grafiek van u� geldt:
> de amplitude (maximale uitwijking van de evenwichtslijn) is u�;
> de periode is 2𝜋u� dus u� =periode2𝜋 ;
> de horizontale verschuiving is −u�;
Voorbeeld 1
Je ziet hier een deel van de grafiek van u� = 2u�u�u�(3u�). Bereken de periode en alle toppen van deze sinusoïde. De variabele u� wordt eerst vermenigvuldigd met 3. Dan is de periode2𝜋3 .
De amplitude is 2 en de grafiek is niet omhoog geschoven. Het maximum is dus 2.
De maxima van de standaard sinusgrafiek zitten bij u� =12𝜋 + u� ⋅ 2𝜋. Dus vind je de maxima van deze grafiek als 3u� =12𝜋 + u� ⋅ 2𝜋. Links en rechts door 3 delen geeft: u� =16𝜋 + u� ⋅23𝜋.
En dat klopt netjes met de berekende periode. Het minimum is −2.
Die minima vind je als 3u� = 112𝜋 + u� ⋅ 2𝜋. Dus de minima zitten bij: u� =12𝜋 + u� ⋅23𝜋.
Opgave 4
Je ziet hier een deel van de grafiek van u� = 10u�u�u� (4u�) + 5.
Bereken de periode en alle toppen van deze sinusoïde en zorg dat je de grafiek ook zo in beeld krijgt.
Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1 op pagina 39.
Voorbeeld 2
Je ziet hier een deel van de grafiek van u�(u�) = u�u�u�(2(u� − 0,5𝜋)) + 1. De functie u� is gedefinieerd op ℝ.
Bepaal de periode en de coördinaten van alle toppen. Los op: u�u�u�(2(u� − 0,5𝜋)) + 1 = 1,5.
De periode is 2𝜋2 = 𝜋.
De hoogste waarde die wordt bereikt is 1 + 1 = 2.
De maxima van de standaard sinusgrafiek zitten bij u� =12𝜋 + u� ⋅ 2𝜋. Dus vind je de maxima van deze grafiek als 2(u� −12𝜋) = 12𝜋 + u� ⋅ 2𝜋. Eerst door 2 delen: u� −12𝜋 = 14𝜋 + u� ⋅ 𝜋.
Nu12𝜋 bijtellen: u� = 34𝜋 + u� ⋅ 𝜋 Het minimum is 0.
Daarvoor geldt: 2(u� −12𝜋) = 112𝜋 + u� ⋅ 2𝜋. Nu vind je: u� =54𝜋 + u� ⋅ 𝜋.
Omdat de periode 𝜋 is mag je dit ook schrijven als u� = 14𝜋 + u� ⋅ 𝜋.
De toppen zijn: (34𝜋 + u� ⋅ 𝜋 < m : mn >< m : mo > , < m : mo > 2 < m : mn >) en (14𝜋 + u� ⋅ 𝜋 < m : mn >< m : mo > , < m : mo > 0 < m : mn >).
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES
2(u� −12𝜋) = u�u�u�u�u�u�(0.5) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ 2(u� −12𝜋) = 𝜋 − u�u�u�u�u�u�(0.5) + u� ⋅ 2𝜋. En dus:
2(u� −12𝜋) = 16𝜋 + u� ⋅ 2𝜋 ∨ 2(u� −12𝜋) = 56𝜋 + u� ⋅ 2𝜋. Delen door 2 en daarna 0,5𝜋 optellen geeft:
u� = 127𝜋 + u� ⋅ 𝜋 ∨ u� = 1112𝜋 + u� ⋅ 𝜋.
Benaderd: u� ≈ 1,833 + u� ⋅ 𝜋 ∨ u� ≈ 2,880 + u� ⋅ 𝜋.
De benaderde oplossing kun je ook vinden met behulp van de rekenmachine.
Opgave 5
Gegeven is de functie u� met u� (u�) = 3u�u�u� (𝜋 (u� − 1)) + 10.
a Bepaal de periode en de coördinaten van alle toppen. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2 op pagina 39. b Welke transformaties moet je achtereenvolgens op de grafiek van u� = u�u�u� (u�) toepassen om die van u�
te krijgen?
c Los op: u� (u�) = 11,5. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2 op pagina 39.
