8.3.1 Dedekindsneden
In deze paragraaf geven we de constructie van de re¨ele getallen vanuit de rationale getallen met behulp van zogenaamde Dedekindsneden. We nemen aan dat we Q kennen als een totaal geordend veld (Q, +,·, ≤).
Definitie 8.3.1. Een Dedekindsnede in Q is een deelverzameling A van Q die aan de volgende eigenschappen voldoet:
(a) A6= ∅ en A 6= Q,
(b) als p∈ A en q ∈ Q met q < p, dan is q ∈ A, (c) bij elke p∈ A is er een q ∈ A met p < q.
Dedekindsneden zijn genoemd naar de Duitse wiskundige Richard Dedekind (1831-1916). Vanwege onderdeel (b) van Definitie 8.3.1 is een Dedekindsnede A naar onder toe gesloten (hetgeen betekent dat met elk getal in A ook elk kleiner getal tot A behoort). Het complement B = Q\ A van een Dedekindsnede is naar boven toe gesloten: als p ∈ B en q ∈ Q met q > p dan is q∈ B. Uit onderdeel (c) van Definitie 8.3.1 volgt dat A geen grootste element heeft. Voorbeeld 8.3.2. (a) Als q∈ Q dan is
Aq ={p ∈ Q | p < q} (8.9)
een Dedekindsnede. Vanwege eigenschap (c) is de verzameling {p ∈ Q | p ≤ q} geen Dedekindsnede.
(b) De verzameling
A ={p ∈ Q | p < 0 ∨ p2 < 2} (8.10) is een Dedekindsnede. Deze Dedekindsnede is niet van de vorm Aq voor zekere q∈ Q. Definitie 8.3.3. We noteren met D de verzameling van alle Dedekindsneden in Q.
Door middel van (8.9) kunnen we Q zien als een deel van D. De functie Q→ D : q 7→ Aq
is namelijk injectief. Deze functie is niet surjectief zoals blijkt uit het voorbeeld in Voorbeeld 8.3.2(b). Dus D is een uitbreiding van Q tot een grotere verzameling.
Ons doel is om D te maken tot een volledig totaal geordend veld. We moeten daartoe een ordening 4 en binaire bewerkingen ⊕ en ⊙ op D defini¨eren en controleren dat (D, ⊕, ⊙, 4) aan alle voorwaarden van een volledig totaal geordend veld voldoet. Als dit lukt dan hebben we Vraag 1 uit paragraaf 8.1.1 beantwoord. Er bestaat dan inderdaad een volledig totaal geordend veld. Vanwege Stelling 8.1.2 is een volledig totaal geordend veld op isomorfie na uniek. We kunnen dan D identificeren met de re¨ele getallen.
Het zal redelijk wat werk zijn om de ordening 4 en de bewerkingen ⊕ en ⊙ te defini¨eren, en nog meer werk om te bewijzen dat (D,⊕, ⊙, 4) inderdaad een totaal geordend veld is. In wat volgt zullen we de constructies geven, maar de meeste bewijzen alleen schetsen of helemaal achterwege laten.
Re¨ele getallen 97
8.3.2 Ordening op D
De ordening op D is eenvoudig te defini¨eren. Definitie 8.3.4. Voor A, B∈ D defini¨eren we
A 4 B ⇔ A⊂ B.
Eigenschap 8.3.5. (D, 4) is een totaal geordende verzameling.
Bewijs. Het is eenvoudig in te zien dat 4 een orderelatie op D. Het bewijs dat de ordening
totaal is, laten we over aan de lezer.
Propositie 8.3.6. De totaal geordende verzameling (D, 4) voldoet aan de
supremumeigen-schap.
Bewijs. We geven een schets van het bewijs. StelA ⊂ D is niet-leeg en naar boven begrensd. Definieer
S = [
A∈A
A ={q ∈ Q | ∃A ∈ A : q ∈ A}. Dan is S een Dedekindsnede (ga dit zelf na) en S = supA.
8.3.3 Optelling op D
We gaan een binaire bewerking ⊕ op D invoeren. Definitie 8.3.7. Voor A, B∈ D defini¨eren we
A⊕ B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.
Uit de volgende eigenschap volgt dat ⊕ inderdaad een binaire bewerking op D is.
Eigenschap 8.3.8. Als A en B Dedekindsneden zijn, dan is A⊕ B ook een Dedekindsnede. Propositie 8.3.9. De binaire bewerking ⊕ voldoet aan de eigenschappen (a)–(e) van
Eigen-schap 7.2.1, waarbij het neutrale element gelijk is aan
0D= A0 ={p ∈ Q | p < 0} (8.11)
en het inverse element van A∈ D gelijk is aan
⊖A = {p ∈ Q | ∃q ∈ Q+0 :−p − q ∈ Q \ A}. (8.12)
Tevens geldt dat voor p, q∈ Q dat
Ap⊕ Aq= Ap+q. (8.13)
Bewijs. Dit laten we over aan de lezer.
