Kort maar krachtig - Wiskunde voor 1 havo/vwo

3 Graﬁeken

5.4 Kort maar krachtig

1 u�u�u�u�u�u� = u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� + u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� + u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� + u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� b u�u�u�u�u�u� = 2 × u� + 2 × u�

2 u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� = u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� × u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� b u�u�u�u�u�u�u�u�u�u�u� = u� × u�

3 𝑃 = 2 ⋅ u� + 2 ⋅ u�. b 𝐴 = u� ⋅ u�.

c Ja, u�, u� en 𝑃 moeten dezelfde lengte-eenheid hebben en 𝐴 de bijbehorende oppervlakte-eenheid. a

4 𝐹 =⁹₅× 𝐶 + 32 b 𝐹 =⁹₅⋅ 20 + 32 = 68

c Hoeveel graden Fahrenheit hoort er bij 20°C? d Ze zijn veel overzichtelijker dan lange zinnen.

5 𝑃 = 10 ⋅ u� + 2 ⋅ u�. b 𝑃 = 10 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 38. c 𝐴 = 2 ⋅ u� ⋅ u� + 3 ⋅ u� ⋅ u�. d 𝐴 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 ⋅ 4 = 54

6 Figuur I: 𝑃 = 10 ⋅ u� + 2 ⋅ u� en 𝐴 = 2 ⋅ u� ⋅ u� + 2 ⋅ u� ⋅ u�. Figuur II: 𝑃 = 6 ⋅ u� + 2 ⋅ u� en 𝐴 = 2 ⋅ u� ⋅ u�.

7 Doen.

b 𝑃 = 8 ⋅ 5 + 6 ⋅ 3 = 58. c Doen.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERBANDEN

8 5 ⋅ u� + 6 ⋅ u� b 4 ⋅ u� ⋅ u� + 3 ⋅ u� ⋅ u� c 9 ⋅ u� + 8 ⋅ u� d 2 ⋅ u� ⋅ u� + 6 ⋅ u� ⋅ u�

9 Teken de kortste route van (0, 0) naar (2, 3) over het rooster. b Doen. Bij beide komt er 13 uit.

c u� − 2 ⋅ u�

d Doen. Bij beide komt er −4 uit. e 3 ⋅ u� − 3 ⋅ u� f Doen. a 10 4 ⋅ u� + 2 ⋅ u� b 3 ⋅ u� + 3 ⋅ u� c −3 ⋅ u� + 2 ⋅ u� d 2 ⋅ u� − 4 ⋅ u�

11 Figuur I: 𝑃 = 10 · u� + 2 · u� en 𝐴 = 2 · u� · u� + u� · u�. Figuur II: 𝑃 = 6 · u� + 2 · u� en 𝐴 = u� · u� + 2 · u� · u�. a

12 u� + 18 ⋅ u� b 4 ⋅ u� + 12 ⋅ u� c 2 ⋅ u� + 4 ⋅ u� d u� + 4 ⋅ u�

e 3 ⋅ u� ⋅ u� + 2 ⋅ u� f u� ⋅ u� + u� a

13 u� = 4,50 + 1,25 ⋅ u� b 𝑃 = 6 ⋅ u� + 5 ⋅ u� c 𝐴 = 6 ⋅ u� ⋅ u� + 2 ⋅ u� ⋅ u� d u�u�u� = (u� + u� + 13) /2

14 7,0

b Het maximale cijfer is in NL een 10 en⁶⁰₆₀⋅ 9 + 1 = 10.

c Rechte lijn (eigenlijk allemaal losse punten) vanaf (0, 1) tot (60, 10). d Vanaf 30 punten.

15 u� = 0,15 +^9,95_u� b u� ≈ 0,81 euro.

c Ja, maar je moet dan wel veel extra foto’s hebben, minstens 199. a

16 u� is het weekloon in euro en u� het aantal bezorgde folders.

b Je kunt de volgorde van de vermenigvuldiging en van de optelling omdraaien. c 𝐿 is de kaarslengte in cm en u� de brandtijd in uren.

d 𝐿 = −2 ⋅ u� + 30

e Alleen zolang de snelheid hetzelfde is kun je uitrekenen hoeveel je hebt afgelegd door de snelheid met de tijd te vermenigvuldigen. De gemiddelde snelheid kun opvatten als zo’n constante snelheid. f 42 km in 2¹₃ uur betekent 18 km in 1 uur, dus 18 km/h.

17 𝑇 =^u�−40₇ + 10 b 18°C.

c 20°C.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERBANDEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 65

e Bij 20°C hoort u� = 110 en bij 25°C hoort u� = 145.

