3 Kwadratisch en exponenti-exponenti-eel
3.4 Exponentiële vergelijkingen
a
1 1,014
b 𝑁 = 0,45 ⋅ 1,014u� c 0,45 ⋅ 1,014u�= 2
d Je vindt u� ≈ 107, dus dat zou in 2007 het geval moeten zijn geweest. a
2 In 2000 is er 0,45 ⋅ 1,014100 ≈ 1,81 miljard hectare gebruikte landbouwgrond nodig. De groeifactor blijft gelijk dus de formule is nu 𝑁 = 1,81 ⋅ 1,014u�.
b Er komt een vaste hoeveelheid per jaar bij, dus voor de beschikbare hoeveelheid grond is sprake van lineaire groei. De bijbehorende formule is 𝐵 = 2 + 0,03u�.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 57
c 1,81 ⋅ 1,014u�= 2 + 0,03u�
d Je vindt u� ≈ 43, dus dat zou in de loop van 2042 het geval moeten zijn. a
3 Omdat er een antwoord wordt gevraagd in één decimaal nauwkeurig en uit de tabel blijkt dat het tussen de 6,35 en de 6,40 in ligt. Dan krijg je afgerond op één decimaal altijd 6,4.
b Maak een inklemtabel. Als het goed is vind je 6,38 uur. a
4 𝐶 = 8 ⋅ 0,95u�
b Maak een grafiek bij deze tabel.
u� 0 20 40 60 80 100
𝐶 8,00 2,87 1,03 0,37 0,13 0,05
c Maak een inklemtabel. Je vindt nu dat de gewenste concentratie wordt bereikt als u� ≈ 85,4. En dus is dit na 86 dagen het geval.
a
5 A: 𝐾 = 2000 ⋅ 1,025u� B: 𝐾 = 2000 + 80u�
b Maak een tabel. Je vindt dat dit aan het eind van 2037 het geval is. a
6 Zie het voorbeeld voor het antwoord.
b Omdat je aan beide zijden van de vergelijking waarmee je het tijdstip van een verdubbeling van de startwaarde berekent door die startwaarde kunt delen.
c Ook na ongeveer 17,673 jaar.
7 In de loop van 2041. (Maak zelf een geschikte tabel.) a
8 Zie het voorbeeld voor het antwoord.
b Doen, denk om het aantal uren in een dag, het aantal minuten in een uur, enzovoorts.
c Omdat het gaat om het uitkomen op een waarde die precies 2 keer zo groot is als die beginconcentratie. En 40 ⋅ 0,80u�= 40 ⋅ 2 is te herleiden tot 0,80u�= 2.
a
9 0,98u�= 0,5 oplossen door inklemmen geeft u� ≈ 34,3, dus na 35 jaar. b 0,98u�= 0,1 oplossen door inklemmen geeft u� ≈ 114,0, dus over 114 jaar. a 10 𝐾1= 1000 ⋅ 1,02u� b 𝐾2= 800 ⋅ 1,035u� c 𝐾1= 1000 ⋅ 1,0210≈ 1218,99 𝐾2= 800 ⋅ 1,03510≈ 1128,48 d 1000 ⋅ 1,02u�= 800 ⋅ 1,035u�
e In de loop van het zestiende jaar. a
11 Per 10 minuten moet de hoeveelheid werkzame stof halveren en 0,50,1⋅10= 0,5. b Doen, maak een tabel met voor u� de getallen 0, 10, 20, ..., 50.
c Teken de grafiek van 𝐵 = 500 − 500 ⋅ 0,50,1u�. d Je vindt ongeveer 33 minuten.
a
12 0,7 ⋅ 1,035u�= 4 (0,7, +, 0,008, u�).
b Tussen u� = 54 en u� = 55, dus in de loop van het 54ste jaar na 1972. In de loop van 2026.
13 De groeifactor per jaar is 0,88. Stel het aantal nu op 100%. De vraag levert dan deze vergelijking op: 100 ⋅ 0,88u�= 0,1. Met behulp van inklemmen vind je: u� ≈ 18. Dus na ongeveer 18 jaar is er nog slechts 10% over.
