Universele Portefeuilles in Discrete Tijd

Universele Portefeuilles in

Discrete Tijd

Abstract

Inhoudsopgave

2.1.1 Resultaten voor sectoren . . . 9

2.1.2 Transactiekosten . . . 12

2.1.3 Resultaten voor sectoren met transactiekosten . . . 16

2.1.4 Resultaten voor aandelen . . . 17

2.2 De Dividend strategie . . . 20

2.2.1 Resultaten voor sectoren . . . 20

2.2.2 Resultaten voor aandelen . . . 22

3 De Sharpe ratio 24 3.1 De Sharpe ratio . . . 24

3.2 Asymptotiek . . . 26

3.3 Resultaten . . . 28

3.3.1 Resultaten voor sectoren . . . 30

3.3.2 Resultaten voor aandelen . . . 40

3.4 Conclusie . . . 43

4 De Universele Portefeuille 45 4.1 Definities . . . 45

4.2 Constant herwogen portefeuille . . . 46

4.3 De Universele Portefeuille . . . 49

4.3.1 Methode van Blaedel . . . 53

4.3.2 Simulatie . . . 54

4.4 Activiteit van twee aandelen . . . 59

4.5 Activiteit van twee aandelen (2) . . . 62

4.6 Convergentie . . . 64

5 Universele Portefeuille in de Praktijk 67 5.1 Performance . . . 68

5.2 Conclusie . . . 75

6 Een Variant op de Universele Portefeuille 77 6.1 De Weging van portefeuilles . . . 77

6.2 De Sharpe ratio . . . 84

6.3 Out of sample resultaten . . . 90

7 Conclusie 95

1

Introductie

In paragraaf 1.1 geven we een beschrijving van de KAS BANK N.V. De KAS BANK N.V is de opdrachtgever van dit onderzoek. In paragraaf 1.2 wordt de doelstelling van het onderzoek gegeven.

1.1

KAS BANK N.V.

Deze afstudeeropdracht is het resultaat van een stage bij de afdeling Financieel Economisch Bureau (FEB) van de KAS BANK N.V. Deze beursgenoteerde on-derneming is een gespecialiseerde Europese bank met vestigingen te Amsterdam en Londen. De KAS BANK N.V. neemt een centrale positie in bij de afwikkel-ing van de handel op de effectenbeurs. De kernactiviteiten van de KAS BANK N.V. zijn de bewaarneming van effecten (custody), alsmede de afwikkeling van effectendiensten (clearing en settlement) en daaraan gerelateerde diensten en pro-ducten (Investment Management Services). De dienstverlening van deze bank is vooral gericht op institutionele beleggers, banken, brokers, beleggingsinstellingen en particulieren.

Het Financieel Economisch Bureau draagt onder meer bij aan het beleggings-beleid van de bank en het ondersteunen van het beleggingsproces van de afdeling Private Banking. Binnen deze afdeling wordt zowel macro economisch- als be-leggingsonderzoek verricht door een team analisten. Het beleid heeft onder an-dere tot doel de verdeling van beleggingsinstrumenten van de zogeheten model-portefeuilles vast te stellen. De KAS BANK N.V. onderscheidt verschillende modelportefeuilles. Een modelportefeuille bestaat in meer of mindere mate uit aandelen, obligaties, onroerend goed en liquide middelen. Een modelportefeuille is bijvoorbeeld 60% aandelen, 25% obligaties, 10% onroerend goed en 5% liquide middelen. De uitgevoerde analyses door het Financieel Economisch Bureau op macro-economisch, sector- en bedrijfsniveau kunnen leiden tot aanpassingen van deze modelportefeuilles.

1.2

Doelstelling

Binnen de aandelenportefeuille van de KAS BANK N.V. worden economische sec-toren onderscheiden. In elke economische sector wordt middels ´e´en of meerdere aandelen belegd. De uitgevoerde analyses kunnen leiden tot aanpassingen van de gewichten van de economische sectoren binnen de aandelenportefeuille. Aan-delen, die tot de betreffende economische sector behoren, worden dan gekocht of verkocht.

Ter ondersteuning van het beslissingsproces rond de maandelijkse sectorallocatie binnen de aandelenportefeuille verricht het Financieel Economisch Bureau kwan-titatief onderzoek. Het Financieel Economisch Bureau van de KAS BANK N.V. is ge¨ınteresseerd in twee bekende beleggingsstrategie¨en: de momentum strate-gie en de dividend stratestrate-gie. Het Financieel Economisch Bureau vraagt om de momentum en de dividend strategie enerzijds toe te passen op de maandelijkse historische rendementen van een aantal geselecteerde sectoren, die binnen de Dow Jones Stoxx 600 Index worden onderscheiden. Anderzijds vraagt het Financieel Economisch Bureau om beide beleggingsstrategie¨en toe te passen op de maan-delijkse historische rendementen van de aandelen, die binnen de Dow Jones Euro Stoxx 50 zijn opgenomen. Zowel door de momentum strategie als door de divi-dend strategie worden maandelijks drie sectoren geselecteerd, waarin vervolgens voor een maand ge¨ınvesteerd wordt.

Het Financieel Economisch Bureau beoordeelt beleggingsstrategie¨en met behulp van de Sharpe ratio. De Sharpe ratio is een bekende maatstaf om de performance van een portefeuille per eenheid risico te meten. De Sharpe ratio zal uitgebreid worden besproken. Aan de hand van de Sharpe ratio worden de momentum en de dividend strategie beoordeeld.

Het Financieel Economisch Bureau wil antwoord op de vraag of het mogelijk is om zowel het resultaat van de momentum strategie als het resultaat van de dividend strategie te overtreffen door het vermogen maandelijks over de momen-tum en de dividend strategie te spreiden. Bij zowel de momenmomen-tum strategie als de dividend strategie worden maandelijks drie sectoren (aandelen) geselecteerd, waarin het vermogen een maand ge¨ınvesteerd wordt. De vraag is welk deel van het vermogen maandelijks in de sectoren (aandelen) ge¨ınvesteerd wordt die door de momentum strategie geselecteerd zijn, en welk deel van het vermogen maan-delijks belegd wordt in de middels de dividend strategie geselecteerde sectoren (aandelen).

De doelstelling van de stage is tweeledig. Het Financieel Economisch Bureau overweegt om de sectoren en de aandelen mede op basis van het momentum en dividend rendement te selecteren. Het Financieel Economisch Bureau vraagt daarover op basis van de Sharpe ratio van de momentum en de dividend strategie een oordeel te geven. Om de Sharpe ratio te schatten worden de momentum en de dividend strategie toegepast op de historische maandelijkse rendementen van de sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index. Ook worden de momentum en de dividend strategie toegepast op historische maandelijkse rende-menten van de aandelen die historisch gezien deel van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index hebben uitgemaakt. Daarnaast wordt getracht om zowel de momentum strategie als de dividend strategie te overtreffen door het vermogen maandelijks over de beleggingsstrategie¨en te spreiden. De universele portefeuillle stelt de spreiding van het belegde vermogen over de momentum en de dividend strategie maandelijks vast. Het Financieel Economisch Bureau vraagt om te beoordelen of de universele portefeuille binnen het huidige beleggingsbeleid gebruikt kan wor-den.

2

Beleggen

Dit hoofdstuk start met het beschrijven van de momentum strategie in paragraaf 2.1. In deze paragraaf worden de jaarlijkse absolute rendementen van de mo-mentum strategie gegeven. De momo-mentum strategie is enerzijds toegepast op de historische maandelijkse rendementen van de sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index. Anderzijds is de momentum strategie toegepast op de historische maandelijkse rendementen van de aandelen die deel uitmaken van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. We bespreken de resultaten voor sectoren en de resultaten voor aandelen. Het Financieel Economisch Bureau wenst tevens inzicht in het effect van transactiekosten op de jaarlijkse absolute rendementen van de momentum en de dividend strategie. Om deze reden worden ook trans-actiekosten meegenomen. We beschrijven ook de wijze waarop transtrans-actiekosten gemodelleerd zijn.

Paragraaf 2.2 beschrijft het beleggen op basis van dividend rendement. We be-spreken de resultaten voor sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index en de resultaten voor aandelen die deel uitmaken van Dow Jones Euro Stoxx 50 Index.

2.1

De Momentum strategie

Het Financieel Economisch Bureau is in de eerste plaats ge¨ınteresseerd in het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement van momentum strategie¨en. Het idee is dat een prijsstijging van een beleggingsobject een tijd zal aanhouden. Het mo-mentum defini¨eren we als

Momentumi,M =

Pi

Pi−M − 1,

(1)

waarbij Pi de prijs van het beleggingsobject op tijdstip i is. Pi−M is de prijs

Het momentum is de relatieve verandering van de prijs van het beleggingsob-ject ten opzichte van M eenheden van tijd geleden. De momentum strategie is een bekende beleggingsstrategie (Jegadeesh 1993, Chan 1996, Rouwenhorst 1998, Moskowitz 1999, Jegadeesh 2001, Lewellen 2002). Bij de momentum strategie wordt het vermogen belegd in een aantal beleggingsobjecten met het hoogste momentum over de afgelopen M eenheden van tijd. De eenheid van tijd kan dagen, weken of maanden of jaren zijn. In het onderzoek beschouwen we ver-schillende momentum strategie¨en: we beschouwen de momentum strategie¨en die uitgaan van het 1-maand, het 2-maanden, het 3-maanden, het 4-maanden, het 6-maanden en het 12-maanden momentum.

