Theorie en voorbeelden
1.4 Cosinusfuncties Inleiding
Je kunt nu, als het goed is, al heel aardig rekenen met de sinus. Bij formules voor periodieke functies komt echter ook vaak de cosinus voor. De functie u� = u�u�u�(u�) (met u� in radialen) heeft een grafiek die er uitziet als een verschoven sinus. Veel berekeningen in dit onderdeel lijken op de berekeningen uit het voorgaande. Let wel goed op de verschillen, die er ook zijn. Bijvoorbeeld heeft de cosinus andere symmetrie-eigenschappen dan de sinus. Bij vergelijkingen heeft dat gevolgen voor het vinden van de volledige oplossing.
Je leert in dit onderwerp
> de grafiek van u� = u�u�u�(u�) tekenen met u� in radialen;
> de vergelijking u�u�u�(u�) = u� oplossen als u� een constante is.
Voorkennis
> de grafiek van u� = u�u�u�(u�) tekenen met u� in radialen; > de vergelijking u�u�u�(u�) = u� oplossen als u� een constante is.
Verkennen
Opgave 1
Gebruik deze grafiek van u�(u�) = u�u�u�(u�) en de symmetrie ervan.
a Los op: u�u�u�(u�) = 0,8 met u� in [0, 4𝜋]. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig.
b Los op: u�u�u�(u�) = 0,8 voor elke mogelijke waarde van u�. Geef je antwoord in drie decimalen nauwkeurig. c Los op: u�u�u�(u�) = 0,5 met u� in [0, 4𝜋]. Geef je antwoord exact.
d Los op: u�u�u�(u�) = 0,5 voor elke mogelijke waarde van u�. Geef je antwoord exact.
Uitleg
Bekijk de applet.
Je ziet hier weer een punt 𝑃 dat ronddraait over de eenheidscirkel. Nu begint het punt zijn draaiing op de verticale as recht boven het middelpunt. Alle draaihoeken in radialen worden gemeten vanaf de straal naar dat punt.
De hoogte ℎ van punt 𝑃 boven het middelpunt bereken je met behulp van de cosinus: u�u�u�(𝛼) =𝑃𝑄1 =ℎ1 = ℎ.
De grafiek die ontstaat door 𝑃 te bewegen is dus die van ℎ = u�u�u�(u�) met u� in radialen.
Je ziet dat deze standaard cosinusgrafiek sprekend lijkt op de standaard sinusgrafiek, de periode is ook 2𝜋. Hij is alleen 12𝜋 naar links verschoven ten opzichte van de standaardsinus.
Dit betekent dat u�u�u�(u�) = u�u�u�(u� +12𝜋). Bekijk de applet.
Hier kun je zien hoeveel oplossingen de vergelijking u�u�u�(u�) = u� heeft als u� een constante is. Je gebruikt daarbij de symmetrie en de periode van de grafiek van u� = u�u�u�(u�).
Als je bijvoorbeeld u�u�u�(u�) = 0,8 wilt oplossen, bepaal je eerst de oplossing die zo dicht mogelijk bij de verticale as zit: u� ≈ 0,64.
Dit getal kun je vinden met je grafische rekenmachine.
Het heet in de wiskunde de arcuscosinus van 0,8: u� = u�u�u�u�u�u�(0.8) ≈ 0,64. Binnen één periode is (vaak) nog een oplossing.
Vanwege de symmetrie van de grafiek is die tweede oplossing u� = −u�u�u�u�u�u�(0,8).
Vanwege de periode van 2𝜋 zijn alle oplossingen van deze vergelijking: u� = u�u�u�u�u�u�(0,8) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −u�u�u�u�u�u�(0,8) + u� ⋅ 2𝜋 met u� een geheel getal.
Door u� te veranderen kun je de oplossingen zien van andere vergelijkingen zoals bijvoorbeeld u�u�u�(u�) = 0,2 en u�u�u�(u�) = −0,2 enzovoorts...
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES
Je ziet bovendien:
> u�u�u�(u�) = 1 heeft als oplossingen: u� = 0 + u� ⋅ 2𝜋 = u� ⋅ 2𝜋.