Voorbeeld 3
Je ziet hier een deel van de grafiek van u�(u�) = 300u�u�u�(0,4488(u�+2))−200. Neem u� vanaf 0 tot en met 28.
Bereken de periode, rond af op een geheel getal. Bereken het bereik van f. Los algebraïsch op: u�(u�) = 0. Geef je antwoord benaderd in twee decima-len.
De u� wordt vermenigvuldigd met 0,4488. De periode is daarom 0,44882𝜋 ≈ 14.
De hoogste waarde van u� is −200 + 300 = 100. De laagste waarde van u� is −200 − 300 = −500. Dus: Bu�= [−500, 100].
Je lost de vergelijking stap voor stap op. 300u�u�u�(0,4488(u� + 2)) − 200 = 0
beide zijden +200
300u�u�u�(0,4488(u� + 2)) = 200
beide zijden /300
u�u�u�(0,4488(u� + 2)) = 23
terugrekenen met u�u�u�u�u�u�
0,4488(u� + 2) = ±u�u�u�u�u�u�(23) + u� ⋅ 2𝜋
benaderen in drie decimalen
0,4488(u� + 2) = ±0,841 + u� ⋅ 2𝜋
beide zijden /0,4488
u� + 2 = ±1,874 + u� ⋅ 14
beide zijden −2
u� = −0,126 + u� ⋅ 14 ∨ u� = −3,874 + u� ⋅ 14 Omdat u� loopt vanaf 0 tot en met 28, krijg je vier oplossingen:
u� ≈ 10,13 ∨ u� ≈ 13,87 ∨ u� ≈ 24,13 ∨ u� ≈ 27,87.
Opgave 6
Gegeven is de functie u� met u� (u�) = 4u�u�u� (12(u� + 2)) + 8.
b Welke transformaties moet je achtereenvolgens op de grafiek van u� = u�u�u� (u�) toepassen om die van u� te krijgen?
c Los op (benaderingen in drie decimalen nauwkeurig): u� (u�) = 11. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3 op pagina 40.
Opgave 7
Voor de hoogte van de tip van het rotorblad van een draaiende windmolen geldt de volgende formule: ℎ (u�) = 40 + 10 ⋅ u�u�u� (43𝜋 ⋅ u�)
waarin u� de tijd in seconden en ℎ de hoogte in m is.
a Bepaal de waarden voor de periode, de amplitude, de evenwichtsstand en de horizontale verschuiving. Bij welke vensterinstellingen krijg je vanaf u� = 0 precies twee periodes in beeld?
b Bereken de tijdstippen waarop de tip precies 45 m boven de grond zit.
Verwerken
Opgave 8
De grafieken van onderstaande functies zijn sinusoïden. Geef van iedere sinusoïde de periode en de amplitude. Breng daarna de grafiek in beeld zodat je op de grafische rekenmachine twee perioden ziet. a u� = 12 ⋅ u�u�u� (u�)
b ℎ (u�) = 50u�u�u� (2𝜋u�) + 10 c u� = 120u�u�u� (𝜋5 ⋅ u�) d 𝑃 (u�) = −20u�u�u� (2u�)
Opgave 9
Los de volgende vergelijkingen op. Geef waar nodig benaderingen in drie decimalen nauwkeurig. a 5u�u�u� (12u� + 4) = 1
b 10u�u�u� (𝜋5 (u� − 2)) = 5 c 50u�u�u� (4u�) = 25√3 d 50 − 30u�u�u� (2𝜋15u�) = 45
Opgave 10
Gegeven is de functie u� met u� (u�) = 20u�u�u� (𝜋4u�) + 10 op [0, 16]. a Bepaal het bereik van u�.
b Bereken alle nulpunten van de grafiek van deze functie. c Los op: u� (u�) ≤ 0.
Opgave 11
De hoogte boven de grond van iemand die zich in een reuzenrad bevindt, kan worden beschreven door:
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES
a Breng de grafiek van ℎ (u�) met je grafische rekenmachine in beeld.
b De getallen 11 en 10 uit de formule hebben een betekenis voor het reuzenrad. Welke?
c Na één periode is het reuzenrad precies één keer rond gedraaid. Bepaal de periode in seconden. d Bereken hoe lang het bakje van een reuzenrad hoger dan 18 meter boven de grond zit.