2.1.1 Resultaten voor sectoren

We beschrijven de resultaten van beleggen op basis van momentum, die zijn verkregen door de momentum strategie toe te passen op de maandelijkse rende-menten van sectoren. We gaan uit van de sectoren van de Europese Dow Jones Stoxx 600 Index. Het maandelijkse rendement van elke sector berekenen we aan de hand van een sectorindex: een gewogen gemiddelde van de prijzen van aande-len die tot deze sector behoren. Het FEB heeft een aantal sectoren geselecteerd die meegenomen zullen worden:

Automobiel Chemie Gezondheidszorg Technologie

Banken Cyclisch Industrie Telecommunicatie

Basismatarialen Energie Media Verzekeringen

Bouw Financi¨ele Diensten Noncyclisch Voeding en dranken

Tabel 1: sectoren.

We hebben de beschikkking over maandelijkse rendementen van de geselecteerde sectoren van 1 januari 1987 tot 31 december 2003 (berekend aan de hand van

de indices)1_{. Bij elke momentum strategie investeren we maandelijks in de drie}

sectoren met het hoogste momentum. In iedere sector wordt ´e´en derde deel van het vermogen ge¨ınvesteerd (stel het vermogen is 120, dan is de investering per sector 40). Na elke maand wordt het momentum van elke sector opnieuw bepaald en bepalen we de drie sectoren met het hoogste momentum. Een sector wordt van de hand gedaan indien blijkt dat het momentum van die sector niet meer tot de top-3 behoort. Na elke maand herstellen we de fracties van het vermogen in de geselecteerde sectoren (1/3 van het vermogen). We meten vervolgens het jaarlijkse absolute rendement van de verschillende momentum strategie¨en in de periode van 1 januari 1988 tot 31 december 2003. Tabel 2 geeft het jaarlijkse

1

absolute rendement van de onderzochte momentum strategie¨en in die periode (exclusief transactiekosten): Momentum (M) Rendement 1 12.1% 2 10.0% 3 14.5% 4 12.4% 6 11.1% 12 8.6% DJ 600 7.6%

Tabel 2: Momentum strategie (1988-2003).

In de tabel geeft de linker kolom het momentum (M) weer. M = 6 betekent dat we de sectoren elke maand op basis van het 6-maanden momentum selecteren (met andere woorden, welke sectoren hebben het laatste half jaar het hoogste ren-dement behaald). In de tabel is ook de Dow Jones Stoxx 600 Index opgenomen. Deze index is een gewogen gemiddelde van de sectorindices en wordt als referen-tiekader beschouwd. Het is opvallend dat alle onderzochte strategie¨en de index overtreffen. Het beste resultaat wordt behaald wanneer de sectoren geselecteerd worden op basis van het 3-maanden momentum. Figuur 1 geeft de jaarlijkse ren-dementen van deze strategie:

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1988 1991 1994 1997 2000 2003 Momentum - 3mnd DJ 600 Index

De 3-maanden momentum strategie behaalt elk jaar een hoger rendement dan de Dow Jones Stoxx 600 Index (uitzondering is 1989): sterke uitschieters zijn 1999 en 2000. Er is tevens onderzocht of het zinvol is om de periode (in maan-den) tussen twee dagen waarop een herallocatie van het vermogen plaatsvindt te vergroten. Tabel 3 geeft het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement voor verschillende perioden (in maanden) tussen twee dagen waarop een herallocatie van het vermogen plaatsvindt:

Momentum (M) Interval 1 2 3 4 6 12 1 12.1% 10.0% 14.5% 12.4% 11.1% 8.6% 2 13.0% 11.3% 13.4% 12.5% 12.1% 7.7% 3 14.4% 9.7% 12.0% 10.4% 10.7% 9.3% 4 8.7% 9.0% 12.2% 9.7% 9.9% 5.0% 6 11.8% 11.7% 13.3% 7.4% 11.0% 7.5% 12 9.0% 9.2% 8.9% 6.6% 9.9% 6.0%

Tabel 3: Variatie van het interval tussen herallocaties.

In tabel 3 is verticaal de periode in maanden tussen twee dagen waarop een heral-locatie van het vermogen plaatsvindt en horizontaal het momentum uitgezet. Het rendement is bijvoorbeeld 11.1% op jaarbasis wanneer de selectie van sectoren na elke maand op basis van het 6-maanden momentum plaatsvindt. Het selecteren van de sectoren op basis van het 3-maanden momentum levert behoorlijke rende-menten op. Het jaarlijkse absolute rendement ligt rond 12% wanneer de periode tussen twee dagen waarop een herallocatie van de investering plaatsvindt minder dan een half jaar is. In het algemeen is het jaarlijkse absolute rendement min-der naarmate de periode tussen twee dagen waarop een herallocatie plaatsvindt langer is.

2.1.2 Transactiekosten

Het Financieel Economisch Bureau wenst inzicht in het effect van transactiekosten op de jaarlijkse absolute rendementen van de momentum en de dividend strate-gie. Deze paragraaf beschrijft de manier waarop transactiekosten gemodelleerd zijn.

Binnen de financi¨ele markten worden transactiekosten betaald voor het aan- en verkopen van beleggingsobjecten. Het is noodzakelijk om de transactiekosten mee te nemen om beleggingsstrategie¨en met een verschillende periode tussen twee da-gen waarop een herallocatie van het vermoda-gen plaatsvindt met elkaar te kunnen vergelijken.

We nemen aan dat er een vaste fractie commissie 0 < c ≤ 1 betaald moet

worden om een aandeel te kopen; voor het verkopen van aandelen geldt echter geen commissie. Het idee is dat een belegger de transactiekosten betaalt door aandelen te verkopen. Hoe dit precies werkt illustreren we met een voorbeeld (Blum en Kalai, 1999).

Stel bijvoorbeeld dat de commissie in een markt met twee aandelen 40% op elke aankoop van aandelen is. Voor een belegger is de waarde van zijn of haar belegging in aandeel A aan het eind van een bepaalde periode $200, de waarde van de belegging in aandeel B is op dat moment $800. De belegger wil de porte-feuille graag herwegen zodat de fracties van het vermogen in de aandelen gelijk worden. Een effici¨ente belegger zal eerst voor $100 aan aandeel B gaan verkopen om zo de toekomstige transactiekosten te kunnen betalen. De waarde van de belegging in aandeel A is nog steeds $200, de waarde van de belegging in aan-deel B is nu $700. Tevens heeft de belegger $100 aan contanten. Wanneer de belegger nu voor $250 aan aandelen B verhandeld voor aandelen A, zodoende de waarde van de belegging in elk aandeel gelijk te krijgen ($450), wordt de $100

aan transactiekosten betaald (0.4× $250). Deze belegger handelt effici¨enter dan

een belegger die tracht tot $500 te herwegen, en daarna $60 in elk aandeel moet

verkopen om de $120 transactiekosten (0.40_{× $300) te betalen. Het resultaat is}

dan dat de waarde $440 per aandeel is.

Stel een belegger heeft zijn vermogen in aandelen ge¨ınvesteerd, waarbij de verdel-ing van het vermogen over de aandelen wordt gegeven door de vector met fracties q = (q1, . . . , qm)0, qj ≥ 0,

P

jqj = 1. De belegger wil fracties r = (r1, . . . , rm)0,

P

jrj = 1 verkrijgen. Laat T (q, r) de transactiekosten zijn die de belegger

hier-voor betaalt. De doelstellingsfunctie van het optimaliseringsprobleem is het min-imaliseren van deze transactiekosten T (q, r). We defini¨eren de volgende beslis-singsvariabelen:

x+j = waarde van de aangekochte aandelen j in

euro’s. x−

j = waarde van de verkochte aandelen j in euro’s.

We schrijven Vj voor de waarde van aandelen j in de portefeuille v´o´or het

her-wegen van de portefeuille. We beschouwen een markt met twee aandelen. Het minimaliseren van de transactiekosten is equivalent aan het maximaliseren van de waarde van de portefeuille na herweging van de portefeuille. Het optimaliserings-probleem wordt gegeven door:

max_x+ j,x−j V1+ V2− c P jx − j s.t. r1[V1+ V2− cPjx − j ] = V1+ x + 1 − x − 1 [1] r2[V1+ V2− cPjx − j ] = V2+ x+2 − x − 2 [2] x+₁ + x+₂ = (1− c)Pjx − j [3] x− 1 − x+1 ≤ V1 [4] x− 2 − x+2 ≤ V2 [5] x+₁, x− 1, x+2, x − 2 ≥ 0.

In het bovenstaande optimaliseringsprobleem is de doelstellingsfunctie het

max-imaliseren van de waarde van de portefeuille na herweging ( V1 + V2 -

De beperkingen [1] en [2] stellen dat de fracties van respectievelijk aandeel 1

en aandeel 2 in de portefeuille na herweging gelijk moeten zijn aan r1 en r2. De

derde beperking stelt dat de totale waarde van de aangekochte aandelen gelijk moet zijn aan totale waarde van de verkochte aandelen minus de transactiekosten. De beperkingen [4] en [5] stellen dat de waarde van de verkochte aandelen minus de waarde van de aangekochte aandelen kleiner of gelijk moet zijn aan de initi¨ele waarde van het aandeel in het portefeuille.

