X1 X2 = Cov X1, 1 X2 + E(X1)E( 1 X2) > Cov X1, 1 X2 + E(X1) E(X2) = Cov X1, 1 X2 + 1. (76)
4.6 Convergentie
In paragraaf 4.4 is de activiteit van aandelen voor een gegeven markt met twee aandelen besproken. In paragraaf 4.5 is de activiteit van aandelen in een sto-chastisch kader beschreven. De aanname van activiteit van aandelen ligt ten grondslag aan de stelling van Cover welke het limietgedrag van de verhouding
van het vermogen ˆSn van de universele portefeuille en het vermogen S∗
n(we laten
de afhankelijkheid van b∗
n en xn bij deze notatie voor het gemak achterwege)
van de beste constant herwogen portefeuille karakteriseert (Cover, 1991). We beschouwen een markt met twee aandelen. Een portefeuille wordt bepaald door slechts ´e´en parameter, en wordt gegeven door
b = (b, 1− b)0
, 0≤ b ≤ 1. (77)
De vraag is hoe het gegenereerde vermogen door de beste constant herwogen portefeuille S∗
n en het universele vermogen ˆSn zich nu tot elkaar verhouden. We
schrijven Wn(b) voor de groeivoet van een portefeuille en b∗
n voor de beste
con-stant herwogen portefeuille voor een gegeven markt met twee aandelen. Cover introduceert de functie W (b). Cover neemt voor deze functie W (b) aan dat geldt (Cover, 1991):
(i) W (b) is strict concaaf op [0,1] (ii) W000
(iii) W (b) bereikt het maximum bij b∗
∈ (0, 1).
Cover schrijft {ni} voor een deelrij van perioden met de eigenschap dat voor
n = n1, n2, . . . geldt (i) Wn(b)≤ W (b), 0 ≤ b ≤ 1 (ii) W00 n(b∗ n)→ W00 (b∗ ).
Cover bewijst dat zo’n deelrij bestaat (Cover, 1991). We presenteren stelling 3 uit het artikel van Cover:
Stelling 3 (Cover, 1991): Voor elke gegeven markt x1, x2,· · · ∈ R2
+ en voor
elke deelrij van perioden n = n1, n2, . . . met de eigenschap dat de groeivoet
Wn(b) voldoet aan (i) Wn(b)≤ W (b), 0 ≤ b ≤ 1 (ii) Wn00(b∗ n)→ W00 (b∗ ) voor een W (b) die voldoet aan
(i) W (b) is strict concaaf op [0,1] (ii) W000
(b) is begrensd op [0,1]
(iii) W (b) bereikt het maximum bij b∗
∈ (0, 1) geldt ˆ Sn S∗ n ∼ r 2π nJn (78)
voor die deelrij van perioden, waarbij
Jn=−W00 n(b∗ n) = Z (x1 − x2)2 (bx1 + (1− b)x2)2 dFn(x), (79)
en waarbij Fn(x) de empirische verdelingsfunctie van de gegeven vectoren x1, . . . , xn
is.
Deze stelling wordt nader toegelicht. Cover kiest een deelrij van perioden met de
eigenschap dat de groeivoet van deze deelrij Wn(b) de functie W (b) benadert.
Voor de functie W (b) neemt Cover aan dat W (b) het maximum bereikt bij b∗
∈ (0, 1). Voor de deelrij van perioden n = n1, n2, . . . betekent dit dat de
beste constant herwogen portefeuille b∗
n portefeuille b∗
nadert. Dit impliceert de activiteit van beide aandelen.
In dit hoofdstuk hebben we de universele portefeuille beschreven. In paragraaf 4.1 zijn enkele algemene definities gegeven en in paragraaf 4.2 is de beste constant herwogen portefeuille gedefinieerd. In paragraaf 4.3 is de universele portefeuille beschreven en hebben we uitgelegd hoe de universele portefeuille uitgerekend kan worden. Middels de methode van Blaedel kunnen we de universele portefeuille op tijdstip n uitrekenen. In de paragrafen 4.4 en 4.5 is de activiteit van aan-delen besproken. We hebben geconcludeerd dat de aanname van activiteit van aandelen of beleggingsobjecten ten grondslag ligt aan de stelling die Cover heeft beschreven (Cover, 1991, stelling 3). Deze belangrijke stelling is in deze paragraaf opgenomen.