14 Noem die groeifactor u�, dan moet in dit geval u�30= 2. Met behulp van inklemmen vind je: u� ≈ 1,023. Dus ongeveer 2,3%.
a
15 De halveringstijd is 5736 jaar.
Als u� de groeifactor per jaar is geldt dus: u�5736 = 0,5. Bijvoorbeeld met inklemmen vind je u� ≈ 0,999879.
b De voorspelling wordt dan zo nauwkeurig mogelijk. c Als u� de leeftijd van de mummie is moet 0,999879u�= 0,6.
Deze exponentiële vergelijking los je op met inklemmen: u� ≈ 4221.
d Hij leefde ongeveer 3252 jaar voordat zijn graf werd gevonden (en zijn mummie op C14 werd onder-zocht). Omdat 0,9998793252≈ 0,67 was er de C14-concentratie nog ongeveer 67%.
a
16 1029 ⋅ 1,01578≈ 1166 b 1242 ⋅ 1,00849≈ 1339
c Maak tabellen voor 𝐼 = 1166 ⋅ 1,0157u�en 𝐶 = 1339 ⋅ 1,0084u�waarin u� het aantal inwoners na 2009 is. Je vindt dan dat China in 2029 voor het eerst een kleiner inwoneraantal dan India heeft.
3.5 Ongelijkheden
1 Neem u� voor de tijd in jaren met u� = 0 in 1900. Dan kun je twee formules maken:
> benodigde hoeveelheid landbouwgrond: 𝐻u�= 0,45 ⋅ 1,014u�.
> beschikbare hoeveelheid landbouwgrond: 𝐻u�= 2 + 0,03 ⋅ u�.
Met behulp van grafieken kun je nu de vraag beantwoorden: vanaf 2110 zal dit het geval zijn. a
2 150 + 0,075u� = 0,10u� geeft 150 = 0,025u� en dus u� = 150 /0,025 = 6000 . b Gebruik de schuifbalk om u� te veranderen.
a
3 Bekijk de genoemde opgave nog een keer. Waarschijnlijk heb je al twee passende formules gemaakt. b Aan tabellen heb je wel genoeg. De oplossing is u� ≥ 210 of u� > 209.
c 0,45 ⋅ 1,014u�≤ 2 + 0,03 ⋅ u�
De oplossing is u� < 209 of u� ≤ 208. a
4 20 − 0,75u� = 30 − 1,5u� geeft 20 + 0,75u� = 30 en 0,75u� = 10 dus u� = 10 /7,5 = 403 = 1313.
b Zie de tabel. Aan deze tabel zie je dat u�1 ≥ u�2 bij de u�-waarden 14, 16, etc. Dus alleen voor waarden ≥ 1313.
u� 0 2 4 6 8 10 12 14 16
u�1 20 18,5 17 15,5 14 12,5 11 9,5 8
u�2 30 27 24 21 18 15 12 9 6
c De grafieken zijn rechte lijnen en je hoeft alleen maar te weten welke van beide grafieken u�1of u�2het hoogst in het assenstelsel ligt. Hoe hij precies loopt is niet belangrijk. Je zou zelfs wel zonder grafieken kunnen door even een paar getallen voor u� in u�1en u�2in te vullen aan weerskanten van het snijpunt. a
5 Bij u�1gaat het om exponentieel verval vanaf (0, 120). Bij u�2gaat het om lineaire afname vanaf (0, 100). Er zijn twee snijpunten.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 59
u� 0 1 2 3 4 5 18 19 20
u�1 120 96 77 61 49 39 2 2 1
u�2 100 95 90 85 80 75 10 5 0
c Voor de waarden 2, 3, ..., 19. a
6 Maak eerst een tabel.
u� 0 1 2 3 4 5 6
u�1 −4 1 4 5 4 1 −4
u�2 6 5 4 3 2 1 0
b Voor alle u�-waarden vanaf 2 tot en met 5. a
7 Doen. Het ongelijkteken klapt om omdat er door een negatief getal wordt gedeeld bij het oplossen van de ongelijkheid.
b = = = =
Je ziet dat nu het teken niet omklapt. a
8 = = = =
b = = = =
d = = = = =
a
9 4−u�2= 2−u� geeft u�2−u� = 2 en na kwadraat afsplitsen (u� − 0,5)2−0,25 = 2. Hieruit volgt (u� − 0,5)2= 2,25 en dus u� − 0,5 = −1,5 en/of u� − 0,5 = 1,5 zodat u� = −1 en/of u� = 2.