Hieronder leggen we uit hoe het optimaliseringsprobleem wordt opgelost. Als

de belegger T (q, r) dollar aan transactiekosten betaalt, dan is α = 1_{− T (q, r)}

de waarde van het vermogen na de herallocatie. Hierbij nemen we aan dat de

noodzakelijke transactiekosten het belegde vermogen niet overtreffen: 0 < α_{≤ 1.}

De waarde van de belegging in aandeel j is dan αrj. Stel dat voor aandeel j

geldt dat qj > rj = 0: alle aandelen j zullen dan verkocht moeten worden om

portefeuille r te verkrijgen. Een belegger die effici¨ent handelt zal alleen aandelen

gekocht hebben waarvoor geldt dat de waarde van de investering in aandeel j, qj,

kleiner is dan de waarde na de herallocatie, αrj. Voor deze verzameling schrijven

we S =_{{j |α > q}j/rj}. Er volgt dat

X

j∈S

(αrj− qj) (2)

wordt aangekocht. Een belegger handelt effici¨ent als deze niet meer transac-tiekosten betaalt dan noodzakelijk is:

T (q, r) = cX

j∈S

(αrj− qj), (3)

In dat geval daalt het totale vermogen precies daalt met het bedrag dat noodza-kelijk is voor het betalen van de transactiekosten. Nu volgt dat α de oplossing is van

α = 1_{− c}X

j∈S

(αrj − qj), (4)

Dit is een lineaire vergelijking in α; de termen c, qj, rj zijn immers bekend. Het

rj > 0∀ j. We kunnen de aandelen sorteren op basis van de verhouding tussen

qj en rj:

q1/r1 ≤ · · · ≤ qm/rm. (5)

We kunnen de verzameling S nu op de volgende manier bepalen. Er bestaan namelijk slechts m verschillende mogelijkheden voor deze verzameling, aangezien alle qj en rj bekend zijn:

S= _∅ als α < q1/r1

{1} als q1/r1 < α < q2/r2

{1, 2} als q2/r2 < α < q3/r3

...

{1, 2, . . . , m − 1} als qm−1/rm−1 < α

In het eerste geval geldt qj = rj ∀ j: zonder aandelen aan te kopen bereiken

we meteen de gewenste portefeuille. Met formule (4) kunnen we α voor elke mogelijke S berekenen, en vervolgens kunnen we nagaan of S voldoet aan S =

{j |α > aj/bj}. Slechts ´e´en waarde van α zal hieraan voldoen, waarmee de

oploss-ing van (4) gevonden is.

We hebben aangenomen dat de commissie alleen op het kopen van aandelen van

toepassing is. Veronderstel nu dat er twee commissies bestaan, c1 en c2, voor het

kopen en het verkopen van aandelen. Stel dat er van een aandeel een hoeveelheid ∆ wordt verkocht. Deze verkoop van aandelen levert na betaling van

transac-tiekosten ∆_{− c}2∆ aan inkomen op. Een hoeveelheid Π in een aandeel investeren

kost Π + c1Π. Aangezien de belegger transactiekosten betaalt door aandelen te

Dit betekent dat van ´e´en dollar een fractie ϕ ge¨ınvesteerd kan worden. De trans-actiekosten per dollar zijn dan

1_{− ϕ =} c1+ c2

1 + c2

,

waarna volgt dat voor c = (c1 + c2)/(1 + c2) het gehanteerde model

equiva-lent is aan het hierboven beschreven model (met commissie op zowel aankopen als verkopen).

In paragraaf 2.1.1 zijn de resultaten van de verschillende momentum strategie¨en beschreven, die zijn toegepast op de historische maandelijkse rendementen van sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index. In paragraaf 2.1.2 is beschreven op welke manier transactiekosten gemodelleerd zijn. In de volgende paragraaf zijn de jaarlijkse absolute rendementen uit paragraaf 2.1.1 gecorrigeerd voor transactiekosten.

2.1.3 Resultaten voor sectoren met transactiekosten

In deze paragraaf worden de resultaten van de onderzochte momentum strategie¨en van paragraaf 2.1.1 gecorrigeerd voor transactiekosten. Hierbij gaan we ervan uit dat de belegger zijn transactiekosten minimaliseert. In de vorige paragraaf hebben we uitgelegd hoe we de minimale transactiekosten kunnen bepalen. We gaan uit van 0,5% transactiekosten voor het kopen en ook 0,5% transactiekosten voor het verkopen:

Momentum (M) Interval 1 2 3 4 6 12 1 1.9% 2.3% 8.2% 6.7% 6.5% 5.2% 2 7.9% 6.2% 9.0% 8.9% 8.9% 5.4% 3 10.7% 6.4% 7.5% 6.0% 6.8% 7.5% 4 6.1% 6.4% 9.4% 7.2% 7.8% 3.4% 6 10.0% 10.0% 11.6% 5.6% 9.3% 6.2% 12 8.1% 8.4% 8.1% 5.7% 9.0% 5.1%

Het is duidelijk dat transactiekosten een grote invloed hebben. Wanneer transac-tiekosten worden meegenomen daalt het rendement van de 3-maanden momentum strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen fors: het rendement is 8.2% op jaarbasis (het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement van de Dow Jones Stoxx 600 Index is 7.6%).

Het is moeilijk om conclusies te trekken. De rendementen van de 3-maanden momentum strategie wijken ook na een correctie voor transactiekosten weinig van elkaar af. Wanneer sectoren op basis van een korte periode uit het verleden (M = 1 of M = 2) geselecteerd worden, lijkt het beter om te kiezen voor een half-of jaarlijkse periode tussen twee selectiemomenten. Voor langere selectieperioden

(M _{≥ 4) heeft de periode tussen twee selectiemomenten weinig invloed op het}

rendement.

2.1.4 Resultaten voor aandelen

In paragraaf 2.1 hebben we de resultaten van de verschillende momentum strate-gie¨en beschreven, die zijn verkregen door de momentum stratestrate-gie¨en toe te passen op de maandelijkse rendementen van sectoren. Het rendement van elke sector hebben we aan de hand van een sectorindex berekend. In deze paragraaf gaan we uit van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. Deze index bestaat uit de vijf-tig grootste bedrijven uit de eurozone en is daarmee een belangrijke graadmeter voor aandelen in de eurozone. Er zijn maandelijkse prijzen verzameld van alle

aandelen die ooit binnen deze index zijn opgenomen2_{. De tijdreeksen starten op}

2 januari 1992 en eindigen op 31 december 2004 (157 observaties). Elke maand investeren we in de drie aandelen met het hoogste momentum, waarna na elke maand een nieuwe selectie van aandelen plaatsvindt. Tabel 5 geeft het jaarlijkse absolute rendement per strategie:

Momentum (M) Rendement 1 8.3% 2 5.5% 3 12.6% 4 17.2% 6 21.2% 12 15.2% DJ Stoxx 50 8.4%

Tabel 5: Momentum strategie(1993-2004).

2

In de tabel geeft de linker kolom het momentum (M) weer. M = 6 betekent dat we de aandelen elke maand op basis van het 6-maanden momentum selecteren. In de tabel is ook het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index opgenomen. Het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement van de 1-maands momentum strategie (M=1) is 8.3% en dat van de 2-maanden mo-mentum strategie het laagst: 5.5%. De 6-maanden momo-mentum strategie bereikt het hoogste gemiddelde jaarlijkse absolute rendement: 21.2%. Figuur 2 zet het jaarlijkse rendement van deze strategie tegen de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index af: -0.5 0 0.5 1 1.5 2 1993 1995 1997 1999 2001 2003 Momentum - 6mnd DJ Stoxx 50 Index

Figuur 2: Jaarlijkse rendementen van de 6-maanden momentum strategie (1993-2004).

Figuur 2 laat zien dat 1998 en 1999 een grote invloed op het gemiddelde rende-ment hebben. Tevens valt het relatief hoge renderende-ment van 1994 en het relatief slechte rendement van 1997 op. In 2003 en 2004 is het rendement van de Dow Jones Euro Stoxx 50 beter. De onderstaande tabel geeft ook het jaarlijkse ab-solute rendement voor langere perioden tussen twee selectiemomenten (in maan-den): Momentum (M) Interval 1 2 3 4 6 12 1 8.3% 5.5% 12.6% 17.2% 21.2% 15.2% 2 15.5% 15.3% 14.9% 25.8% 19.1% 22.1% 3 11.8% 17.7% 9.5% 21.7% 15.7% 22.2% 4 15.2% 6.3% 10.2% 15.2% 16.0% 19.7% 6 14.1% 15.5% 15.5% 16.2% 16.3% 22.3% 12 5.2% 9.5% 6.4% 19.5% 19.3% 9.1%

In de werkelijkheid betalen we transactiekosten voor het kopen en het verkopen van aandelen. We gaan wederom uit van 0.5% transactiekosten voor kopen en ook het verkopen. Tabel 7 geeft het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement per strategie: Momentum (M) Interval 1 2 3 4 6 12 1 -2.9% -3.4% 4.3% 9.6% 14.4% 10.0% 2 9.5% 9.3% 9.5% 20.8% 15.0% 18.9% 3 7.5% 13.6% 5.8% 18.0% 12.5% 19.7% 4 12.0% 3.4% 7.4% 12.3% 13.5% 17.6% 6 12.1% 13.4% 13.4% 14.1% 14.3% 20.6% 12 4.2% 8.5% 5.5% 18.5% 18.4% 8.1%

Tabel 7: Effect van het meenemen van transactiekosten.

Het effect van het meenemen van transactiekosten binnen de jaarlijkse absolute rendementen is duidelijk zichtbaar. Een selectie van aandelen op basis van het momentum over de afgelopen vier maanden geeft het beste resultaat wanneer er na elke twee maanden een herallocatie van het vermogen plaatsvindt: na correc-tie voor transaccorrec-tiekosten is het rendement 20.8%. Verder valt op dat de optimale herallocatie periode voor twee strategie¨en verandert: voor de 1-maands en de 6-maanden momentum strategie. Het valt op dat de rendementen voor elke vaste periode tussen herallocatie over het algemeen hoger zijn, wanneer de selectie plaatvindt op basis van langere momentum periode uit het verleden. Met het woord ’langere’ wordt hier vier, zes of twaalf maanden bedoeld. Bij de momen-tum strategie¨en die zijn toegepast op de maandelijkse rendementen van sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index kan een dergelijk onder-scheid niet worden gemaakt.