5.5 Vergelijkingen

1 Eigen antwoord.

b u� = 1, 529 = 43, 5 dus schoenmaat 44. c Ongeveer 23 cm. a 2 220 + 0, 085u� = 0, 10u� b Zie ﬁguur. c u� ≈ 14700 kopieën. a

3 Het zou wel heel bijzonder zijn als het op één kopie aan zou komen. Je kunt beter wat ruimer aantal verkopen als school om onvoorziene bijkomende kosten te dekken.

b Dan moet je rond de 14700 een nauwkeuriger tabel maken. a

4 De waarde van u� bij het snijpunt zo nauwkeurig mogelijk schatten.

b Doen. Ga na, dat de oplossing tussen u� = 5, 71 en u� = 5, 72 zit en dat dus u� ≈ 5, 7 de oplossing is in één decimaal nauwkeurig.

c Maak een tabel tussen u� = 5, 71 en u� = 5, 72. De oplossing zit tussen u� = 5, 714 en u� = 5, 715 en is dus u� ≈ 5, 71.

d Maak een tabel tussen u� = 5, 714 en u� = 5, 715. De oplossing zit tussen u� = 5, 7142 en u� = 5, 7143 en is dus u� ≈ 5, 714.

5 Maak eerst graﬁeken en lees ongeveer het antwoord af. Neem u� = 0, 100, 200, 300, 400, 500. Ga vervolgens inklemmen met nauwkeuriger tabellen. Je vindt u� ≈ 381, 8.

6 Doen.

b Ja, inderdaad. c u� ≈ 1, 82.

Als je kunt werken met machten en wortels dan is inklemmen niet meer nodig. a 7 Doen. b Je vindt u� ≈ 23 cm. c u� ≈ 23, 3 cm en dat is 233 mm. a 8 36 = 1, 5u� + 2

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERBANDEN

b De vergelijking lijkt op 36 = 1, 5... en dan is [...] =_1,5³⁶ = 24. [...] = u� + 2 = 24 betekent u� = 22.

c 1, 522 + 2 = 1, 524 = 36. a

9 Omdat alle getallen vanaf 35,5 tot en met 36,4 op 36 worden afgerond. b u� ≈ 21, 7 cm dus 217 mm.

c u� ≈ 22, 3 cm dus 223 mm.

d Alle voetlengtes vanaf 217 mm tot 223 mm. a

10 [...] = 29, 70 − 4, 50 = 25, 20 b u� =^25,20_2,25 = 11, 2

c u� = 11, 2, controleer zelf je antwoord door invullen. a

11 [...] = 30 b u� = _1,5³⁰ = 20

c u� = 20, controleer je antwoord door invullen.

12 Nu gaat dat moeizamer omdat de variabele u� zowel links als rechts van het isgelijkteken voorkomt. Dit kun je voorlopig nog beter graﬁsch doen, eventueel inklemmen. Later leer je meer oplossingstech-nieken.

13 0, 12u� = 1800 geeft u� =¹⁸⁰⁰_0,12 = 15000. b 2 + u� = 20 geeft u� = 18.

c 4 + 2u� = 10 geeft 2u� = 8 en dus u� = 4.

d 2u� − 12 = 375 = 225 geeft 2u� = 237 en dus u� = 118, 5. a

14 De kaars heeft aan het begin (op u� = 0) een lengte van 30 cm en elk uur gaat daar 4 cm van af. b 16 = 30 − 4u�

c Maak eerst een tabel bij 𝐿 en bepaal dan op de graﬁek het punt waarin 𝐿 = 16. Je vindt u� = 3, 5 uur. d 30 − 43, 5 = 16 cm.

e 30 − [...] = 9 geeft [...] = 21 en dus 4u� = 21 zodat u� =²¹₄ = 5, 25. a 15 𝐾 = 75, 00 + 2, 50𝐴 b 475, 00 = 75, 00 + 2, 50𝐴 c 475, 00 = 75, 00 + 2, 50𝐴 geeft 2, 50𝐴 = 400, 00 en dus 𝐴 =_2,50⁴⁰⁰ = 160 m². d 75, 00 + 2, 50𝐴 = 25, 00 + 3, 60𝐴 e 𝐴 ≈ 45 m². a 16 𝐴 = u�u� b u� = 10 c u�u� = 10

d u�u� = 10 geeft u� ≈ 3, 162. a 17 u� = ⁵⁰⁰₁₉ b u� = 9 c u� = 12 d u� = 7 of u� = −7 a 18 1200 uur.

b 240 uur, dus 6 weken. c u� =²⁴⁰⁰⁰_u�

d 500 =²⁴⁰⁰⁰_u�

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > VERBANDEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 67

19 u� ≈ 71429

b Het punt (71429, 82143) (afgerond op gehelen).

c Het voor een bedrijf niet doenlijk om te mikken op het verkopen van precies 71429 liter van dit zui-velproduct. Bovendien wil het bedrijf winst maken, dus men zal mikken op een behoorlijk grotere verkoop.

d 1, 20u� = 0, 45u� + 35000

e u� ≈ 46667 potloden, dus ongeveer 47.000 stuks. a

20 20 =^u�−40₇ + 10 lijkt op 20 = [...] + 10 en dat geeft [...] = 10.