b Zie de tabel.
u� −2 −1 0 1 2 3
u�1 0 3 4 3 0 −5
u�2 4 3 2 1 0 −1
c u� ≤ −1 en/of u� ≥ 2. a
10 Maak eerst een schets van de grafieken van u�1= u�2− 4u� en u�2= 5. Bereken vervolgens de u�-waarden van beide snijpunten: u�2− 4u� = 5 geeft (u� − 2)2− 4 = 5 en dus (u� − 2)2= 9 zodat u� − 2 = −3 en/of u� − 2 = 3 en dus u� = −1 en/of u� = 5.
De oplossing is −1 < u� < 5.
b Maak eerst een schets van de grafieken van u�1= u�2en u�2= 6u�. Bereken vervolgens de u�-waarden van beide snijpunten: u�2= 6u� geeft (u� − 3)2− 9 = 0 en dus (u� − 3)2= 9 zodat u� − 3 = −3 en/of u� − 3 = 3 en dus u� = 0 en/of u� = 6.
De oplossing is u� ≤ 0 en/of u� ≥ 6. a
11 = = = =
b = = = =
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 61
d = = = = =
a
12 De grafiek van u�1= −0,1(u� − 20)2+ 50 is een bergparabool met top (20, 50). Teken de grafiek en zet er de horizontale lijn u�2= 40 bij in.
Bereken nu de twee snijpunten uit −0,1(u� − 20)2+ 50 = 40. Dit geeft −0,1(u� − 20)2 = −10 en dus (u� − 20)2= 100. Hieruit vind je u� = 10 en/of u� = 30. En de oplossing wordt 10 ≤ u� ≤ 30.
b Teken de grafieken van u�1= u�2 en u�2= 12 − 4u� in één figuur.
Bereken de twee snijpunten: u�2 = 12 − 4u� geeft u�2+ 4u� = 12 en dus (u� + 2)2 = 16. Hieruit vind je u� = −6 en/of u� = 2. En de oplossing wordt u� < −6 en/of u� > 2.
a
13 Bijvoorbeeld 200 ⋅ 1,009u�< 160 ⋅ 1,026u�als u� het aantal jaren na 2000 is en de bevolkingsaantallen in duizendtallen zijn gegeven.
b Dat doe je met behulp van tabellen. Je vindt u� ≥ 14. Dus als u� = 14 is dit voor het eerst het geval. a
14 Bijvoorbeeld 200 + 1,5u� < 160 ⋅ 1,005u�als u� het aantal jaren na 2000 is en de bevolkingsaantallen in duizendtallen zijn gegeven.
b Dat doe je met behulp van tabellen. Je vindt u� ≥ 83. Dus als u� = 83 is dit voor het eerst het geval. c Breid je tabellen uit naar het negatieve gebied. Het andere snijpunt is ongeveer (−342; 29).
Dit snijpunt heeft hier geen betekenis omdat het erg onwaarschijnlijk is dat de groei van deze steden meer dan 340 jaar geleden al op deze zelfde manier verliep. In ieder geval is daar in deze opgave geen informatie over. Dat betekent trouwens ook dat het antwoord bij b een niet erg betrouwbare voorspelling is...
a
15 −0,2 ⋅ (u� − 3)2+ 4 > 3
b −0,2 ⋅ (u� − 3)2+ 4 > 3 kun je exact oplossen. Je vindt u� = −√5 + 3 en/of u� = √5 + 3. De oplossing van de ongelijkheid is 0,8 ≤ u� ≤ 5,2.
a
16 Je moet de snelheid omrekenen van km/h naar m/s vanwege de eenheden die voor 𝐴 en u� worden gebruikt.
b 𝑆 ≈ 114 m. Veel nauwkeuriger is niet zinvol omdat het maar een vuistregel is die geen rekening houdt met het wegdek (glad of ruw), de weersomstandigheden (natte weg of droge weg), e.d.
c Uit de bewering van Jan volgt: 𝑆 = 100 en u� = 70.
