3 Grafieken
3.6 Periodieke grafieken
a
1 Iets meer dan 0, 15 seconde. b Ongeveer 0, 6 seconde.
c Je neemt de getekende grafiek over en plakt er nog 16, 5 keer één hartslag aan vast. d Ongeveer 0,660 = 100.
a
2 De laagste waterstand is ongeveer 46 cm boven NAP. De hoogste waterstand is ongeveer 80 cm boven NAP.
b Het tijdsverschil tussen twee laagwaterstanden is gelijk aan de periode. De periode wordt ongeveer 12:10 uur.
c Ja.
d Van 29 oktober tot 1 november is drie dagen verder en in elke dag vallen ongeveer 2 periodes. Bij de tijden voor 29 oktober moet daarom 6 keer 12:10 worden opgeteld. Voor 1 november betekent dit dat alle waterstanden precies 1 uur opschuiven: laagwater om 5:30 en 17:40 uur, hoogwater om 11:00 en 23:10 uur.
a
3 Om ongeveer 11:45 en 23:55 uur.
b Daar zit ongeveer 6:05 uur tussen en dat klopt behoorlijk met het tijdsverschil van 12:10 uur tussen twee laagwaterstanden of twee hoogwaterstanden. In Den Oever zit kennelijk het moment van de vloed redelijk goed midden tussen de tijdstippen van eb.
c Bij Hellevoetsluis volgt vloed veel sneller op eb dan omgekeerd. d Ongeveer 4:10 + 4:00 = 8:10 uur.
e Ongeveer 4:05 uur.
f Schepen moeten weten hoe hoog ergens het water staat om te kunnen beoordelen of ze er kunnen varen. Vooral in de Waddenzee (met veel ondieptes) is dat nogal belangrijk.
a
4 Op 20 m hoogte. b Na 30 seconden.
c Weer op 1 m hoogte, de hoogte waarop je instapte. d 39 2 = 19, 5 m.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > GRAFIEKEN
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 39
e Ongeveer 22 seconden. f 12 × 60 = 720 seconden. a
5 Doen.
b Bekijk eventueel de grafiek in het voorbeeld. De jouwe zal er op lijken. c Zie de tabel, meet in mm nauwkeurig:
u�u�u�u� (sec) 0 5 10 15 20 25 30 35 40
ℎu�u�u�u�u� (m) 1 7 20 33 39 33 20 7 1
d Doen.
e Gebruik je grafiek, je vindt ongeveer 8 a 9 seconden. a
6 Er zijn voor 𝑉u�u�u�u�u� waarden boven 0 (inademen) en onder 0 (uitademen). b Ongeveer 0, 7 liter.
c Waar de grafiek stijgt, dat duurt ongeveer 1 seconde per ademhaling.
d De periode is ongeveer 607 ≈ 8, 5 seconden. Dus deze persoon haalt ongeveer 7 keer per minuut adem. a
7 Tussen de 56 en de 80 hartslagen per minuut.
b Kennelijk gaat steeds bij het inademen de hartslag wat omhoog. a
8 30 m.
b 14, 5 m. c 40 seconden. d 360040 = 90.
e Ongeveer 16 seconden per omwenteling en in vier minuten maakt hij 6 omwentelingen. Totaal 96 seconden.
a
9 Ongeveer 23 seconde.
b Afhankelijk van geslacht en leeftijd en of je een topsporter bent. c Afhankelijk van geslacht en leeftijd en of je een topsporter bent. a
10 Bij beide vuurtorens herhaalt zich het aantal lichtflitsen en de tijd ertussen in een vast ritme. b Ameland 15 seconden, Texel 10 seconden.
c Ameland 3 lichtflitsen, Texel 2.
d Zo kun je ze ook nog van elkaar onderscheiden. a
11 De gele over zonsopkomst, de rode over zonsondergang. b Dit herhaalt zich elk jaar weer.
c Een periode van een jaar.
d Het overgaan van de normale tijd op zomertijd en omgekeerd. De klok verschuift dan een uur. e Het is de verschilgrafiek u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� − u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�.
f Omdat zowel de zonsopkomst als de zonsondergang een uur in dezelfde richting verschuiven. a
12 Doen, laat de grafiek controleren. Begin met een cirkel met een diameter van 135 cm. Je hebt dan een figuur op schaal 1 : 100.