Dit geeft ^u�−40₇ = ( ... ) 7 = 10 en dus [...] = u� − 40 = 70 zodat u� = 110 tsjirpen.

b 25 =^u�−40₇ + 10 geeft op dezelfde manier als bij a dat u� = 145. Dus 35 tsjirpen per minuut meer.

5.6 Totaalbeeld

1 Tussen u�u�u�u�u�u�u�u�u� in km en u�u�u�u�u�u�u�u� in euro. b De ritprijs is 4 euro plus 2,50 keer de ritlengte. c Eigen antwoord.

d Maak een graﬁek bij deze tabel.

u�u�u�u�u�u�u�u�u� (km) 0 1 2 3 4 5 u�u�u�u�u�u�u�u� (euro) 4,00 6,50 9,00 11,50 14,00 16,50 a 2 u�u�u�u�u�u�u�u� = 4 + u�u�u�u�u�u�u�u�u� × 2,50. b u�u�u�u�u�u�u�u� = 4 + 8,5 × 2,50 = 31,25. c 8,4 km. a 3 u�u�u�u�u�u�u�u� = 3,25 + 8,5 × 2,75 ≈ 32,21.

b Het bedrijf uit dat van de vorige opgave, want dat is goedkoper. c Maak eerst een tabel.

d Bij ritlengtes van minder dan 3 km is taxibedrijf B voordeliger. a

4 𝑃 = 2 ⋅ u� + 2 ⋅ u� b 𝑃 = 3 ⋅ u� + 5 ⋅ u� c 𝑃 = 2 ⋅ u� + 3 ⋅ u� d 𝐴 = 6 ⋅ u� ⋅ u� + 3 ⋅ u� ⋅ u�

5 u� = 54,60

b 3,50 + 2,80 ⋅ u� = 120

c Maak eerst een tabel bij de formule met voor u� de waarden 0, 5, 10, 15 en 20. Je vindt ongeveer 16,6 km.

d Schrijf uitgebreid op hoe je met een inklemtabel werkt. Je vindt u� ≈ 16, 61

e 3, 50 + 2, 80u� = 50 lijkt op 3, 50 + [...] = 50 en dus is [...] = 46, 50.

Dit betekent 2, 80u� = 46, 50 en dit lijkt op 2, 80... = 46, 50 zodat [...] =^46,50_2,80 = 16, 60714285. Je vindt dus u� ≈ 16, 6 km.

6 Als de reistijd 5 dagen langer is, dan is de premie telkens €12,50 hoger. Het vaste bedrag per dag is dus €2,50.

b Voor 0 dagen zou je 17,50 − 5 ⋅ 2,50 = 5,00 moeten betalen. c u�u�u�u�u�u� = 5,00 + 2,50 ⋅ u�u�u�u�u�u�u�u�

d 5,00 + 2,50 ⋅ u� = 45,00

e u�u�u�u�u�u�u�u� = 16. Je kunt dit controleren door deze waarde in de formule in te vullen. a

7 Naarmate u� groter wordt, gaat er een groter getal van de beginlengte van 32 cm af. b 32 − 1,5 ⋅ u� = 0

c Maak een tabel, eerst in grote stappen, dan in steeds kleinere. Je vindt u� ≈ 21,3.

d u� = _1,5³² = 21¹₃ uren.

e 1.5 ⋅ u� = 32 − 10 = 22 en dus is u� =_1.5²² = 14²₃. Na 14²₃ uur is de kaars nog 10 cm lang. a

8 𝑃 = 6 ⋅ u� + 8 ⋅ u�. b 𝐴 = 7 ⋅ u� ⋅ u�

c 𝑃 = 58 cm en 𝐴 = 105 cm².

d Dan is u� = 2 ⋅ u� en hiermee worden de formules: 𝑃 = 22 ⋅ u� en 𝐴 = 14 ⋅ u� ⋅ u� a

9 u� + 8 ⋅ u� = 12 b 𝑊 = 2 ⋅ u� ⋅ u� + 4 ⋅ u� c 𝐾 = 2 ⋅ u� − 4 ⋅ u� + 10 d 𝐼 = 6 ⋅ u� ⋅ u�

10 Je vindt 8 ⋅ u� = 110 en dus u� = ¹¹⁰₈ = 13,75. b Je vindt u� + 15 =²⁰⁰₈ = 25 dus u� = 25 − 15 = 10.

c Je vindt 2 ⋅ u� + 7 =¹⁰⁰₄ = 25 en dus 2 ⋅ u� = 25 − 7 = 18 zodat u� =¹⁸₂ = 9.

d Je vindt 4 ⋅ u� ⋅ u� = 100 en dus u� ⋅ u� = 25 zodat u� = 5 (u� = −5 is ook mogelijk, denk aan het vermenig-vuldigen van negatieve getallen!).