5 Universele Portefeuille in de Praktijk
In hoofdstuk 2 is het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement van de dividend strategie en de momentum strategie¨en gegeven. Binnen het gemiddelde jaarlijkse absolute rendement hebben we op verzoek van het Financieel Economisch Bu-reau ook transactiekosten meegenomen. In hoofdstuk 3 zijn de momentum en de dividend strategie met een maandelijkse herallocatie van het vermogen op basis van de geschatte jaarlijkse Sharpe ratio beoordeeld. Voor elke strategie is een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de jaarlijkse Sharpe ratio geconstrueerd. Het Financieel Economisch Bureau overweegt om de sectoren en de aandelen mede op basis van het momentum en dividend rendement te selecteren. Het Financieel Economisch Bureau heeft gevraagd daarover op basis van de Sharpe ratio van de momentum en de dividend strategie een oordeel te geven. Deze vraag hebben we in hoofdstuk 3 beantwoord.
Het Financieel Economisch Bureau van de KASBANK N.V. wenst bovendien antwoord op de vraag of het mogelijk is om zowel het resultaat van de mo-mentum strategie als het resultaat van de dividend strategie te overtreffen door het belegde vermogen maandelijks over de momentum en de dividend strategie te spreiden. Bij zowel de momentum strategie als de dividend strategie wor-den maandelijks beleggingsobjecten geselecteerd, waarin een maand ge¨ınvesteerd wordt. De vraag is welk deel van het vermogen maandelijks in de beleggingsob-jecten ge¨ınvesteerd wordt die door de momentum strategie geselecteerd zijn, en welk deel van het vermogen maandelijks in de beleggingsobjecten ge¨ınvesteerd wordt die door de dividend strategie geselecteerd zijn. De universele portefeuillle stelt de spreiding van het belegde vermogen over de momentum en de dividend strategie maandelijks vast. Het Financieel Economisch Bureau vraagt om te beoordelen of de universele portefeuille binnen het beleggingsbeleid gebruikt kan worden. In hoofdstuk 4 is de universele portefeuille beschreven. In dit hoofdstuk passen we de universele portefeuille toe.
Paragraaf 5.1 beschrijft de universele portefeuille, die is toegepast op de maan-delijkse rendementen van de momentum strategie en de dividend strategie. Door van de universele portefeuille gebruik te maken wordt getracht om zowel het re-sultaat van de momentum strategie als het rere-sultaat van de dividend strategie te overtreffen door het vermogen maandelijks over de beleggingsstrategie¨en te sprei-den. Bovendien is de universele portefeuille toegepast op dagelijkse rendementen van de momentum en de dividend strategie. De resultaten hiervan worden eve-neens in paragraaf 5.1 beschreven. We be¨eindigen dit hoofdstuk met een conclusie in paragraaf 5.2.
5.1 Performance
We passen de universele portefeuille toe op de maandelijkse rendementen van de 3-maanden momentum en de dividend strategie. De 3-maanden momentum en de dividend strategie zijn toegepast op de maandelijkse (dividend) rendementen van de sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index. We hebben voor de 3-maanden momentum strategie gekozen, omdat in hoofdstuk 2 gebleken is dat de 3-maanden momentum strategie van de onderzochte momentum strate-gie¨en het hoogste gemiddelde jaarlijkse absolute rendement heeft behaald. De figuur hieronder geeft het cumulatieve rendement van de 3-maanden momentum strategie en dividend strategie (met een maandelijkse herallocatie van het vermo-gen): 0 1 2 3 4 5 6
Jan-95 Jan-97 Jan-99 Jan-01 Jan-03 Tijd C um ul at ie f R en de m en t Momentum UP Dividend DJ600
Figuur 8: UP voor sectoren - maanden (1995-2003).