Op 0 minuten zit je op een hoogte van 0 m boven de grond. Op 7, 5 minuten zit je op 67, 5 m en op 15 minuten zit je op 135 m. De hoogtes op 3, 75, 11, 25, ... minuten meet je op.
b Ongeveer 10 minuten. a
13 1 dag, dus 24 uur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > GRAFIEKEN
3.7 Totaalbeeld
a
1 Tussen 0 en 3 minuten stijgt de waterhoogte, daarna is hij constant tot de laatste minuut. In de laatste minuut loopt de bak leegt en daalt de waterhoogte.
b 8 minuten, de grafiek is dan horizontaal. c C is fout.
a
2 De hoeveelheid haring in de Noordzee in miljoenen kg staat op de verticale as, omdat die hoeveelheid afhangt van de tijd in jaren (op de horizontale as).
b Tijd in jaren en gewicht in miljoenen kg. c Ongeveer 3500 mln kg.
a
3 Ze heeft al een tabel, dus ze gaat nu een assenstelsel tekenen.
b De tijd in dagen komt op de horizontale as en de hoeveelheid gas in m3komt op de verticale as. De hoeveelheid gas hangt af van de tijd en daarom moet die grootheid op de verticale as.
c Zie figuur, het scheurlijntje is voor de netheid.
d Je blijft steeds gas verbruiken.
e Je kunt zien hoe snel je gasverbruik toeneemt per week en op grond daarvan een schatting maken van je jaarverbruik. Wel is het dan verstandig om dit ook te doen in andere jaargetijden.
a
4 Beide grafieken moeten over dezelfde grootheden gaan.
b Maak eerst een tabel met de aantallen bezoekers van beide musea en tel vervolgens die aantallen op. Maak daarvan een nieuwe grafiek.
c Doe hetzelfde als bij de vorige opdracht, maar nu trek je de gegevens van museum B af van die van museum A.
a
5 In 1990 waren er 75000 bezoekers in beide musea samen. b In 2000 was het verschil het kleinst, namelijk 11000 bezoekers. a
6 Om ongeveer 4:30 uur en 16:45 uur. b Om ongeveer 0:00 uur en 12:15 uur. c Ongeveer 12:15 uur.
d Ongeveer om 5:30 uur en 17:45 uur.
(In werkelijkheid is de periode iets groter dan 12:15 uur.) a
7 In Manaus is de temperatuur gedurende het jaar behoorlijk constant en gemiddeld hoog.
b In NL is de temperatuur ’s winters gemiddeld lager dat ’s zomers. In de maanden maart, april, mei stijgt de gemiddelde temperatuur. In de maanden oktober, november, december daalt de gemiddelde temperatuur.
c In Manaus valt het hele jaar door (veel) meer neerslag dan in NL, behalve in augustus. a
b ’s Nachts is het bezoek minimaal. In de loop van de ochtend stijgt het aantal bezoeken met een klein dipje tussen 12:00 en 13:00 uur, waarna er weer van stijging sprake is tot ongeveer 16:00 uur. Daarna daalt het aantal bezoeken weer. Na 18:00 uur is er weer een lichte stijging tot een redelijk constant aantal van rond de 110 beoeken per uur in de avond. Na 22:00 uur daalt het aantal bezoeken naar het nachtelijke minimum.
c Ongeveer vanaf 13:00 tot 16:45 uur, dat is 3:45 uur per dag. a
9 Zie tabel.
ribbelengte 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
inhoud 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000
b Doen, zie tabel. c Ongeveer 149 cm3. d Ongeveer 8, 4 cm.
a
10 Doen.
b Elk rondje van 12 seconden kom je weer op dezelfde hoogtes. De periode is dus 12 seconden.
c Je krijgt vijf periodes in beeld, te beginnen op 2 m hoogte als de tijd 0 is. Na 6 seconden zit je op het hoogste punt, na 12 seconden weer op het laagste punt, enzovoorts.
d Op 15, 5 m.
e 5 × 4 = 20 seconden. a
11 Gebruik de tabel om eerst een tabel te maken van het totaal aantal leerlingen. b Gebruik de tabel om eerst een tabel te maken van het verschil.
c In het schooljaar 2003/’04, toen waren er 28305 jongens meer. 12 Gebruik de genoemde website.
a
13 Doen.
b Doen.
c Jongens en meisjes groeien op verschillende manieren.
d Door statistisch onderzoek, het zijn gemiddelden van grote groepen kinderen. e Daar vinden kennelijk sprongen plaats in de gemiddelden.
f g h
i Omdat mensen na hun 20e niet meer in de lengte groeien. Inderdaad worden jongens gemiddeld iets langer dan meisjes.