> u�u�u�(u�) = −1 heeft als oplossingen: u� = 𝜋 + u� ⋅ 2𝜋.
> u�u�u�(u�) = 0 heeft als oplossingen: u� =12𝜋 + u� ⋅ 𝜋.
> Als u� groter dan 1 of kleiner dan −1 is zijn er geen oplossingen.
Opgave 2
Bekijk de Uitleg op pagina 28. Los nu zelf op: a u�u�u� (u�) = 0,2
b u�u�u� (u�) = −0,2
Opgave 3
Laat ook in de eenheidscirkel zien, dat u�u�u� (u�) = u�u�u� (u� +12𝜋).
Theorie en voorbeelden
Bekijk de applet.
Je ziet hier de grafiek van u�(u�) = u�u�u�(u�) met u� in radialen.
Verder zijn de oplossingen van u�u�u�(u�) = u� aangegeven (u� is een constante). De oplossing van u�u�u�(u�) = u� binnen [−12𝜋,12𝜋] is arcuscosinusc: u� = u�u�u�u�u�u�(u�). Binnen één periode is (vaak) nog een oplossing.
Vanwege de symmetrie van de grafiek is die tweede oplossing u� = −u�u�u�u�u�u�(u�). Vanwege de periode van 2𝜋 zijn alle oplossingen van u�u�u�(u�) = u�:
u� = u�u�u�u�u�u�(u�) + u� ⋅ 2𝜋 ∨ u� = −u�u�u�u�u�u�(u�) + u� ⋅ 2𝜋 met u� een geheel getal. De vergelijking u�u�u�(u�) = u� heeft alleen oplossingen als −1 ≤ u� ≤ 1.
Verder lijkt de grafiek van de cosinusfunctie sterk op die van de sinusfunctie. Er bestaan dan ook diverse verbanden tussen beide.
De grafiek van u�(u�) = u�u�u�(u�) met u� in radialen, de standaard cosinusgrafiek lijkt sprekend op de standaard sinusgrafiek en de periode is ook 2𝜋. Hij is alleen 12π naar links verscho-ven ten opzichte van de standaardsinus.
Dit betekent dat u�u�u�(u�) = u�u�u�(u� +12𝜋).
Verder kun je de sinus en de cosinus van dezelfde hoek in één eenheidscirkel tekenen. Je ziet dan dat voor de coördinaten van punt 𝑃 geldt: u�𝑃= u�u�u�(𝛼) en u�𝑃= u�u�u�(𝛼).
En dan kun je met de stelling van Pythagoras nagaan, dat: (u�u�u�(𝛼))2+ (u�u�u�(𝛼))2= 1
Om het aantal haakjes te verminderen schrijf je dit als: u�u�u�2(𝛼) + u�u�u�2(𝛼) = 1
Er zijn enkele waarden die handig zijn om te gebruiken:
> u�u�u�(0) = 1 > u�u�u�(16𝜋) = 12√3 > u�u�u�(14𝜋) = 12√2 > u�u�u�(13𝜋) = 12 > u�u�u�(12𝜋) = 0 en omgekeerd: > u�u�u�u�u�u�(0) =12𝜋 > u�u�u�u�u�u�(12) =331𝜋 > u�u�u�u�u�u�(12√2) =14𝜋 > u�u�u�u�u�u�(12√3) =16𝜋 > u�u�u�u�u�u�(1) = 1
Worden er exacte uitkomsten gevraagd, dan gebruik je deze waarden.
Voorbeeld 1
Los op: u�u�u�(u�) = 0,5 met u� in [0, 3π].
Maak eerst met je grafische rekenmachine de grafieken van u�1 = u�u�u�(u�) en u�2= 0,5 op het gegeven interval.
Een oplossing is: u� = u�u�u�u�u�u�(0,5).
Met je rekenmachine geeft dat in drie decimalen nauwkeurig: u� ≈ 1,047. Op het gewenste interval vind je dan drie oplossingen:
u� ≈ 1,047 ∨ u� ≈ 2𝜋 − 1,047 ∨ u� ≈ 1,047 + 2𝜋.