In de figuur geeft de gestippelde lijn (UP) het universele vermogen weer. De universele portefeuille en het universele vermogen zijn middels de methodiek van Blaedel bepaald. Tevens is de Dow Jones Stoxx 600 Index opgenomen. De figuur laat zien dat het cumulatieve rendement van de universele portefeuille tussen het cumulatieve rendement van de 3-maanden momentum en de dividend strategie beweegt. We concluderen dat de universele portefeuille de 3-maanden momentum strategie niet verslaat.
We hebben de universele portefeuille ook toegepast op de maandelijkse rende-menten van de 6-maanden momentum strategie en de dividend strategie. Hierbij zijn de beide strategie¨en toegepast op de maandelijkse (dividend) rendementen van de aandelen die historisch gezien deel uitmaken van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. Ook hier zien we dat het universele vermogen tussen het cumulatieve rendement van de 6-maanden momentum strategie en de dividend strategie be-weegt.
We hebben de universele portefeuille toegepast op de maandelijkse historische rendementen van de 3-maanden momentum en de dividend strategie voor de peri-ode 1995-2003. De 3-maanden momentum en de dividend strategie zijn toegepast op de maandelijkse (dividend) rendementen van de sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index. Voor de periode 1995-2003 betreffen dit
9 × 12 = 108 rendementen. De beste constant herwogen wordt gegeven door
b∗ n = (b∗ n, 1− b∗ n)0 = (1, 0)0 , waarbij b∗
n de fractie van het vermogen in de
3-maanden momentum strategie is. Middels de methodiek van Blaedel hebben we de universele portefeuille op 31 december 2003 bepaald. Het percentage van het vermogen in de momentum strategie bedraagt op 31 december 2003 53%. Dit betekent dat de universele portefeuille de beste constant herwogen portefeuille erg langzaam nadert.
We hebben gezien dat de universele portefeuille de beste constant herwogen porte-feuille erg langzaam nadert. De vraag is wanneer het percentage van het vermogen in de momentum strategie van de universele portefeuille het percentage van het vermogen in de momentum strategie van de beste constant herwogen portefeuille (100%) nadert.
We hebben naast de maandelijkse slotkoersen ook de dagelijkse slotkoersen verza-meld van zowel de sectorindices (van de geselecteerde sectoren die in tabel 2 staan) als de aandelen, die historisch gezien deel hebben uitgemaakt van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. Met behulp van deze dagelijkse slotkoersen hebben we de dagelijkse rendementen van alle sectoren en aandelen verkregen. Op dagelijkse
rendementen kunnen we de Z-dagen momentum strategie toepassen, Z ∈ N. Bij
deze strategie wordt na iedere periode (bijvoorbeeld een dag, drie dagen of dertig dagen) in een aantal beleggingsobjecten ge¨ınvesteerd met het hoogste Z-dagen momentum.
Tevens hebben we naast het maand ultimo dividend rendement ook het dividend rendement op dagbasis (dagelijkse dividend rendementen) verkregen van zowel de sectorindices als de aandelen die historisch gezien deel hebben uitgemaakt van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. Op basis van de dagelijkse dividend rende-menten kan dagelijks in een aantal beleggingsobjecten met het hoogste dividend rendement belegd worden.