Uit de definities (8.11) en (8.12) volgt ook eenvoudig dat Eigenschap 8.3.10. Voor elke A∈ D geldt
(a) als A 4 0D dan⊖A < 0D,
8.3.4 Vermenigvuldiging op D
We gaan vervolgens een binaire bewerking⊙ op D invoeren die de rol van vermenigvuldiging zal spelen. De definitie gaat in twee stappen. Eerst defini¨eren we de vermenigvuldiging voor positieve Dedekindsneden, d.w.z. voor Dedekindsneden A en B met A < 0D en B < 0D. Definitie 8.3.11. Als A en B positieve Dedekindsneden zijn, dan defini¨eren we
A⊙ B = Q−0 ∪ {q ∈ Q | ∃a ∈ A : ∃b ∈ B : a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 ∧ q = ab}.
Eigenschap 8.3.12. Als A en B positieve Dedekindsneden zijn, dan is ook A⊙B een positieve
Dedekindsnede.
We gebruiken nu Eigenschap 8.3.10 om de vermenigvuldiging uit te breiden tot willekeu-rige A en B in D.
Definitie 8.3.13. Zij A, B ∈ D.
(a) Als A 4 0D en B < 0D dan defini¨eren we
A⊙ B = ⊖ ((⊖A) ⊙ B) . (b) Als A < 0D en B 4 0D dan defini¨eren we
A⊙ B = ⊖ (A ⊙ (⊖B)) . (c) Als A 4 0D en B 4 0D dan defini¨eren we
A⊙ B = ((⊖A) ⊙ (⊖B)) .
Door Definitie 8.3.11 en Definitie 8.3.13 is A⊙B nu gedefinieerd voor elk tweetal A, B ∈ D. In alle gevallen is A⊙ B weer een Dedekindsnede.
Laten we dit wat nader bekijken voor de situatie in onderdeel (a) van Definitie 8.3.13. Neem dus A 4 0D en B < 0D. Vanwege Eigenschap 8.3.10 (a) is dan ⊖A < 0D. Dan is (⊖A) ⊙ B de vermenigvuldiging van twee positieve Dedekindsneden en dit gebeurt via de Definitie 8.3.11. Het resultaat is een positieve Dedekindsnede. Dan is⊖ ((⊖A) ⊙ B) een negatieve Dedekindsnede vanwege Eigenschap 8.3.10 (b). Deze Dedekindsnede is per definitie gelijk aan A⊙ B.
Propositie 8.3.14. De binaire bewerking ⊙ voldoet aan de eigenschappen (f)–(k) van
Ei-genschap 7.2.1, waarbij het neutrale element voor ⊙ gelijk is aan
1D= A1 ={p ∈ Q | p < 1} (8.14)
en het inverse element van A∈ D \ {0D} voor ⊙ gelijk is aan A⊖=
(
{p ∈ Q | ∃q ∈ Q \ A : pq < 1}, als A≻ 0D,
⊖ ((⊖A)⊖) , als A≺ 0D. (8.15)
Bewijs. Dit is een uitgebreid bewijs waarbij vele gevallen onderscheiden moeten worden. We
Re¨ele getallen 99
8.3.5 Conclusie
We hebben nu een ordening 4 en binaire bewerkingen⊕ en ⊙ op D. De ordening 4 is gedefi-nieerd in Definitie 8.3.4 en volgens Propositie 8.3.6 is (D, 4) een totaal geordende verzameling die voldoet aan de supremumeigenschap.
De binaire bewerkingen ⊕ en ⊙ zijn gedefinieerd in Definitie 8.3.7 en Definitie 8.3.13. Vanwege Proposities 8.3.9 en 8.3.14 is aan alle onderdelen van Eigenschap 7.2.1 voldaan. Dit betekent dat (D,⊕, ⊙) een veld is.
We moeten ook nog laten zien dat de ordening en de binaire bewerkingen samenhangen zoals beschreven in Eigenschap 7.2.2. Dat wil zeggen, de volgende eigenschap moet gelden Eigenschap 8.3.15. Zij A, B, C ∈ D. Dan geldt
(a) Als A 4 B dan A⊕ C 4 B ⊕ C.
(b) Als A 4 B en C < 0D dan A⊙ C 4 B ⊙ C. (c) Als A 4 B en C 4 0D dan A⊙ C < B ⊙ C.