2.2

De Dividend strategie

Deze paragraaf beschrijft beleggen op basis van dividend rendement. In paragraaf 2.2.1 worden de resultaten besproken van de dividend strategie, die is toegepast op de maandelijkse dividend rendementen van de sectoren die deel uitmaken van Dow Jones Stoxx 600 Index. Paragraaf 2.2.2 beschrijft de resultaten van de di-vidend strategie, die is toegepast op de maandelijkse didi-vidend rendementen van de aandelen die historisch deel van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index hebben uitgemaakt.

Naast beleggen op basis van het momentum is beleggen op basis van dividend rendement een bekende beleggingsstrategie. Het dividend rendement van een aandeel is de verhouding van het uit te keren dividend in het komende jaar en de koers:

Dividend rendement = uit te keren dividend

huidige koers . (9)

Het betreft hier een indicatie van het dividend rendement: toekomstige uit te keren dividenden zijn onzeker en niet noodzakelijk hetzelfde als historisch uitge-keerde dividenden.

Het dividend rendement wordt als potenti¨ele indicator van over- en onderwaarde-ring beschouwd. Dividenden zijn door de tijd heen veel stabieler dan aandelen-prijzen. Een laag dividend rendement zou daarom kunnen wijzen op overwaarde-ring en een hoog dividend rendement op onderwaardeoverwaarde-ring. Dit betekent dat een hoog (laag) dividend rendement wellicht door een koersstijging (koersdaling) gevolgd kan worden.

2.2.1 Resultaten voor sectoren

We hebben voor alle sectoren een gegeven tijdreeks met het maandelijkse dividend rendement verkregen. Deze tijdreeksen beginnen op 31 december 1994 en eindigen

op 30 november 20033_{. Bij iedere herallocatie van het vermogen wordt belegd in}

de drie sectoren met het hoogste dividend rendement, waarbij ervan uitgegaan wordt dat in elke sector ´e´en derde deel van het vermogen wordt ge¨ınvesteerd. Het beleggen op basis van dividend rendement van sectoren geeft de volgende resultaten:

3

Interval Rendement 1 13.2% / 10.9% 2 11.7% / 10.3% 3 15.9% / 14.1% 4 10.6% / 9.4% 6 12.2% / 11.2% 12 10.9% / 10.3%

Tabel 8: Dividend strategie (1995-2003).

De linkerkolom geeft de periode in maanden tussen twee dagen waarop een her-allocatie van het vermogen plaatsvindt aan. Het eerste percentage in de tweede kolom is het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement zonder rekening te houden met transactiekosten, het tweede percentage is het jaarlijkse absolute rendement als transactiekosten worden meegenomen (we gaan uit van 0.5% transactiekosten voor kopen en het verkopen). De optimale periode tussen twee herallocaties van het vermogen is drie maanden (bij de momentum strategi¨een met maandelijkse herweging voor sectoren is het 3-maanden momentum optimaal - tabel 3). Figuur 3 zet het jaarlijks rendement van deze strategie (exclusief transactiekosten) tegen de Dow Jones 600 Index en de 3-maanden momentum strategie (met maandelijkse herweging) uit: -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1995 1997 1999 2001 2003 Momentum - 3mnd DJ 600 Index Dividend

Figuur 3: Jaarlijkse rendementen van beide strategie¨en (1995-2003).

2.2.2 Resultaten voor aandelen

In paragraaf 2.2.1 zijn de resultaten besproken van de dividend strategie, die is toegepast op de maandelijkse dividend rendementen van de sectoren die deel uit-maken van Dow Jones Stoxx 600 Index. Deze paragraaf beschrijft de resultaten van de dividend strategie, die is toegepast op de maandelijkse dividend rende-menten van de aandelen die historisch deel van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index hebben uitgemaakt.

We beschouwen weer alle aandelen die (ooit) binnen de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index zijn opgenomen. We hebben voor elk aandeel een gegeven tijdreeks met het maandelijkse dividend rendement verkregen. De tijdreeksen starten op

2 januari 1992 en eindigen op 30 november 20044_{. Bij iedere herallocatie van het}

vermogen beleggen we in de drie aandelen met het hoogste dividend rendement, waarbij we ervan uitgaan dat in elk aandeel ´e´en derde deel van het vermogen wordt ge¨ınvesteerd. Tabel 9 geeft het gemiddelde jaarlijkse rendement van de dividend strategie: Interval Rendement 1 15.9% / 13.1% 2 13.0% / 11.0% 3 13.3% / 11.8% 4 13.3% / 11.9% 6 10.3% / 9.3% 12 11.6% / 10.8%

Tabel 9: Dividend strategie (1992-2004).

De optimale periode tussen twee dagen waarop een herallocatie van het ver-mogen plaatsvindt is een maand (bij de momentum strategie¨en met maandelijkse herweging is het 6-maanden momentum optimaal - tabel 6). Het gemiddelde jaarlijkse rendement is 13.1% wanneer ook transactiekosten worden meegenomen (we gaan uit van 0.5% voor het kopen en verkopen van aandelen). Figuur 4 zet het jaarlijkse rendement van deze dividend strategie (transactiekosten worden hier buiten beschouwing gelaten) tegen de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index en de 6-maanden momentum strategie (met een maandelijkse herallocatie van het vermogen) uit:

4

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 1993 1995 1997 1999 2001 2003 Momentum - 6mnd DJ Stoxx 50 Index Dividend

Figuur 4: Jaarlijkse rendementen van beide strategie¨en (1993-2004).

De strategie¨en doen het afwisselend beter. In de periode 1993-1995 laat de mo-mentum strategie een betere performance zien, waarna de rendementen van de dividend strategie in 1996 en 1997 beter zijn. De momentum strategie behaalt vervolgens zeer hoge rendementen in de jaren 1998 en 1999. De dividend strategie overtreft over de periode 2001-2004 zowel de index als de 6-maanden momentum strategie.

3

De Sharpe ratio

In hoofdstuk 2 zijn de gemiddelde jaarlijkse absolute rendementen van verschil-lende beleggingsstrategie¨en gepresenteerd. Het Financieel Economisch Bureau beoordeelt beleggingsstrategie¨en echter op basis van het rendement per eenheid risico. Het Financieel Economisch Bureau overweegt om de sectoren en de aan-delen mede op basis van het momentum en dividend rendement te selecteren. In dit hoofdstuk wordt daarover op basis van de Sharpe ratio van de momentum en de dividend strategie een oordeel gegeven.

Paragraaf 3.1 beschrijft de Sharpe ratio. Tevens wordt in deze paragraaf uit-gelegd hoe de Sharpe ratio geschat kan worden. Met behulp van de asymptotische verdeling van de Sharpe ratio schatter kunnen we voor elke beleggingsstrategie een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de Sharpe ratio afleiden. In paragraaf 3.2 wordt de asymptotische verdeling van de Sharpe ratio schatter afgeleid. In para-graaf 3.3 worden de geschatte Sharpe ratio en het 95%-betrouwbaarheidsinterval van de Sharpe ratio voor elke beleggingsstrategie gegeven. Tenslotte zullen we in paragraaf 3.4 op basis van de Sharpe ratio een oordeel met betrekking tot het selecteren van sectoren en aandelen op basis van het momentum en dividend rendement geven.

3.1

De Sharpe ratio

Het Financieel Economisch Bureau vraagt om op basis van de Sharpe ratio een oordeel over de momentum en de dividend strategie te geven. In deze paragraaf wordt de Sharpe ratio beschreven.

Een bekende maatstaf om de performance van een portefeuille per eenheid risico te meten is de Sharpe ratio. De Sharpe ratio is gedefinieerd als de verhouding tussen het verwachte overrendement, dat wil zeggen het verwachte rendement van de portefeuille minus het verwachte rendement van een gekozen index, en de standaarddeviatie van het verwachte overrendement:

SR = µ

σ, (10)

De lognormale verdeling wordt in de literatuur vaak genoemd als een verdeling die geschikt is voor het modelleren van rendementen. De lognormale verdeling heeft in vergelijking met de normale verdeling dikkere staarten. Met name de rende-menten van de verschillende momentum strategie¨en laten veel (grote) uitschieters zien.

Laat Pt de prijs van een beleggingsobject op tijdstip t zijn. Laat Rt het

be-haalde netto rendement op tijdstip t zijn: Rt= _PPt

t−1 − 1. We schrijven RB,t voor

het behaalde netto rendement van een gekozen index op tijdstip t. Het

overren-dement van het beleggingsobject op tijdstip t is Rm,t = Rt− RB,t. We defini¨eren

rm,t = log(1 + Rm,t).

rm,t is niet gedefinieerd is als RB,t − Rt > 1. Met andere woorden, rm,t is niet

gedefinieerd als het verschil in netto rendement tussen de gekozen index en het

beleggingsobject groter dan 1 is. Dit geldt bijvoorbeeld als RB,t = 0.8 en Rt =

-0.35 of als RB,t = 0.1 en Rt = -0.95. Deze extreme situaties, het maandelijkse

rendement van de index is 80% en het maandelijkse rendement van de strategie -35% is, komen niet voor.

Wij berekenen de Sharpe ratio voor een aantal beleggingsstrategie¨en. Zowel bij de momentum als de dividend strategie worden maandelijks drie beleggingsobjecten geselecteerd. Dat wil zeggen, drie sectoren die deel uitmaken van Dow Jones Euro Stoxx 600 Index of drie aandelen die deel uitmaken van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. Het maandelijkse rendement van de beleggingsstrategie is het gemiddelde rendement van de drie geselecteerde beleggingsobjecten. Het rende-ment van de gekozen index is het renderende-ment van de index waartoe de sectoren of aandelen behoren. Bij sectoren is dat het rendement van de Dow Jones Stoxx 600 Index, en bij aandelen is dat het rendement van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index.

