[ Rob Bosch ]
Op dezelfde dag jarig
Opgaven in de kansrekening, zelfs betrek- kelijk eenvoudige, geven vaak een resultaat dat niet strookt met onze intuïtie. Een opgave waarvan de uitkomst door velen als verbluffend wordt ervaren, is het bekende verjaardagenprobleem:
Hoe groot moet een groep mensen min- stens zijn, zodat de kans dat er twee of meer mensen op dezelfde dag jarig zijn groter is dan 1/2?
Bij deze opgave nemen we gemakshalve aan dat een jaar 365 dagen telt en dat geboor- tedagen gelijkmatig over het jaar verdeeld zijn. Uiteraard zijn er (dan) in een groep van 366 personen altijd twee personen op eenzelfde dag jarig, terwijl in een groepje van 20 mensen de kans niet groot lijkt dat zoiets optreedt. Immers, de 20 mogelijke verjaardagen maken nog geen 6% uit van het totaal aantal mogelijke verjaardagen. Alvorens verder te lezen kan de lezer zijn idee over het antwoord op papier zetten, om het later te vergelijken met het door berekening verkregen antwoord. Berekening
We berekenen de kans dat minstens twee verjaardagen op eenzelfde dag vallen in een groep van k personen. Voor de berekening stellen we ons een vaas met 365 briefjes voor. Op ieder briefje is een dag van het jaar geschreven. De k personen trekken nu achtereenvolgens een briefje. De datum op
een getrokken briefje vatten we op als de verjaardag van diegene die het briefje trekt. Uiteraard wordt na de trekking het briefje weer in de vaas gestopt. Omdat er bij elk van de k onafhankelijke trekkingen 365 mogelijkheden zijn, is het aantal mogelijke verdelingen van de briefjes (verjaardagen) gelijk aan:365k
(1)
We kijken nu naar het aantal mogelijkhe- den waarbij geen briefje twee maal wordt getrokken (geen dubbele verjaardagen). De eerste persoon heeft de keuze uit 365 briefjes. Omdat dit briefje niet meer getrokken mag worden, blijven er voor de tweede persoon nog 364 mogelijkheden over. De derde persoon heeft daarna nog keuze uit 363 briefjes enz. Voor de laatste persoon resteren nog (365 – k + 1) briefjes. Het totaal aantal verdelingen waarbij geen briefje dubbel voorkomt, is dus:
365 · 364 · 363 · · · (365 – k + 1)
(2) Uit (1) en (2) berekenen we de kans dat in de k trekkingen geen enkel briefje meer dan eenmaal voorkomt. Deze kans is:
365 364 363 (365 1) 365k
k
⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ − +
(3)
De kans p dat in de k trekkingen één of meerdere briefjes minstens tweemaal getrokken worden, is:
365 364 363 (365 1) 1
365k
k
p= − ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ − +
(4)
Dit is de kans dat er in een groep van k per- sonen minstens twee personen op dezelfde dag jarig zijn.
We kunnen nu voor verschillende waarden van k (de groepsgrootte) de kans p uitreke- nen (een programma als Maple is hierbij wel erg handig) en zien voor welke waarde van k deze kans voor het eerst boven ½ uitkomt. In onderstaande tabel zijn voor enkele waarden van k de bijbehorende kansen p gegeven.
Uit de tabel zien we dat de gevraagde waarde tussen de 20 en 30 ligt. Verdere berekening toont:
Verjaardagstabel k = 22 k = 23 0,47757 0,5073
Bij een groepsgrootte van 23 is de kans al groter dan ½ dat minstens twee mensen uit deze groep op dezelfde dag jarig zijn! Dit resultaat is inderdaad verbluffend: in een klas van 23 leerlingen kom je met een kans van meer dan 50% twee leerlingen tegen met dezelfde verjaardag. De ver- jaardagstabel laat nog meer opmerkelijke kansen zien. Bij een voetbalwedstrijd is de kans meer dan 70% dat twee spelers (inclusief reservebank) op dezelfde dag jarig zijn. Op een school met 75 personeelsleden is het zo goed als zeker (99,97%) dat twee medewerkers een gemeenschappelijke ver- jaardag hebben.