En dus: u� ≈ 1,047 ∨ u� ≈ 5,236 ∨ u� ≈ 7,330 ∨ u� ≈ 8,901. Het exacte antwoord is: u� =13𝜋 (zie de tabel bij de theorie). Op het gegeven interval: u� =13𝜋 ∨ u� = 2𝜋 −13𝜋 ∨ u� = 13𝜋 + 2𝜋. En dus: u� =13𝜋 ∨ u� = 123𝜋 ∨ u� = 213𝜋 ∨ u� = 256𝜋.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES
Opgave 4
Bekijk Voorbeeld 1 op pagina 31. Los nu op u�u�u� (u�) = −0,5.
a Geef alle oplossingen benaderd in drie decimalen nauwkeurig. b Geef alle exacte oplossingen.
c Geef alle exacte oplossingen op het interval [0, 4𝜋].
Opgave 5
Bekijk de grafiek van u� (u�) = u�u�u� (u�). Zorg dat je in ieder geval één complete periode in beeld hebt. a Los exact op: u�u�u� (u�) =12√2.
b Geef alle exacte oplossingen op het interval [−2𝜋, 4𝜋].
c Geef de oplossingen op het interval [−2𝜋, 4𝜋] in drie decimalen nauwkeurig.
Voorbeeld 2
Los op: u�u�u�(u�) = −0,8.
Bekijk een deel van de standaard cosinusgrafiek en zet er de lijn u�2= −0,8 bij in. Zorg dat in ieder geval een hele periode zichtbaar is.
Een oplossing is:u� = u�u�u�u�u�u�(−0,8) ≈ 2,498 (een exacte uitkomst is er niet).
De tweede oplossing binnen een periode is: u� = −u�u�u�u�u�u�(−0,8) ≈ −2,498. Alle verdere oplossingen zijn nu te vinden door bij deze twee oplossingen een veelvoud van de periode op te tellen:
u� ≈ 2,498 + u� ⋅ 2π ∨ u� ≈ −2,498 + u� ⋅ 2π een wilekeurig geheel getal.
Opgave 6
In Voorbeeld 2 op pagina 32los je u�u�u� (u�) = −0,8 op. Nu zijn alleen benaderingen mogelijk.
a Los op u�u�u� (u�) = 0,6 op het interval [−𝜋, 3𝜋]. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig. b Los op u�u�u� (u�) < 0,6 op het interval [−𝜋, 3𝜋]. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig. c Los op u�u�u� (u�) < −0,6 op het interval [−𝜋, 3𝜋]. Geef benaderingen in twee decimalen nauwkeurig.
Voorbeeld 3
Los op: 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 < 0.
Je kunt de grafiek van de functie u� = 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 bekijken met je grafi-sche rekenmachine. Het gaat bij de vergelijking 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 = 0 om de nulwaarden van deze functie, dat zijn er oneindig veel.
De vergelijking 3 ⋅ u�u�u�(u�) + 1 = 0 herleid je tot u�u�u� (u�) = −13.
De oplossingen hiervan zijn: u� = u�u�u�u�u�u�(−13)+u�⋅2π∨u� = −u�u�u�u�u�u�(−13)+ u� ⋅ 2π.
In drie decimalen nauwkeurig: u� ≈ 1,911 + u� ⋅ 2π ∨ u� = −1,911 + u� ⋅ 2π.
In de grafiek zie je dat de functiewaarden negatief zijn als u� tussen 1,911 en 2𝜋 − 1.911 inligt, dus voor 1,911 < u� < 4,373.
Opgave 7
Bestudeer Voorbeeld 3 op pagina 32. Je werkt daarin met de grafiek van de functie u� (u�) = 3u�u�u� (u�)+1. a Breng zelf deze grafiek in beeld op [−2𝜋,4𝜋].
b Los u� (u�) < 2 op met benaderingen in twee decimalen nauwkeurig. c Los u� (u�) = 2,5 exact op.
d Los u� (u�) = 4 exact op.
e Waarom kun je u� (u�) = 5 niet oplossen?