Testen
Opgave 12
Bepaal van de volgende functies de periode, de amplitude, de evenwichtslijn en de horizontale ver-schuiving ten opzichte van u� = u�u�u� (u�).
a u� = 4u�u�u� (4𝜋u�) b u� = 6 + 2u�u�u� (u� + 8) c u� = 0,5u�u�u� (0,5𝜋u�)
Opgave 13
De grafiek in de volgende figuur geeft globaal de getijdebeweging van het zeewater voor de haven van Vlissingen weer. Er wordt geen rekening gehouden met de invloed van de wind, met springtij, en dergelijke.
a Hoe hoog is de gemiddelde waterstand volgens deze grafiek?
b Hoe groot is de maximale afwijking van de waterstand ten opzichte van het gemiddelde? c Hoe groot is de periode van de getijdebeweging?
Een benadering van de getijdenbeweging wordt gegeven door de volgende formule: u� = 8 + 190u�u�u� (12,252𝜋 ⋅ u�)
met u� in uren t.o.v. middernacht op 21 juni 2008 en u� in cm ten opzichte van het NAP.
d Vergelijk de grafiek van deze functie met de grafiek in de figuur hierboven. Vind je dat de formule een goed beeld geeft van de getijdenbeweging?
e Hoe groot is volgens de formule de periode en de amplitude? f Hoeveel uur per periode is de waterstand hoger dan 180 cm?
Inleiding
Je hebt tot nu toe berekeningen gemaakt en grafieken getekend bij gegeven sinusoïden. Het omgekeerde kan ook: bij een gegeven grafiek van een sinusoïde de formule opstellen. Met die formule kun je snel nieuwe punten van de grafiek vinden.
Verder kun je periodieke verschijnselen waarvan de grafiek golfvormig is, vaak goed benaderen met een sinusoïde. Die sinusoïde is dan een model voor het verschijnsel.
Je leert in dit onderwerp
> bij een getekende sinusoïde de formule opstellen;
> sinusoïden gebruiken als model voor een periodiek verschijnsel.
Voorkennis
> de grafiek van een sinusoïde (zowel met sin als cos) tekenen;
> de periode, de amplitude, de evenwichtslijn en de horizontale verschuiving van een sinusoïde aflezen uit de formule, dan wel uit de grafiek.
Verkennen
Opgave 1
Je ziet hier een sinusoïde.
Toppen zijn onder andere (0; 1,5), (0,25; 0,5) en (0,5; 1,5). Het domein is ℝ.
a Bepaal de periode, de amplitude en de evenwichtslijn. b Stel een passende formule op, uitgaande van de sinus. c Stel een passende formule op, uitgaande van de cosinus.
Uitleg
Bekijk de applet.
Bekijk degetijdeninformatie van Harlingen.
Je ziet dat bij hoogwater de waterstand ℎ ongeveer 80 cm boven NAP en dat bij laagwater de waterstand ongeveer 100 cm onder NAP zit. Verder liggen de opeenvolgende tijdstippen van hoogwater (net als die van laagwater) ongeveer 12 uur en 15 minuten uit elkaar. Dat betekent een periode van 12,25 uur. Op zekere dag is het hoogwater om 6:00 uur.
Hier zie je een schets van een bijpassende grafiek.
> De periode is 12,25 uur, dus u� =12,252𝜋 ≈ 0,52.
> De waterstand ligt tussen 0,8 m en −1,0 m, dus de amplitude is u� = 0,9 m.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES
De bijpassende sinusoïde wordt: ℎ(u�) ≈ 0,9u�u�u�(0,52(u� − 2,94)) − 0,1.
Opgave 2
Bekijk hoe bij de Uitleg op pagina 43een sinusoïde wordt opgesteld als model voor de waterstand bij Harlingen.
a Leg uit hoe uit de gegevens de periode, de amplitudo en de evenwichtslijn wordt gevonden. b Stel een bijpassende formule op uitgaande van u� = u�u�u� (u�).
c Laat zien dat beide formules dezelfde grafiek opleveren. Maak die grafieken op je grafische rekenma-chine.
