3 Kwadratisch en exponenti-exponenti-eel
3.1 Kwadratische verbanden
a 1 Zie tabel. u� 0 1 2 3 4 5 u� 0 1 4 9 16 25 b Zie tabel. u� −1 −2 −3 −4 −5 u� 1 4 9 16 25
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 43
c Zie figuur. Deze figuur is gemaakt met behulp van GeoGebra.
d Volgens de formule u� = 2,52= 6,25.
Trek je een recht lijnstukje tussen (2, 4) en (3, 9), dan zit halverwege het punt (2,5; 6,5) en klopt bij u� = 2,5 de waarde van u� (namelijk 6,5) niet met de waarde volgens de formule.
Dit kun je voor veel meer punten controleren! a
2 De waarden die u� kan aannemen zijn in principe onbeperkt, dus je kunt nooit de hele grafiek zien. b Nee, negatieve u�-waarden zijn bij deze formule niet mogelijk.
c Voor u� = 3 en voor u� = −3. d Voor u� = √10 en voor u� = −√10.
a
3 Zie de tabel.
u� −4 0 4 8 10 12 16 20 24
ℎ −0,46 0,50 1,14 1,46 1,50 1,46 1,14 0,50 −0,46
b Doen. Denk er aan dat de grafiek ook bestaat voor waarden die voor de baan van de tennisbal niet kunnen.
c De verticale lijn door (10; 1,5). d Het punt (10; 1,5).
e Het net staat (zie figuur in de uitleg) op 12 m van het tenniskanon. Als je u� = 12 invult in de formule, krijg je ℎ = 1,46. Dus de bal zit dan op 1,46 m hoogte en het net is maar 1 m hoog.
f ℎ = 0 als u� ≈ 22,2 m. a
4 Doen.
b Je kunt natuurlijk de tabel op veel manieren aanpassen, gewoon dezelfde u�-waarden nemen en opnieuw de uitkomsten uitrekenen is op zich prima. Maar het gemakkelijkst is het verhogen van alle u�-waarden
met 10; je hoeft dan de u�-waarden niet te veranderen!
Teken nu zelf de grafiek. Hij ziet er hetzelfde uit als die bij a, alleen 10 naar rechts geschoven. De top wordt (10, 0).
c In de tabel vermenigvuldig je alle uitkomsten met −0,01. De grafiek wordt dan een bergparabool en hij wordt ‘platter’ omdat alle uitkomsten met 0,01 worden vermenigvuldigd.
d In de tabel tel je bij alle uitkomsten 1,5 op. De grafiek wordt dan 1,5 naar boven verschoven.
e Je begint met de grafiek van u� = u�2 evenwijdig aan de u�-as 10 naar rechts te verschuiven. Dan verme-nigvuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met −0,01 om de volgende grafiek te krijgen. Deze grafiek wordt dan tenslotte nog 1,5 omhoog (evenwijdig aan de u�-as) geschoven. a
5 Je krijgt de formule u� = 0,5 ⋅ (u� − 1)2+ 3.
Je begint met de grafiek van u� = u�2 evenwijdig aan de u�-as 1 naar rechts te verschuiven. Dan verme-nigvuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met 0,5. Tenslotte schuif je de grafiek nog 3 omhoog (evenwijdig aan de u�-as). Controleer dit met de applet.
b Je krijgt de formule u� = 2 ⋅ (u� − 1)2− 3.
Je begint met de grafiek van u� = u�2evenwijdig aan de u�-as 1 naar rechts te verschuiven. Dan vermenig-vuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met 2. Tenslotte schuif je de grafiek nog 3 omlaag (evenwijdig aan de u�-as). Controleer dit met de applet.
c Je krijgt de formule u� = −(u� − 2)2+ 4.
Je begint met de grafiek van u� = u�2 evenwijdig aan de u�-as 2 naar rechts te verschuiven. Dan verme-nigvuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met −1. Tenslotte schuif je de grafiek nog 4 omhoog (evenwijdig aan de u�-as). Controleer dit met de applet.
d Doen.
a
6 Je begint met de grafiek van u� = u�2 evenwijdig aan de u�-as 5 naar rechts te verschuiven. Dan verme-nigvuldig je alle uitkomsten van de grafiek die daarbij ontstaat met −0,5. Tenslotte schuif je de grafiek nog 8 omhoog (evenwijdig aan de u�-as).
b De verticale lijn door de top (5, 8).