Als je dit in de formule invult krijg je 3,670 ⋅ u� +701002 < 100 en dit geeft u� ≤ 2,6. Dus als zijn reactietijd binnen de 2,6 seconden ligt, dan klopt deze bewering.
d Hiervoor moet je oplossen 12u� +100u�2 = 100. Je vindt u� ≈ 92 km/h. a
17 Doen, maak eerst tabellen.
b Je moet oplossen: 2 ⋅ (1 − 0,5u�) > 0,5 ⋅ u�. Dat doe je door inklemmen. Je vindt 0 < u� < 3,7 gram/m2. c De zaaidichtheid waarbij de opbrengst de kosten zoveel mogelijk overstijgt. Dat is bij u� ≈ 1,6 gram/m2.
3.6 Totaalbeeld
a
1 Dit is een bergparabool. Je ziet dit aan het getal −2: het kwadraat wordt met een negatief getal verme-nigvuldigd en dus zal het grootste deel van de parabool onder de u�-as liggen.
b Top (−1, 2) en symmetrieas een lijn door de top en evenwijdig aan de u�-as. c Maak een grafiek bij (bijvoorbeeld) deze tabel.
u� −4 −3 −2 −1 0 1 2
u� −16 −6 0 2 0 −6 −16
a
2 u� = −3 en/of u� = 1 (gebruik ook de tabel die je bij de voorgaande opgave hebt gemaakt). b Je kunt dit doen door terugrekenen en met behulp van de balansmethode (zoals hieronder).
= = = = =
c Het hoogste punt van de grafiek is de top (−1, 2). a
3 u� = 0,5u�2− 5u� + 8 = 0,5(u�2− 10u� + 16) = 0,5((u� − 5)2− 9) = 0,5(u� − 5)2− 4,5 b Dit is een dalparabool met top (5; −4,5).
c = = = = = =
d (1,7; 1) en (8,3; 1). a
4 Als je de opeenvolgende bevolkingsaantal op elkaar deelt, krijg je steeds ongeveer 1,018, de groeifactor. Het groeipercentage is dus 1,8%.
b 𝑁 = 21400 ⋅ 1,018u�
c Maak een tabel voor de jaren na 2010. Je vindt dan dat dit in 2019 gebeurt. a
5 Als er jaarlijks 5,2% afgaat, krijg je het aantal van het volgende jaar door met 0,948 te vermenigvuldigen. Het getal 0,948 is dan de groeifactor per jaar.
b 𝑁 = 640 ⋅ 0,948u�
c Maak een tabel voor de jaren na 2010. Je vindt dan dat dit in 2023 gebeurt. 6 Eerst maak je de grafieken van u�1= 4 ⋅ 1,2u�en u�2= 12 in één figuur.
Daarmee schat je de waarde van u� waarbij beide formule dezelfde uitkomst hebben. Met een inklemtabel bepaal je dan de oplossing met de gewenste nauwkeurigheid. Je vindt u� ≈ 6,03.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 63
a
7 = = = =
b Eerst los je de bijbehorende vergelijking op: =
= = = =
Je vindt dus u� = −6 en/of u� = 14.
Nu maak je een schets van beide grafieken en bepaal je de oplossing van de ongelijkheid: −6 ≤ u� ≤ 14. c Met behulp van kwadraat afsplitsen kun je de bijbehorende vergelijking oplossen: u�2− 6u� = 2 geeft
(u� − 3)2− 9 = 2 en dus u� = 3 ± √11.