Opgave 3
Ga uit van de functie u� = u�u�u� (u�). Schrijf het voorschrift op van de periodieke functies die ontstaan bij de volgenden wijzigingen:
a De amplitude wordt 4.
b De amplitude wordt 10 en de evenwichtsstand wordt 20. c De periode wordt 4𝜋 en de amplitude wordt 4.
d De horizontale verschuiving is 2, de periode wordt 10, de amplitude wordt 5 en de evenwichtsstand wordt 10.
Theorie en voorbeelden
Wanneer je een periodiek verschijnsel kunt be-schrijven met een sinusoïde kun je daarbij een passend functievoorschrift maken door
> de evenwichtslijn u� = u� te bepalen;
> de amplitude u� (maximale uitwijking van de evenwichtslijn) te bepalen;
> de periode u� te bepalen;
> de horizontale verschuiving (t.o.v. de stan-daardgrafiek) u� te bepalen.
Er zijn dan twee functievoorschriften mogelijk:
> u�(u�) = u�u�u�u�(u�(u� − u�2)) + u� waarin u� = 2𝜋u�
Let er wel op dat de waarden voor u�, u� en u� bij beide grafieken hetzelfde zijn, maar de waarden van u� niet. De verschuiving t.o.v. de standaardsinus is immers anders dan t.o.v. de standaardcosinus.
Voorbeeld 1
Deze sinusoïde staat bij de Theorie op pagi-na 44.
Welk functievoorschrift kun je er bij maken uit-gaande van de standaardsinus? En welk functie-voorschrift uitgaande van de standaardcosinus? De maxima van de functie zijn 300 en de minima 50. Dus:
> de amplitude is u� =300−502 = 125;
> de evenwichtslijn is u� = 300 − 125 = 175. Twee opvolgende maxima zitten bij u� = 3 en u� = 11, dus de periode is u� = 8.
Ga je nu uit van de standaardsinus, dan is de horizontale verschuiving de u�-waarde van een punt op de grafiek op de evenwichtslijn op het moment dat de grafiek daar stijgt. Hier dus u� = 1.
Het functievoorschrift wordt dan: u�(u�) = 125u�u�u�(2𝜋8 (u� − 1)) + 175.
Ga je uit van de standaardcosinus, dan is de horizontale verschuiving de u�-waarde van een punt op de grafiek waar een maximum zit. Hier dus bijvoorbeeld u� = 3.
Het functievoorschrift wordt dan: u�(u�) = 125u�u�u�(2𝜋8 (u� − 3)) + 175.
Opgave 4
Je ziet hier een sinusoïde getekend.
Maak er een functievoorschrift bij, uitgaande van u� = u�u�u� (u�). Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 1 op pagina 45.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES
Voorbeeld 2
Een sinusoïde heeft een maximum van 1 en een minimum van −5. Het domein is ℝ.
De evenwichtswaarde −2 wordt onder andere bereikt als u� = 53𝜋 en daarna als u� =113𝜋. Tussen deze beide u�-waarden ligt de grafiek boven de evenwichtslijn.
Stel een formule op voor de beschreven sinusoïde.
De formule krijgt bijvoorbeeld de vorm u� = u�u�u�u�(u�(u� − u�)) + u� of de vorm u� = u�u�u�u�(u�(u� − u�)) + u�. De twee punten op de evenwichtslijn liggen een halve periode uit elkaar.
> De periode is dus 2 ⋅ (113𝜋 −53𝜋) = 4𝜋, dus u� =2𝜋4𝜋=12.
> De evenwichtslijn is u� = −2.
> De amplitude u� is 3.
Omdat je weet waar de punten op de evenwichtslijn zitten, kun je het gemakkelijkst uitgaan van de standaardsinus. De horizontale verschuiving is dan 53𝜋, want bij die u�-waarde hoort een punt op de evenwichtslijn waarin de grafiek omhoog gaat.
De gevraagde formule is bijvoorbeeld: u� = 3u�u�u�(12(u� −53𝜋)) − 2.
Opgave 6
De grafiek van een sinusoïde u� heeft minimum 10 voor u� = 1 en eerstvolgend maximum 26 voor u� = 13. a Bereken de periode, de evenwichtslijn en de amplitude. Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 2 op
pagi-na 46.
b Geef een passende formule, gebruik naar keuze de sinus of de cosinus.
c Bereken in twee decimalen nauwkeurig: u� (12), u� (12,25), u� (12,5), u� (12,75) en u� (13). d Los op: u� (u�) > 16.