11 6 × 150 + 125 × 2,50 = 1212,50 euro. b 𝐾 = 150 ⋅ u� + 2,50 ⋅ u�

c 150 ⋅ u� + 2,50 ⋅ 20 = 1550 geeft (slim rekenen): u� = 10 uur. d 150 ⋅ 5,5 + 2,50 ⋅ u� = 965 geeft (slim rekenen): u� = 56 km.

12 ^{31,50+100×0,02}₁₀₀ = 0,0515, dus ongeveer €0,05. b Bijvoorbeeld u� = ^{31.50+0.02⋅u�}_u� .

c Dit kun je het beste oplossen door slim rekenen of met inklemmen. Je vindt u� = 3150.

13 Laat je resultaten door je docent beoordelen. a

14 Neem de afstand op de verticale as. Teken bijvoorbeeld een rechte lijn door 𝑂 (0, 0) en het eindpunt 𝐸 (256, 5; 3000).

b Ongeveer 11, 70 m/s. c u� ≈ 11, 70u�

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 69

6

Diagrammen

6.1 Schema's

1 Hoe je vanuit de basisschool door het voortgezet onderwijs naar het hoger onderwijs en een beroep kan gaan.

b Daar zijn de meeste details te zien.

c Dat de school er een overgangsregeling voor heeft.

d Die zijn wel mogelijk maar niet alleen door de school zelf gereglementeerd, er zijn ook andere partijen bij betrokken.

e Je hebt dan een diploma of een overgangsbewijs, maar je gaat naar een lager schooltype dan op grond van je diploma of het overgansgbewijs mogelijk is.

f Als je naar het mbo wilt moet je een overgangsbewijs van 3havo naar 4havo hebben, wil je naar 4vmbo dan hoeft dat niet.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

2 Er ontbreken veel te veel details.

b Juist omdat de details ontbreken kun je de hoofdzaken beter zien.

c Op de kaart kun je nauwkeurig de route zien, afstanden bepalen, alternatieve routes opzoeken, enz. d Het schema gaat alleen over de directe omgeving van de school.

e Naam en adres van de school, routes van en naar hoofdwegen, de plaats in Nederland, e.d. a

3 Alle lijnen van het Londense metronet. Het is geen kaart van Londen, want dan zijn er nog veel meer details nodig en wordt het voor het uitzoeken van de juiste metrolijn erg onoverzichtelijk.

b Ja, de knooppunten zijn metrostations.

c Linksonder staan de 13 lijnen genoemd. De "National Rail" is een spoorweglijn.

d Het tekentje dat voor de uitdrukking ‘National Rail’ linksonder staat zie je dan ook bij zo’n station. e Neem de Piccadilly-lijn naar South Kensington en stap daar over op de District-lijn naar de Tower. a

4 Bijvoorbeeld de knooppunten ‘neerslag’, ‘grondwater’, ‘oppervlaktewater’, ‘afvalwater’, ‘drinkwater’, ‘industrieel water’.

b De richting is belangrijk. Bijvoorbeeld: de waterzuivering maakt van afvalwater weer grondwater. En de drinkwatervoorziening maakt van oppervlakte water drinkwater.

c Zie ﬁguur.

5 Ja, die functie staat dan hoger in het schema. Alleen bij de bedrijfsleider is het twijfelachtig of de boekhoudkundige medewerker en de kwaliteitsmedewerker echt boven hem staan.

b Nee, die valt onder de directie. c De directie.

d Ja, pijlen zijn nodig om aan te geven wie leiding geeft aan wie. a

6 Van Tenerife naar Gomera en dan van Gomera naar Lanzarote. b Er zijn geen pijlen.

c Bijvoorbeeld de route 𝑇 → 𝐿𝑃 → 𝐻 → 𝐺 → 𝐿 → 𝐹 → 𝐺𝐶 → 𝑇. 7 Zie ﬁguur.

8 Ze hebben dezelfde knooppunten en dezelfde wegen. b Maak er wat moois van...

9 De grafen I en III.

10 Als het goed is wel al kan hij er heel anders uit zien. Alleen ontbreekt de verbinding Portsmouth -Cherbourg.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 71

b Eigen antwoord.