4
Kijkmeetkunde
4.1 Kijklijnen
a
1 Nee, trek een lijn vanuit haar hoofd langs de rechter rand van het raam voor haar. b Ja, een groot deel van de vijver.
c Ja, als het niet te hoog hangt.
d Trek lijnen langs de muren aan weerszijden van het raam zo, dat de regenton nog net zichtbaar is. a
2 De halve lijnen vanuit het oog van de vrouw naar de onderkant en de bovenkant van het beeldscherm. b De halve lijnen vanuit het oog van de vrouw naar de onderkant en de bovenkant van het toetsenbord.
De bovenste van deze twee kijklijnen maakt een hoek van 50° met de horizontale stippellijn.
c Omdat het beeldscherm ook een breedte heeft. Je moet dus ook halve lijnen tekenen vanuit de ogen als je bovenop deze situatie kijkt.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 43
a
3 Laat eventueel je tekening controleren. b Laat eventueel je tekening controleren. a
4 6 ganzen helemaal en 2 voor een deel.
b 3
c Doen, gebruik het werkblad. a
5 De lijn door het voorste en het achterste hoekpunt van de piramide.
b Je kunt alleen de kijkrichting bepalen, niet hoever weg de kijker heeft gestaan. a
6 Let bijvoorbeeld op het half ronde gebouw (een vleugel van het Van Gogh museum) en de torens van het grote gebouw op de voorgrond (het Rijksmuseum). Kijk naar punten die recht achter elkaar liggen. b Laat je antwoord controleren.
a
7 De leerkrachten van groep 4 en groep 5.
b Teken kijklijnen vanuit de rode punt langs de raamkozijnen. Kleur het deel van de hal tussen deze kijklijnen.
c Teken weer de kijklijnen vanuit de rode punt in het lokaal van groep 5 langs de raamkozijnen. d Kleur het deel waar beide gebieden uit b en c elkaar overlappen.
e Kleur nu beide gebieden uit b en c samen. f Laat je antwoord controleren.
a
8 Nee, hij ziet ze geen van beide. (Denk er om dat de bestuurder links voorin zit.)
b Teken kijklijnen vanuit het hoofd van de bestuurder van auto 𝐴 langs de hoeken van de bebouwing die ligt aan weerszijden van de straat waarin deze auto rijdt.
c Nee.
d Omdat we rechts rijden zie je verkeer van rechts later dan verkeer van links in situaties zoals die in de figuur. Dat verkeer zit dan vaak al dicht op de kruising, zelfs vaak dichter dan je zelf zit.
9 Laat je figuur controleren. 10 Gebruik het werkblad.
Het kan in principe wel met vier camera’s, want er zijn vier gevels (met inhammen).
11 Waarschijnlijk vanaf de Bolwerksweg aan de westkant van de IJssel een eindje voordat je bij de N344 aankomt.
a
12 Het principe van de camera obscura is het doortrekken van kijklijnen vanuit het gaatje naar de ach-terwand van het kastje. Als je bijvoobeeld de kijklijn naar de bovenkant van het voorwerp doortrekt komt die aan de onderkant op de achterwand uit.
Houd je je oog echter direct achter het gaatje, dan vallen de kijklijnen rechtstreeks in je oog. b Doen.
13 Maak nette tekeningen, bijvoorbeeld zoals die bij het binnenschip. Maar let nu vooral op de spiegels van de vrachtauto en met name de rechter buitenspiegel.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
4.2 Kijkhoeken
a
1 Doen, werk nauwkeurig. b Ongeveer 59°.
c De hoek wordt groter.
d Vanaf een plek aan de rand van de vijver waar de hoek tussen de kijklijnen naar de voorkant van het huisje zo groot mogelijk is. Dan heeft die kat het beste zicht op vogels die erin willen nestelen. a
2 Ongeveer 66°.
b Zijn kijkhoek is iets groter.
c Alleen de afstand tot het midden van het "raam" waar je door kijkt. a
3 Het beeldscherm heeft een hoogte van 22,875 cm.
Denk er om dat de afstand van 60 cm loodrecht op het beeldscherm moet worden gemeten.
b Ongeveer 22°. a
4 De kijkhoek wordt steeds kleiner naarmate je verder van het midden van de opening af komt. b Als het oog precies in het midden van de opening zit.
c Ook dan wordt de kijkhoek steeds kleiner. a
5 Doen.
b Over een cirkel waarvan het middelpunt een klein beetje voor het midden van de opening zit. a
6 Doen, hij lijkt eerder 35° te zijn. b Ongeveer 70°.
c Er zijn twee middelste stoelen. De kijkhoek in één van die is ongeveer 115°.
d Je kijkhoek is wel heel groot, maar dat is niet altijd een voordeel want je moet je hoofd dan meer draaien om alles te kunnen overzien. Dat heeft te maken met het blikveld (zie ?Toepassen?) van een mens. Dat is kleiner dan deze kijkhoek.