We beschouwen de maandelijkse overrendementen van de onderzochte momen-tum strategie¨en en de dividend strategie. Bij elke beleggingsstrategie hebben we met de Kolmogorov-Smirnov statistiek de nulhypothese getoetst of de verkregen maandelijkse overrendementen lognormaal verdeeld zijn. Bij geen enkele strate-gie wordt de nulhypothese verworpen. Op basis van de uitkomst van deze toets nemen we voor elke strategie aan dat de maandelijkse overrendementen lognor-maal verdeeld zijn.

Voor een reeks van T historische overrendementen _{rm,1, . . . , rm,T} worden de

schatters voor het verwachte overrendement µ en de variantie σ2 _{gegeven door}

ˆ µ = 1 T T X t=1 rm,t en ˆσ2 = 1 T T X t=1 (rm,t− ˆµ)2. (11)

Een schatter voor de Sharpe ratio (10) wordt nu gegeven door de volgende for-mule:

c

SR = µˆ

ˆ

σ. (12)

Het gebruiken van de schatters ˆµ en ˆσ2 _{om de Sharpe ratio te berekenen kan}

leiden tot schattingsonzekerheid: de vraag is dan ook wat de nauwkeurigheid van geschatte Sharpe ratios is. We willen daarom een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de Sharpe ratio afleiden. Met behulp van de asymptotische verdeling van de Sharpe ratio schatter kunnen we een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de Sharpe ratio afleiden. In paragraaf 3.2 leiden we de asymptotische verdeling van de Sharpe ratio schatter af.

3.2

Asymptotiek

De nauwkeurigheid van de Sharpe ratio schatter wordt bepaald door de statistis-che eigenschappen van de reeks overrendementen (Lo, 2002). Onder de aanname van onafhankelijk en identiek verdeelde rendementen leiden we de asymptotische verdeling van de Sharpe ratio schatter af.

Om de asymptotische verdeling van cSR te kunnen bepalen moet eerst een

uit-drukking voor de gezamenlijke asymptotische verdeling van de schatters ˆµ en

ˆ

σ2 _{verkregen worden. Wanneer het eerste moment µ en het tweede moment σ}2

bestaan, kunnen we de Centrale Limiet Stelling van Lindeberg-Levy toepassen (Casella en Berger, 1990).

We defini¨eren de vector ˆθ als de kolomvector ˆθ = (ˆµ ˆσ2₎0 _{met de schatters ˆµ}

en ˆσ2 _{en ook defini¨eren we de vector θ als de kolomvector θ = (µ σ}2₎0

met het

verwachte overrendement µ en de variantie van het verwachte overrendement σ2_.

Onder de aanname van onafhankelijk en identiek verdeelde rendementen

con-vergeert √T (ˆθ_{− θ) in verdeling naar de normale verdeling (Casella en Berger,}

c

SR kan worden geschreven als een differentieerbare functie g(ˆµ, ˆσ2_{) van de}

schat-ters ˆµ en ˆσ2_:

c

SR = g(ˆµ, ˆσ) = √µˆ ˆ

σ2. (14)

Nu volgt na het toepassen van de stelling van Cram´er (Casella en Berger, 1990)

dat √T ( cSR_{− SR) in verdeling naar de normale verdeling convergeert. Dat wil}

met andere woorden zeggen dat √T ( cSR_{− SR) asymptotisch normaal verdeeld}

is: √ T ( cSR_{− SR) ∼ N(0, V}a g), Vg = ∂g ∂θVθ ∂g ∂θ0 (15) met ∂g ∂θ0 =  1/σ −µ/2σ3  . (16)

Door het uitschrijven van de uitdrukking voor de asymptotische variantie verkrij-gen we het volverkrij-gende:

∂g ∂θVθ ∂g ∂θ0 =  1/σ −µ/2σ3   σ2 ₀ 0 2σ4   1/σ −µ/2σ3  =  σ _−µσ   1/σ −µ/2σ3  = 1 + µ2/2σ2 = 1 + 1 2SR 2_{. (17)}

Dit geeft de asymptotische verdeling voor cSR:

√

T ( cSR− SR)∼ N(0, 1 +a 1

2SR

De standaardfout SE( cSR) voor de Sharpe ratio schatter cSR kan worden berek-end met behulp van

SE( cSR) =

s

1 + 1₂SR2

T . (19)

De rechterterm kan worden geschat door SR te vervangen door cSR. Met behulp

van deze standaardfout van cSR construeren we betrouwbaarheidsintervallen voor

SR: c SR_{± 1.96 ×} s 1 + 1 2SRc 2 T . (20)

In deze paragraaf hebben we onder de aanname van onafhankelijk en identiek verdeelde rendementen de asymptotische verdeling van de Sharpe ratio schatter afgeleid. Met behulp van de asymptotische verdeling van de Sharpe ratio schatter kunnen we een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de Sharpe ratio afleiden. In de volgende paragraaf wordt voor zowel de momentum strategie als voor de div-idend strategie de geschatte Sharpe ratio en het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de Sharpe ratio gegeven.

3.3

Resultaten

We beschouwen in deze paragraaf de maandelijkse rendementen van de momen-tum en de dividend strategie, waarbij de periode tussen twee dagen waarop een herallocatie plaatsvindt ´e´en maand is. Bij de momentum - en dividend strate-gie¨en met een langere periode tussen twee herallocaties is het aantal rendementen te klein om betrouwbare toetsen uit te voeren.

Om vervolgens een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de Sharpe ratio af te lei-den moeten enkele belangrijke stappen doorlopen worlei-den. In paragraaf 3.2 is de asymptotische verdeling van de Sharpe ratio schatter onder de aanname van onafhankelijk en identiek verdeelde rendementen afgeleid. We dienen daarom eerst te toetsen of de rendementen van de beleggingsstrategie¨en onafhankelijk en identiek verdeeld zijn.

We toetsen in eerste instantie op autocorrelatie met behulp van de Ljung-Box statistiek. Bij onafhankelijk en identiek verdeelde rendementen zijn de rende-menten ongecorreleerd. Om te toetsen of de renderende-menten onafhankelijk en iden-tiek verdeeld zijn voeren we de toets van Cowles/Jones (Campbell, Lo & MacKin-lay, 1997) uit.

Het Financieel Economisch Bureau beoordeelt een beleggingsstrategie op basis van de Sharpe ratio die betrekking heeft op ´e´en jaar. Deze jaarlijkse Sharpe ra-tio wordt verkregen door de Sharpe rara-tio op basis van jaarlijkse rendementen te schatten. Wij beschikken over maandelijkse rendementen en schatten de Sharpe ratio op basis van deze maandelijkse rendementen. Een Sharpe ratio die op basis van maandelijkse rendementen geschat is, kan niet worden vergeleken met een Sharpe ratio is op basis van jaarlijkse rendementen geschat is. Alvorens een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de Sharpe ratio geconstrueerd wordt, moeten de op basis van maandelijkse rendementen geschatte Sharpe ratio naar een horizon van ´e´en jaar omgezet worden. Dit omrekenen is afhankelijk van het feit of de maandelijkse rendementen onafhankelijk en identiek verdeeld zijn. We verkrij-gen dan een geschatte Sharpe ratio met een horizon van ´e´en jaar. Op basis van deze Sharpe ratio schatter wordt vervolgens het betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio bepaald.

3.3.1 Resultaten voor sectoren

We beschouwen de maandelijkse rendementen van de momentum en de divi-dend strategie, waarbij de periode tussen twee dagen waarop een herallocatie plaatsvindt ´e´en maand is. Bij de momentum - en dividend strategie¨en met een langere periode tussen twee herallocaties is het aantal rendementen te klein om betrouwbare toetsen uit te voeren. De overige strategie¨en worden om deze reden

buiten beschouwing gelaten. Tabel 10 geeft cSR voor elke strategie, waarbij de

Dow Jones Stoxx 600 Index als referentiekader is genomen (transactiekosten zijn buiten beschouwing gelaten):

Momentum (M) SRc 1 0.12 2 0.06 3 0.19 4 0.12 6 0.09 12 0.03 Dividend 0.16

Tabel 10: Sharpe ratio (1995-2003).

In de tabel geeft de linker kolom de M-maanden momentum strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen weer. M = 6 betekent dat de sec-toren na elke maand op basis van het 6-maanden momentum geselecteerd worden. De rechter kolom geeft de geschatte Sharpe ratio voor de M-maanden momen-tum strategie die in de linker kolom is gegeven. De laatste rij geeft de geschatte Sharpe ratio voor de dividend strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen.

Toets op autocorrelatie

Om te toetsen of de rendementen onafhankelijk en identiek verdeeld zijn starten we met het toetsen op de aanwezigheid van autocorrelatie in de reeksen met maandelijkse lognormale rendementen: de correlatie tussen twee observaties van verschillende perioden van dezelfde tijdreeks. Autocorrelatie wordt weergegeven met een autocorrelatie co¨effici¨ent. Deze co¨effici¨ent is een uitbreiding voor tij-dreeksen van de bekende correlatie co¨effici¨ent van twee random variabelen. De autocovariantie en autocorrelatie co¨effici¨ent voor lag k, respectievelijk γ(k) en ρ(k), zijn gedefinieerd als

γ(k) = Cov[rt, rt+k] (21) en ρ(k) = p Cov[rt, rt+k] Var[rt] p Var[rt+k] = γ(k) γ(0) . (22)

Voor een reeks van T rendementen _{r1, r2, . . . , rT} kunnen de autocovariantie

en autocorrelatie co¨effici¨ent voor lag k geschat worden door:

ˆ γ(k) = 1 T T −k X t=1 (rt− ¯r)(rt+k− ¯r) (23) en ˆ ρ(k) = γ(k)ˆ ˆ γ(0), (24)

waarbij ¯r = _T1 P_trt. Een reeks ongecorreleerde rendementen, dat wil zeggen

Cov[rt, rt+k] = 0 ∀ k 6= 0, met verwachting 0 en variantie σ2 wordt een witte

ruis proces genoemd. Een witte ruis proces wordt aangeduid met W N(0, σ2_).

We toetsen of een reeks {rt} een witte ruis proces volgt door de onderstaande

nulhypothese te toetsen:

Een witte ruis proces heeft de eigenschap dat alle autocorrelatie co¨effici¨enten nul zijn. Met de Box-Pierce statistiek kunnen we toesten of de eerste m autocor-relatie co¨effici¨enten nul zijn. We toetsen dan de nulhypothese

H0 : ˆρ1 =· · · = ˆρm = 0. (26)

De Box-Pierce statistiek wordt gegeven door (o.a Campbell, Lo & MacKinlay, 1997): Qm = T m X k=1 ˆ ρ(k)2. (27)

Onder de aanname van onafhankelijk en identiek verdeelde rendementen is de Box-Pierce statistiek asymptotisch chi-kwadraat verdeeld met m vrijheidsgraden (Campbell, Lo & MacKinlay, 1997). De Ljung-Box statistiek past een correctie op de Box-Pierce statistiek toe:

Q∗ m = T (T + 2) m X k=1 ˆ ρ(k)2 T _{− k}. (28)

Momentum (M) Q∗ m 1 29.47 (0.20) 2 34.85 (0.07) 3 44.62 (0.01) 4 32.28 (0.12) 6 31.61 (0.14) 12 34.86 (0.07) Dividend 26.10 (0.35)

Tabel 11: Toets op autocorrelatie.

In de tabel geeft de linker kolom de M-maanden momentum strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen weer. Het laatste element betreft de dividend strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen. Het linker getal van de rechter kolom is de Ljung-Box statistiek voor de strategie die in de linker kolom is gegeven. Het rechter getal, dat tussen haakjes staat, is de overschrijdingskans van de Ljung-Box statistiek onder de nulhypothese dat de

eerste twaalf autocorrelatie co¨effici¨enten allemaal nul zijn: ˆρ1 = · · · = ˆρ12 = 0.

Op basis van deze toets op autocorrelatie verwerpen we deze nulhypothese bij de 3-maanden momentum strategie. Voor de overige strategie¨en is er op grond van de uitkomst van deze toets geen bewijs voor significante autocorrelatie in de rendementen.

Bij de 3-maanden momentum strategie kunnen we niet stellen dat er g´e´en sprake is van autocorrelatie in de rendementen. Hieruit volgt dat de rendementen van de 3-maanden momentum strategie niet onafhankelijk en identiek verdeeld zijn (bij onafhankelijk en identiek verdeelde rendementen zijn de rendementen ongecor-releerd). Voor de overige strategie¨en gaan we onderzoeken of de rendementen onafhankelijk en identiek verdeeld (IID) zijn. Een reeks met onafhankelijk en identiek verdeelde rendementen wordt ook wel een strict witte ruis proces ge-noemd.

Toetsen op strict witte ruis

Het toetsen op strict witte ruis doen we met de toets van Cowles en Jones

(Camp-bell, Lo & MacKinlay, 1997). Laat Ptde prijs van een beleggingsobject op tijdstip

t zijn, t = 1, . . . , n. We defini¨eren pt = log(Pt). Bij IID rendementen kunnen we

voor pt schrijven

waarbij µ de drift term. De ruistermen t zijn onafhankelijk en identiek verdeeld

met verwachting 0 en variantie σ2_{. De toets van Cowles en Jones}

veronder-stelt dat er geen drift term aanwezig is. De toets vergelijkt het aantal ¨aa-neenschakelingen¨ vergeleken met het aantal ¨omkeringen¨ van rendementen. Aaneenschakelingen zijn paren van opeenvolgende rendementen met hetzelfde teken en omkeringen zijn paren van opeenvolgende rendementen met het

tegen-overgestelde teken. Definieer de variabele It als

It=



1 als pt− pt−1 > 0

0 als pt− pt−1 ≤ 0.

De variabele It geeft aan of er op tijdstip t een positief of negatief rendement

gerealiseerd is. Gegeven een steekproef van n + 1 rendementen kunnen het aantal

aaneenschakelingen Ns en het aantal omkeringen Nr als een simpele functie van

It worden uitgedrukt: Ns = T X t=1 Yt, Yt= ItIt+1+ (1− It)(1− It+1) (30) en Nr = n− Ns. (31)

De Cowles/Jones ratio is gedefinieerd als de verhouding tussen het aantal

aa-neenschakelingen Ns en het aantal omkeringen Nr:

c

CJ = Ns

Nr

. (32)

Als de rendementen onafhankelijk en identiek verdeeld zijn volgt de logaritmische

prijs pt het prijsproces zoals gedefinieerd in (29), met afwezigheid van de drift

term. Als we bovendien de restrictie opleggen dat de verdeling van de rende-menten symmetrisch moet zijn, dan is een positief rendement even waarschijnlijk als een negatief rendement. Dit impliceert dat de kans op een aaneenschakeling even groot is als de kans op een ommekeer voor elk koppel rendementen van twee

nulhypothese is deze ratio asymptotisch normaal verdeeld met verwachting 1 en variantie 4/n. Een toets op IID rendementen wordt uitgevoerd door te toetsen of

c

CJ significant van 1 verschilt. In Tabel 12 worden de resultaten van deze toets gegeven: Momentum (M) CJc 1 0.990 (0.47) 2 1.099 (0.25) 3 0.929 (0.31) 4 0.929 (0.31) 6 0.969 (0.42) 12 1.054 (0.36) Dividend 1.019 (0.46)

Tabel 12: Toets op strict witte ruis.

In de tabel geeft de linker kolom de M-maanden momentum strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen weer. Het laatste element betreft de dividend strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen. Het linker getal van de rechter kolom is de Cowles/Jones ratio voor de strategie die in de linker kolom is gegeven. Het rechter getal, dat tussen haakjes staat, is de overschrijdingskans van de Cowles/Jones ratio onder de nulhypothese dat de Cowles/Jones ratio gelijk is aan 1.

Conversie

Het Financieel Economisch Bureau beoordeelt een beleggingsstrategie op basis van de Sharpe ratio die betrekking heeft op ´e´en jaar. De geschatte Sharpe ra-tios in tabel 11 zijn aan de hand van maandelijkse rendementen verkregen. We noemen deze Sharpe ratios maandelijkse Sharpe ratios. Een Sharpe ratio die op basis van maandelijkse rendementen geschat is kan niet direct worden vergeleken met een Sharpe ratio die op basis van jaarlijkse rendementen geschat is. Een Sharpe ratio die op basis van jaarlijkse rendementen verkregen is noemen we een jaarlijkse Sharpe ratio.

We willen jaarlijkse Sharpe ratios verkrijgen. Als de maandelijkse rendementen onafhankelijk en identiek verdeeld zijn, kunnen we de maandelijkse Sharpe

ra-tios vermenigvuldigen met √12 om een jaarlijkse Sharpe ratio te verkrijgen (Lo,

2002):

c

SR(12) =√12 cSR, (33)

waarbij cSR(12) de jaarlijkse Sharpe ratio is (ook wel de robuuste Sharpe ratio

schatter genoemd). Als de maandelijkse rendementen niet onafhankelijk en

iden-tiek verdeeld zijn is de factor waarmee cSR wordt vermenigvuldigd niet√12, maar

een functie n(ˆρ1, . . . , ˆρ11) = 12 q 12 + 2P11_k=1(12_{− k)ˆρ}k (34)

van de eerste elf geschatte autocorrelatie co¨effici¨enten van de maandelijkse ren-dementen (Lo, 2002):

c

Merk op dat onder de nulhypothese H0 : ˆρ1 =· · · = ˆρ12= 0 formule (33) gelijk is aan formule (35): c SR(12) = n(ˆρ1, . . . , ˆρ11) cSR = q 12 12 + 2P11_k=1(12_{− k)ˆρ}k c SR = √12 cSR. (36)

Tabel 13 geeft de jaarlijkse Sharpe ratios, waarbij in de middelste kolom de verkregen middels (35) verkregen schatting voor de jaarlijkse Sharpe ratio en in de rechter kolom de middels (33) verkregen schatting voor de jaarlijkse Sharpe ratio (de vetgedrukte getallen geven de juiste schatting op basis van de toets op autocorrelatie) gegeven is:

Momentum (M) n(ˆρ1, . . . , ˆρ11) cSR √ 12 cSR 1 0.320 0.431 2 0.176 0.208 3 0.684 0.667 4 0.400 0.433 6 0.327 0.320 12 0.084 0.100 Dividend 0.463 0.562

Tabel 13: Jaarlijkse Sharpe ratios.

We hebben geconcludeerd dat de maandelijkse rendementen van de verschil-lende strategie¨en ongecorreleerd zijn (uitgezondering zijn de maandelijkse ren-dementen van de 3-maanden momentum strategie). Voor alle strategie¨en hebben we een 95%-betrouwbaarheidsinterval (BI) voor de jaarlijkse Sharpe ratio

uit-gerekend. Uitgezonderd de 3-maanden momentum strategie wordt het

95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio voor elke strategie gege-ven door (Lo, 2002):

√ 12 cSR_{± 1.96 ×} v u u t12  1 + 1 2SRc 2 T . (37)

De constructie van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio van de 3-maanden momentum strategie is lastiger dan voor de overige strate-gie¨en. De rendementen van de 3-maanden momentum strategie zijn niet on-afhankelijk en identiek verdeeld. Lo (Lo, 2002) geeft de asympototische verdeling van de Sharpe ratio schatter bij niet onafhankelijk en identiek verdeelde ren-dementen. Om een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ra-tio voor de 3-maanden momentum strategie te construeren is gebruik gemaakt van de asymptotische verdeling die door Lo (Lo, 2002) is gegeven. Tabel 14 geeft het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio per be-leggingsstrategie: Momentum (M) SR(12)c BI 1 0.431 (0.284 , 0.580) 2 0.208 (0.065 , 0.351) 3 0.684 (0.510 , 0.823) 4 0.433 (0.284 , 0.580) 6 0.320 (0.175 , 0.465) 12 0.100 (-0.042 , 0.242) Dividend 0.562 (0.359 , 0.765) Tabel 14: Betrouwbaarheidsintervallen.