intuïtie als slechte raadgever Als je aan iemand, onbekend met het bovenstaande resultaat, vraagt een groeps- grootte te noemen waarvoor het in de opgave gestelde geldt, dan krijg je meestal een antwoord in de orde van grootte van 182. De intuïtieve redenering die daarbij waarschijnlijk gevolgd wordt, is het idee dat we een kans van 50% willen hebben en dat daarbij de helft van het aantal dagen hoort, en dus een groep van ongeveer 182 personen. Deze redenering is fout, zoals we hebben gezien. Als verklaring voor dat foute antwoord hoor je vaak zeggen dat 182 het goede antwoord is, maar op een andere vraag - namelijk de vraag hoe groot een groep minstens moet zijn zodat de kans minstens ½ is dat er iemand is met een verjaardag op een bepaalde dag. Het
Verjaardagstabel k = 5 k = 10 k = 20 0,0271 0,1170 0,4144 k =30 k = 50 k = 75 0,7063 0,9704 0,9997
Euclid
E
s
83|4
223
intuïtieve argument lijkt inderdaad beter te passen bij deze vraag. Immers, als ik denk aan de verjaardagsbriefjes, dan wil ik een bepaald briefje trekken. Bij 365 briefjes zal het gemiddeld 182 trekkingen vergen om het bewuste briefje eruit te halen. We gaan hieronder na of dit inderdaad het geval is. jarig op 4 oktober
We kiezen een bepaalde dag van het jaar, zeg 4 oktober, en berekenen de kans dat er iemand in een groep van k personen op die dag jarig is. Daartoe vullen we weer een vaas met 365 briefjes en rekenen de kans uit dat in k trekkingen (met terugleggen) een bepaald briefje te voorschijn komt. De kans dat iemand het bewuste briefje niet trekt is
364
365. Bij k onafhankelijke trekkingen is de
kans dat het 4-oktober-briefje niet getrok- ken wordt gelijk aan
( )
364365
k
.
De kans q dat dit briefje wèl één van de getrokken briefjes is, is dus gelijk aan:
( )
364 3651 k
q = −
(5)
Dit is de kans dat iemand uit de groep op de afgesproken dag, 4 oktober, jarig is. Om uit te vinden bij welke groepsgrootte deze kans ½ overschrijdt, maken we weer een tabelletje:
Uit de tabel zien we dat zelfs 250 personen niet voldoende zijn voor een kans van 1/2. Verdere berekening toont:
Verjaardagstabel k = 252 k = 253 0,4991 0,5005
Bij 253 personen komt de kans voor het eerst boven de ½. We hebben dus een groep van minsten 253 personen nodig voor een kans van ½ op een bepaalde verjaardag binnen de groep!
Merk het enorme verschil op tussen het antwoord op de eerste en de tweede vraag. Het is ook opmerkelijk dat men in het algemeen het aantal personen in de eerste vraag schromelijk overschat, terwijl men het aantal personen in het tweede probleem juist onderschat. Onze intuïtie blijkt bij dit soort vragen geen goede raadgever. Tot slot
De twee verjaardagopgaven zijn voorbeel- den van de volgende algemene problemen.
Een vaas is gevuld met n briefjes met daarop de getallen 1, 2, 3, …, n. We trekken, met terugleggen, k briefjes uit de vaas.
Hoe groot is de kans dat niet alle brief- a.
jes in de trekking verschillend zijn? Hoe groot is de kans dat een bepaald b.
briefje (zeg het briefje met nummer 1) minstens 2 maal wordt getrokken?
De kans onder a is gelijk aan:
( 1)( 2) ( 1) 1 a k n n n n k P n − − ⋅⋅⋅ − + = −
(6)
Het antwoord op vraag b is:
1 ( 1) 1 k 1 (1 )k b k n n P n − = − = − −
(7)
Nemen we n = 365, dan vinden we de eerder genoemde kansen terug.
Kiezen we n = 52 of n = 12, dan kunnen we met (6) de vraag beantwoorden hoe groot een groep moet zijn zodat er minstens twee mensen in dezelfde week respectievelijk dezelfde maand jarig zijn.
Substitutie van deze waarden in (7) geeft de kans dat minstens één persoon in de groep in dezelfde week respectievelijk zelfde maand jarig is als u of ik.
De lezer kan nagaan dat ook deze antwoor- den verrassend zijn. Uiteraard zijn er meer- dere variaties mogelijk, die we ook graag aan de lezer overlaten.
literatuur William Feller:
- An Introduction to
Probability Theory and its Applications. New York: Wiley (third edition, 1968) Henk Tijms:
- Understanding
Probability. Cambridge: Cambridge University Press (second edition, 2007).
Over de auteur
Rob Bosch is redacteur van Euclides en universitair hoofddocent wiskunde aan de Nederlandse Defensie Academie te Breda. E-mailadres: robbosch@live.nl Verjaardagstabel k = 5 k = 10 k = 20 k = 50 0,0136 0,0271 0,0534 0,1282 k = 100 k = 200 k = 250 0,2399 0,4223 0,4964