c Maak een tabel. Je vindt (0, −4,5) op de u�-as en (1, 0) en (9, 0) op de u�-as a
7 Bekijk de tabel in het voorbeeld voor het antwoord.
b Omdat je dan een te klein deel van de grafiek krijgt te zien. De top van de parabool wordt nog niet bereikt.
c Doen. (Je weet al hoe de grafiek er uit ziet!)
d Bij u� = 1 vind je ℎ = 0,69. Dezelfde uitkomst vind je bij u� = 21. a
8 Maak een grafiek bij deze tabel.
u� −2 −1 0 1 2 3 3
u� 14 4 −2 −4 −2 4 14
b De symmetrieas is de verticale roosterlijn door de top (1, −4).
c Uit de grafiek kun je aflezen dat er twee waarden voor u� zijn waarbij de uitkomst 0 is. Dat zijn u� ≈ −0,4 en u� ≈ 2,4. Vul je deze waarden stuk voor stuk in de formule in, dan krijg je beide keren ongeveer 0 als uitkomst. (Helemaal precies lukt dit niet, je gevonden waarden zijn maar benaderingen!)
a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 45
u� −8 −6 −4 −3 −2 −1 0 2 4
u� 4,95 0,55 −2,25 −3,05 −3,45 −3,45 −3,05 −1,05 2,55
b Omdat de uitkomsten bij u� = −1 en u� = −2 gelijk zijn (net als die bij u� = 0 en u� = −3) is de symmetrieas is de verticale roosterlijn waarvoor geldt u� = −1,5. De top heeft dus ook als u�-waarde −1,5. Als je deze waarde invult in de formule krijg je u� = −3,5. De top is dus (−1,5; −3,5). (Overigens kun je deze top ook wel direct uit de formule aflezen. Controleer dat en onthoud hoe je die top uit de formule kunt halen.)
c Uit de grafiek kun je aflezen dat er twee waarden voor u� zijn waarbij de uitkomst 1 is. Dat zijn u� ≈ −6,2 en u� ≈ 3,2. Vul je deze waarden stuk voor stuk in de formule in, dan krijg je beide keren ongeveer 1 als uitkomst. (Helemaal precies lukt dit niet, je gevonden waarden zijn maar benaderingen!)
d Deze vergelijking heeft maar één oplossing, namelijk u� = −1,5. e Deze vergelijking heeft geen oplossingen, dat zie je in de grafiek. a
10 Omdat het getal waarmee je het kwadraat vermenigvuldigt negatief is, krijg je een bergparabool. De u�-coördinaat van de top lees je binnen het kwadraat (dus binnen de haakjes) af: als u� = 3 is het kwadraat in zijn geheel 0 en dat is de uiterste waarde die een kwadraat kan hebben. Als dat kwadraat dan 0 is, blijft alleen u� = 4 als uitkomst over. De top is dus (3, 4).
b Teken de grafiek bij deze tabel.
u� −1 0 1 2 3 4 5 6 7
u� −4 −0,5 2 3,5 4 3,5 2 −0,5 −4
c Doen. a
11 Dalparabool met top (1, 5). b Dalparabool met top (−2, 1). c Dalparabool met top (4, 1). d Bergparabool met top (−2, 0).
e Dalparabool met top (0, 4). f Bergparabool met top (1, 4). a
12 Zie tabel, teken zelf de grafiek.
u� −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2
u� 0 −5 −8 −9 −8 −5 0 7 16
b u� = (u� + 3)2− 9 = u�2+ 6u� + 9 − 9 = u�2+ 6u�
c Je ziet dan meteen dat het om een dalparabool gaat met top (3, −9). En dan kun je veel gemakkelijker een geschikte tabel maken en de grafiek tekenen.
a
13 u�2+ 5u� = (u� + 2,5)2− 6,25 b u� = u�2+ 16u� = (u� + 8)2− 64
c u� = u�2+ 16u� + 10 = (u� + 8)2− 64 + 10 = (u� + 8)2− 54 d u� = u�2− 6u� = u�2+ −6u� = (u� + −3)2− (−3)2= (u� − 3)2− 9
a
14 u� = u�2+ 2u� = (u� + 1)2− 1 b u� = u�2+ 7u� = (u� + 3,5)2− 12,25 c u� = u�2− 4u� = (u� − 2)2− 4
d u� = u�2− u� = (u� − 0,5)2− 0,25
e u� = u�2− 10u� + 20 = (u� − 5)2− 100 + 20 = (u� − 5)2− 80
f u� = 12 − 8u� + u�2= u�2− 8u� + 12 = (u� − 4)2− 16 + 12 = (u� − 4)2− 4 a
15 u� =12(u� − 2)2+ 1 = 21(u�2− 4u� + 4) + 1 = 12u�2− 2u� + 3 b u� =12(u�2− 4u� + 6) = 21((u� − 2)2− 4 + 6) = 12(u� − 2)2+ 1
c De top is (2, 1) en de symmetrieas is de verticale lijn door deze top. d Maak een grafiek bij deze tabel.