12 Er komen nu pijlen in de graaf omdat er sprake is van éénrichtingsverkeer.

13 Ze hebben allebei vier knooppunten. b Ze hebben allebei vier wegen.

c Nee, want in de rechter graaf is (bijvoorbeeld) 𝐴 niet met 𝐶 verbonden en in de linker wel. Er zijn meer verschillen, je hoeft er maar ééntje te noemen.

14 Zie ﬁguur.

b 28 lijnstukken, dus 56 wedstrijden.

c Er komt dan in elke verbindingslijn een pijl. a

15 Nee.

b Zie ﬁguur.

c Minstens twee: Kansas City en Houston. a

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

b Heidi. a

17 Doen.

b Zie ﬁguur.

c De wandeling is niet mogelijk. Er moeten om zo’n wandeling mogelijk te maken twee knooppunten (startpunt en eindpunt) zijn met een oneven aantal wegen. Alle andere knooppunten moeten een even aantal wegen hebben.

6.2 Afstandstabellen

1 Zie ﬁguur bij b. b Zie ﬁguur.

c In totaal op ongeveer 225 km spoor. d Daar rijdt de NS al.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 73

b 120 km. c 250 km.

d De route via Gomera.

e Dan zie je niet meer hoe je reist (met of zonder tussenstops) als je de gegeven graaf er niet bij hebt, a

3 Een tabel zoals in de uitleg is hier niet zo handig. Liever zo iets:

route afstand (km) Tiel - Elst 33 Elst - Arnhem 11 Arnhem - Doetinchem 30 Doetinchem - Winterswijk 33 Winterswijk - Zutphen 45 Zutphen - Hengelo 45 Hengelo - Oldenzaal 11 Oldenzaal - Bad Bentheim 17 b 181 km.

c Drie keer, in Winterswijk, Zuphen en Oldenzaal.

d Arnhem naar Zutphen gaat zeker sneller met de NS want dan kun je rechtstreeks. Het zal wel een gemengde route worden. Zoek maar via de NS reisplanner, daar vind je ook Synthuslijnen.

4 Hij doet 8 uur over 480 km, dus ⁴⁸⁰₈ = 60 km/uur.

b Bijvoorbeeld de boot van Tenerife naar Gomera vaart _1,5⁴⁰ ≈ 26,7 km/uur.

c Voor wat betreft de tijdsduur kun je het beste via GranCanaria en Fuerteventura gaan, de reistijd is dan 9 uur. Dat is ook de kortste route.

d Bijvoorbeeld de route 𝑇 → 𝐿𝑃 → 𝐻 → 𝐺 → 𝐿 → 𝐹 → 𝐺𝐶 → 𝑇 kost 25,5 uur. a

5 Zie tabel.

route reistijd (min)

Tiel - Elst 32 Elst - Arnhem 7 Arnhem - Doetinchem 37 Doetinchem - Winterswijk 33 Winterswijk - Zutphen 34 Zutphen - Hengelo 40 Hengelo - Oldenzaal 8 Oldenzaal - Bad Bentheim 10

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

b Op het traject Oldenzaal - Bad Bentheim rijdt de Syntustrein het snelst, namelijk 1,7 km/min en dat is ongeveer 102km/uur.

6 Kijk naar de reistijdengraaf. Het is 2 uur extra varen. b Doen, gebruik de reistijdengraaf.

c Nee, voor de rondreis maakt het éénrichtingsverkeer niet uit. De route 𝑇 → 𝐿𝑃 → 𝐻 → 𝐺 → 𝐿 → 𝐹 → 𝐺𝐶 → 𝑇 kost ook nu 25,5 uur.

7 10 wedstrijden.

b In de weg staat een pijl van 1A naar 1D. Klas 1A heeft ook van klas 1E gewonnen. c Zie tabel. van 1A 1B 1C 1D 1E naar 1A - 1 1 0 0 1B 0 - 0 0 0 1C 0 1 - 0 0 1D 1 1 1 - 0 1E 1 1 1 1 -d 1E

8 Maak een mooie graaf. Alleen tussen Arthur en Daniëlle ontstaat tweerichtingsverke(e)r(ing). a

9 50 km.

b Doen. Er zijn meerdere mogelijkheden, onder andere kan de route van 𝑃 naar 𝑈 langs 𝑅 gaan. De graaf wordt dan eenvoudiger, er zijn maar drie wegen nodig.

c Zie ﬁguur.

d Van Paaldorp. Er zijn in dat dorp 11 vertrokken en 6 bijgekomen. Dus er zijn 5 mensen minder. a

10 3 punten. b Zie ﬁguur.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 75

11 Zie tabel.

Vliegverbindingen v.v. afstand (km) Los Angeles - Chicago 2800 Los Angeles - Kansas City 2180 Kansas City - New York 1760 Kansas City - Chicago 660 Kansas City - Houston 1040

New York - Miami 1760

New York - Chicago 1150 New York - Houston 2280

Houston - Miami 1560

b Zie ﬁguur.

c Via Kansas City en Houston (kortste route) ben je ongeveer 4,78 uur kwijt. Dat is ongeveer 4 uur en 47 minuten.

