3 Kwadratisch en exponenti-exponenti-eel
3.3 Exponentiële verbanden
a
1 128 lagen papier. b 1024 lagen papier.
c Nee, want er komen niet bij elke keer halveren en stapelen evenveel lagen bij.
d Het aantal lagen verdubbelt bij elke keer snijden, dus je moet de eerst laag (van 1) steeds weer met 2 vermenigvuldigen. Dat levert deze formule op: 𝐿 = 1 ⋅ 2u�.
e Slechts 13 keer snijden en stapelen in totaal. a
2 In beide gevallen €2000. b Scenario A: €2400.
c In scenario A wel, want dan komt er jaarlijks hetzelfde bedrag van €400 bij. In scenario B niet, want dan komt er een steeds hoger bedrag bij elk jaar.
d 1,25 a
3 𝐵 = 6 ⋅ 210= 6144 mln.
b Omdat het aantal elk uur verdubbelt, komt er elk uur evenveel bij als je al had. Dus 100%. c Ongeveer 3 mln, want het aantal bij u� = 0 is er het dubbele van.
d Ongeveer 𝐵 = 6 ⋅ 22,5≈ 33,9 mln. a
4 Op 1-1-2011: €10.200. Op 1-1-2012: €10,404.
b Omdat in 2012 de 2% extra niet moet worden gerekend over €10.000, maar over €10.200. Je spreekt van ‘rente op rente’.
c €10.612,08
d Met 102 /100 = 1,02 .
e Uit dat van 1 januari 2013 door met 1,02 te vermenigvuldigen.
Uit dat van 1 januari 2010 door vier keer met 1,02 te vermenigvuldigen. f 𝑆 = 10000 ⋅ 1,02u�
g 𝑆 = 10000 ⋅ 1,029≈ 11950,93 euro (in centen nauwkeurig).
h Dat hangt er van af hoe de bank de rente bijschrijft, maandelijks of jaarlijks. Als dat jaarlijks is, dan is dit spaarbedrag nog hetzelfde als dat op 1 januari 2019. Anders zou het gelijk moeten zijn aan 𝑆 = 10000 ⋅ 1,029,5≈ 12069,84 euro.
a
5 4% per jaar erbij betekent dat elk jaar 100% groeit naar 104%. Dus wordt het kapitaal jaarlijks met 104 /100 = 1,04 vermenigvuldigd.
b 𝐾 = 1000 ⋅ 1,0410≈ 1480,24 euro.
c Maak je tabel verder af. Je vindt dat dit op u� = 18 het geval is. a 6 1,05 b 6090 ⋅ 1,052≈ 6714 Megaton. c 𝐶 = 6090 ⋅ 1,05u� d 𝐶 = 6090 ⋅ 1,054≈ 7402 Megaton. e 𝐶 = 6090 ⋅ 1,052,7≈ 6947 Megaton. a
7 Exponentiële groei met groeifactor 1,004 per jaar. b Lineaire groei met hellingsgetal 25 mijl/uur. c Lineaire groei met hellingsgetal 3 cm/uur. d Exponentiële groei met groeifactor 2 per jaar.
e Exponentiële groei met groeifactor 1,05 per jaar. a
8 Je deelt de opeenvolgende jaarlijkse aantallen op elkaar. En je kijkt of daar steeds ongeveer hetzelfde getal uit komt. Dit getal is dan de jaarlijkse groeifactor.
b Met 10% ongeveer. c 𝑉 = 3045 ⋅ 1,10u�
d Ongeveer 𝑉 = 3045 ⋅ 1,109≈ 7180. a
9 Als je de opeenvolgende bevolkingsaantallen op elkaar deelt, vind je steeds ongeveer 1,01. Inderdaad is er dus van exponentiële groei sprake.
b Met 1% ongeveer.
c 1.0110≈ 1.1046 en dus is het groeipercentage per 10 jaar ongeveer 10,5%. d 𝑁 = 254,11 ⋅ 1,10u�mln, of ook 𝑁 = 254,11 ⋅ 106⋅ 1,10u�.
WISKUNDE EERSTE FASE HAVO/VWO > GRAFIEKEN EN FORMULES > KWADRATISCH EN EXPONENTIEEL
STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 55
e Eigen antwoord. Goed om te controleren of dit ook echt zo is.
f Je kunt wel berekenen wat er uit je formule komt. Op bijvoorbeeld 1 juli 2012 zou je u� = 22,5 kunnen nemen. Je krijgt dan 𝑁 ≈ 317,87 mln. Maar het is erg onwaarschijnlijk dat dit ook het werkelijke aantal inwoners is omdat in de loop van het jaar de groei natuurlijk niet keurig exponentieel verloopt, maar veel meer schoksgewijs. Verder is de groeifactor niet erg nauwkeurig en slechts gebaseerd op een hele korte periode die alweer enige tijd geleden is. Eigenlijk is het antwoord op de vraag dat dit niet kan, tenminste niet met enige betrouwbaarheid.
a
10 Elke dag 20% minder betekent dat van 100% na een dag nog 80% over is. De groeifactor is daarom 80 /100 = 0,80 .
Het woord groei moet niet letterlijk worden opgevat, de concentratie neemt juist af. Er is daarom sprake van verval in plaats van groei.
b 𝐶 = 40 ⋅ 0,8030≈ 0,050 mg/L.
c 0,8030≈ 0,001. Dus van 100% is nog 0,1% over. Dus 99,9% is verdwenen. a
11 0,98
b 0,9850≈ 0,36.