We hebben de 60-dagen momentum strategie met een dagelijkse herallocatie van het vermogen toegepast op de dagelijkse rendementen van de geselecteerde sectoren uit tabel 2. In hoofdstuk 2 is gebleken dat selectie op basis van het 3-maanden momentum van de onderzochte momentum strategie¨en het hoogste gemiddelde absolute jaarlijkse rendement heeft opgeleverd. Aangezien drie maan-den tijd gemiddeld ongeveer zestig beursdagen betekent, hebben we gekozen voor de 60-dagen momentum strategie. Bij deze momentum strategie investeren we dagelijks in de drie sectoren met het hoogste momentum. In elk van deze drie sectoren wordt dagelijks ´e´en derde deel van het belegde vermogen ge¨ınvesteerd (stel het vermogen is 120, dan is de investering per sector 40). Na elke dag wordt het momentum van elke sector opnieuw bepaald en bepalen we de drie sectoren met het hoogste momentum. Ook hebben we de dividend strategie met een dagelijkse herallocatie van het vermogen toegepast op de dagelijkse dividend rendementen van de geselecteerde sectoren. We investeren dagelijks in de drie sectoren met het hoogste dividend rendement. Ook bij deze strategie wordt in elke van deze drie sectoren ´e´en derde deel van het vermogen ge¨ınvesteerd. Figuur 9 geeft het cumulatieve rendement van de 60-dagen momentum strategie en de dividend strategie: 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Dec-1994 Dec-1996 Dec-1998 Dec-2000 Dec-2002 Tijd C um ul at ie f r en de m en t Momentum UP Dividend
Figuur 9: UP voor sectoren - dagen (1995-2003).
Figuur 9 laat zien dat het universele vermogen tussen het cumulatieve rende-ment van beide strategie¨en beweegt. De 60-dagen morende-mentum strategie wordt niet verslagen. De momentum strategie begint zich vanaf 1997 te onderscheiden van de dividend strategie en laat een enorme piek zijn. De dividend strategie is daarentegen veel stabieler.
Om de performance van de universele portefeuille te analyseren zal de perfor-mance worden vergeleken met de perforperfor-mance van vergelijkbare strategie¨en. De eerste strategie is de buy-and-hold strategie (BaH), waarbij het vermogen aan het begin (op 31 december 1994) evenredig over de strategie¨en verdeeld wordt. Daarnaast wordt de universele portefeuille vergeleken met de constant herwogen portefeuille met een dagelijkse gelijke verdeling van het vermogen over de strate-gie¨en (CRP): 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Dec-1994 Dec-1996 Dec-1998 Dec-2000 Dec-2002 Tijd C um ul at ie f r en de m en t UP CRP BAH Figuur 10: BaH en CRP.
De universele portefeuille is moeilijk van de strategie¨en BaH en CRP te onder-scheiden. De constant herwogen portefeuille met een dagelijkse gelijke verdeling van het vermogen over de momentum en de dividend strategie presteert zelfs licht beter dan de universele portefeuille. Een verklaring van de matige perfor-mance van de universele portefeuille kan worden gevonden in het feit dat de beste constant herwogen portefeuille voor deze dataset uit enkel de momentum strate-gie bestaat (ofwel de dividend stratestrate-gie is inactief). Dit is de stratestrate-gie waarbij het vermogen elke periode geheel in de momentum strategie ge¨ınvesteerd wordt. Figuur 11 geeft het cumulatieve rendement voor alle mogelijke constant herwogen portefeuilles, waarbij de horizontale as de dagelijkse fractie van het vermogen in de momentum strategie weergeeft:
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Momentum C um ul at ie f R en de m en t CRP
Figuur 11: Alle constant herwogen portefeuilles.
Figuur 11 laat zien dat de constant herwogen portefeuille, die het gehele vermo-gen in de momentum strategie belegt, inderdaad ook de beste constant herwovermo-gen portefeuille is. De eigenschap van de universele portefeuille is het convergeren naar de beste constant herwogen portefeuille. Figuur 12 geeft de universele porte-feuille weer, waarbij de verticale as de dagelijkse fractie van het vermogen in de momentum strategie weergeeft:
0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6
Dec-1994 Dec-1996 Dec-1998 Dec-2000 Dec-2002 Tijd S am en st el lin g Momentum
Figuur 12: Fractie in de momentum strategie.
De fracties van de universele portefeuille zijn op 31 december 2003 ver verwijderd van de fracties van de beste constant herwogen portefeuille. Daaruit conclu-deren we dat de universele portefeuille de beste constant herwogen portefeuille erg langzaam nadert.