Uit een schets van beide grafieken vind je de oplossing van de ongelijkheid: u� ≤ 3 − √11 en/of u� ≥ 3 + √11.
a
8 u� = 0 in de formule invullen geeft ℎ = 1,59 m. b 3,51 m.
c −0,03(u� − 8)2+ 3,51 = 0 oplossen geeft (u� − 8)2= 117 en dus u� = √117 + 8 ≈ 18,82 m. (De andere oplossing vervalt.)
d Maak eerst een geschikte tabel. a
9 Je vindt 6u�2= 18 en dus u�2= 3. Hieruit volgt u� = −√3 en/of u� = √3.
b 2(u� − 3)2− 2,5 = 5,5 geeft 2(u� − 3)2= 8 en (u� − 3)2= 4. Na worteltrekken krijg je u� = 1 en/of u� = 5. c Haakjes uitwerken geeft u�2− 6u� + 9 = u�2en dus −6u� + 9 = 0 zodat u� = 1,5.
d Nu moet je eerst een kwadraat afsplitsen: (u� + 3)2− 9 = 16 en dus (u� + 3)2= 25. Worteltrekken geeft dan u� = −8 en/of u� = 2.
a
10 (−1, −2)
b De formule heeft vanwege de coördinaten van de top de vorm u� = u�(u� + 1)2− 2. Hierin vul je u� = 0 en u� = 0 in. Daarmee vind je u� = 2.
De complete kwadratische formule wordt: u� = 2(u� + 1)2− 2.
c De rechte lijn gaat onder andere door (−2, 2) en (0, 3). Het hellingsgetal is daarom 0,5, dus je krijgt u� = 3 + 0,5u�.
d (−2,4; 1,8) en (0,6; 3,3). a
11 De factor is 2,351, dus het groeipercentage is ongeveer 135%. b De factor is 1,538, dus het groeipercentage is ongeveer 54%. c 𝐼 = 1257,81,50u�
d 6 jaar, dus in 2012.
12 Ongelijkheid: 8721,027u�> 38641,015u�.
c Maak een tabel, na 10 uur is het pilletje pas uitgewerkt. a 14 𝑆 = 750 ⋅ 1,01u� b 𝐺 = 25u� c 750 ⋅ 1,01u�= 25u� d Na 49 maanden. a
15 Gebruik de balansmethode. Je vindt u� ≥ 2,5. b Gebruik de balansmethode. Je vindt u� ≤ 1.
c Eerst los je de bijbehorende vergelijking op: u� = −2 en/of u� = −18.
Nu maak je een schets van beide grafieken en bepaal je de oplossing van de ongelijkheid: u� ≤ −18 of u� ≤ −2.
d Met behulp van kwadraat afsplitsen kun je de bijbehorende vergelijking oplossen: u� = −6 ± √38. Uit een schets van beide grafieken vind je de oplossing van de ongelijkheid: −6 − √38 ≤ u� ≤ −6 + √38. a
16 Vul u� = 5 in de formule in. De gevoelstemperatuur is −4,09°C, dit is ongeveer −4°C.
b Bij een ‘vrij krachtige wind’ horen windsnelheden van 8,0 tot 10,5 m/s. u� = 8 geeft 𝐺 = −7,09 en u� = 10,5 geeft 𝐺 = −9,42. Dit is hoger dan −13°C, dus het nieuwsbericht is niet juist.
c u� ≈ 9 m/s. (Maak een tabel.)
d Vul beide waarden in de formule in en je vindt: 𝐺 ≈ −24,4°C. De gevoelstemperatuur is 19,4°C lager dan −5°C.
a
17 De afname is 1,65 miljoen vierkante kilometer in 30 jaar. Dat is 1,65 /30 = 0,055 miljoen vierkante kilometer.
b 7 /0,055 ≈ 127 jaar. Dus in 2102. c De groeifactor is 0,92 per 10 jaar.
30 jaar na 1975 is het ijsoppervlak gelijk aan 1,65 ⋅ 0,923≈ 5,45 miljoen vierkante kilometer. Dit klopt ongeveer met de getallen in het eerste artikel.
d Bij u� = 66 is 𝑁 = 1,006.... Bij u� = 67 is 𝑁 = 0,980.... Dus na 67 jaar.
a
18 Je krijgt (u� + 4)2− 16 = 10 en dus (u� + 4)2= 26. Dit geeft u� = −4 ± √26.
b u� = 0,5u� ± √u� − 0,25u�2
c Doen. Je ziet hoe handig zo’n formule is. d Je vindt u� = −9 en/of u� = 2.