Opgave 8
Los op [−2𝜋, 2𝜋] exact op: 2 ⋅ u�u�u� (u�) ≤ −√3.
Opgave 9
Los exact op: u�u�u� (2u�) = u�u�u� (121𝜋).
Voorbeeld 4
Voor een bepaalde waarde van u� geldt u�u�u�(u�) = 0,2. Bereken nu de exacte waarde van u�u�u�(u�).
In de Theorie op pagina 30zie je dat er verschillende verbanden bestaan tussen u�u�u�(u�) en u�u�u�(u�). Bijvoorbeeld: u�u�u�2(u�) + u�u�u�2(u�) = 1.
Met u�u�u�(u�) = 0,2 wordt dit: 0,22+ u�u�u�2(u�) = 1. En dus is: u�u�u�2(u�) = 1 − 0,04 = 0,96.
Je vindt daarom twee mogelijke waarden voor u�u�u�(u�), namelijk: u�u�u�(u�) = √0,96 ∨ u�u�u�(u�) = −√0,96.
Opgave 10
Bekijk de grafiek van u� (u�) = u�u�u�2(u�) + u�u�u�2(u�) op [−2𝜋, 4𝜋].
a Bekijk de Theorie op pagina 30. Leg uit waarom de grafiek er zo uit ziet.
b Stel dat u�u�u� (u�) =13. Hoe groot is dan u�u�u� (u�) exact? Bekijk eventueel Voorbeeld 4 op pagina 33.
Opgave 11
Je wilt de vergelijking u�u�u�2(u�) = u�u�u�2(u�) oplossen.
a Laat zien dat je deze vergelijking kunt schrijven als 2u�u�u�2(u�) = 1.
b Laat zien dat uit het voorgaande volgt dat u�u�u� (u�) =12√2 ∨ u�u�u� (u�) = −12√2. c Geef nu alle oplossingen van de vergelijking.
WISKUNDE B TWEEDE FASE HAVO > FUNCTIES EN GRAFIEKEN > PERIODIEKE FUNCTIES
Verwerken
Opgave 12
Bekijk de grafiek van u� (u�) = u�u�u� (u�).
Los de volgende vergelijkingen op. Geef waar mogelijk exacte oplossingen en anders benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.
a u�u�u� (u�) = 0,35 b u�u�u� (u�) = −0,35 c u�u�u� (u�) =12√3 d u�u�u� (u�) = −12√2
Opgave 13
Geef alle oplossingen van: a u�u�u� (u�) = 1
b u�u�u� (u�) = u�u�u� (1) c u�u�u� (1) = u� d u�u�u� (u�) = u�u�u� (1)
Opgave 14
Gegeven is de functie u� met u� (u�) = 2u�u�u� (u�) − 1 op [0, 4𝜋]. a Bereken alle nulpunten van de grafiek van deze functie. b Los op: u� (u�) ≥ 0.
Opgave 15
Gegeven is de functie u� met u� (u�) = u�u�u� (2u�) op [0, 4𝜋]. a Los op: u� (u�) = 0, 5
b Los op: u� (u�) ≥ 0,5.
Opgave 16
Bereken exact de oplossingen op [0, 2𝜋]. a u�u�u� (u�) (2u�u�u� (u�) − 1) = 0
b u�u�u�2(u�) = u�u�u� (u�)
c u�u�u�2(u�) − 1, 5u�u�u� (u�) − 1 = 0 d 2u�u�u�2(u�) + u�u�u� (u�) = 0
Testen
Opgave 17
Bekijk de grafiek van u� (u�) = u�u�u� (u�).
Los de volgende vergelijkingen op. Geef waar mogelijk exacte oplossingen en anders benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.
a u�u�u� (u�) = 0,95 b u�u�u� (u�) = −0,95 c u�u�u� (u�) = −12
Opgave 18
Gegeven is de functie u� (u�) = 4u�u�u� (u�) + 1 op [−2𝜋, 2𝜋].
a Bereken alle nulpunten van de grafiek van u� in twee decimalen nauwkeurig. b Los op u� (u�) < 0.
Opgave 19
Los exact op: a u�u�u� (3u�) = 0,5.