De relatief hoge jaarlijkse Sharpe ratio van de 3-maanden momentum strate-gie wordt veroorzaakt door het hoge gemiddelde maandelijkse overrendement: de variantie van het maandelijkse overrendement is niet hoger dan bij de andere strategie¨en. We kunnen met 95%-betrouwbaarheid concluderen dat de Sharpe ratio van de 3-maanden momentum strategie hoger is dan een half. De Sharpe ratios van de overige strategie¨en zijn minder hoog. Ook zijn transactiekosten buiten beschouwing gelaten.

We hebben in deze paragraaf een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio bepaald van de verschillende momentum strategie¨en en de dividend strategie. Deze beleggingsstrategie¨en zijn toegepast op de historische (dividend) maandelijkse rendementen van de geselecteerde sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index. Om een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio te kunnen construeren zijn enkele belangrijke stappen doorlopen. In de eerste instantie is getoetst op de aanwezigheid van autocorre-latie in de maandelijkse rendementen. Om te toetsen of de maandelijkse rende-menten onafhankelijk en identiek verdeeld zijn is de toets op strict witte ruis van Cowles/Jones uitgevoerd. Tot slot zijn de geschatte maandelijkse Sharpe ratios op basis van de uitkomst van de toets op autocorrelatie omgezet naar jaarlijkse Sharpe ratios en zijn 95%-betrouwbaarheidsintervallen voor de jaarlijkse Sharpe ratios geconstrueerd.

3.3.2 Resultaten voor aandelen

We beschouwen de maandelijkse rendementen van de momentum en de dividend strategie, waarbij de periode tussen twee dagen waarop een herallocatie van het vermogen plaatsvindt ´e´en maand is. Bij de strategie¨en met een langere periode tussen twee herallocaties is het aantal rendementen te klein om betrouwbare toet-sen uit te voeren. Deze strategie¨en worden om deze reden buiten beschouwing

gelaten. Tabel 15 geeft cSR voor elke strategie, waarbij de Dow Jones Euro Stoxx

50 Index als referentiekader is genomen (transactiekosten zijn buiten beschouwing gelaten): Momentum (M) SRc 1 0.01 2 -0.03 3 0.06 4 0.13 6 0.18 12 0.09 Dividend 0.10

Tabel 15: Sharpe ratio (1993-2004).

In de tabel geeft de linker kolom de M-maanden momentum strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen weer. M = 6 betekent dat de aande-len na elke maand op basis van het 6-maanden momentum geselecteerd worden. De rechter kolom geeft de geschatte Sharpe ratio voor de M-maanden momen-tum strategie die in de linker kolom is gegeven. De laatste rij geeft de geschatte Sharpe ratio voor de dividend strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen.

Momentum (M) Q∗ m 1 19.89 (0.70) 2 17.05 (0.85) 3 23.87 (0.47) 4 26.04 (0.35) 6 24.12 (0.46) 12 23.14 (0.51) Dividend 27.84 (0.27)

Tabel 16: Toets op autocorrelatie.

In de tabel geeft de linker kolom de M-maanden momentum strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen weer. M = 6 betekent dat de aande-len na elke maand op basis van het 6-maanden momentum geselecteerd worden. Het laatste element betreft de dividend strategie met een maandelijkse herallo-catie van het vermogen. Het linker getal van de rechter kolom is de Ljung-Box statistiek voor de strategie die in de linker kolom is gegeven. Het rechter getal, dat tussen haakjes staat, is de overschrijdingskans van de Ljung-Box statistiek onder de nulhypothese dat de eerste twaalf autocorrelatie co¨effici¨enten allemaal nul zijn: ˆρ1 =· · · = ˆρ12 = 0.

Voor alle beleggingsstrategie¨en is er op grond van de uitkomst van deze toets geen bewijs voor significante autocorrelatie in de maandelijkse rendementen. Om een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio af te leiden gaan we toetsen of de maandelijkse rendementen onafhankelijk en identiek verdeeld (IID) zijn. Tabel 17 geeft de resultaten van de toets op strict witte ruis van Cowles/Jones: Momentum (M) CJc 1 0.857 (0.20) 2 1.073 (0.33) 3 1.073 (0.33) 4 1.043 (0.39) 6 1.014 (0.47) 12 1.103 (0.27) Dividend 0.868 (0.21)

In de tabel geeft de linker kolom de M-maanden momentum strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen weer. Het laatste element betreft de dividend strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen. Het linker getal van de rechter kolom is de Cowles/Jones ratio voor de strategie die in de linker kolom is gegeven. Het rechter getal, dat tussen haakjes staat, is de overschrijdingskans van de Cowles/Jones ratio onder de nulhypothese dat de Cowles/Jones ratio gelijk is aan 1.

Voor alle strategie¨en kunnen we op basis van de toets op strict witte ruis van Cowles/Jones niet concluderen dat de rendementen niet onafhankelijk en inden-tiek verdeeld zijn. We nemen daarom aan dat voor elke strategie de maan-delijkse rendementen onafhankelijk en identiek verdeeld zijn en we verkrijgen de jaarlijkse Sharpe ratio middels (33). We rekenen daarom alleen het 95%-betrouwbaarheidsinterval van (33) uit. Tabel 18 geeft voor elke strategie de geschatte jaarlijkse Sharpe ratio en het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio:

Momentum (M) √12 cSR BI 1 0.040 (-0.124 , 0.203) 2 -0.096 (-0.260 , 0.068) 3 0.207 (0.042 , 0.372) 4 0.442 (0.271 , 0.613) 6 0.607 (0.429 , 0.785) 12 0.313 (0.146 , 0.482) Dividend 0.335 (0.174 , 0.496) Tabel 18: Betrouwbaarheidsintervallen.

3.4

Conclusie

In paragraaf 3.1 is de Sharpe ratio gedefinieerd en is uitgelegd hoe de Sharpe ratio geschat kan worden. In paragraaf 3.2 is de asymptotische verdeling van de Sharpe ratio schatter onder de aanname van onafhankelijk en identiek verdeelde rendementen afgeleid. We hebben voor de dividend strategie en de momentum strategie¨en met een maandelijkse herallocatie van het belegde vermogen de jaar-lijkse Sharpe ratio geschat en een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarjaar-lijkse Sharpe ratio afgeleid. In deze paragraaf geven we op basis van de Sharpe ratio een oordeel omtrent de selectie van sectoren en aandelen op basis van het mo-mentum en dividend rendement.

Het Financieel Economisch Bureau beoordeelt beleggingsstrategie¨en op basis van de jaarlijkse Sharpe ratio. In eerste instantie zijn de momentum en de dividend strategie toegepast op de historische maandelijkse (dividend) rendementen van de sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index. Voor de 1-maand, de 2-maanden, de 3-maanden, de 4-maanden, de 6-maanden en de 12 maanden momentum strategie en de dividend strategie hebben we de jaarlijkse Sharpe ratio geschat en het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de Sharp ratio verkregen. De geschatte Sharpe ratio van de 3-maanden momentum strategie is 0.684. Op basis van het verkregen 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de Sharpe ratio van de 3-maanden momentum strategie concluderen we met 95%-betrouwbaarheid dat de Sharpe ratio van deze strategie hoger is dan een half. Het Financieel Economisch Bureau beschouwt deze waarde als acceptabel. Uitgezonderd het jaar 1989 heeft deze strategie in de periode 1988-2003 jaarlijks een hoger rendement dan de Dow Jones Stoxx 600 Index behaalt.

Ook zijn de momentum en de dividend strategie toegepast op de historische maandelijkse (dividend) rendementen van de aandelen die deel uitmaken van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. Bij 1-maand, de 2-maanden, de 3-maanden, de 4-maanden, de 12-maanden momentum strategie is de geschatte Sharpe ratio lager dan een half. Dit geeft een negatief oordeel met betrekking tot de selec-tie van aandelen op basis van het 1-maand, het 2-maanden, het 3-maanden, het 4-maanden en het 12-maanden momentum. Dit geldt ook voor selectie op basis van dividend rendement. Bij de 6-maanden momentum strategie is de geschatte jaarlijkse Sharpe ratio 0.607. Uit figuur 2 blijkt echter dat het gemiddelde over-rendement sterk be¨ınvloed wordt door de topjaren 1998 en 1999. Op basis hiervan is het oordeel negatief.

In hoofdstuk 2 is het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement van de dividend strategie en de momentum strategie¨en gegeven. Binnen het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement hebben we op verzoek van het Financieel Economisch Bu-reau ook transactiekosten meegenomen. In dit hoofdstuk zijn de momentum en de dividend strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen op ba-sis van de geschatte jaarlijkse Sharpe ratio beoordeeld. Voor elke strategie is een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio geconstrueerd. Het Financieel Economisch Bureau overweegt om de sectoren en de aandelen mede op basis van het momentum en dividend rendement te selecteren. Het Financieel Economisch Bureau heeft gevraagd daarover op basis van de Sharpe ratio van de momentum en de dividend strategie een oordeel te geven. Deze vraag hebben we in dit hoofdstuk beantwoord.