Bewijs. (a) Neem aan dat A 4 B. Vanwege Definitie 8.3.4 betekent dit dat A ⊂ B. We moeten laten zien dat A⊕ C 4 B ⊕ C, ofwel vanwege Definitie 8.3.4 dat
A⊕ C ⊂ B ⊕ C. (8.16)
Om de inclusie (8.16) te bewijzen, nemen we q ∈ A ⊕ C willekeurig. Volgens Definitie 8.3.7 is dan q = a + c voor zekere a ∈ A en c ∈ C. Omdat A ⊂ B is dan ook b ∈ A en dus is q∈ B ⊕ C. Dit bewijst inderdaad de inclusie (8.16) en daarmee is onderdeel (a) bewezen.
De bewijzen van (b) en (c) worden aan de lezer overgelaten. De volgende stelling is nu (bijna) bewezen.
Stelling 8.3.16. (D,⊕, ⊙, 4) is een totaal geordend veld.
Bewijs. Vanwege Eigenschap 8.3.15 is aan alle vereisten voor een totaal geordend veld
vol-daan. Het totaal geordende veld (D,⊕, ⊙, 4) voldoet aan de supremumeigenschap volgens Propositie 8.3.6. Dan is ook aan de infimumeigenschap voldaan vanwege Oefening 8.1.7.
8.3.6 Oefeningen
Oefening 8.3.1. Bewijs dat de orderelatie 4 uit Definitie 8.3.4 een totale ordening is. Oefening 8.3.2. Werk het bewijs van Propositie 8.3.6 verder uit.
Oefening 8.3.3. Bewijs Eigenschap 8.3.8. Oefening 8.3.4. Zij A een Dedekindsnede.
(a) Bewijs dat⊖A zoals gedefinieerd in (8.12) een Dedekindsnede is en dat A⊕ (⊖A) = 0D.
(b) Hadden we in plaats van door (8.12) de inverse ook kunnen defini¨eren door {p ∈ Q | −p ∈ Q \ A} ?
Oefening 8.3.5. Geef het bewijs van (8.13). Oefening 8.3.6. Bewijs Eigenschap 8.3.10. Oefening 8.3.7. Bewijs Eigenschap 8.3.12.
Hoofdstuk 9
Rijen van re¨ele getallen
9.1 Re¨ele rijen
9.1.1 Definitie en voorbeelden
Definitie 9.1.1. Een rij in een verzameling X is een functie a : N→ X met als domein de verzameling N van natuurlijke getallen. Als het codomein X gelijk is aan aan de verzameling Rvan re¨ele getallen dan spreken we van een re¨ele rij of een rij van re¨ele getallen.
In plaats van a(n) schrijven we meestal an. De getallen anzijn de elementen of termen van de rij. Gebruikelijke notaties voor een rij zijn (an)n∈N of (an)∞
n=0 of kortweg (an). Een rij stellen we ons voor als een opeenvolging van re¨ele getallen
a0, a1, a2, a3, . . .
De rij begint met a0, dan komt a1, enzovoorts. Er zit dus een duidelijke richting aan een rij. Het komt wel eens voor dat we niet met a0 willen beginnen, maar met a1, of pas met zekere an0. We zullen de vrijheid nemen om ook een opeenvolging van getallen als
a1, a2, a3, a4, . . . een rij te noemen.
Voorbeeld 9.1.2. • Als eerste voorbeeld hebben we de rij van natuurlijke getallen 0, 1, 2, 3, . . .
die formeel gegeven wordt door (an) met an= n voor alle n∈ N.
• Als we van elk natuurlijk getal de vierkantswortel nemen, dan krijgen we de rij 0, 1,√
2,√ 3, . . . . Dit is de rij (an) met an=√
n.
• De rij (an) met an= (−1)n begint met 1, −1, 1, −1, 1, . . .. In het algemeen geldt an= (−1)n=
(
1, als n even is, −1, als n oneven is.
Dit is een voorbeeld van een alternerende rij, dat will zeggen een rij met afwisselend positieve en negatieve termen.
• De rij van priemgetallen is
2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .
• De rij van Fibonaccigetallen (an) wordt gegeven door de beginwaarden a0= a1 = 1 en de recursie
an= an−1+ an−2, voor n≥ 2.
Dit is een voorbeeld van een recursief gedefinieerde rij. In paragraaf 6.3.1 is aan-getoond dat an= √1 5 1 + √ 5 2 !n+1 − 1− √ 5 2 !n+1 voor elke n∈ N.
• De rij van getallen (1/n)n∈N0 begint niet met de index n = 0 maar met n = 1. De rij begint met
1, 12, 13, 14, 15, . . . .