12 Ja, Claudia moet met lijn 1 van de Sportlaan naar de Hoofdstraat, vervolgens met lijn 3 van de Hoofd-straat naar het Beukenplein en tenslotte met lijn 2 van het Beukenplein naar de Kruisweg.

13 De graaf kan er op verschillende manieren uitzien. Rond alle afstanden ruim naar boven af (schepen kunnen zelden rechte routes varen, zeker in de buurt van havens). Een rechtstreekse verbinding van Herm naar St.Helier is onlogisch, je gaat dan langs Sark of langs St. Peter Port.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

StPP Herm Sark StAn StHe

StPP – 6 10 45 32

Herm 6 – 5 – 26

Sark 10 5 – 32 26

StAn 45 – 32 – 65

StHe 32 26 26 65 –

b Zie tabel. De reistijden zijn ook naar boven afgerond en in minuten. StPP Herm Sark StAn StHe

StPP – 10 15 68 48 Herm 10 – 8 – 40 Sark 15 8 – 48 40 StAn 68 – 48 – 98 StHe 48 40 40 98 – c Zie tabel. van

StPPHermSarkStAnStHe

naar StPP– – 15 68 48 Herm10 – – – 40 Sark15 8 – 48 40 StAn68 – 48 – 98 StHe48 48 40 98 – d Eigen antwoord. a

14 Bacteriën van het soort Dockus eten bacteriën van het soort Charmil.

b Geen enkele. Deze soort zal waarschijnlijk uitsterven of een andere voedselbron hebben. c Geen enkele, dus diersoort 𝐴 heeft geen (on)natuurlijke vijanden.

d 𝐴 en 𝐶 want zij eten beide soort 𝐵.

e Kennelijk verspreidt de ziekte zich door het eten van zieke dieren.

Diersoort 𝐴 zal ziek worden want 𝐶 wordt gegeten door 𝐷, 𝐷 door 𝐵 en 𝐵 weer door 𝐴. Onder diersoort 𝐸 zal de ziekte niet uitbreken.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 77

6.3 Gemiddelden

1 (9 + 8 + 7 + 6,5 + 7 + 5,5 + 10 + 7 + 7 + 5 + 10) /11 = 82/ 11 ≈ 7,45.

b Een 7, want het eerste cijfer achter de decimale komma is een 4 dus je moet naar beneden afronden. 2 (6 + 7 + 5 + 8 + 4 × 3,5 + 4 + 5,5 + 6 + 8 + 4 × 8) /16 = 95,5/ 16 ≈ 6,0. a 3 Zie tabel. R1 R2 R3 RE nederlands 7,2 7,1 5,9 6,7 engels 7,0 7,5 7,6 7,4 geschiedenis 8,0 7,2 6,1 7,1 wiskunde 8,0 6,4 7,3 7,2 b Zie tabel. R1 R2 R3 RE nederlands 7,2 7,1 5,9 6,5 engels 7,0 7,5 7,6 7,5 geschiedenis 8,0 7,2 6,1 6,8 wiskunde 8,0 6,4 7,3 7,1 c Zie tabel. R1 R2 R3 RE nederlands 7,2 7,1 5,9 6,6 engels 7,0 7,5 7,6 7,4 geschiedenis 8,0 7,2 6,1 6,9 wiskunde 8,0 6,4 7,3 7,1

d Het maakt niet erg veel uit, de eerste manier is nog het gunstigst (voor drie vakken het hoogste gemid-delde).

4 (34 + 29 + 37) /3 = 100/ 3 ≈ 33,3 km/uur. a

5 Zie het voorbeeld.

b 25,9 /4 = 6,475 , dus het cijfer wordt op één decimaal nauwkeurig een 6,5, maar het eindcijfer (afronden op een geheel getal) blijft 6.

6 (115 + 136) /5 = 50,2 ton. a

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

b Daarvoor moet hij gemiddeld een 7,5 staan. Gebaseerd op 7 cijfers moet hij dan 52,5 punten hebben. Nu heeft hij er nog pas 42 en meer dan een 10 halen gaat niet.

c (6 × 7 + 2 × 9) /8 = 7,5 . Het rapportcijfer wordt dan een 8. a

8 Zie het voorbeeld.

b 32,8 /5 = 6,56 , dus het cijfer wordt op één decimaal nauwkeurig een 6,6 en het eindcijfer (afronden op een geheel getal) wordt 7.