e In het midden van één van de achterste rijen, zeker als de zaal wat oploopt naar achteren. a
7 Dit is een kwestie van uitproberen. Neem bijvoorbeeld de stoel rechts vooran, de kijkhoek daarvandaan is ongeveer 70°. De kijkhoek van de stoel in het midden moet dan evenveel bedragen, dus links en recht van een lijn naar het midden van het podium 35°. Teken dit en kijk of je op een stoel uitkomt.
b Dan kun je recht voor je uit kijken. a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 45
b Vanuit B ongeveer 21°. Vanuit C ongeveer 51°.
c Ongeveer in het midden van de zaal, of in het midden van een rij daar iets achter.
d Als de kijkhoek te groot wordt moet je steeds je hoofd draaien om alles te zien. Dat is vervelend. a
9 De tekst is heel erg uitgerekt.
b Je kijkt in de richting van de letters op het briefje met een hele kleine kijkhoek.
c Ook dan zie je de tekst onder een kleine kijkhoek. Denk aan het woord STOP op het wegdek vlak voor een kruising.
a
10 Twee kwart cirkels waarvan de doelpalen het middelpunt zijn en een lijnstuk evenwijdig aan en even lang als de doellijn.
b Ongeveer 28°.
c Ze vergroten dan de kijkhoek en verminderen de reactietijd van de keeper.
d De kijkhoek is dan heel klein en dus komt de bal altijd onder dezelfde hoek naar de keeper. e Hij zal van de doellijn vandaan springen om zijn hoek te vergroten.
a
11 Kijk naar het bord op een bepaalde afstand voor het bord en laat iemand aan weerkanten een streepje zetten waar je dit nog juist kunt zien. Je zet vervolgens je afstand tot het bord loodrecht onder het midden van de lijn tussen die twee punten. En dan kun je de hoek meten.
b Doen.
c Het konijn heeft zo een veel groter gezichtsveld, ook schuin naar achteren.
d Diepte zien ontstaat doordat de beelden van beide ogen elkaar overlappen. Je hersenen maken daar "diepte" van. Bij een konijn is er haast geen overlap.
e Doen. a
12 Teken dit gezien vanaf de zijkant van de weg. b Doen, laat je tekening controleren.
4.3 Aanzichten
a
1 Een prisma met een vijfhoek (de voorkant van de nestkast) als grondvlak.
b De nestkast heeft een vierkant grondvlak van ongeveer 12 cm bij 12 cm. De grootste hoogte gemeten in het midden van de voorkant is ongeveer 24 cm (tot de onderkant van het dak) en de zijwanden zijn ongeveer 18 cm hoog.
Maak je tekeningen op schaal 1 : 4. Zie de figuur bij b. c Zie figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
d Het dak bestaat uit twee rechthoeken waarvan de éne iets groter is dan de andere vanwege de dikte van het hout. De afmetingen van beide rechthoeken moeten groter zijn dan 12 bij 9 cm.
a
2 Doen, het moet er zo uit komen te zien als in de uitleg, maar nu op de juiste schaal. b Achteraanzicht, onderaanzicht en linker zijaanzicht.
a
3 Zie figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 47
c Ongeveer 20 × 20 + 20 × 30 + 20 × 35 + 2 × 20 × 32,5 + 20 × 22,6 = 3452 cm2. d 20 × 20 × 32,5 = 13.000 cm3, dat is 13 liter. Best een groot vogelhokje...
a 4 Doen. b Doen. c Doen. 5 Doen. 6 Doen. 7 Zie figuur. a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
b Elk zijaanzicht is ongeveer de helft van een rechthoek van 40 bij 14 cm. De oppervlakte van de uitslag is 40 × 15 + 39 × 15 + 40 × 14 + 22,5 × 18 = 2150 cm2.
c De inhoud is de helft van de inhoud van een balk van 40 bij 14,25 bij 15 cm. Dus de inhoud is 4275 cm3.
a
9 Zie figuur.
b Je meet de onbekende zijden van de driehoeken in de aanzichten, die zijn ongeveer 6,2 cm en 6,3 cm. Daarmee kun je de driehoeken in de uitslag tekenen.
c Ongeveer 4 × 3 + 3 × 6,2 + 4 × 6,3 = 55,8 cm2.
