4.2 Injecties, surjecties en bijecties
4.2.2 Inverse functie
• a • b • c • d
X Y
De derde figuur bevat het pijlendiagram van een bijectieve functie. 1 • 2 • 3• 4• • a • b • c • d • e
X Y
Er zijn ook functies die niet injectief en niet surjectief zijn. De vierde figuur bevat het pijlendiagram van zo’n functie.
4.2.2 Inverse functie
Herinner u dat IX de eenheidsfunctie op de verzameling X is.
Definitie 4.2.4. Een functie f : X → Y is inverteerbaar als er een functie g : Y → X bestaat met de eigenschappen dat
g◦ f = IX en f◦ g = IY. In dat geval noemen we g een inverse functie van f .
Uit de symmetrie van de definitie volgt dat een inverse functie g ook inverteerbaar is en dat f een inverse functie van g is.
Uit de volgende stelling zal blijken dat een inverse functie van f (als ze bestaat) uniek is. Als gevolg daarvan kunnen we spreken over ‘de inverse functie’, in plaats van ‘een inverse functie’.
Stelling 4.2.5. . Zij f : X → Y een functie. Dan is f inverteerbaar als en slechts als f
bijectief is. Bovendien is voor een inverteerbare functie de inverse functie uniek bepaald. Bewijs. Er zijn twee beweringen die we moeten bewijzen. De eerste bewering is een ‘als en
slechts als’ bewering die zegt dat twee beweringen equivalent zijn. Om deze equivalentie te bewijzen gaan we de twee implicaties ‘⇒’ en ‘⇐’ bewijzen.
Bewijs van ‘f is inverteerbaar ⇒ f is bijectief’: Veronderstel dat f inverteerbaar is. Er is dan een functie g : Y → X met g ◦ f = IX en f◦ g = IY. We bewijzen dat f een bijectie is door te laten zien dat f zowel een injectie als een surjectie is.
Functies 45 Zij y ∈ Y willekeurig. Dan geldt omdat f ◦ g = IY dat y = IY(y) = (f◦ g)(y) = f(g(y)). Als we dus x = g(y) nemen dan geldt x ∈ X en y = f(x) en bijgevolg behoort y tot f(X). Dit geldt voor elke y ∈ Y en daarom is f surjectief.
Neem vervolgens x1, x2 ∈ X willekeurig en veronderstel dat f(x1) = f (x2). Omdat g◦ f = IX geldt dan
x1 = IX(x1) = (g◦ f)(x1) = g(f (x1)) en net zo
x2= IX(x2) = (g◦ f)(x2) = g(f (x2)).
Omdat f (x1) = f (x2) volgt dat g(f (x1)) = g(f (x2)) en dus vinden we dat x1 = x2. We hebben nu bewezen dat
f (x1) = f (x2)⇒ x1= x2.
Omdat x1, x2∈ X willekeurig waren gekozen, volgt nu dat f injectief is. Omdat f zowel injectief als surjectief is, is ze bijectief en ‘⇒’ is bewezen.
Bewijs van ‘f is inverteerbaar ⇐ f is bijectief’: Nu nemen we omgekeerd aan dat f bijectief is en we moeten laten zien dat f inverteerbaar is. We moeten dus een inverse functie g vinden.
Omdat f een bijectie is, is er voor elke y ∈ Y precies ´e´en x ∈ X met y = f(x). We defini¨eren nu x = g(y). Dan is g goed gedefinieerd als functie van Y naar X, omdat bij iedere y∈ Y er precies ´e´en x is met x = g(y). Deze x voldoet aan f(x) = y.
We bewijzen dat g◦ f = IX. Neem x∈ X willekeurig en stel y = f(x). Dan volgt uit de manier waarop g gedefinieerd is dat x = g(y). Bijgevolg is
x = g(y) = g(f (x)) = (g◦ f)(x). Omdat dit geldt voor elke x∈ X volgt dat g ◦ f = IX.
Op vrijwel analoge wijze bewijzen we dat f ◦ g = IY. Neem y ∈ Y willekeurig en stel x = g(y). Dan volgt uit de manier waarop g gedefinieerd is dat y = f (x). Dan is
y = f (x) = f (g(y)) = (f◦ g)(y). Omdat dit geldt voor elke y ∈ Y volgt dat f ◦ g = IY.
We hebben nu bewezen dat g◦ f = IX en f ◦ g = IY. Dit betekent dat f inverteerbaar is. De implicatie ‘⇐’ is nu ook bewezen.
Tenslotte bewijzen we dat een inverse functie uniek is. We nemen dus aan dat f inver-teerbaar is. Uit wat we in deze stelling reeds bewezen hebben, weten we al dat f bijectief is. Zij g een inverse functie. Dan geldt g(f (x)) = x voor elke x ∈ X. Omdat f bijectief is legt dit g uniek vast. Immers voor elke y ∈ Y is er een x ∈ X met y = f(x) en dan is g(y) = g(f (x)) = x. Dit bepaalt g(y) voor elke y∈ Y en dus is g uniek.
Het pijlendiagram van de inverse functie krijgen we uit het pijlendiagram van een bijectieve functie door alle pijlen om te keren. Hieronder staat het pijlendiagram van een bijectieve functie en van haar inverse.