4

De Universele Portefeuille

Dit hoofdstuk beschrijft de universele portefeuille. We beginnen met enkele al-gemene definities in paragraaf 4.1. Paragraaf 4.2 geeft de wiskundige definitie van een constant herwogen portefeuille en ook de definitie van de beste constant herwogen portefeuille. Thomas Cover (Cover, 1991) heeft laten zien dat de uni-versele portefeuille onder enkele belangrijke aannames het resultaat van de beste constant herwogen portefeuille benadert, wanneer de tijdshorizon nadert naar oneindig. Paragraaf 4.3 beschrijft de universele portefeuille en in deze belang-rijke paragraaf wordt tevens uitgelegd hoe de universele portefeuille uitgerekend kan worden. De omvang van het gegenereerde vermogen door de universele porte-feuille op tijdstip n is afhankelijk van een belangrijke eigenschap van de beste constant herwogen portefeuille: de activiteit van aandelen of beleggingsobjecten. Paragraaf 4.4 beschrijft de activiteit van aandelen voor een gegeven markt met twee aandelen en paragraaf 4.5 beschrijft de activiteit van aandelen in een sto-chastisch kader. Tenslotte beschrijft paragraaf 4.6 een belangrijk resultaat uit het artikel van Cover (Cover, 1991).

4.1

Definities

Beschouw het probleem waarbij aan het begin van n opeenvolgende

handelsperi-oden het vermogen over m aandelen verdeeld wordt. We schrijven Pi,j voor de

slotprijs van aandeel j voor periode i. De relatieve prijsverandering van aandeel j is gedefinieerd als

xi,j =

Pi,j

Pi−1,j

,

de ratio van de prijs van aandeel j aan het eind van periode i ten opzichte van de prijs aan het begin van periode i. Een investering in aandeel j verandert

met andere woorden met een factor xi,j tijdens handelsperiode i. De vector xi

= (xi,1, . . . , xi,m)0 geeft deze relatieve prijsverandering voor alle aandelen tijdens

periode i.

Een portefeuille of de verdeling van het vermogen over m aandelen aan het begin van handelsperiode i wordt gegeven door een vector

bi = (bi,1, bi,2, . . . , bi,m) 0

,

waarbij bi,j ≥ 0 de fractie van het beschikbare vermogen dat in het j-de

ge¨ınvesteerd wordt: Σm

j=1bi,j = 1. Stel nu dat een belegger portefeuille bi

aan-houdt, dan is

bi,j

Pi,j

Pi−1,j

= bi,jxi,j

de relatieve verandering van de waarde van de belegging in het j-de aandeel

ten opzichte van periode i− 1. Het houden van portefeuille bi resulteert dan in

een verandering van het vermogen met een factor

b0

ixi = bi,1xi,1+ bi,2xi,2+· · · + bi,mxi,m

=

m

X

j=1

bi,jxi,j.

De belegger is vrij om een zekere investeringsstrategie te kiezen, waarbij de belegger vermogen tussen de aandelen kan transfereren. Na n opeenvolgende handelsperioden, waarbij portefeuille bi = (bi,1, bi,2, . . . , bi,m)0 in periode i

aange-houden wordt, wordt het vermogen gegeven door Sn = S0(b01x1) . . . (b0nxn) = S0 n Y i=1 b0 ixi,

waarbij S0 het initi¨ele vermogen is. We nemen aan dat het initi¨ele vermogen

constant is: S0 = 1. Voor het vermogen Sn schrijven we nu

Sn = n Y i=1 b0 ixi. (38)

De performance van de markt wordt per definitie gegeven door een reeks van

vectoren xn _{= (x}

1, x2, . . . , xn). Deze vectoren zullen later als input voor de

universele portefeuille fungeren. Een reeks van portefeuilles bn_{= (b}

1, b2, . . . , bn)

vertegenwoordigt per definitie een strategie.

4.2

Constant herwogen portefeuille

portefeuille welke de verdeling van het vermogen over de aandelen in de tijd con-stant houdt.

Definitie 1: Een reeks van portefeuilles bn = (b1, b2, . . . , bn), waarbij bi de

portefeuille aan het begin van periode i is, wordt een constant herwogen

porte-feuille genoemd als er een vector b _{∈ B = {b ∈ R}m _{: b}

j ≥ 0,

Pm

j=1bj = 1}

bestaat, met bi = b voor alle i∈ N.

Een constant herwogen portefeuille strategie gaat uit van dezelfde portefeuille b voor elke handelsperiode. De niet-negativiteit van de elementen van b maakt ’kort gaan’ onmogelijk. Het vermogen dat een constant herwogen portefeuille b

voor een gegeven reeks vectoren xn _{bereikt wordt gegeven door}

Sn(b, xn) = n Y i=1 b0 xi. (39)

Merk op dat een constant herwogen portefeuille geen ’buy and hold’ portefeuille is. Het is noodzakelijk om de portefeuille te herwegen om zodoende de fracties van het vermogen in elk aandeel constant te houden. Dit vereist veel handelen. Dit komt doordat de fractie van het ge¨ınvesteerde vermogen in elk aandeel aan het eind van elke handelsperiode veranderd is. Om de vaste fracties weer te her-stellen moeten er aandelen worden verhandeld.

We beschouwen het volgende voorbeeld ter illustratie van de constant herwogen portefeuille (Kalai en Vempala, 2002). We beschouwen een markt met slechts twee aandelen zonder transactiekosten. In dit voorbeeld is de prijsontwikkeling van de aandelen onrealistisch: de prijzen zijn ten gunste van de constant her-wogen portefeuille gekozen. Zoals blijkt uit de tabel halveert en verdubbelt de prijs van het eerste aandeel periodegewijs, de prijs van het andere aandeel blijft constant:

Periode Aandeel 1 Aandeel 2 Vermogen

0 1 1 1 1 2 1 1.50 2 1 1 1.12 3 2 1 1.68 4 1 1 1.26 Tabel 19: voorbeeld.

porte-feuille aanhoudt, die het vermogen elke periode gelijkmatig over de aandelen verdeelt. Voor de even perioden geldt dan wel dat het vermogen daalt met een

factor 1

2 × 0.5 +

1

2 × 1 = 0.75, voor de oneven perioden geldt echter dat het

ver-mogen juist stijgt met een factor 1_{2 × 2 +} 1_{2 × 1 = 1.5. Over 2n dagen stijgt het}

vermogen met een factor 1.125n_{. Dit voorbeeld toont hoe het vermogen in een}

stabiele markt exponentieel kan stijgen.

Het is mogelijk om voor een gegeven reeks van vectoren xn _{= (x}

1, x2, . . . , xn)

de constant herwogen portefeuille te bepalen, welke het maximale vermogen zou

hebben gegenereerd. Voor deze portefeuille schrijven we b∗

(xn_{) of b}∗

n(bij de

laat-ste notatie wordt de afhankelijkheid van de reeks xn _{voor het gemak achterwege}

gelaten).

Definitie 2: De beste constant herwogen portefeuille b∗

(xn_{) wordt gegeven door}

b∗ (xn) = arg max b∈BSn(b, x n ). (40) We schrijven S∗ n(b ∗ n, xn) of S ∗ n(b ∗

n) voor het vermogen dat de beste constant

her-wogen portefeuille voor de gegeven reeks xn _behaalt:

S∗ n(b ∗ n, x n ) = max b∈B Sn(b, x n ). (41)

Het is belangrijk om op te merken dat de beste constant herwogen portefeuille b∗

(xn_{) en het vermogen S}∗

n(b ∗

n, xn) afhankelijk zijn van de gehele reeks xn,

aangezien S∗

n(b ∗

n, xn) en b ∗

(xn_{) de oplossing van een maximaliseringsprobleem}

In paragraaf 4.2 is de beste constant herwogen portefeuille gedefinieerd. Om de beste constant herwogen portefeuille te bepalen is een gegeven reeks van prijzen van een aantal beleggingsobjecten noodzakelijk. In de werkelijkheid kunnen we echter niet in de toekomst kijken en weten we toekomstige prijzen niet. We zijn daarom ge¨ınteresseerd in een strategie zonder de afhankelijkheid van toekomstige prijzen, met de eigenschap dat het gegenereerde vermogen door deze strategie het vermogen van de beste constant herwogen portefeuille benadert. Cover (Cover, 1991) heeft laten zien dat de universele portefeuille onder enkele belangrijke aannames het resultaat van de beste constant herwogen portefeuille benadert, wanneer de tijdshorizon nadert naar oneindig. De volgende paragraaf beschrijft de universele portefeuille. In deze paragraaf wordt ook beschreven hoe de uni-versele portefeuille op tijdstip n uitgerekend kan worden. Middels de methode van Blaedel kunnen we de universele portefeuille op tijdstip n uitrekenen. De methode van Blaedel wordt in paragraaf 4.3.1 besproken. We kunnen de uni-versele portefeuille op tijdstip n tevens benaderen met simulatie. Paragraaf 4.3.2 beschrijft simulatie.

4.3

De Universele Portefeuille

De strategie van de universele portefeuille is in 1991 ge¨ıntroduceerd door Thomas Cover (Cover, 1991). Deze strategie begint met een evenredige verdeling van het vermogen over alle in ogenschouw genomen beleggingsobjecten, waarna de portefeuille na elk tijdsperiode op een bepaalde manier herwogen wordt. Een portefeuille is een verdeling van het vermogen over de verzameling van m beleg-gingsobjecten en wordt gegeven door de vector:

b = (b1, b2, . . . , bm)0.

We hebben aangenomen dat het gehele vermogen ge¨ınvesteerd wordt. Bij drie

beleggingsobjecten is b = (0.1, 0.5, 0.4)0

een toelaatbare verdeling van het vermo-gen over de beleggingsobjecten. B is de verzameling van toelaatbare verdelinvermo-gen van het vermogen:

B ={b ∈ Rm : bj ≥ 0, m X j=1 bj = 1}. (42)

De aanname van investering van het gehele vermogen geeft een portefeuille m_{− 1}