6.3 Voortbrengende functies
7.1.3 Begrippen rond ordening
Kleinste en grootste element, minimaal en maximaal element We nemen aan dat (X, 4) een geordende verzameling is.
Definitie 7.1.6. Zij A⊂ X.
(a) We noemen a een grootste element van A als a∈ A en
∀x ∈ A : x 4 a. (7.3)
(b) We noemen a∈ A een maximaal element van A als er geen groter element in A is. Dat wil dus zeggen
Orderelaties 79 De eigenschap (7.4) is equivalent met
∀x ∈ A : a 4 x ⇒ x = a (7.5)
hetgeen soms handiger is om mee te werken.
Analoog kennen we een kleinste element en een minimaal element van een deelver-zameling A van X.
Let op dat een maximaal element niet noodzakelijk een grootste element is. Van een grootste element kunnen we zeggen dat elk ander element van A strikt kleiner is (volgens de ordening gegeven door 4), terwijl voor een maximaal element geldt dat er geen enkel ander element is in A dat strikt groter is.
Voorbeeld 7.1.7. Zij D de delerrelatie op N0 uit onderdeel (b) van Voorbeeld 7.1.3. Dan is 1 een kleinste element van N0 en dat is ook een minimaal element. Er is geen grootste element en ook geen maximaal element.
De deelverzameling A = N0\ {1} ⊂ N0 heeft geen kleinste element. Elk priemgetal is een minimaal element van A.
Propositie 7.1.8. Zij (X, 4) een geordende verzameling en A⊂ X. Dan geldt (a) Als A een grootste element heeft, dan is dit grootste element uniek.
(b) Als A een grootste element heeft, dan is dit element ook een maximaal element. (c) Als de ordening totaal is, dan is een maximaal element van A ook een grootste element.
Bewijs. (a) Neem aan dat A een grootste element heeft, zeg a. Het bewijs dat dit element
uniek is voeren we uit het ongerijmde. Stel dat er nog een grootste element van A is. We noemen dit element b en we nemen dus aan dat b6= a.
Dan is b∈ A en omdat a een grootste element is van A volgt uit (7.3) dat b 4 a. Maar omgekeerd is ook b is een grootste element van A en a∈ A, zodat uit (7.3) ook volgt dat a 4 b. Uit het anti-symmetrisch zijn van de ordening volgt nu dat a = b, hetgeen in tegenspraak is met b6= a. Deze tegenspraak toont aan dat het grootste element van A uniek is.
(b) Neem aan dat a een grootste element van A is. We weten dus dat (7.3) geldt en we moeten (7.5) bewijzen. Kies x ∈ A willekeurig en veronderstel dat a 4 x. Vanwege (7.3) geldt x 4 a en dan volgt uit de anti-symmetrie van 4 dat x = a. Dit bewijst (7.5).
(c) Neem aan dat de ordening totaal is en dat a een maximaal element van A is. Neem x∈ A willekeurig. We gaan bewijzen dat x 4 a.
Omdat de ordening totaal is geldt ofwel x 4 a ofwel a 4 x. In het eerste geval zijn we meteen klaar. In het eerste geval volgt uit (7.5) dat x = a en ook dan geldt x 4 a vanwege de reflexiviteit van 4. In beide gevallen geldt dus x 4 a waarmee we (7.3) bewezen hebben. Dus is a een grootste element van A.
Als A een grootste element heeft, dan kunnen we vanwege onderdeel (a) van Proposi-tie 7.1.8 spreken van het grootste element van A in plaats van een grootste element van A. Het grootste element noemen we ook wel een maximum en we noteren het met
max A.
Net zo is een kleinste element van A uniek. Het kleinste element heet ook wel een minimum en we schrijven
min A voor het kleinste element van A (als het bestaat).
Bovengrens en ondergrens, supremum en infimum
We formuleren de begrippen bovengrens en ondergrens, supremum en infimum voor een willekeurige orderelatie.
Definitie 7.1.9. Zij (X, 4) een geordende verzameling en A⊂ X. (a) Dan is b∈ X een bovengrens van A als
∀x ∈ A : x 4 b.
Als A een bovengrens heeft, dan noemen we A naar boven begrensd.
(b) Verder is s∈ X een supremum (of kleinste bovengrens) van A als s een bovengrens is van A die kleiner is dan elke andere bovengrens van A.
Analoog kennen we de begrippen ondergrens, naar onder begrensd en infimum (of grootste ondergrens).