Voorbeeld 3
Als je een cilinder met een diameter van 4 cm schuin doorsnijdt en vervolgens openknipt en plat neerlegt, kun je deze figuur krijgen. De bo-venrand is een zuivere sinusoïde.
Stel voor deze rand een formule op. Neem aan dat punt 𝑃 de coördinaten (0, 0) heeft.
Je ziet hoe je dan de assen kiest. Vervolgens bepaal je:
> de evenwichtslijn u� = 2;
> de amplitude is 2;
> de periode is 4𝜋.
Het maximum zit halverwege de bovenrand bij u� = 2.
Het gemakkelijkst is nu een formule met cosi-nus, dan is de horizontale verschuiving 2𝜋. De formule wordt: u� = 2u�u�u�(0,5(u� − 2𝜋)) + 2 met domein [0; 4𝜋].
Opgave 7
Bestudeer Voorbeeld 3 op pagina 47.
a Stel voor de bovenrand een formule op uitgaande van u� = u�u�u� (u�).
b Een lijn evenwijdig aan 𝑃𝑄 snijdt de bovenrand in 𝐴 en 𝐵. Gegeven is 𝐴𝐵 = 4 cm. Bepaal de coördinaten van 𝐴 en 𝐵.
Verwerken
Opgave 8
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES
Opgave 9
Bij de vorige opgave zijn bij elke sinusoïde meerdere functievoorschriften mogelijk. a Geef er bij u�1minstens drie.
b Gebruik één van deze functievoorschriften om op te lossen: u�1= −2. Geef benaderingen in drie deci-malen nauwkeurig.
Opgave 10
De grafiek van u� is sinusvormig. De evenwichtslijn is u� = 1, de amplitude is 2, de periode is 𝜋 en de grafiek gaat stijgend door het punt (16𝜋, 1).
a Stel een formule op voor u� (u�). b Bereken met die formule u� (0). c Los op: u� (u�) ≤ 0.
Opgave 11
Een reuzenrad bevat de stoeltjes 𝐶 en 𝐷. Stoeltje 𝐶 draait op een af-stand van 4 meter van de as in de rondte, stoeltje 𝐷 op een afaf-stand van 8 meter. De as van het reuzenrad bevindt zich op 10 meter bo-ven de grond. Bekijk de getekende situatie. Het reuzenrad draait in 8 seconden één keer rond. Op u� = 0 staat stoeltje 𝐷 zo hoog mogelijk. Het reuzenrad draait tegen de wijzers van de klok in.
a Bereken bij elke stand de hoogte van de stoeltjes 𝐶 en 𝐷 ten opzich-te van de grond.
b Stel een passend functievoorschrift op voor de hoogte van stoeltje 𝐷.
c Hoe hoog staat stoeltje 𝐶 op tijdstip u� = 1413,25? d Hoe lang zit je in stoeltje 𝐶 elk rondje hoger dan 12 m?
Testen
Opgave 12
Functie u� met voorschrift u� (u�) heeft een sinusvormige grafiek met een minimum in het punt (20, 300) en een eerstvolgend maximum in het punt (32, 400).
a Maak een schets van deze grafiek met u� van 0 tot ten minste 40.
b Bereken de periode, de amplitude en de evenwichtslijn en stel een passend functievoorschrift op. c Bereken u� (50), u� (51) en u� (52).
Opgave 13
Stel bij deze sinusoïde twee passende functievoorschriften op.
Opgave 14
Onze ademhaling is bij benadering een periodiek verschijnsel. Een gezonde volwassen man ademt ongeveer 12 keer per minuut in en weer uit. De longinhoud 𝑉 (u�) kan daarbij met zo’n halve liter toe-of afnemen, waarin u� de tijd in seconden is. Het longvolume na inademen is 5,2 liter.
a Hoe groot is de ademhalingsfrequentie per minuut?
b Ga ervan uit dat 𝑉 (u�) een sinusoïde is met op u� = 0 een maximale longinhoud. Teken de grafiek van de longinhoud 𝑉 uitgezet tegen de tijd u�.