Euclid
E
s
278
reCreatIe
Pu Z Z e l 834
stochastische
wandelingen
Een stoffelijk punt wandelt over de x-as.Het punt start in de oorsprong en het maakt stappen van de grootte 1, met kans ½ naar rechts en kans ½ naar links, steeds onafhankelijk van de voorgeschiedenis. We beginnen eenvoudig.
Opgave 1
Bepaal de kans dat het punt na 2n stappen weer in 0 is.
In de volgende opgave hebben we te maken met een aapje, dat ook in 0 begint en ook met kans ½ naar links of naar rechts springt, maar bij hem – het is namelijk een mannetje – wordt de ‘staplengte’ steeds 1 groter, te beginnen met lengte 1.
[ Frits Göbel ]
Opgave 2
Bepaal de kans dat het aapje na 8 stappen weer in 0 is.
In opgave 3 zien we een wat oudere aap. Zijn sprongen hebben de lengten 2 en 3, en gaan naar links of rechts. De vier verschil- lende mogelijkheden hebben alle de kans ¼.
Opgave 3
Bepaal de kans dat deze aap na 7 stappen weer in 0 is.
Voor de laatste opgave gaan we een dimen- sie hoger. Het punt beweegt nu op het vierkante rooster met (0, 0) als startpunt. Het gaat steeds met kans ¼ in een van de vier mogelijke richtingen.
Opgave 4
Wat is de kansverdeling van de afstand tot (0, 0) na 6 stappen?
Als afstand nemen we de Manhattan- afstand: de afstand van (0, 0) tot (x, y) is dan |x| + |y|.
Oplossingen kunt u mailen naar a.gobel@ wxs.nl of per gewone post sturen naar F. Göbel, Schubertlaan 28, 7522 JS Enschede.
Er zijn weer maximaal 20 punten te verdie- nen met uw oplossing.
De deadline is 3 maart 2008. Veel plezier!
Euclid
E
s
83|4
242
Euclid
E
s
2
7
9
oP l o s s I n g 832
Witte en
zwarte dames
Er waren 13 inzendingen, waarvan er 11goed zijn voor 20 punten. Deze werden ingestuurd door Wim van den Camp, Jozef Hanenberg, Hans Linders (terug van weggeweest!), Kees Verhoeven, Floor van Lamoen, Ton Kool, Lieke de Rooij, Wobien Doyer, Gerhard Riphagen, Niels Wensink en Hans Klein.
Opgave 1 is door iedereen goed opgelost. Twee inzenders, Wobien Doyer en Gerhard Riphagen, bewezen dat de oplossing uniek is.
Ook opgave 2 werd door alle inzenders tot een goed einde gebracht. Menigeen vond zelfs een veilige stelling op het bord van 7 × 7 met zeven Dames van iedere kleur, waarmee dan meteen opgave 3 is opgelost. Behalve de paren (7, 6) en (7, 7) werden ook nog de volgende paren gevonden: (8, 6) door Jozef Hanenberg en Hans Klein, (9, 6) door Wim van den Camp en Floor van Lamoen, en (10, 6) door Wobien Doyer. Naar aanleiding van de formule voor s(n) schrijft Jozef Hanenberg:
‘Je zou meer punten moeten krijgen voor een stand met 6 witte en 8 zwarte Dames dan voor een stand met 6 witte en 7 zwarte Dames. Dat zou je voor elkaar kunnen krij- gen door de volgende formule te gebruiken:
2 2 max( ) ( ) w z s n n ⋅ ⋅ =
waarbij het maximum genomen wordt over alle veilige standen.’
Een goed idee!
Zoals gezegd, (7, 7) levert al een oplossing voor opgave 3, maar bijna niemand heeft het hierbij gelaten! Wim van den Camp stuurde (58, 56) op 20 × 20 met een score 0,28; zie figuur 1. Deze hoge waarde en de figuur leidden al snel tot het idee dat mijn limiet van 2 – √3 wel eens fout zou kunnen zijn. En inderdaad: dit getal kan worden verhoogd tot 247 .
Zie figuur 2; voor 1
3
x =
is de bezette oppervlakte maximaal. Ook Jozef Hanenberg en Kees Verhoeven vonden de waarde 247 . Een duidelijke verbete- ring. Ik waag me maar niet aan een nieuw vermoeden!Ik ontving ook veel andere veilige stel- lingen voor n > 7 met een hoge s-waarde: (9, 10) voor n = 8 van Gerhard Riphagen. Hij en Floor van Lamoen vonden (12, 12) voor n = 9; (14, 15) voor n = 10 van Jozef Hanenberg en Kees Verhoeven, en deze laat- ste verbeterde bovengenoemde (58, 56) nog tot (59, 56). Floor van Lamoen tenslotte vond (576, 576) voor n = 65.