Uit de definities volgt dat s∈ X een supremum is van A als (a) s is een bovengrens van A:
∀x ∈ A : x 4 s, (b) en s is kleiner dan of gelijk aan elke bovengrens b van A:
∀b ∈ X : (∀x ∈ A : x 4 b) ⇒ s 4 b.
Een bovengrens is meestal niet uniek bepaald, maar het supremum (als het bestaat) is wel uniek (zie Oefening 7.1.5). We kunnen dus spreken van het supremum van A en net zo van het infimum. We noteren
sup A en inf A
voor het supremum en het infimum van een verzameling A.
7.1.4 Oefeningen
Oefening 7.1.1. Welke van de volgende relaties zijn orderelaties op de verzameling W van alle woorden uit de Nederlandse taal? Zijn de orderelaties partieel of totaal?
(a) R1 is de relatie op W waarbij (x, y) ∈ R1 als alle letters van woord x ook voorkomen in woord y.
(b) R2 is de relatie op W waarbij (x, y)∈ R2 als en slechts als de letters van woord x achter elkaar en in dezelfde volgorde voorkomen in woord y.
(c) R3 is de relatie op W waarbij (x, y)∈ R3 als y na x komt in alfabetisch-lexicografische ordening.
Oefening 7.1.2. Welke van de volgende relaties zijn orderelaties op R? Zijn de orderelaties partieel of totaal?
(a) {(x, y) ∈ R × R | x ≥ y}. (b) {(x, y) ∈ R × R | |x| ≥ |y|}.
Orderelaties 81 Oefening 7.1.3. Zij (X, 4) een geordende verzameling. Voor elke x∈ X defini¨eren we
Px={a ∈ X | a 4 x}. Bewijs dat
∀x, y ∈ X : (x 4 y ⇔ Px ⊂ Py) . Oefening 7.1.4. Zij (X, 4) een geordende verzameling.
(a) Laat zien dat (X, <) ook een geordende verzameling is.
(b) Zij A⊂ X. Laat zien dat a het kleinste element van A is in de geordende verzameling (X, 4) als en slechts als a het grootste element van A is in de geordende verzameling (X, <).
Oefening 7.1.5. Zij (X, 4) een geordende verzameling en A⊂ X. Bewijs dat een supremum van A (als het bestaat) uniek is.
Oefening 7.1.6. Zij (X, 4) een geordende verzameling en A ⊂ X. Neem aan dat A een grootste element heeft, max A. Bewijs dat max A dan ook het supremum van A is.
Oefening 7.1.7. Zij (X, 4) een geordende verzameling en A ⊂ X. Zij B gelijk aan de verzameling van alle bovengrenzen van A.
(a) Laat zien dat B naar boven gesloten is. Dat wil zeggen, laat zien dat als b∈ B en b 4 c dan is c∈ B.
(b) Bewijs dat elk element van A een ondergrens van B is.
(c) Neem aan dat B een infimum heeft, zeg inf B = x. Bewijs dat x = sup A.
Oefening 7.1.8. Zij D de ’deler van’ relatie op N0 als in (7.2). Bewijs dat voor n, m∈ N0
geldt
sup{n, m} = kgv(n, m) en
inf{n, m} = ggd(n, m)
waarin met kgv het kleinste gemene veelvoud en met ggd de grootste gemene deler bedoeld wordt.
Oefening 7.1.9. Beschouw de parti¨ele ordening ‘⊂’ op de machtsverzameling P (X) van een verzameling X. Zie onderdeel (c) van Voorbeeld 7.1.3. Bewijs dat voor A, B ∈ P (X),
inf{A, B} = A ∩ B en
sup{A, B} = A ∪ B.
Oefening 7.1.10. Zij (X, 4) een geordende verzameling. Neem aan dat X zowel een kleinste als een grootste element heeft. We zien∅ als deelverzameling van X.
(a) Is inf∅ het kleinste of het grootste element van X? Bewijs uw antwoord. (b) Dezelfde vraag voor sup∅.
Oefening 7.1.11. Neem aan dat R een reflexieve en transitieve relatie op een verzameling X is. Definieer een relatie∼ op X door
x∼ y als en slechts als (x, y)∈ R ∧ (y, x) ∈ R. (a) Bewijs dat∼ een equivalentierelatie op X is.
Zij X/ ∼ de quoti¨entverzameling bestaande uit alle equivalentieklassen [x] met x ∈ X. Definieer op X/∼ een relatie S door
([x], [y])∈ S als en slechts als (x, y)∈ R. (b) Laat zien dat S goed gedefinieerd is.
(c) Bewijs dat S een orderelatie op X/∼ is.