Er is dus na 50 jaar nog maar 36% van het tropisch regenwoud over. Er is dan maar liefst 64% verdwenen! a
12 0,95
b 𝐾 = 260 ⋅ 0,95u� c Volgens de formule:
jaartal 1970 1980 1990 2000
volwassen kabeljauwen (kiloton) 260 156 93 55 Dat klopt dus niet perfect, maar toch wel enigszins redelijk. d In 1981. (Maak je tabel verder af.)
e 𝐾 = 260 ⋅ 0,9540≈ 33 kiloton. (Gelukkig zijn er maatregelen genomen tegen de overbevissing en is de stand van de kabeljauw iets verbeterd.)
a
13 Het aantal personen dat zo’n brief krijgt wordt telkens 5 keer zo groot als iedereen blijft meedoen. Er is dus sprake van een vaste groeifactor.
b 5
c 25
d In de vierde ronde.
e 5 + 25 + 125 + 625 = 780.
f Het aantal deelnemers gaat op zeker moment het aantal mensen overstijgen. In de tiende ronde moeten er al 9765625 mensen een brief ontvangen.
a
14 Omdat er jaarlijks 2,60% bij komt, wordt je geld elk jaar 1,026 keer zoveel. b 𝑆 = 1200 ⋅ 1,026u�
c 𝑆 = 1200 ⋅ 1,0265≈ 1364,33 euro.
d Op 1 juni 2015: 𝑆 = 1200 ⋅ 1,0265125 ≈ 1379,00. Op 12 juni 2015 hetzelfde als op 1 juni 2015. e In 2037. (Maak een tabel.)
a
15 De groeifactor per jaar is ongeveer 1,065. Controleer dit door de opeenvolgende aantallen konijnen op elkaar te delen.
b 𝐾 = 12400 ⋅ 1,065u�
d Maak een tabel met negatieve getallen voor u�. Je vindt dan bij u� = −130 het aantal van 2 konijnen (hoewel dit vanwege de wijze van afronden twijfelachtig is). Dus ongeveer 130 jaar geleden.
a
16 0,99.
b 𝐹 = 100 ⋅ 0,99u�
c 𝐹 = 100 ⋅ 0,9980≈ 44,8 gram.
d Als deze groei echt zo doorgaat eigenlijk niet, er blijft altijd wel een heel klein deel over. Maar in de praktijk is de stof op zeker moment wel weg want dan is er minder dat één atoom over.
a
17 Ongeveer 0,80. (Maak een tabel vanuit de grafiek en deel de opeenvolgende waarden op elkaar.) b 𝐶 = 5 ⋅ 0,80u�
c 𝐶 = 5 ⋅ 0,807≈ 1,0%. a
18 Geen exponentiële groei, maar lineaire toename, steeds 3 er bij. b Exponentiële groei kan, met groeifactor 113.
c Exponentiële groei kan, met groeifactor 5. d Geen exponentiële groei.
e Exponentiële groei kan, met groeifactor −4. a
19 1,15
b Als de groei 5% zou zijn, dat moet over drie jaar gezien de hoeveelheid personenauto’s worden verme-nigvuldigd met 1,053= 1,157625 en dat is meer dan 15% per jaar. De groei per jaar moet dus kleiner zijn dan 5%.
c Je vindt door proberen (inklemmen) ongeveer 4,8%. 20 Ongeveer 5,6% per jaar.
a
21 Deel de opvolgende bevolkingsaantallen op elkaar. Je vindt dat er vrijwel constante groeifactor van ongeveer 1,102.
b Ongeveer 1000 ⋅ 1,10210≈ 2641 mln mensen.
c Nee, nog veel harder. In 2000 waren er al meer dan 6 mld (miljard) mensen op Aarde. a
22 1937 /906 ≈ 2,138 , dus het groeipercentage is ongeveer 113,8. b 1,10745≈ 2,135, dus dat klopt ongeveer.
c 653 /728 ≈ 0,897 , dus het vervalpercentage is ongeveer 10,3. d 0,99845≈ 0,914, dus dat klopt ongeveer.
e Tot 2000 wordt de groei steeds sterker, er komen per jaar steeds meer mensen bij. Dat duidt op expo-nentiële groei. Na 2000 komen er jaarlijks juist steeds minder mensen bij. De groei lijkt af te vlakken.