u� −1 0 1 2 3 4 5
u� 5,5 3 1,5 1 1,5 3 5,5
e Je vindt twee oplossingen, namelijk u� ≈ −0,4 en u� ≈ 4,4 a
16 ℎ = 2,2 m. b Het punt (3, 4).
c Doen, je hebt de figuur nodig voor d.
d Op ongeveer 5,2 m voor de verticale lijn door het midden van de basket. a
17 Dalparabool met top (6, 1) en als symmetrieas de verticale lijn door deze top. b Bergparabool met top (−2, 0) en als symmetrieas de verticale lijn door deze top. c Bergparabool met top (10, 100) en als symmetrieas de verticale lijn door deze top. d Dalparabool met top (0, −4) en als symmetrieas de u�-as.
a
18 90 km/uur is 25 m/s. En dan is 𝑅 = 252/16 ≈ 39,1 m. b Maak een grafiek bij deze tabel.
u� 0 10 20 30 40
u� 0 6,25 25 56,25 100
c u�2/16 = 65
d De oplossing van de vergelijking is u� ≈ 32,2 m/s en dat is ongeveer 116 km/uur. a
19 Bergparabool met top (−2, 1).
b Formule herleiden: u� = u�2− 8u� + 2 = (u� − 4)2− 14. Dalparabool met top (4, −14).
c Formule herleiden: u� = 4(u� − 3) + 2 = 4u� − 4. Lineaire formule met richtingscoëfficiënt 4.
d Formule herleiden: u� = −0,1u�2+ u� = −0,1(u�2− 10u�) = −0,1((u� − 5)2− 25) = −0,1(u� − 5)2+ 2,5 Bergparabool met top (5, 2,5).
e Formule herleiden: u� = (u� − 3)2− u�2= −6u� + 9. Lineaire formule met richtingscoëfficiënt −6.
f Formule herleiden: u� = u�(u� − 5) = u�2− 5u� = (u� − 2,5)2− 6,25 Dalparabool met top (2,5; −6,25).
a
20 u�1= 0,5(u�2− u�) = 0,5((u� − 0,5)2− 0,25) = 0,5(u� − 0,5)2− 0,125. b Teken grafieken bij deze tabel.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 47
u� −2 −1 0 1 2 3 4 5
u�1 3 1 0 0 1 3 6 10
u�2 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
c Het gaat om de u�-waarden van beide snijpunten. Uit de grafiek lees je af: u� ≈ 0,7 of u� ≈ 2,7. Ga zelf na dat deze waarden voor u� voor u�1en u�2(vrijwel) hetzelfde opleveren.
a
21 Iedere speler speelt tegen u� − 1 tegenspelers. b u� = u� ⋅ (u� − 1) = u�2− u� = (u� − 0,5)2− 0,25 c Zie tabel.
u� 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
u� 0 90 380 870 1560 2450 3540 4830 6320 8010 9900
d Gebruik de grafiek en verfijn de tabel. Je vindt dat dit het geval is bij maximaal 71 deelnemers. 22 Vanwege de coördinaten van de top is de formule u� = u� ⋅ (u� − 4)2+ 10.
Nu vul je het punt (0, 6) in. Dit geeft u� = −0,25. De complete formule is u� = −0,25 ⋅ (u� − 4)2+ 10. a
23 Substitueer u� = 640 in de formule.
b Substitueer u� = 0 in de formule en je vindt u� = 3 m.
c Substitueer u� = 7,5 (of u� = −7,5) in de formule en je vindt u� ≈ 3,02 m. d Substitueer u� = 622,5 (of u� = −622,5) in de formule en je vindt u� ≈ 144 m.
a
24 Zie tabel. Bij u� = −1 is de verandering ten opzichte van u� = −2 ingevuld.
u� −1 0 1 2 3 4 5
u� 3 5 7 9 11 13 15
verandering 2 2 2 2 2 2 2
b Zie tabel. Bij u� = −1 is de verandering ten opzichte van u� = −2 ingevuld.
u� −1 0 1 2 3 4 5
u� 7 5 7 13 23 37 55
verandering −6 −2 2 6 10 14 18
tweede verandering 4 4 4 4 4 4 4