10 Meet de afmetingen van een deur in de figuur om de schaal van de tekening te bepalen. Het dak bestaat uit twee rechthoeken van 10 m bij ongeveer 6,9 m.
a
11 Maximaal 20. b Minimaal 6. c Doen.
12 Doen.
13 Denk aan een tube met een ronde bovenkant (de dop) en een rechte onderkant zoals een tube tandpasta. Alleen is deze ‘tube’ dan even hoog als breed.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 49
a
14 Zie figuur.
b Zie figuur. Verricht eerst in de aanzichten de noodzakelijke metingen, zoals de zijden van de driehoe-ken.
c Elke driehoek van de uitslag kun je (doormidden) in twee halve rechthoeken knippen. De oppervlakte van de vier gelijke driehoeken is dan ongeveer 0,7 × 1,65 ≈ 1,66 m2.
De totale oppervlakte is 6 + 2 × 2 × 1,8 + 4 × 1,66 = 19,84 m2. a
15 Zie figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
c 25 × 15 × 35 = 13125 cm2.
16 Doen.
Stapel A: 8 kubussen. Stapel B: 9 kubussen.
17 Maximaal 25 kubussen en minimaal 17 kubussen a
18 Er zijn 27 kubusjes, dus de somakubus wordt 3 bij 3 bij 3. b Zie figuur.
a
19 Omdat je nu niet kunt zien hoe de achterkant en de linkerzijkant van het gebouw er uit zien. b Doen.
c Maak er wat moois van. Let er op dat hij moet aansluiten bij de andere aanzichten. 20 Soort A: 6 stuks
Soort B: 6 stuks Soort C: 5 stuks
4.4 Bouwtekeningen
a
1 Een mogelijkheid is het tekenen van alle delen afzonderlijk met de afmetingen erbij. Die kun je schatten met behulp van de gegeven diameter van de invliegopening.
b Je ziet dan niet meteen het dak op ware grootte.
c Een uitslag is lastig omdat het dak oversteekt, je zou dan twee afzonderlijke uitslagen moeten maken. d Vaak is een uitslag niet voldoende omdat er ook tussenwanden, uitstekende delen en dergelijke zijn.
a
2 In millimeter.
b Er zijn scharnieren zichtbaar in het rechter zijvlak (als je van voren kijkt). c Je ziet dat in het bovenaanzicht (gestippeld) en in de twee 3D-tekeningen. d Kijk goed naar de gegeven afmetingen en ook naar de plek van het invlieggat.
e Het zijn rechthoeken met een lengte van bijvoorbeeld 620 mm (meer dan 600 mm) en een breedte van 180 mm (meer dan 170 mm).
f Er is sprake van een tussenwand en van overstekende dakdelen.
3 Hier zou je een nette uitslag kunnen tekenen. Alleen het dakdeel moet aan één kant oversteken. 4 Veel plezier met het project "Heideheuvel".
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 51
4.5 Perspectief
a
1 Hoe verder van je af hoe korter een afstand lijkt.
b De afstand tussen de lijnen lijkt kleiner te worden als je verder van je oog af bent, dus ze lijken naar elkaar toe te lopen.
c De horizon is de lijn waarop de lijnen bij elkaar komen. Dat is de lijn die aangeeft hoe ver je kunt kijken.
a
2 Hoe verder van je af hoe korter de afstand tussen de evenwijdige lijnen, dus ze lijken naar elkaar toe te lopen.
b Op de horizon lijkt de onderlinge afstand 0 te zijn.
c Bijvoorbeeld de rand op de voorgevel en de onderkant van de voorgevel. a
3 Doen, kijk hoe dat in de uitleg is gedaan.
b Vergelijk of je dezelfde horizon krijgt als in de figuur in de uitleg. c Doen.
d Doen.
4 Teken van twee groepen evenwijdige lijnen het verdwijnpunt. Waarschijnlijk vallen die punten buiten het blad papier, dus moet je het met behulp van extra papier vergroten. De horizon is de lijn door beide verdwijnpunten.
a
5 Zoek op het woord ‘kikvorsperspectief’.
b Je lijkt alles te bekijken vanaf een heel laag standpunt, dus zoals een kikker op de grond. c Dan lijk je alles te zien vanaf een heel hoog standpunt, dus zoals een vogel die overvliegt. a
6 Er is maar één groep evenwijdige lijnen die niet evenwijdig aan het vlak van tekening lopen. Alleen de ribben die naar achteren lopen zijn liggen niet in het tekenvlak.
b Zie figuur bij c. c Zie figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
a
7 Het mag ook wel ergens anders zitten. In principe zit het op de plek van je oog en je hoeft niet recht op het midden van een voorvlak te kijken.
b Dat kan inderdaad. Zie figuur.
8 Doen, volg het voorbeeld. 9 Zie figuur.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > METEN EN TEKENEN > KIJKMEETKUNDE
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 53
10 Doen, volg het voorbeeld.