9 Het kleinere veld levert per ha 51 ton aardappelen op, het grotere veld levert per ha 54,4 ton aardap-pelen op.

Gemiddeld dus (51 + 54,4) /2 = 52,7 ton per ha. a

10 (6 + 2 × 6 + 6 + 2 × 7 + 5 + 2 × 7,5 + 3 × 5) /12 ≈ 6,1 dus eindcijfer 6. b 83,5 /12 ≈ 7,0 dus een 7 op het rapport.

11 ⁴⁵₆₀× 34 + 0.5 × 29 +⁵⁰₆₀× 37 = 72,5 km in 125 minuten, dus in ^72,5_2,08 km/uur. Dat is 34,8 km/uur.

12 7,1

b 6,9

c Een 7 op het rapport.

13 (24 × 6,7 + 28 × 6,9) /52 ≈ 6,8 . 14 (27 × 6,5 + 10) /28 ≈ 6,6 . 15 ≈ 1,007 kg/liter. 16 15,04 g/cm³. a 18 ba

17 Stel: Amsterdam - Moskou is ongeveer 2400 km. Over de heenreis doe je dan 2 uur, over de terugreis 3 uur. Dus over de totale afstand van 4800 km doe je 5 uur. Je gemiddelde snelheid is 960 km/uur. (Merk op dat dit niet gewoon het gemiddelde van beide snelheden is!)

b Neem aan dat de afstand u� km is.

Over de heenreis doe je dan₁₂₀₀û� uur, over de terugreis₈₀₀û� uur. Dat is samen₂₄₀₀^2⋅u� +₂₄₀₀^3⋅u� =₂₄₀₀^5⋅u� = ₄₈₀¹ ⋅u� uur waarin hij 2 ⋅ u� km aflegt.

Dus elke ₄₈₀¹ uur 2 km en dat is 960 km/uur.

c Ongeveer 63,87. (Als je de berekening van het harmonisch gemiddeld lastig vindt, doe dit dan op de manier van opgave a met 110 en 45 als snelheden en kies zelf een afstand. Welke afstand maakt niet uit.) d Ongeveer 109 km/uur.

6.4 Frequentietabellen

a 1 10 b 29 c 5 a 2 11 b 27 c 2 a 3 Zie tabel.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 79

cijfer frequentie 3 1 4 2 5 2 6 7 7 10 8 4 9 2 10 1 totaal 29

b Je kunt meteen zien hoe vaak elk cijfer voor komt. c 10 en dat klopt.

d Dat zijn meerdere cijfers: 3 en 4. a 4 ¹⁰₂₉≈ 0,345 b Zie tabel. cijfer frequentie 3 ₂₉¹ ≈ 0,034 4 ₂₉² ≈ 0,069 5 ₂₉² ≈ 0,069 6 ₂₉⁷ ≈ 0,241 7 ¹⁰₂₉≈ 0,345 8 ₂₉⁴ ≈ 0,138 9 ₂₉² ≈ 0,069 10 ₂₉¹ ≈ 0,034

c Je kunt dan gemakkelijker vergelijken met bijvoorbeeld een andere klas. a

5 Zie het voorbeeld.

b De frequenties zijn gewichtsfactoren, ze bepalen hoe vaak een cijfer meetelt. c Elk cijfer heeft dan gewichtsfactor 1.

6 Zie de tabel met relatieve frequenties. Het gemiddelde bereken je door elk cijfer met de relatieve fre-quentie te vermenigvuldigen en dan alle resultaten op te tellen. Dus 3 ×₂₉¹ + 4 ×₂₉² + 5 × ₂₉² + ...

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN cijfer frequentie 3 ₂₉¹ 4 ₂₉² 5 ₂₉² 6 ₂₉⁷ 7 ¹⁰₂₉ 8 ₂₉⁴ 9 ₂₉² 10 ₂₉¹

b De relatieve frequenties zijn samen altijd 1. a

7 In 1H is 17,2% onvoldoende, in 1J is dat 16,0%. Een echte conclusie kun je hier nauwelijks uit trekken, de percentages verschillen weinig.

b In 1H heeft 13,7% het cijfer 8 of hoger, in 1J is dat 28,0%. Echt hoge cijfers zijn er in B1J duidelijk meer gehaald dan in B1H.

8 Zie tabellen.

cijfer frequentie relatieve freq. (%)

3 0 0,0 4 0 0,0 5 4 16,0 6 8 32,0 7 6 24,0 8 5 20,0 9 2 8,0 10 0 0,0 totaal 25 100

cijfer frequentie relatieve freq. (%)

3 1 3,4 4 2 6,9 5 2 6,9 6 7 24,1 7 10 34,5 8 4 13,8 9 2 6,9 10 1 3,4 totaal 29 100

b Probeer niet alleen één of meer conclusies te trekken, maar beschrijf bij elke conclusie ook waarom je die trekt. Bijvoorbeeld dat de cijfers in B1J verder uit elkaar liggen dan in B1H omdat in B1J alleen cijfers van 5 tot en met 9 voorkomen en in B1H van 3 tot en met 10.