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 65
4
Statistiek
4.1 Centrummaten
a
1 193 /29 ≈ 6,7
cijfer frequentie 3 1 4 2 5 2 6 7 7 10 8 4 9 2 10 1 totaal 29 c 7 d Eigen antwoord. a
2 Het inkomen dat het meest voorkomt.
b Dat er meer mensen zijn met een hoger inkomen dan het modale inkomen dan er mensen zijn met een lager inkomen dan het modale.
c Daar kun je een eigen antwoord op geven, er zijn voors en tegens voor beide. Het gemiddelde inkomen zegt het meest over het totale geld wat Nederlanders samen verdienen, maar het modale inkomen laat zien wat de meeste huishoudens verdienen.
a
3 Doen.
b Je kunt dan meteen zien hoe vaak elk cijfer voor komt en dus de modus bepalen. En voor de mediaan moet je alle cijfers op volgorde hebben en dat doe je in een frequentietabel ook.
c Zie figuur.
d Het gemiddelde is op één decimaal nauwkeurig afgerond en de rapportcijfers zijn gehele getallen. a
4 De frequenties optellen, het zijn er 30.
b 6,3
c Dat is het cijfer 7 want dat heeft de hoogste frequentie.
d Bij een even aantal cijfers heb je geen middelste cijfer. De middelste twee cijfers zijn het vijftiende cijfer (een 6) en het zestiende cijfer (een 7). Daar midden tussen in zit 6,5.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 67
Bij even aantallen neem je voor de mediaan het gemiddelde van de middelste twee resultaten. a
5 De tweede kolom bevat absolute en de derde kolom relatieve frequenties. Het narekenen doe je door elke absolute frequentie te delen door het totaal (939534 en dan de uitkomst met 100 te vermenigvul-digen.
b Je zou nog een gemiddelde frequentie kunnen berekenen: het gemiddeld aantal leerlingen per onder-wijssoort. Maar wat moet je met zo’n getal? En welke betekenis heeft ‘Overige’ in dit verband? c Er is op geen enkele wijze een logische volgorde te bedenken.
d De ‘Brugjaren’ natuurlijk, want alle leerlingen van vmbo/havo/vwo zitten eerst in de eerste twee jaren die in deze tabel als brugjaren tussen het basisonderwijs en het voortgezet onderwijs worden gezien. a
6 Doen.
b De mediaan is het middelste cijfer, dus daar zit altijd 50% boven en 50% onder. Bij het gemiddelde hoeft dat niet, bijvoorbeeld is het gemiddeld van vijf vijven en twee tienen ongeveer 6,4. Er zitten dan vijf resultaten onder en maar twee boven.
c In B1E zijn minder onvoldoendes en meer hoge cijfers gehaald.
d In B1H is het percentage 5 /29 ⋅ 100 ≈ 17,2 en in B1E is dat 4 /24 ⋅ 100 ≈ 16,7 . In B1H is dat percentage het grootst als je op één decimaal nauwkeurig afrondt.
a
7 Voor beide vakken is het modale cijfer een 6.
Het gemiddelde voor wiskunde is 6,6 en voor science is dat 6,3. b In wiskunde.
c De leerlingen met de hoogste cijfers hebben allemaal voor wiskunde minstens zo’n hoog cijfer als voor science en nooit voor wiskunde een lager cijfer dan voor science.
a
8 Maak eerst frequentietabellen. School A heeft 44 klassen en school B heeft 50 klassen. b School A heeft 1079 leerlingen en school B heeft 1319 leerlingen.
c Doen.
d Het gemiddelde wordt 26,9, de modus verandert niet. a
9 Op school C komt 20 leerlingen per klas het meeste voor, maar er zullen ook veel klassen zijn die grotere leerlingenaantallen hebben omdat het gemiddelde hoger is. Die klassen hebben echter meer verspreid liggende leerlingenaantallen.
b Nee, dat is alleen maar zo als het aantal havo/vwo leerlingen even groot als het aantal vmbo leerlingen. a
10 40 dagen.
b In totaal 407 meldingen. Waarschijnlijk zijn dat niet 407 leerlingen geweest, er zijn vast wel leerlingen bij die vaker dan één keer te laat zijn gekomen.
c Ongeveer 407 /40 ≈ 10,2 meldingen per dag.
d Ongeveer (407 − 12 ⋅ 7,5) /40 ≈ 7,9 meldingen per dag. a
11 Zie de tabel.
cijfer 2 3 4 5 6 7 8 9 10
aantal 0 1 1 5 7 7 4 1 2
b Er is geen modus, de 6 en de 7 komen even vaak voor. c 6,5
d Gemiddelde: 6,6. Modus: 7. Mediaan: 7.
a
12 Het gemiddelde ligt hier voor de hand. 61/9 = 6,77..., en dat wordt afgerond op 6,8. b Hier is de modus geschikter voor een goede indruk. €1900,= komt het meest voor.
c Een gemiddelde van auto’s en fietsen berekenen kan niet, en van klein naat groot rangschikken is ook een probleem. De modus is wel te bepalen: het openbaar vervoer.
d Hier ligt weer het gemiddelde voor de hand, en dat is 23°C. a
13 Beide bedragen 1000 gram. b 500 /20 = 25
c 20 /500 = 0,04 , dus 4%.
d 20 pakken gerekend over 20 dagen, dus 1 per dag. e 0,96 ⋅ 8500 = 8160 pakken.
a
14 Van 45 doosjes lucifers. b 1599 lucifers.
c 35,5 lucifers.
d Omdat er het aantal doosjes met minder dan 38 lucifers groter is dan het aantal doosjes met meer dan 38 lucifers.
15 Dat grote verschil kan ontstaan als er één of meerdere enorm hoge prijzen zijn uitgekeerd. Voorbeeldje? Twee prijzen van €1000,=, twee van €1500,= en één van €95.000,=.
16 Om een 8 te halen moet het gemiddelde 7,5 (of hoger) zijn. Noem het te behalen cijfer u�, dan moet 12 ⋅ 7,2 + 3 ⋅ u� = 15 ⋅ 7,5. Dit betekent dat u� = 7,7 (of hoger).
Dus dat kan gemakkelijk... a
17 Vergelijk je resultaten met die van de andere leerlingen.
b Vergelijk je resultaten met die van de andere leerlingen. Het gemiddeld is ongeveer 7,5 en de mediaan en de modus zijn beide 8.
c Vergelijk je resultaten met die van de andere leerlingen. d Vergelijk je resultaten met die van de andere leerlingen.
a
18 Vergelijk je resultaten met die van de andere leerlingen. b Alleen de modus. In dit geval is januari de modus.
c Vergelijk je resultaten met die van de andere leerlingen. Opvallend is dat van deze leerlingen er maar weinig in februari en augustus zijn geboren. Heb je daar een verklaring voor?
4.2 Spreidingsmaten
a
1 Allebei 6,7.
b Nee, de behaalde cijfers zijn toch wel verschillend. Zo komt bij wiskunde het cijfer 4 niet voor en bij engels twee keer, maar anderzijds komt bij wiskunde het cijfer 10 niet voor en bij engels wel.
c Bijvoorbeeld met behulp van frequentietabellen, of met diagrammen. a
2 Bij beide is dat het cijfer 3.
b Bij engels een 10 en bij wiskunde een 9.
c Het lijkt er wel op, maar erg duidelijk wordt dit vanuit deze tabel niet. Een frequentietabel laat dat duidelijker zien. Die éne 3 bij wiskunde lijkt ook een echte uitschieter.
a
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > INFORMATIE VERWERKEN > STATISTIEK
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 69
b 9 − 4 = 5
c Omdat ze wel allemaal over evenveel cijfers gaan, maar die cijfers niet in elk deel even dicht bij elkaar liggen.
a
4 9 − 3 = 6.
b Med = 7 (gemiddelde van het 14e en 15e getal), 𝑄1= 6 (gemiddelde van het 7e en 8e getal) en 𝑄3= 7,5 (gemiddelde van het 20e en 21e getal).
c 7 − 6 = 1.
d Er zijn veel zeven’s gevallen. a 5 390 − 240 = 150 cm. b Med = 325, 𝑄1= 300 en 𝑄3= 335. c Tussen 335 en 390 cm. d 8 jongens. a 6 Doen.
b Het minimale cijfer in 2K valt samen met het eerste kwartiel in 2L.
Dit klopt in werkelijkheid niet, het zijn maar 4 van de 30 cijfers in 2L. Dat komt doordat rapportcijfers afgeronde cijfers zijn.
a
7 Voor wiskunde is de variatiebreedte 10 − 4 = 6. Voor science is de variatiebreedte 9 − 4 = 5.
b Voor beide vakken is de mediaan 6 en het eerste kwartiel 5. Voor wiskunde is het derde kwartiel 8 en voor science is dat 7.
c Voor wiskunde is de kwartielafstand 8 − 5 = 3. Voor science is de variatiebreedte 7 − 5 = 2. a
8 Doen.
b Nee, dat is niet noodzakelijk. Alleen als de aantallen waarop de boxplots zijn gebaseerd heel erg veel van elkaar verschillen kun je vraagtekens zetten bij een vergelijking van beide.
a
9 Maak eerst frequentietabellen.
School A: minimaal aantal 13, 𝑄1= 21,5, mediaan is 25,5, 𝑄3= 28 en maximaal aantal is 31. School B: minimaal aantal 11, 𝑄1= 25, mediaan is 28, 𝑄3= 29 en maximaal aantal is 31. Teken de bijpassende boxplots.
b Bijna 75% van de klassen van school B is groter of gelijk aan de mediaan van de klassengrootte van school A.
c Alleen het minimum wordt dan 15, verder verandert er niets. a
10 Voor de jongens: 390 − 240 = 150 cm. Voor de meisjes: 375 − 190 = 185 cm. b Med ≈ 310, 𝑄1= 280 en 𝑄3= 330.
c Nee, alleen de variatiebreedte is bij de meisjes groter. Voor de rest zijn de verschillen niet erg groot hoewel zowel de minimale als de maximale afstand bij de jongens groter is.
a
11 Bij de jongens is de spreidingsbreedte 3000 gram en bij de meisjes is de spreidingsbreedte 1600 gram. b Jongens: minimumgewicht is 1850 gram, 𝑄1= 3150 gram, de mediaan is 4000 gram, 𝑄3= 4180 gram
en het maximumgewicht is 4850 gram.
Meisjes: minimumgewicht is 2400 gram, 𝑄1= 2800 gram, de mediaan is 3200 gram, 𝑄3= 3500 gram en het maximumgewicht is 4000 gram.
Teken zelf de boxplots met deze gegevens. c 50%.
a
12 Laagste cijfer is 3,4 gram, 𝑄1= 5,0 gram, de mediaan is 5,3 gram, 𝑄3= 8,2 gram en het maximumge-wicht is 9,8 gram.
Teken het bijpassende boxplot.
b De duidelijke scheiding tussen voldoendes en onvoldoendes zie je het best in het steelbladdiagram. a
13 Van beide teams zijn zowel de gemiddelde leeftijd als de mediaan 23.
b Team 1: minimumleeftijd is 18 jaar, 𝑄1= 20,5 jaar, de mediaan is 23 jaar, 𝑄3= 26 jaar en het maxi-mumleeftijd is 28 jaar.
Team 2: minimumleeftijd is 21 jaar, 𝑄1 = 22 jaar, de mediaan is 23 jaar, 𝑄3 = 24 jaar en het maxi-mumleeftijd is 26 jaar.
c Ja, je kunt goed het verschil tussen de minimumleeftijden en de maximumleeftijden zien. Verder is het verschil tussen beide kwartielafstanden een duidelijke aanwijzing dat bij team 2 de leeftijden veel dichter bij elkaar liggen.
a
14 De mediaan is 58,5 kg, 𝑄1= 51 kg en 𝑄3= 63 kg. De kwartielafstand is daarom 12 kg.
b Dat zou 75% moeten zijn. In werkelijkheid zijn 20 van de 30 leerlingen lichter, dat is minder dan 75%. Aan de andere kant zijn maar 7 leerlingen zwaarder en dat is nog geen 25%. Dit heeft allemaal met afrondingen te maken en het kleine aantal gegevens.