1 • 2 • 3• 4• • a • b • c • d
X Y
1 • 2 • 3• 4• • a • b • c • dX Y
Opmerking 4.2.6. Een injectieve functie die niet bijectief is kan bijectief gemaakt worden door het codomein te beperken. Zij namelijk f : X → Y injectief. Dan is de functie
ˆ
f : X → f(X) : x 7→ ˆf (x) = f (x)
die we uit f verkrijgen door het codomein van Y te beperken tot f (X), zowel injectief als surjectief. Dus is ˆf bijectief en bijgevolg inverteerbaar vanwege Stelling 4.2.5. De inverse functie ( ˆf )−1 bestaat dus.
Een algemene functie die niet injectief en niet surjectief is kan bijectief gemaakt worden door zowel het domein als het codomein te beperken. Zo is bijvoorbeeld de functie sin
sin : R→ R : x 7→ sin x niet injectief en ook niet surjectief. De beperking
sin : [−π/2, π/2] → [−1, 1]
is wel bijectief (strikt genomen is dit een andere functie en hadden we ze een andere naam moeten geven). De inverse functie is de boogsinusfunctie
bgsin : [−1, 1] → [−π/2, π/2].
4.2.3 Oefeningen
Oefening 4.2.1. Welke van de functies uit Voorbeeld 4.1.3 zijn injectief? Welke surjectief en welke bijectief?
Oefening 4.2.2. Welke van de vier functies f1, f2, f3en f4 uit Voorbeeld 4.1.6 zijn injectief? Welke surjectief? Welke bijectief?
Oefening 4.2.3. Welke van de volgende functies zijn injectief? Welke surjectief? Welke bijectief?
Functies 47 (a) De functie uit Voorbeeld 4.1.7.
(b) De functie f : R\ {−1} → R gegeven door f (x) = 2x
x + 1 voor elke x∈ R \ {−1}. (c) De functie f : R\ {1} → R \ {1} gegeven door
f (x) = x + 1
x− 1 voor elke x∈ R \ {1}.
Oefening 4.2.4. Neem aan dat f : X → Y en g : Y → Z functies zijn. Bewijs de volgende beweringen.
(a) Als f en g injectief zijn, dan is g◦ f injectief. (b) Als f en g surjectief zijn, dan is g◦ f surjectief.
Geef tegenvoorbeelden waaruit blijkt dat de volgende beweringen (de omkeringen van de beweringen uit (a) en (b)) niet juist zijn.
(c) Als g◦ f injectief is, dan zijn f en g injectief. (d) Als g◦ f surjectief is, dan zijn f en g surjectief. Oefening 4.2.5. Zij X ={1, 2, 3} en Y = {a, b}.
(a) Hoeveel injectieve functies f : X→ Y zijn er? (b) Hoeveel surjectieve functies f : X → Y zijn er?
(c) Hoeveel bijectieve functies f : X→ Y zijn er? Oefening 4.2.6. Zij X ={1, 2} en Y = {a, b, c}.
(a) Hoeveel injectieve functies f : X→ Y zijn er? (b) Hoeveel surjectieve functies f : X → Y zijn er?
(c) Hoeveel bijectieve functies f : X→ Y zijn er?
Oefening 4.2.7. Bewijs dat f : X → Y surjectief is als en slechts als er een functie g : Y → X bestaat met f◦ g = IY.
Oefening 4.2.8. Bewijs dat f : X → Y injectief is als en slechts als er een functie g : Y → X bestaat met g◦ f = IX.
Oefening 4.2.9. Zij X = R\ {2}. Laat zien dat er een verzameling Y ⊂ R bestaat zodanig dat
f : X → Y : x 7→ f(x) = 3x x− 2 een bijectie is. Wat is Y ? Geef een functievoorschrift voor f−1.
Oefening 4.2.10. Veronderstel dat f : X → Y en g : Y → Z bijecties zijn. Bewijs dat g ◦ f een bijectie is en dat
Oefening 4.2.11. Zij f : X → Y en veronderstel dat er een functie g : Y → X is met g◦ f = IX en tevens een functie h : Y → X met f ◦ h = IY. Bewijs dat f inverteerbaar is en dat g = h.
Oefening 4.2.12. Bij een functie f : X → Y kunnen we een functie F van P (Y ) naar P (X) defini¨eren door
F : P (Y )→ P (X) : B7→ F (B) = f−1(B). Bewijs
(a) F is injectief als en slechts als f surjectief is. (b) F is surjectief als en slechts als f injectief is.
Oefening 4.2.13. Zij ∼ een equivalentierelatie op een verzameling X en X/ ∼ de bijbeho-rende quoti¨entverzameling. Er is een functie
q : X → X/ ∼ : x 7→ [x]
die elk element x ∈ X afbeeldt naar zijn equivalentieklasse in X/ ∼. Deze functie heet de quoti¨entafbeelding behorende bij de equivalentierelatie ∼.
(a) Laat zien dat q surjectief is.
(b) Neem aan dat f : X → Y een functie is met de eigenschap dat x1 ∼ x2 ⇒ f(x1) = f (x2).
Bewijs dat er een unieke functie ¯f : X/∼ → Y bestaat met de eigenschap dat f = ¯f◦ q.
Oefening 4.2.14. Bij een gegeven functie f : X → Y defini¨eren we een relatie R(f) op X door
R(f ) ={(x1, x2)∈ X × X | f(x1) = f (x2)}. (a) Bewijs dat R(f ) een equivalentierelatie is.
(b) Bewijs dat elke equivalentierelatie op X van deze vorm is. Dat wil zeggen: als R een equivalentierelatie op X is, laat dan zien dat er een verzameling Y en een functie f : X → Y zijn, zodanig dat R = R(f).