9 2 leerlingen.

b Er moet een reden zijn om twee cijfers (zoals de 7 voor science en de 8 voor wiskunde) aan elkaar te koppelen. In dit geval is die reden dat ze door dezelfde leerling zijn behaald.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 81

d 7 van de 29 leerlingen en dat is ongeveer 24,1%. a

10 Nee, niet echt. het grootste verschil is een leerling met een 4 voor science en een 6 voor wiskunde. (En die 6 kun je geen hoog cijfer noemen.)

b Nee, net zo min.

c Ja, wel min of meer, hoewel het verband ook weer niet heel erg sterk is.

d Dan waren er ook leerlingen die met hun scores terecht komen in de vakjes links onder en rechts boven in de tabel.

11 Zie de tabel.

b Maak een extra kolom cijfer × frequentie in je frequentietabel. Je vindt 194 /29 ≈ 6,7 .

c Zie tabel. Voor het gemiddelde hoef je nu alleen de getallen in de eerste en de derde kolom te verme-nigvuldigen en op te tellen. (En delen door 100 als je relatieve frequenties percentages zijn.)

d Zie tabel.

e De cijfers voor frans liggen dichter bij elkaar. Het gemiddelde voor frans is iets hoger, maar dat scheelt maar heel weinig.

12 Zie de tabel.

b 7 leerlingen.

c Leerlingen die een goed cijfer voor frans hebben, hebben dit vaak ook voor wiskunde en omgekeerd. De cijfers voor beide vakken verschillen (op één leerling na) hoogstens één punt van elkaar.

13 Uit 29 leerlingen.

b 15 van de 29 leerlingen is ongeveer 51,7%. c 60 /29 ≈ 2,1 tantes gemiddeld.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

d Ja, er zijn gemiddeld 64 /29 ≈ 2,2 ooms. a 14 Zie tabel. meisjes jongens freq % freq % 36 2 15,4 1 6,2 37 5 38,5 2 12,5 38 3 23,1 3 18,8 39 2 15,4 3 18,8 40 1 7,7 2 12,5 41 0 0,0 3 18,8 42 0 0,0 2 12,5 13 100 16 100

b De gemiddelde schoenmaat van de meisjes is ongeveer 37,6 en die van de jongens is ongeveer 39,3. Op grond hiervan kun je eigenlijk nog niks concluderen, de aantallen zijn veel te klein en het verschil is niet erg groot.

c Bijvoorbeeld dat de schoenmaten bij de jongens wat verder uit elkaar liggen en er naar verhouding wat grotere maten bij zijn dan bij de meisjes. Maar het zou natuurlijk allemaal toeval kunnen zijn... a 15 Doen. b Doen. c Doen. d Doen.

6.5 Diagrammen

1 Vermoedelijk Duitsland want daar zijn 900 ﬁetsen per 1000 inwoners en Duitsland heeft veel meer inwoners dan Nederland. Die informatie ontbreekt echter.

b 1019 km per jaar.

c Nee, want bijvoorbeeld 81 is meer dan drie keer zo groot als 24 en dat klopt in de ﬁguur beslist niet. d Erg twijfelachtig, sterk afhankelijk van hoe je precies meet. En... telt de dikte van de ﬁets ook mee?

e Omdat het aantal inwoners per land erg verschillend is. a

2 Deze infographic vergelijkt Nederland, België en Duitsland op het gebied van het gebruik van internet. b Omdat in NL het percentage huishoudens met internettoegang groter is. Maar DE heeft veel meer

in-woners, dus het (lagere) percentage van DE gaat toch over veel meer huishoudens.

c In DE: 32643000 huishoudens is 81%. Dus (gebruik een verhoudingstabel en reken via 1) zijn in DE ongeveer 40300000 huishoudens.

d In DE want 30% van de individuele duitsers is een veel groter aantal dan 32% van de individuele neder-landers.

WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > DIAGRAMMEN

STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 83

e In België is het percentage het grootst, dat zie je bij ‘Online bestellen over de grens’. Maar waarschijnlijk zal in DE de totale hoeveelheid (in euro) het grootst zijn omdat dit veel kleinere percentage toch over meer mensen gaat.

f In België wordt relatief veel over de grens besteld, terwijl er ook nogal veel aanbieders via internet in

In document Wiskunde voor 1 havo/vwo (pagina 65-100)