We hebben de universele portefeuille ook toegepast op de dagelijkse rendementen van de 120-dagen momentum strategie en de dividend strategie. Deze dagelijkse rendementen zijn verkregen door deze beleggingsstrategie¨en toe te passen op de dagelijkse (dividend) rendementen van de aandelen die historisch gezien deel uit-maken van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. In hoofdstuk 2 is gebleken dat selectie op basis van het 6-maanden momentum van de onderzochte mo-mentum strategie¨en het hoogste gemiddelde absolute jaarlijkse rendement heeft opgeleverd. Aangezien zes maanden tijd gemiddeld ongeveer honderdtwintig beursdagen betekent, hebben we gekozen voor de 120-dagen momentum strate-gie. We komen wederom tot dezelfde belangrijke conclusie: de beste constant herwogen portefeuille wordt niet verslagen. De strategie¨en doen het hier afwisse-lend beter: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Jan-93 Jan-95 Jan-97 Jan-99 Jan-01 Jan-03 Jan-05 Tijd C um ul at ie f r en de m en t Momentum Dividend UP
Figuur 13: UP voor aandelen - dagen (1993-2005).
De universele portefeuille wordt misleid door het verloop van het cumulatieve rendement van de beleggingsstrategie¨en: door de grote stijging van het cumu-latieve rendement van de momentum strategie wordt de fractie van het vermogen in de momentum strategie van de universele portefeuille groter. Na januari 2001 daalt het cumulatieve rendement van de momentum strategie relatief sterker dan het cumulatieve rendement van de dividend rendement. Het gevolg is dat voor de universele portefeuille de fractie van het vermogen in de momentum strategie kleiner wordt.
Tijdens het onderzoek is de universele portefeuille ook toegepast op de dagelijkse rendementen van twee verschillende aandelen. Het is gebleken dat de universele portefeuille in een aantal gevallen het beste aandeel op tijdstip n wel degelijk overtrof. In die gevallen bleek dat het cumulatieve rendement van de beide aan-delen over de gehele tijd nagenoeg aan elkaar gelijk was: de beste constant her-wogen portefeuille is dan de portefeuille met gelijke fracties van het vermogen in
de aandelen (b∗
1 = b∗
2 = 0.5). De universele portefeuille start met gelijke fracties
van het vermogen in de aandelen. De universele portefeuille is dan direct gelijk aan de beste constant herwogen portefeuille. Op tijdstip n kan het cumulatieve rendement van de universele portefeuille dan hoger zijn dan het cumulatieve ren-dement van het beste aandeel.
De universele portefeuille is toegepast op de dagelijkse rendementen van de 120-dagen momentum strategie en de dividend strategie. Deze rendementen zijn verkregen door deze strategie¨en toe te passen op de dagelijkse (dividend) rende-menten van de aandelen die historisch gezien deel uitmaken van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. Voor de periode 1993-2005 zijn 3473 dagelijkse rende-menten verkregen.
Figuur 9 toont dat de universele portefeuille de beste strategie (de 120-dagen momentum strategie) op 31 december 2003 niet verslaat. Figuur 12 toont dat de percentage van het vermogen in de momentum strategie van de universele portefeuille op 31 december 53% bedraagt. De vraag is wanneer het percentage van het vermogen in de momentum strategie van de universele portefeuille het percentage van het vermogen in de momentum strategie van de beste constant herwogen portefeuille (100%) nadert.
We construeren voor beide strategie¨en een nieuwe reeks rendementen. We plakken voor elke strategie de reeks rendementen vijf maal achter elkaar. De nieuwe reeks rendementen bestaat dan uit vijf achtereenvolgende gelijke reeksen (5 x 3473 = 17365 rendementen). Zo verkrijgen we een lange reeks met rendementen en passen we de universele portefeuille op deze rendementen toe. Figuur 14 geeft de fractie van het vermogen in de momentum strategie van de universele portefeuille in de loop van de tijd:
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 5000 10000 15000 Tijd (dagen) Sa m en st el lin g Momentum
Figuur 14: Fractie in de momentum strategie.