Al met al heel wat resultaten die beter of zelfs veel beter waren dan wat ik had! Twee inzenders kwamen niet toe aan opgave 3 doordat zij de definitie van s(n) niet doorgrondden.
ladderstand
De top van de ladder ziet nu als volgt uit: H.J. Brascamp 472
J. Meerhof 395 L. de Rooij 353 G. Riphagen 309 L.H. van den Raadt 231 H. Klein 203 N. Wensink 198 W. Doyer 196 T. Kool 119
Euclid
E
s
83|4
243
figuur 2 figuur 1servICePagIna
Pu B l I C at I e s
va n
d e ne d e r l a n d e
ve r e n I g I n g
va n WI s K u n d e l e r a r e n
zebraboekjes
1. Kattenaids en Statistiek 2. Perspectief, hoe moet je dat zien? 3. Schatten, hoe doe je dat? 4. De Gulden Snede
5. Poisson, de Pruisen en de Lotto 6. Pi
7. De laatste stelling van Fermat 8. Verkiezingen, een web van paradoxen 9. De Veelzijdigheid van Bollen 10. Fractals
11. Schuiven met auto’s, munten en bollen 12. Spelen met gehelen
13. Wiskunde in de Islam 14. Grafen in de praktijk 15. De juiste toon 16. Chaos en orde 17. Christiaan Huygens 18. Zeepvliezen 19. Nullen en Enen 20. Babylonische Wiskunde
21. Geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde
22. Spelen en Delen
23. Experimenteren met kansen 24. Gravitatie
25. Blik op Oneindig
26. Een Koele Blik op Waarheid
Zie verder ook www.nvvw.nl/zebrareeks.html en/of www.epsilon-uitgaven.nl
Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwo
Dit rapport en oude nummers van Euclides (voor zover voorradig) kunnen besteld worden bij de ledenadministratie (zie Colofon). Wisforta – wiskunde, formules en tabellen
Formule- en tabellenboekje met formule- kaarten havo en vwo, de tabellen van de binomiale en de normale verdeling, en toevalsgetallen.
Honderd jaar wiskundeonderwijs, lustrumboek van de NVvW Het boek is met een bestelformulier te bestellen op de website van de NVvW: www.nvvw.nl/lustrumboek2.html
Voor overige NVvW-publicaties zie de website: www.nvvw.nl/Publicaties2.html
Voor overige internet-adressen zie www.wiskundepersdienst.nl/agenda.php Voor Wiskundeonderwijs Webwijzer zie www.wiskundeonderwijs.nl
Ka l e n d e r
In de kalender kunnen alle voor wiskunde- docenten toegankelijke en interessante bijeenkomsten worden opgenomen. Relevante data graag zo vroeg mogelijk doorgeven aan de hoofdredacteur, het liefst via e-mail (redactie-euclides@nvvw.nl). Hieronder vindt u de verschijningsdata van Euclides in de lopende jaargang. Achter de verschijningsdatum is de deadline vermeld voor het inzenden van mededelingen en van de eindversies van geaccepteerde bijdragen; zie daarvoor echter ook www.nvvw.nl/euclricht.html. nr. verschijnt deadline 5 11 maart 22 januari 6 22 april 4 maart 7 3 juni 8 april 8 1 juli 15 mei
Euclid
E
s
83|1
244
servICePagIna
Voor overige internet-adressen zie www.wiskundepersdienst.nl/agenda.php Voor Wiskundeonderwijs Webwijzer zie www.wiskundeonderwijs.nl
dinsdag 19 februari, Amsterdam Mastercourse: Golven als dynamische systemen
Organisatie UvA
donderdag 6 maart, Amsterdam Mastercourse: Computerarchitectuur Organisatie UvA
do. 13 en vr. 14 maart, Garderen Finale Wiskunde A-lympiade Organisatie FIsme
dinsdag 18 maart, Groningen 17e Johann Bernoulli-lezing Organisatie RU Groningen do. 27 en vr. 28 maart, Noordwijkerhout Nationale Rekendagen Organisatie FIsme
woensdag 9 april, Amsterdam Mastercourse: Laat de Spelen beginnen! Olympische wiskunde
Organisatie UvA
vrijdag 11 april, op de scholen Wiskunde Kangoeroe
Organisatie Stichting Wiskunde Kangoeroe woensdag 16 april, op de scholen De Grote Rekendag
Organisatie FIsme
zaterdag 17 mei, utrecht HKRWO-Symposium XIV Organisatie HKRWO
za. 13 t/m vr. 18 juli, RAi, Amsterdam Fifth European Congress of Mathematics Organisatie VU, CWI en UvA
do. 24 t/m di. 29 juli, leeuwarden Bridges Leeuwarden (11th Bridges Conference): Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture
Organisatie The Bridges Organisation (www.bridgesmathart.org)