Figuur 14 laat zien dat de universele portefeuille de beste constant herwogen portefeuille in dit geval langzaam nadert (het percentage van het vermogen in de momentum strategie na 17365 dagen is 63%). Als er geen sprake is van activiteit van beide beleggingsstrategie¨en nadert de universele portefeuille de beste constant herwogen portefeuille erg langzaam. De actitiviteit van twee beleggingsstrate-gie¨en heeft een sterke invloed op de hoogte van het universele vermogen dat de universele portefeuille behaalt.
5.2 Conclusie
In de eerste instantie is de universele portefeuille toegepast op de maandelijkse rendementen van de 3-maanden momentum en de dividend strategie. Deze ren-dementen zijn verkregen door deze strategie¨en toe te passen op de maandelijkse (dividend) rendementen van de sectoren die deel uitmaken van de Dow Jones Stoxx 600 Index. Daarbij werd de beste strategie, de 3-maanden momentum strategie, op tijdstip n niet verslagen. We hebben de 6-maanden momentum strategie en de dividend strategie toegepast op de maandelijkse rendementen van de aandelen die deel uitmaken van de Dow Jones Euro Stoxx 50 Index. Ook op deze verkregen maandelijkse rendementen is de universele portefeuille toegepast. Wederom werd hier de beste strategie, de 6-maanden momentum strategie, op tijdstip n niet verslagen. In beide gevallen is de dividend strategie inactief. We hebben gezien dat de universele portefeuille de beste constant herwogen porte-feuille erg langzaam nadert.
Het Financieel Economisch Bureau heeft gevraagd of het mogelijk is om zowel het resultaat van de momentum strategie als de dividend strategie te overtreffen door gebruik te maken van de universele portefeuille. We concluderen dat dit niet mogelijk is. De reden is dat de dividend strategie inactief is. Het cumulatieve rendement van de universele portefeuille beweegt tussen het cumulatieve rende-ment van de morende-mentum strategie en het cumulatieve renderende-ment van de dividend strategie.
Actitiviteit van twee beleggingsstrategie¨en heeft een sterke invloed op het re-sultaat van de universele portefeuille. Wanneer een strategie binnen de beste constant herwogen portefeuille niet actief is, zal het lang duren tot de universele portefeuille de beste constant herwogen portefeuille genaderd is. Het resultaat van de universele portefeuille verbetert sterk wanneer we een dataset beschouwen waarbij twee beleggingsobjecten binnen de beste constant herwogen portefeuille actief zijn.
6 Een Variant op de Universele Portefeuille
In het vorige hoofdstuk is gebleken dat de universele portefeuille de beste constant herwogen portefeuille niet verslaat. Er is geen sprake van de activiteit van twee beleggingsstrategie¨en. Activiteit van twee beleggingsstrategie¨en heeft een sterke invloed op de hoogte van het universele vermogen op tijdstip n. In dit hoofdstuk beschouwen we een variant op de universele portefeuille. In paragraaf 6.1 be-spreken we deze variant op de universele portefeuille. In paragraaf 6.2 passen we de variant op de universele portefeuille toe op de rendementen van de momentum en de dividend strategie. In paragraaf 6.3 voeren we een out-of-sample test voor de variant op de universele portefeuille uit en we beeindigen dit hoofdstuk met een conclusie.
6.1 De Weging van portefeuilles
De universele portefeuille is een gewogen gemiddelde portefeuille. Bij een
uni-forme verdeling op B0 geldt voor k > 0: ˆ bk+1 = R B0b0 Sk(b)db R B0Sk(b)db . (80)
We kunnen voor k > 0 schrijven ˆ bk+1 = Z B0 b0 wk(b)db, (81) waarbij wk(b) = R Sk(b) B0Sk(b)db. (82)
De functie wk(b) is een dichtheidsfunctie. Er geldt: