Martin’s axioma en ccc-ruimten
Sandra Van Vooren
Promotor : Eva Colebunders
22 maart 2010
Inhoudsopgave
1 Inleidende begrippen 4
1.1 De ZFC-axioma’s . . . 4
1.2 Ordinalen . . . 7
1.3 Cardinalen . . . 9
2 Enkele topologische begrippen 12 2.1 Regulier open delen . . . 12
2.2 Quasicomponenten . . . 14
2.3 Totaal onsamenhangende ruimten en nuldimensionaliteit . . . 15
2.4 Extreem onsamenhangende ruimten . . . 17
2.5 De forcing topologie . . . 19
3 Boolse algebra’s 23 3.1 Definities en basiseigenschappen . . . 23
3.2 Boolse homomorfismen en deelalgebra’s . . . 28
3.3 Filters en idealen . . . 30
3.4 De representatiestelling van Stone . . . 33
3.5 Volledige Boolse algebra’s . . . 36
3.6 Completies van Boolse algebra’s. . . 42
3.7 Gleason ruimtes. . . 45
4 ccc-ruimten en de κ-keten voorwaarde op pre-ordes 48 4.1 ccc-ruimten . . . 48
4.2 De κ-keten voorwaarde voor pre-ordes . . . 51
4.3 Producten van ccc-ruimten . . . 52
4.4 Producten van ccc-ruimten onder de continuumhypothese . . . 55
i
5 Het axioma van Martin 61
5.1 Generische filters . . . 61
5.2 Het axioma van Martin . . . 63
5.3 Equivalente vormen van het axioma van Martin . . . 64
5.4 Toepassingen in de oneindige combinatoriek . . . 69
5.5 Toepassingen in de maattheorie . . . 73
5.6 Toepassingen in de topologie . . . 77
5.7 Toepassingen op ccc-ruimten . . . 79
Bibliografie 82
Inleiding
In 1900 publiceerde Hilbert een lijst met 23 onopgeloste problemen en bovenaan deze lijst stond de vraag of het waar was dat er geen verzamelingen bestaan met een cardinaliteit tussen die van de natuurlijke getallen en die van de re¨ele getallen. Deze conjectuur werd oorspronkelijk door Cantor voorgesteld en wordt de continuum hypothese (afgekort CH) genoemd. Onder ZFC staat CH gelijk aan de bewering ω1 = 2ω. G¨odel en Cohen bewezen dat deze uitspraak onafhankelijk is van ZFC. Dit betekent dat indien ZFC consistent is, dat dit zonder probleem mag aangevuld worden met CH of diens negatie zonder de consistentie ervan aan te tasten.
Het is dus interessant om te onderzoeken wat de gevolgen zullen zijn op de wiskunde indien we enerzijds zouden werken met ZFC + CH en anderzijds met ZFC +¬CH. Een concreet voorbeeld is de vraag of het product van ccc-topologsiche ruimten een ccc-ruimte is. Een ccc-ruimte is een topologische ruimte die aan de ’countable chain condition’ voldoet, d.w.z.
dat elke collectie van paarsgewijs disjuncte niet-lege open delen hoogstens aftelbaar is. Het antwoord hierop kan niet in ZFC alleen beslist worden en hangt onder meer af van het feit of we CH al dan niet aannemen.
De negatie van de continuum hypothese impliceert het bestaan van cardinalen ω < κ < 2ω en indien we vertrekken van ZFC +¬CH stellen er zich verscheidene pertinente vragen over deze cardinalen. Men kan zich bijvoorbeeld afvragen of voor zulke κ de unie van κ verzamelingen van maat nul in R nog van maat nul is? Of de unie van κ magere verzamelingen in R nog steeds mager is? Het antwoord op deze vragen is positief voor ω, maar negatief voor 2ω. Wat het antwoord voor ω ≤ κ < 2ω betreft, kan geen van deze vragen beslist worden onder ZFC +¬CH. Niettemin is een positief antwoord relatief consistent en zou dus erg gewenst zijn.
Omstreeks 1970 formuleerde Martin een axioma (dat nu zijn naam draagt en afgekort MA geschreven wordt), met de bedoeling te garanderen dat de cardinalen ω < κ < 2ω zich inder- daad gedragen zoals ω. Dit axioma levert dus onder andere positief antwoord op bovenge- noemde vragen.
Martin’s axioma volgt uit CH en is bijgevolg consistent met ZFC. Terwijl CH uitspraken maakt over het bestaan van cardinalen tussen ω en 2ω, beslist MA niets over hun existentie maar stelt enkel dat, als ze bestaan, ze in vele opzichten op ω lijken. Martin’s axioma biedt dus in feite enkel een meerwaarde indien het bij ZFC +¬CH wordt toegevoegd.
De gemakkelijkste formulering van MA is de topologische: ”Stel ω ≤ κ < 2ω. In een compacte Hausdorff ccc-ruimte is de doorsnede van κ open dichte delen niet leeg”. Merk op dat voor κ = ω de bewering volgt uit de Baire categorie stelling. Deze topologische vorm van MA is echter niet praktisch in gebruik en hebben we versies voor parti¨ele ordes of Boolse algebra’s nodig.
Om deze equivalente formuleringen te kunnen bewijzen zal sterk gebruik worden gemaakt van transities tussen orde en topologie. Met een pre-orde zal de zogenaamde forcing topologie geassocieerd worden en met een Boolse algebra een nuldimensionale compacte Hausdorff ruimte (met name haar Stone ruimte).
1
Omgekeerd zal met elke topologie een parti¨ele orde of een (volledige) Boolse algebra geasso- cieerd worden: de parti¨ele orde van de open delen, de Boolse algebra van de clopen delen en de volledige Boolse algebra van de regulier open delen. Met behulp van deze overgan- gen zullen karakterisaties van MA worden opgesteld die uiteindelijk zullen toelaten onder ZFC +¬CH + MA de vragen die hoger vermeld staan positief te beantwoorden. Ten slotte keren we terug naar ons oorspronkelijk probleem rond producten van ccc-ruimten. Onder ZFC + CH wordt een tegenvoorbeeld gegeven van twee ccc-ruimten waarvan het product niet ccc is. Maar onder ZFC +¬CH + MA geldt dat elk willekeurig product van ccc-ruimten de ccc-eigenschap bewaart.
We geven kort even een kleine wegwijs doorheen deze thesis:
In het inleidende hoofdstuk zetten we de axioma’s van ZFC nog eens op een rijtje en herhalen we enkele belangrijke resultaten over ordinalen en cardinalen.
In het 2de hoofdstuk voeren we enkele topologische begrippen in die we voor later gebruik zullen nodig hebben. Het betreft regulier open delen, enkele noties van onsamenhang en de forcing topologie. Zoals we reeds vermeldden vormt dit laatste een belangrijke brug tussen pre-geordende verzamelingen enerzijds en topologische ruimten anderzijds. Daarnaast intro- duceren we een soort van ’equivalentie’ tussen topologische ruimten en voeren we het zwak direct product in van partieel geordende verzamelingen. Beiden zullen in hoofdstuk 4 van groot belang zijn.
Hoofdstuk 3 handelt over Boolse algebra’s. Het belangijkste resultaat uit dit onderdeel is ongetwijfeld de Stone representatiestelling. Deze zegt dat elke Boolse algebra B isomorf is met de Boolse algebra van de clopen delen van een topologische ruimte, die we de Stone ruimte van B noemen. Deze ruimte heeft de eigenschap steeds nuldimensionaal, compact en Hausdorff te zijn. Andere belangrijke begrippen die in dit hoofdstuk aan bod komen, zijn de volledige Boolse algebra’s, completies van pre-ordes en Boolse algebra’s en de Gleason ruimten. Volledige Boolse algebra’s en completies van pre-ordes zullen in het laatste hoofdstuk ter sprake komen, waar ze gebruikt worden in equivalente vormen van het axioma van Martin.
Gleason ruimten sluiten aan bij het tegenvoorbeeld waarmee Galvin en Laver op de proppen kwamen om te bewijzen dat onder CH het product van ccc-ruimten niet ccc is. Met behulp van Gleason ruimten komt men tot een ccc-ruimte X, waarvoor XxX geen ccc-ruimte is.
In hoofdstuk 4 vallen we terug op de vraag in verband met producten van ccc-ruimten. We veralgemenen de notie van ccc naar de κ-keten voorwaarde, die zegt dat elke collectie paars- gewijs disjuncte niet-lege open delen cardinaliteit strikt kleiner dan κ heeft. De ccc voorwaarde is dan, in deze termen uitgedrukt, de ℵ1-keten voorwaarde. De ’equivalentie’ tussen topol- ogische ruimten die we in hoofdstuk 2 invoerden bewijst nu haar nut doordat ze de κ-keten voorwaarde overbrengt: als twee topologische ruimten equivalent zijn, dan voldoet de ene aan de κ-keten voorwaarde dan en slecht dan de andere hieraan voldoet. Daarna breiden we de κ-keten voorwaarde op topologische ruimten uit tot de κ-keten voorwaarde op pre-geordende verzamelingen. Dit geeft aanleiding tot ccc-pre-geordende verzamelingen, die in hoofdstuk 5 bij het axioma van Martin gebruikt zullen worden. Dankzij het ∆-systeem lemma, kunnen we (althans voor κ overaftelbaar en regulier) de vraag of het willekeurig product van ruimten die aan de κ-keten voorwaarde voldoen, herleiden tot de vraag of binaire producten dit doen. Dit resultaat is zeer interessant wanneer we later zullen nagaan dat, onder Martin’s axioma en de negatie van de continuum hypothese, het product van ccc-ruimten weer een ccc-ruimte is. Dit hoofdstuk wordt afgesloten met het reeds vermelde tegenvoorbeeld van Galvin en Laver.
Hoofdstuk 5 spitst zich toe op het axioma van Martin. Zoals beloofd komen er equivalente
Inhoudsopgave 3
vormen van dit axioma ter sprake waardoor we 4 versies van MA verkrijgen. Zoals we in het begin van de inleiding zeiden kan men aan de hand van Martin’s axioma uitspralen maken over de cardinalen tussen ω en 2ω en concluderen we dat zulke cardinalen hetzelfde gedrag als ω vertonen. We bespreken enkele belangrijke toepassingen van MA in het gebied van de oneindige combinatoriek, de maattheorie en de topologie. Samengevat, formuleren we een antwoord op volgende vragen:
Zij ω ≤ κ < 2ω.
• Als A ⊆ Pω een bijna disjunte familie is met cardinaliteit gelijk aan κ, is A dan maxi- maal?
• Is 2κ= 2ω?
• Heeft de unie van κ aantal delen van R met lebesguemaat 0, ook lebesguemaat 0?
• Is de unie van κ aantal delen van R van eerste categorie, ook van eerste categorie?
Deze beweringen zijn allemaal waar als we het axioma van Martin aannemen.
Tot slot sluiten we het geheel af met het resultaat dat onder ¬CH + MA, het product van ccc-ruimten terug een ccc-ruimte geeft.
Inleidende begrippen
Vooraleer we nieuwe begrippen invoeren, zullen we eerst het conceptueel kader waarin men werkt verduidelijken, i.e. we zullen in dit hoofdstuk de axioma’s van ZFC defini¨eren en enkele resultaten over ordinalen en cardinalen herhalen. Als referenties verwijzen we voor dit hoofd- stuk naar [3] en [5].
1.1 De ZFC-axioma’s
De axioma’s van de verzamelingenleer worden uitgedrukt in de taal van de eerste orde predikaten- logica. De predikaten in ons geval zijn = en ∈. Vertrekkende van atomaire formules (deze zijn van de vorm x = y en x ∈ y) maakt men nieuwe formules door gebruik te maken van volgende logische voegtekens en kwantoren:
ϕ ∧ ψ, ϕ ∨ ψ, ¬ϕ, ϕ → ψ, ϕ ↔ ψ, ∀x(ϕ), ∃x(ϕ).
Als u1, . . . , un vrije variabelen zijn van de formule ϕ dan noteert men dit als ϕ(u1, . . . , un).
Een formule zonder vrije variabelen noemt men een zin.
We sommen de axioma’s op van het huidig conceptueel kader waarin men werkt, met name Zermelo-Fraenkel (ZFC).
• Existentie
∃x∀y(y /∈ x).
Er bestaat dus op z’n minst ´e´en verzameling.
• Extensionaliteit
∀x∀y∀z((z ∈ x ↔ z ∈ y) ↔ x = y).
Twee verzamelingen zijn dus gelijk als en slechts als ze dezelfde elementen hebben. In het bijzonder kunnen we stellen dat er juist ´e´en lege verzameling bestaat. We noteren deze als ∅.
4
Hoofdstuk 1. Inleidende begrippen 5
• Paar
∀x∀y∃a∀z(z ∈ a ↔ (z = x ∨ z = y)).
We noteren a = {x, y}. Een singleton {x} defini¨eren we dan als {x, x}. Een geordend paar of koppel is
(x, y) = {{x}, {x, y}}.
• Separatie
Zij ϕ een formule met vrije variabelen z, u1, . . . , un.
∀x∃a∀z(z ∈ a ↔ (z ∈ x ∧ ϕ(z, u1, . . . , un))).
We noteren a = {z ∈ x | ϕ(z, u1, . . . , un)}. We noemen dit de gesepareerde deelverza- meling van a t.o.v. ϕ.
Zij A een niet-lege verzameling, dan defini¨eren we de doorsnede van A als
\A = {z ∈ X | ∀A ∈ A(z ∈ A)},
waarbij X ∈ A. Indien A = {A, B} dan gebruiken we soms de notatie A ∩ B =\
{A, B}.
• Unie
∀x∃a∀z(z ∈ a ↔ ∃z0(z0 ∈ x ∧ z ∈ z0)) We hanteren de volgende notatie
a =[
x of a = [
z∈x
z.
Indien x = {A, B}, dan gebruikt men soms de notatie x = A ∪ B. Voor verzamelingen x1, . . . , xn stellen we
{x1, . . . , xn} =
n
[
i=1
{xi}.
• Delenverzameling
∀x∃a∀z(z ∈ a ↔ ∀z0(z0 ∈ z → z ∈ x))
De verzameling a wordt genoteerd als P(x) of als 2x. Met dit axioma kunnen we weer wat meer verzamelingtheoretische bewerkingen invoeren. Zo wordt het cartesisch product gedefinieerd als
X × Y = {(x, y) ∈ P(P(X ∪ Y )) | x ∈ X ∧ y ∈ Y }.
Elke verzameling van koppels noemt men een (binaire) relatie. Als R een relatie is, dan definieert men het domein en het beeld als
dom R = n
x ∈[ [ R
∃y((x, y) ∈ R)o en
im R = n
y ∈[ [ R
∃x((x, y) ∈ R)o . Een functie is een drietal (f, A, B) zodat f ⊆ A × B en zodat
∀a ∈ A : ∃!b ∈ B : (a, b) ∈ f.
Meestal noteert men een functie als f : A → B en (a, b) ∈ f schrijft men als f (a) = b.
Verder stelt men nog
BA= {f ∈ P(A × B) | (f, A, B) is een functie}.
• Oneindigheid
∃a(∅ ∈ a ∧ ∀x ∈ a(x ∪ {x} ∈ a)).
We defini¨eren de natuurlijke getallen als 0 = ∅ 1 = {0}
2 = {0, 1}
...
n = {0, 1, 2, . . . , n − 1}
...
Het oneindigheidsaxioma impliceert dat er een (unieke) verzameling bestaat met alle natuurlijke getallen als elementen. We noemen deze verzameling N.
• Replacement
Zij ϕ een formule met vrije variabelen x, y, u1, . . . , un.
∀X((∀x ∈ X ∃!y ϕ(x, y, u1, . . . , un)) → ∃Y ∀x ∈ X ∃y ∈ Y ϕ(x, y, u1, . . . , un)) Een functionaal bepaald door ϕ is per definitie van de vorm
F = {(x, y) | ϕ(x, y, u1, . . . , un)}.
Het vervangingsaxioma vertelt ons dat als het domein van F een functionaal is, dat F dan een functie definieert. In het bijzonder kunnen we nu een familie verzamelingen (Xi)i∈I defini¨eren als de functionaal
(Xi)i∈I = {(i, Xi) | i ∈ I}.
Het replacementaxioma impliceert dat (Xi)i∈I een verzameling is. Het product van (Xi)i∈I stellen we dan gelijk aan
Y
i∈I
Xi =
f ∈ [
i∈I
Xi
!I
∀i ∈ I : f (i) ∈ Xi
.
• Keuze
Het keuzeaxioma zegt dat voor elke niet-lege familie verzamelingen (Xi)i∈I geldt dat Y
i∈I
Xi 6= ∅.
Een belangrijke gevolg van het keuzeaxioma is het volgende:
1.1 Lemma (Zorn). Zij (X, ≤) een niet-lege partieel geordende verzameling. Als elk niet-leeg totaal geordend deel van X een bovengrens heeft, dan heeft X een maximaal element.
In wat volgt zullen we altijd werken in ZFC, tenzij anders vermeld.
Hoofdstuk 1. Inleidende begrippen 7
1.2 Ordinalen
1.2 Definitie. Een relatie ≤ op een verzameling P heet een pre-orde indien aan volgende voorwaarden voldaan is:
1. Reflexiviteit: ∀p ∈ P : p ≤ p,
2. Transitiviteit: ∀p, q, r ∈ P : p ≤ q ∧ q ≤ r ⇒ p ≤ r.
Als ≤ een pre-orde is, dan noemt men (P, ≤) een pre-geordende verzameling.
Men noemt een pre-orde een parti¨ele orde indien aan volgende bijkomende eigenschap voldaan is:
3. Anti-symmetrie: ∀p, q ∈ P : p ≤ q ∧ q ≤ p ⇒ p = q.
Men noemt een part¨ıele orde een totale orde wanneer bovendien aan volgende eigenschap voldaan is:
4. ∀p, q ∈ X : p ≤ q ∨ q ≤ p.
1.3 Definitie. Zij (P, ≤) een pre-geordende verzameling. Twee elementen p, q ∈ P noemt men compatibel als
∃r ∈ P : r ≤ p en r ≤ q.
Als twee elementen p en q niet compatibel zijn, dan noemt men ze incompatibel en men schrijft p⊥q. Een verzameling A ⊆ P noemt men een antiketen als elke twee verschillende elementen in A incompatibel zijn.
1.4 Voorbeeld. Voor een niet-lege verzameling X stellen we P = P(X) \ {∅} en we defini¨eren p ≤ q ⇔ p ⊆ q
voor p, q ∈ P . Het is duidelijk dat twee elementen in P incompatibel zijn als en slechts als ze disjunct zijn. Dus een verzameling A ⊆ P is een antiketen als alle elementen in A paarsgewijs disjunct zijn.
1.5 Definitie. Een partieel geordende verzameling (X, ≤) wordt een welgeordende verzamel- ing genoemd als elk niet-leeg deel van X een minimum heeft. De relatie ≤ wordt dan een welorde genoemd.
Een isomorfisme tussen twee welgeordende verzamelingen (X, ≤) en (Y, ) is een bijectie f : X → Y die de orde bewaart, d.w.z.
∀a, b ∈ X : a ≤ b ⇔ f (a) f (b).
1.6 Definitie. Een verzameling X wordt transitief genoemd als het volgende geldt: a ∈ X ⇒ a ⊆ X.
1.7 Definitie. Een ordinaal is een transitieve verzameling waarvoor ∈ een welorde is.
In het algemeen geeft men ordinalen aan aan de hand van de Griekse letters α, β, γ, ... Men noteert meestal ook < i.p.v. ∈.
1.8 Voorbeeld. Elk natuurlijk getal is een ordinaal. De verzameling van de natuurlijke getallen N is het kleinste oneindige ordinaal. We zullen dit ordinaal als ω noteren.
1.9 Eigenschap. Zij α een ordinaal, dan is α ∪ {α} opnieuw een ordinaal.
Men noteert α ∪ {α} meestal als α + 1 en noemt α + 1 de ordinaalopvolger van α. Elk ordinaal dat geen opvolger is van een ander ordinaal, noemt men een limietordinaal.
1.10 Voorbeeld. Zij n een natuurlijk getal, dan is de opvolger van n gelijk aan n + 1 = n ∪ {n} = {0, 1, 2, . . . , n − 1} ∪ {n} = {0, 1, 2, . . . , n}
We zien dat dit overeenkomt met de klassieke notatie van opvolger bij natuurlijke getallen.
Merk op dat 0 en ω limietordinalen zijn. Om nog andere limietordinalen te maken, heeft men transfiniete recursie nodig.
1.11 Eigenschap (Transfiniete inductie). Zij ϕ een eigenschap over ordinalen zodat
• ϕ(0) geldt,
• ϕ(α) geldt ⇒ ϕ(α + 1) geldt,
• voor alle niet-nulle limietordinalen γ: (∀β < γ : ϕ(β) geldt) ⇒ ϕ(γ) geldt, dan geldt ϕ(α) voor alle ordinalen α.
1.12 Eigenschap (Transfiniete recursie). Stel A een verzameling en zij F een functionaal met domein V (dit is de klasse van alle verzamelingen). Dan bestaat er een unieke functionaal G met domein de klasse van ordinalen zodat
• G(0) = A,
• G(α + 1) = F (G(α)),
• voor alle niet-nulle limietordinalen γ: G(γ) =S
β<γF (β).
Met recursie definieert men dan bewerkingen op ordinalen als volgt:
1.13 Definitie. In wat volgt zijn α en β ordinalen en is γ een limietordinaal.
1. De optelling is gedefinieerd als α + 0 = α,
α + (β + 1) = (α + β) + 1, α + γ =S
β<γ(α + β).
2. De vermenigvuldiging is gedefinieerd als α · 0 = 0,
α · (β + 1) = α · β + β, α · γ =S
β<γα · β.
3. De machtsverheffing is gedefinieerd als α0 = 1,
αβ+1 = αβ · α, αγ =S
β<γαβ.
De belangrijkste eigenschap van ordinalen is de volgende
1.14 Eigenschap. Voor iedere welgeordende verzameling (X, ≤) bestaat er een uniek ordinaal α en een uniek isomorfisme tussen (X, ≤) en (α, ≤).
Hoofdstuk 1. Inleidende begrippen 9
1.3 Cardinalen
1.15 Definitie. Een cardinaal is een ordinaal dat niet in bijectie staat met een strikt kleiner ordinaal.
Voorbeelden van cardinalen zijn de natuurlijke getallen en ω. Het ordinaal ω + 1 is echter geen cardinaal omdat het in bijectie staat met ω.
In het algemeen benoemt men cardinalen aan aan de hand van de Griekse letters κ, λ, µ, ....
Met het keuzeaxioma kan men cardinaliteit en cardinaalopvolger invoeren.
1.16 Definitie. Zij X een welgeordende verzameling. Dan defini¨eren we de cardinaliteit van X als
|X| = min{α | α ordinaal, α equipotent met X}.
Uit de definitie volgt triviaal dat |X| een cardinaal is. De volgende eigenschap is ook voldaan:
1.17 Eigenschap. Zij X en Y verzamelingen, dan
|X| = |Y | ⇔ Er bestaat een bijectie van X naar Y en
|X| ≤ |Y | ⇔ Er bestaat een injectie van X naar Y
⇔ Er bestaat een surjectie van Y naar X.
1.18 Definitie. Als κ een cardinaal is dan defini¨eren we de cardinaalopvolger van κ als κ+= min{λ | λ cardinaal, κ < λ ≤ |P(κ)|}.
Met behulp van deze definitie kunnen we de zogenaamde aleph-rij defini¨eren:
1.19 Definitie. Recursief defini¨eren we
• ℵ0 = ω,
• ℵα+1 = ℵ+α,
• ℵγ=S
β<γℵβ.
1.20 Eigenschap. De volgende eigenschappen zijn voldaan:
1. Elke ℵα is een cardinaal, 2. Elk cardinaal heeft de vorm ℵα, 3. α < β ⇒ ℵα< ℵβ.
Bewerkingen op cardinalen worden als volgt gedefinieerd
1.21 Definitie. Zij κ en λ cardinalen. Neem verzamelingen K en L zodat |K| = κ en |L| = λ.
Dan
1. κ + λ = |K ∪ L|, indien K en L disjunct zijn, 2. κ · λ = |K × L|,
3. κλ = |KL|.
Men kan nagaan dat deze bewerkingen niet afhangen van de gekozen representanten K en L.
De bewerkingen voldoen aan volgende gewenste eigenschappen.
1.22 Eigenschap. Zij κ, λ, µ cardinalen. Dan 1. κ + λ = λ + κ; κ + (λ + µ) = (κ + λ) + µ, 2. κ · λ = λ · κ; κ · (λ · µ) = (κ · λ) · µ,
3. (κλ)µ= κλ·µ; κλ· κµ= κλ+µ; (κ · λ)µ= κµ· λµ, 4. (Cantor): |A| < 2|A|= |P(A)|,
5. Als κ > 0 en λ > 0 niet beide eindig zijn, dan κ + λ = κ · λ = max{κ, λ}.
6. Als λ oneindig is en als 1 < κ ≤ λ, dan κλ = 2λ. Men kan ook oneindige bewerkingen beschouwen.
1.23 Definitie. Zij (κi)i∈I een familie cardinalen. Neem een familie verzamelingen(Ai)i∈I zodat elke κi = |Ai|. Stel dan
1. P
i∈Iκi =
S
i∈IAi
, indien de Ai paarsgewijs disjunct zijn, 2. Q
∈Iκi =
Q
i∈IAi
.
Met het keuzeaxioma kan men aantonen dat deze bewerkingen onafhankelijk zijn van de gekozen representanten.
De volgende eigenschappen gelden:
1.24 Eigenschap. Stel κ en λ cardinalen en zij (κi)i∈I en (λi)i∈I families cardinalen. Dan 1. P
i∈Iκ = κ · |I| enQ
i∈Iκ = κ|I|, 2. κPi∈Iλi =Q
i∈Iκλi, 3. P
i∈Iκ · λi= κ ·P
i∈Iλi en P
i∈Iκi+ λi=P
i∈Iκi+P
i∈Iλi, 4. Q
i∈Iκλi = Q
i∈Iκiλ
en Q
i∈Iκi· λi=Q
i∈Iκi·Q
i∈Iλi, 5. Als elke κi ≥ 1, dan P
i∈Iκi= max{|I|, supi∈Iκi}.
Een belangrijke stelling is deze van K¨onig-Zermelo.
1.25 Eigenschap (K¨onig-Zermelo). Als κi < λi voor elke i ∈ I, dan is P
i∈Iκi <Q
i∈Iλi. Als we elke κi gelijk nemen aan nul, dan krijgen we het keuzeaxioma. Als elke κi gelijk is aan 1, dan verkrijgen we de stelling van Cantor.
1.26 Definitie. Stel κ een oneindig cardinaal. De cofinaliteit van κ is gedefinieerd als cf(κ) = min
(
|I|
κ =X
i∈I
κi met ∀i ∈ I : κi < κ )
.
Indien cf(κ) = κ dan noemen we κ regulier. Als cf(κ) < κ dan noemen we κ singulier.
Hoofdstuk 1. Inleidende begrippen 11
1.27 Voorbeelden.
1. ℵ0 is regulier.
2. Alle opvolgerscardinalen zijn regulier.
3. ℵω is singulier aangezien ℵω =P
n<ωℵn. In het bijzonder geldt dat cf(ℵω) = ℵ0. Met de Stelling van K¨onig-Zermelo kunnen we volgende ongelijkheden bewijzen:
1.28 Eigenschap. Zij κ een oneindig cardinaal. Dan 1. cf(2κ) > κ,
2. κcfκ> κ.
Enkele topologische begrippen
Voor later gebruik zullen we nu enkele topologische begrippen nader bekijken. Eerst zullen we het begrip regulier open defini¨eren en een aantal eigenschappen hiervan onderzoeken. Ver- volgens bekijken we enkele noties van onsamenhang (namelijk totale onsamenhang, extreme onsamenhang en nuldimensionaliteit). Ten slotte zullen we de relatie tussen pre-geordende verzamelingen en topologische ruimten onderzoeken, dit leidt ons tot de zogenaamde forcing topologie¨en. Voor referenties verwijzen we naar [4], [10] en [11].
2.1 Regulier open delen
2.1 Definitie. Zij (X, T ) een topologische ruimte. Men noemt een verzameling A ⊆ X regulier open indien
A = int cl A.
Het is natuurlijk evident dat elk clopen deel regulier open is en dat elk regulier open deel ook open is. Meestal is een geen gebrek aan regulier open delen:
2.2 Eigenschap. Indien A gesloten is, dan is het inwendige van A regulier open.
Bewijs. Aangezien A gesloten is, geldt dat
int A ⊆ cl int A ⊆ cl A = A.
En dus
int A ⊆ int cl int A ⊆ int A, zodat int A inderdaad regulier open is.
Niet alle delen in een topologische ruimte zijn regulier open.
2.3 Voorbeeld. Zij A =] − 1, 0[∪]0, 1[⊆ R. Er geldt dat
int cl (] − 1, 0[∪]0, 1[) = int [−1, 1] =] − 1, 1[.
Dus is A een voorbeeld van een open deel dat niet regulier open is.
Merk ook op dat bovenstaand voorbeeld ook nog aantoont dat de unie van regulier open delen niet noodzakelijk regulier open is. Voor de doorsnede is dit echter wel het geval.
12
Hoofdstuk 2. Enkele topologische begrippen 13
2.4 Eigenschap. De doorsnede van twee regulier open delen is regulier open.
Bewijs. Zij A en B regulier open delen. Uiteraard is A ∩ B ⊆ cl (A ∩ B). Aangezien A ∩ B open is, volgt ook
A ∩ B ⊆ int cl (A ∩ B).
Maar er geldt ook dat cl (A ∩ B) ⊆ cl A ∩ cl B, zodat
int cl (A ∩ B) ⊆ int (cl A ∩ cl B) = int cl A ∩ int cl B = A ∩ B.
Dus geldt inderdaad dat int cl (A ∩ B) = A ∩ B.
Merk op dat we ook regulier gesloten delen kunnen defini¨eren als verzamelingen A zodat cl int A = A. Al het voorgaande heeft dan natuurlijk ook een versie voor regulier gesloten delen. Ook geldt
2.5 Eigenschap. Zij (X, T ) een topologische ruimte en zij A ⊆ X. Er geldt dat A regulier open is als en slechts als X \ A regulier gesloten is.
Bewijs. Voor een willekeurig deel A geldt
int (X \ A) = X \ cl A en cl (X \ A) = X \ int A.
De Eigenschap volgt eenvoudig uit deze gelijkheden.
Vrij interessante ruimtes zijn de semireguliere ruimtes:
2.6 Definitie. Een topologische ruimte noemt men semiregulier indien de regulier open delen een basis vormen voor de topologie.
2.7 Voorbeelden.
1. Aangezien de open intervallen van R regulier open zijn, geldt dat R een semireguliere ruimte is.
2. Zij X een oneindige verzameling en zij T de topologie van de eindige complementen op X. De enige reguliere open delen in (X, T ) zijn ∅ en X, dus (X, T ) is niet semiregulier.
De term “semiregulier” doet volgende eigenschap al vermoeden:
2.8 Eigenschap. Elke reguliere ruimte is semiregulier.
Bewijs. Zij (X, T ) een reguliere ruimte. Neem verder x ∈ X en V een omgeving van x.
Aangezien de ruimte regulier is, bestaat er een gesloten omgeving F van x zodat F ⊆ V . Dan is int F een regulier open omgeving van x zodat x ∈ int F ⊆ V . Dus elke omgeving kan verkleind worden tot een regulier open omgeving. Dit toont aan dat de regulier open delen inderdaad een basis vormen voor de topologie.
Het omgekeerde geldt in het algemeen niet.
2.2 Quasicomponenten
Zij (X, T ) een topologische ruimte. Herinner dat de samenhangscomponent van een punt x ∈ X het grootste samenhangend deel van X is die x bevat. We noteren deze verzameling meestal als K(x). Merk op dat een samenhangscomponent steeds gesloten is. We zullen nu een ander soort “component” defini¨eren.
2.9 Definitie. Zij (X, T ) een topologische ruimte en zij x ∈ X. De quasicomponent van x is gedefinieerd als
Q(x) =\
{A ⊆ X | A clopen en x ∈ A}.
Uiteraard is de quasicomponent ook steeds gesloten. We tonen nu dat de samenhangscompo- nent steeds een deel is van de quasicomponent:
2.10 Eigenschap. Zij (X, T ) een topologische ruimte en zij x ∈ X. Dan geldt dat K(x) ⊆ Q(x).
Bewijs. Veronderstel dat er een y ∈ K(x) bestaat zodat toch y /∈ Q(x). Uit dit laatste volgt onmiddellijk het bestaat van een clopen deel A zodat x ∈ A en y /∈ A. Hieruit volgt dat A ∩ K(x) een clopen deel is van K(x) dat noch ∅ noch K(x) is. Dit betekent dat K(x) niet samenhangend is en dit is een tegenspraak.
We zullen nu aantonen dat de quasicomponenten en de samenhangscomponenten samenvallen in compacte Hausdorff ruimten.
2.11 Lemma. Zij (X, T ) een topologische ruimte en zij (Ai)i∈I een familie gesloten delen van X zodat minstens een van deze delen compact is. Indien G een open deel is met
∩i∈IAi ⊆ G, dan bestaat er een eindig deel J ⊆ I zodat
∩i∈IAi⊆ ∩j∈JAj ⊆ G.
Bewijs. Veronderstel dat Ai0 compact is. Aangezien elke Ai gesloten is en G open is, volgt dat
{Ai0\ Ai | i ∈ I} ∪ {Ai0 ∩ G}
een open overdekking is van Ai0. Dan geldt dat er een eindige verzameling J ⊆ I bestaat zodat
Ai0 = (Ai0∩ G) ∪ [
j∈J
(Ai0 \ Aj).
Hieruit volgt dat
(Ai0 \ G) ∩\
j∈J
Aj = ∅ en dus moet
\
j∈J
Aj ⊆ G zoals gewenst.
2.12 Eigenschap. Zij (X, T ) een compacte Hausdorff ruimte en zij x ∈ X. Dan geldt dat K(x) = Q(x).
Hoofdstuk 2. Enkele topologische begrippen 15
Bewijs. We noteren voor de duidelijkheid
{Ai | i ∈ I} = {A ⊆ X | A clopen en x ∈ A}.
We moeten enkel nog aantonen dat Q(x) ⊆ K(x). Omdat K(x) het grootste samenhangend deel is dat x bevat, volstaat het te bewijzen dat Q(x) samenhangend is. Stel dat dit niet het geval is, dan bestaan er twee disjuncte gesloten delen U en V van X zodat U ∪ V = Q(x).
Zonder verlies van de algemeenheid, kunnen we onderstellen dat x ∈ U . Aangezien Q(x) een gesloten deel is, zullen de delen U en V natuurlijk ook gesloten zijn in X. Gebruik makend van de normaliteit van X, verkrijgen we dat er open delen U0 en V0 van Q(x) bestaan zodat U ⊆ U0, V ⊆ V0 en U0∩ V0 = ∅. Duidelijk geldt Q(x) ⊆ U0∪ V0. Uit lemma2.11volgt dat er een eindig deel J ⊆ I bestaat zodat
Q(x) ⊆ \
j∈J
Aj ⊆ U0∪ V0.
Stel nu A =T
j∈JAj, dan is A clopen omdat J eindig is. Voor elke j ∈ J geldt dan U0∩ A ⊆ cl (U0∩ A) ⊆ cl U0∩ cl A = cl U0∩ A.
Neem nu y ∈ cl U0∩ A, dan zal y ∈ A ⊆ U0∪ V0. Maar aangezien U0 en V0 disjuncte open delen zijn en aangezien y ∈ cl U0, zal volgen dat y ∈ U0. We verkrijgen dat
cl U0∩ A = U0∩ A,
en dus is U0∩ A een clopen deel zodat bovendien x ∈ U0∩ A. Per definitie van Q(x) volgt dan Q(x) ⊆ U0∩ A ⊆ U0.
Aangezien U0 en V disjunct zijn, volgt onmiddellijk dat V = ∅. Dit bewijst dat Q(x) samen- hangend is.
2.3 Totaal onsamenhangende ruimten en nuldimensionaliteit
We herhalen eerst het begrip totaal onsamenhangendheid.
2.13 Definitie. Een topologische ruimte noemt men totaal onsamenhangend als de samen- hangscomponent van elk punt een singleton is.
Merk op dat een totaal onsamenhangende ruimte steeds T1 is.
2.14 Voorbeelden.
1. Q is een voorbeeld van een totaal onsamenhangende ruimte.
2. Beschouw R met de Sorgenfrey-topologie, i.e. de topologie voortgebracht door de hal- fopen intervallen {]a, b] | a, b ∈ R}. Dan is R totaal onsamenhangend.
Uit Eigenschap 2.12 volgt onmiddellijk volgende karakterisatie van totaal onsamenhangend- heid in compacte Hausdorff ruimten:
2.15 Eigenschap. Zij (X, T ) een compacte Hausdorff ruimte. De volgende uitspraken zijn equivalent:
1. X is totaal onsamenhangend,
2. Voor elke x, y ∈ X met x 6= y, bestaat er een clopen deel A zodat x ∈ A en y /∈ A.
Een ander belangrijk begrip is dat van nuldimensionaliteit:
2.16 Definitie. Men noemt een topologische ruimte nuldimensionaal als de clopen delen een basis vormen voor de topologie.
Het is evident dat een nuldimensionale ruimte steeds regulier is, en dus geldt dat een nuldimen- sionale T1-ruimte steeds T3 is.
2.17 Voorbeelden.
1. Q is een nuldimensionale ruimte.
2. R met de Sorgenfrey topologie is nuldimensionaal.
3. De indiscrete topologie op een X met |X| > 1 is een voorbeeld van een nuldimensionale topologie die niet totaal onsamenhangend is.
Volgende stelling toont het verband tussen nuldimensionaliteit en totaal onsamenhangendheid:
2.18 Eigenschap. Zij (X, T ) een topologische ruimte. Dan geldt
1. Als X een nuldimensionale T1-ruimte is, dan is X totaal onsamenhangend.
2. Als X een lokaal compacte T2-ruimte is, dan is X totaal onsamenhangend als en slechts als X nuldimensionaal is.
Bewijs.
1. Stel K(x) de samenhangscomponent van x ∈ X en veronderstel dat we y ∈ K(x) kunnen vinden met x 6= y. Aangezien X een T1-ruimte is, bestaat er een omgeving U van x zodat y /∈ U . Aangezien de ruimte nuldimensionaal is, bestaat er verder een clopen deel A zodat x ∈ A ⊆ U . Maar dan is A ∩ K(x) een clopen deel van K(x) dat noch ∅ noch K(x) is. Dus is K(x) niet samenhangend, wat een tegenspraak oplevert.
2. Een implicatie volgt reeds uit (1), het volstaat dus te tonen dat elke totaal onsamen- hangende, lokaal compacte T2-ruimte nuldimensionaal is. Neem x ∈ X en G een open omgeving van x. Aangezien X lokaal compact is, bestaat er een compacte omgeving K van x zodat
x ∈ K ⊆ G.
Dus vormt U = int K een open omgeving van x zodat x ∈ U ⊆ G en zodat cl U compact is. Herinner dat de rand van U gedefinieerd is als
∂U = cl U ∩ cl (X \ U ) = cl U \ int U.
Gebruik makend van lemma2.15, bestaat er voor elke p ∈ ∂U een clopen deel Vpvan cl U zodat x ∈ Vp en p /∈ Vp. De verzamelingen cl U \ Vp vormen dan een open overdekking van ∂U . Aangezien ∂U compact is als gesloten deel van een compacte ruimte, zullen er p1, . . . , pn bestaan zodat (cl U \ Vpi)1≤i≤n een eindige deeloverdekking is van ∂U . Stel nu
V = Vp1 ∩ . . . ∩ Vpn,
Hoofdstuk 2. Enkele topologische begrippen 17
dan is V een clopen omgeving van cl U die disjunct is met ∂U . Dus geldt dat V ⊆ U , zodat V open is in X. Anderzijds is V een gesloten deel van cl U , zodat V ook gesloten is in X. Dus is V een clopen omgeving van X zodat
x ∈ V ⊆ G.
Dit impliceert dat de clopen delen van X een basis vormen van de topologie.
2.4 Extreem onsamenhangende ruimten
2.19 Definitie. Een topologische ruimte is extreem onsamenhangend als de sluiting van elk open deel terug open is.
2.20 Voorbeelden.
1. De discrete topologische ruimten zijn extreem onsamenhangend.
2. Q is een voorbeeld van een totaal onsamenhangende ruimte die niet extreem onsamen- hangend is.
3. De Cantorverzameling is een voorbeeld van een nuldimensionale compacte Hausdorff ruimte die niet extreem onsamenhangend is.
4. De topologie van de eindige complementen op een oneindige drager is extreem onsamen- hangend, maar ook samenhangend. Om deze pathologische gevallen te vermijden, eisen vele auteurs dat extreem onsamenhangende ruimtes ook Hausdorff zijn.
Het laatste voorbeeld geeft ook een voorbeeld van een extreem onsamenhangende ruimte die toch niet totaal onsamenhangend is. Voor Hausdorff ruimtes hebben we echter volgende eigenschap:
2.21 Eigenschap. Elke extreem onsamenhangende Hausdorff ruimte is steeds totaal onsamen- hangend.
Bewijs. Zij (X, T ) een extreem onsamenhangende Hausdorff ruimte en zij x ∈ X. Stel dat er een punt y ∈ K(x) bestaat zodat x 6= y. Aangezien X Hausdorff is, bestaan er disjuncte open delen A en B zodat x ∈ A en y ∈ B. Aangezien B open is, geldt dan dat
A ⊆ cl A ⊆ X \ B.
Door de extreem onsamenhangendheid van X te gebruiken, leiden we hieruit af dat cl A een clopen deel is dat disjunct is met B. Dus is cl A ∩ K(x) een clopen deel van K(x) dat noch ∅ noch K(x) is. Dit betekent dat K(x) niet samenhangend is, wat een contradictie is.
We gaan nog even na welke deelruimtes extreme onsamenhang overerven:
2.22 Eigenschap. Zij (X, T ) een extreem onsamenhangende ruimte en zij Y ⊆ X. Als Y open is of als Y dicht is dan is Y extreem onsamenhangend.
Bewijs. Stel eerst dat Y een open deelruimte is van X. Zij A een open deel van Y , dan is A ook open in X. Aangezien Y extreem onsamenhangend is, volgt dan dat clXA open is. Dus is
clY A = clXA ∩ Y
ook open in Y .
Stel nu dat Y dicht is in X. Zij A een open deel van Y , dan bestaat er een open deel G van X zodat A = G ∩ Y . Aangezien Y dicht is, volgt
clXA = clX(G ∩ Y ) = clXG.
Wegens de extreme onsamenhang van X, geldt dus dat clXA clopen in X. Dan volgt dat clY A = clXA ∩ Y
clopen is in Y .
We geven nu enkele karakterisaties van extreem onsamenhangende ruimtes:
2.23 Definitie. Zij (X, T ) een topologische ruimte. We noemen A, B ⊆ X volledig gesepa- reerd indien er een continue functie f : X → [0, 1] zodat f (A) = 0 en f (B) = 1.
Merk op dat het interval [0, 1] in vorige definitie niet zo belangrijk is. Inderdaad, twee delen A en B zijn ook volledig gesepareerd als er een functie f : X → [a, b] bestaat met f (A) = a en f (B) = b.
We kunnen nu enkele equivalente voorwaarden geven voor extreem onsamenhangendheid:
2.24 Eigenschap. Zij (X, T ) een topologische ruimte. Dan zijn de volgende uitspraken equiv- alent:
1. X is extreem onsamenhangend,
2. Elke twee open en disjuncte delen in X zijn volledig gesepareerd, 3. Elke twee open en disjuncte delen in X hebben disjuncte sluitingen.
4. Elk regulier open deel van X is clopen, 5. Elk regulier gesloten deel in X is clopen.
Bewijs.
(1) ⇒ (2) Zij A en B twee open en disjuncte delen in X. Definieer nu de functie f : X → [0, 1] : x →
0 als x ∈ cl A 1 als x ∈ X \ cl A
Aangezien X extreem onsamenhangend, zal cl A een clopen deel zijn. Dit impliceert dat f een continue functie is. Aangezien X \ B gesloten is, volgt dat A ⊆ cl A ⊆ X \ B.
Hierdoor geldt ook dat f (A) = 0 en f (B) = 1 en dus zijn A en B volledig gesepareerd.
(2) ⇒ (3) Zij A en B twee open en disjuncte delen. Wegens (2) bestaat er een continue functie f : X → [0, 1] zodat f (A) = 0 en f (B) = 1. Dan is eveneens
f (cl A) ⊆ cl f (A)
= cl {0}
= {0}
en analoog geldt dat f (cl B) = 1. Dit impliceert dat cl A en cl B disjunct moeten zijn.
Hoofdstuk 2. Enkele topologische begrippen 19
(3) ⇒ (4) Zij A een regulier open deel. Dan zijn A en X \ cl A disjuncte open delen van X. Wegens (3) geldt dan dat cl A en cl (X \ cl A) disjunct zijn. Maar aangezien A regulier open deel is, geldt
cl (X \ cl A) = X \ int cl A = X \ A.
Aangezien dus X \ A en cl A disjunct zijn, volgt dat cl A = A en dus is A een clopen deel.
(4) ⇔ (5) Dit volgt meteen uit Eigenschap 2.5.
(4) ⇒ (1) Stel G een open deel, dan is duidelijk G ⊆ int cl G ⊆ cl G.
Maar omdat int cl G regulier open is, zal het wegens (4) ook gesloten zijn. Maar omdat cl G het kleinste gesloten deel is dat G bevat, volgt dat int cl G = cl G. Dus is cl G een open deel.
2.5 De forcing topologie
Met elke pre-orde kan men een topologie associ¨eren die we de forcing topologie zullen noemen.
2.25 Definitie. Zij (P, ≤) een pre-orde. Definieer voor p ∈ P de verzameling Np = {q ∈ P | q ≤ p}.
De topologie op P voortgebracht door {Np | p ∈ P } noemt men de forcing topologie op P . Als we willen benadrukken dat we P uitrusten met de forcing topologie, dan schrijven we ook wel eens XP i.p.v. P .
We zullen nu enkele eenvoudige eigenschappen van de forcing topologie aantonen:
2.26 Eigenschap. Zij (P, ≤) een pre-geordende verzameling. De verzamelingen {Np | p ∈ P } vormen een basis voor de forcing topologie.
Bewijs. Voor willekeurige p ∈ P geldt dat p ∈ Np. Dus vormt {Np | p ∈ P } een overdekking van P .
Neem Np en Nq willekeurig. Indien r ∈ Np∩ Nq, dan geldt uiteraard dat Nr ⊆ Np∩ Nq.
Dit toont aan dat de collectie {Np | p ∈ P } inderdaad een basis is voor de topologie.
De topologische ruimte XP is eindig voortgebracht, dit betekent dat elk element in een kleinste open deel bevat is:
2.27 Eigenschap. Zij (P, ≤) een pre-geordende verzameling. Voor willekeurige p ∈ P geldt dat Np het kleinste open deel is dat p bevat. Een
Bewijs. Dit is evident.
We verifi¨eren nog wanneer de forcing topologie voldoet aan separatie-axioma’s:
2.28 Eigenschap. Zij (P, ≤) een pre-geordende verzameling. Dan geldt 1. XP is T0 als en slechts als P een parti¨ele orde is,
2. XP is T1 als en slechts als p ≤ q ⇔ p = q. In dit geval is XP de discrete topologie.
Bewijs. Dit is gemakkelijk te verifi¨eren.
Elke topologische ruimte is equivalent met een forcing topologie op de volgende manier:
2.29 Definitie. Zij (X, T ) en (Y, S) topologische ruimten. We noteren X ≤ Y als er een functie ϕ : T \ {∅} → S \ {∅} bestaat zodanig dat voor elke n ∈ N en U1, . . . , Un ∈ T \ {∅}
geldt dat
U1∩ . . . ∩ Un= ∅ ⇒ ϕ(U1) ∩ . . . ∩ ϕ(Un) = ∅.
Indien X ≤ Y en Y ≤ X, dan noteren we X ≡ Y . Merk op dat ≤ een pre-orde definieert.
2.30 Eigenschap. Zij (X, T ) een topologische ruimte. Dan bestaat er een partieel geordende verzameling P zodat XP ≡ X.
Bewijs. Stel
P = n
p ⊆ T
p eindig en \ p 6= ∅
o en zet op P de orde
p ≤ q ⇔ p ⊇ q.
Stel verder TP de forcing topologie op P . Definieer de functie
ϕ : T \ {∅} → TP \ {∅} : U → N{U }= {p ∈ P | U ∈ p}.
Gebruik makend van ϕ, bewijst men eenvoudig dat X ≤ XP. Voor U ∈ TP \ {∅} nemen we p ∈ U . We stellen dan
ψ(U ) =\ p.
Gebruik makend van de afbeelding ψ : TP \ {∅} → T \ {∅} bewijst men dat XP ≤ X.
De relaties ≤ en ≡ hebben volgende eigenschappen t.o.v. producten.
2.31 Eigenschap. Zij (Xi, Ti)i∈I en (Yi, Si)i∈I een familie topologische ruimtes. Dan geldt 1. Als Xi ≤ Yi voor elke i ∈ I, dan Q
i∈IXi ≤Q
i∈IYi, 2. Als Xi ≡ Yi voor elke i ∈ I, dan Q
i∈IXi ≡Q
i∈IYi. Bewijs.
Hoofdstuk 2. Enkele topologische begrippen 21
1. Voor elke i ∈ I geldt dat Xi ≤ Yi, dus bestaan er functies ϕi : Ti\ {∅} → Si\ {∅}
die aan de voorwaarden van definitie 2.29 voldoet. Voor U ∈ Q
i∈ITi\ {∅}, bestaat er een basis open deelQ
i∈IUi⊆ U . Stel voor i ∈ I dan Vi =
ϕ(Ui) als Ui6= Xi Yi als Ui= Xi Definieer dan
ϕ(U ) =Y
i∈I
Vi. Gebruik makend van ϕ verifieert men dan datQ
i∈IXi ≤Q
i∈IYi. 2. Dit volgt meteen door (1) tweemaal toe te passen.
Voor een familie partieel geordende verzameling met maximum kan men ook een product defini¨eren.
2.32 Definitie. Zij (Pi, ≤i)i∈I een familie partieel geordende verzameling zodanig dat elke Pi
een maximum 1 heeft. Men noemt (P, ≤) het zwak direct product van de familie (Pi, ≤i)i∈I als
1. P ⊆Q
i∈IPi,
2. Voor elke (pi)i∈I geldt dat
(pi)i∈I ∈ P ⇔ |{i ∈ I | pi6= 1Pi}| < +∞.
Men rust P uit met de parti¨ele orde gedefinieerd door
(pi) ≤ (qi) ⇔ ∀i ∈ I : pi ≤iqi. Het zwakke direct product noteren we meestal ook alsQ
i∈IPi. Het zal uit de context duidelijk zijn of we het verzamelingtheoretische product dan wel het zwakke direct product bedoelen.
2.33 Voorbeelden.
1. Als (P1, ≤1) en (P2, ≤2) partieel geordende verzamelingen zijn die elk een maximum hebben, dan wordt het zwakke direct product gegeven door
P1× P2 = {(p1, p2) | p1∈ P1, p2 ∈ P2} met als orde
(p1, p2) ≤ (q1, q2) ⇔ p1≤1 q1 en p2≤2 q2.
2. Zij (Xi, Ti)i∈I een familie topologische ruimten. Dan vormt de familie (Ti, ⊆)i∈I een familie partieel geordende verzamelingen die elk als maximum Xi hebben. Het zwak direct product van vorig voorbeeld is nu juist gelijk aan de producttopologie van de familie (Xi, Ti)i∈I. De orde van dit zwak direct product is juist de inclusie.
Stel dat (Pi)i∈I een familie van partieel geordende verzamelingen met maximum is en dat P = Q
i∈IPi. We kunnen ons afvragen of XP = Q
i∈IXPi (het Tychonoffproduct van de topologische ruimten (XPi)i∈I). In het algemeen is dit zeker niet waar. Stel immers I = N en Pi = ω + 1 voor elke i ∈ i, dan geldt dat
|XP| = ℵ0 en
Y
i∈I
XPi
= 2ℵ0.
Dus geldt i.h.a. zeker niet dat XP =Q
i∈IXPi. We hebben echter wel volgende stelling:
2.34 Eigenschap. Stel (Pi)i∈I een familie partieel geordende verzamelingen zodat elke Pi een maximum 1 heeft. Stel P = Q
i∈IPi, het zwakke directe product van de familie (Pi)i∈I, dan geldt dat
XP ≡Y
i∈I
XPi.
Bewijs. Noteer TP (resp. TPi, Q
i∈ITPi) voor de topologie op de ruimte XP (resp. XPi, Q
i∈IXPi). Voor U ∈ TP \ {∅} nemen we (pi)i∈I ∈ U . Dan defini¨eren we ϕ(U ) =Y
i∈I
Npi.
Gebruik makend van de functie ϕ : TP\{∅} →Q
i∈ITPi\{∅}, verifi¨eren we dat XP ≤Q
i∈IXPi. Anderzijds, neem voor U ∈ T \ {∅} een basis open deel zodat Q
i∈INpi ⊆ U . Voor dit basis open deel geldt dat pi 6= 1 voor hoogstens eindig aantal i ∈ I. Definieer dan
ψ(U ) = N(pi)i∈I. Gebruik makend van de functie ψ :Q
i∈ITPi \ {∅} → T \ {∅}, verifi¨eren we dat Q
i∈IXPi ≤ XP.
Hoofdstuk 3
Boolse algebra’s
Een belangrijke wiskundige structuur is deze van de Boolse algebra’s. We zullen in dit hoofd- stuk verder ingaan op deze materie. Eerst zullen we enkele basisnoties van Boolse algebra’s onderzoeken (o.a. deelalgebra’s, filters, idealen, ...). Daarna zullen we de beroemde represen- tatiestelling van Stone bewijzen, die zegt dat elke Boolse algebra in feite isomorf is met de clopen delen van een topologische ruimte. Als toepassing van de Stone representatiestelling defini¨eren we het begrip Gleason ruimte. Ten slotte onderzoeken we ook nog volledige Boolse algebra’s. Voor meer over Boolse algebra’s verwijs ik door naar [8]. Gleason ruimtes worden verder behandelt in [4], [10] en [11].
3.1 Definities en basiseigenschappen
3.1 Definitie. Een Boolse algebra is een zestupel B = (B, ∧, ∨,0, 0, 1) bestaande uit een verzameling B, binaire operaties
∨, ∧ : P × P → P, een operator
0 : P → P,
en twee elementen 1 en 0 van P , zodanig dat de volgende eigenschappen voldaan zijn a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c (associativiteit),
a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a (commutativiteit),
a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a (absorptie),
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) (distributiviteit),
a ∧ a0 = 0 a ∨ a0 = 1 (complementatie).
3.2 Voorbeelden.
1. Zij X een niet-lege verzameling, dan is (P(X), ∩, ∪,c, ∅, X) een Boolse algebra.
2. De verzameling {0, 1} geeft aanleiding tot een unieke Boolse algebra. Deze Boolse algebra noemt men de triviale Boolse algebra.
3. Zij (X, T ) een topologische ruimte. Stel CLOP(X) de verzameling van alle clopen delen van X, dan is (CLOP(X), ∩, ∪,c, 0, 1) een Boolse algebra.
23
4. Zij (X, T ) een topologische ruimte. Zij RO(X) de verzameling van alle regulier open delen van X. Stel verder voor A, B ∈ RO(X)
A ∧ B = A ∩ B, A ∨ B = int cl (A ∪ B),
A0 = int (X \ A).
Dan definieert (RO(X), ∧, ∨,0, ∅, X) een Boolse algebra (zie ook Eigenschap2.4).
Elke Boolse algebra voldoet ook aan een idempotentie-wet:
3.3 Lemma. Zij B een Boolse algebra. Voor x ∈ B geldt x ∧ x = x en x ∨ x = x.
Bewijs. Door tweemaal toepassing van absorptie verkrijgen we x = x ∧ (x ∨ (x ∧ x))
= x ∧ x.
De andere idempotentie-wet volgt uit
x = x ∨ (x ∧ x)
= x ∨ x.
Dit bewijst de stelling.
We nu een parti¨ele orde plaatsen op een Boolse algebra.
3.4 Lemma. Zij B een Boolse algebra. Voor elke x, y ∈ B geldt dan x = x ∧ y ⇔ y = x ∨ y.
Bewijs. Veronderstel dat x = x ∧ y, dan zal
y = y ∨ (y ∧ x)
= y ∨ (x ∧ y)
= y ∨ x
= x ∨ y.
Omgekeerd, indien y = x ∨ y, dan geldt analoog dat x = x ∧ (x ∨ y)
= x ∧ y Dit bewijst de andere implicatie.
3.5 Definitie. Zij B een Boolse algebra. Indien voor x, y ∈ B geldt dat de equivalente voorwaarden in lemma3.4 voldaan zijn, dan noteren we x ≤ y.
3.6 Eigenschap. Zij B een Boolse algebra. De relatie ≤ is een parti¨ele orde op B zodat inf{x, y} = x ∧ y en sup{x, y} = x ∨ y.
Bovendien is 0 het minimum van B en is 1 het maximum van B.
Hoofdstuk 3. Boolse algebra’s 25
Bewijs. We gaan eerst na dat ≤ een parti¨ele orde is:
1. Reflexiviteit: Dit volgt meteen uit lemma 3.3
2. Anti-symmetrie: Stel dat x ≤ y en y ≤ x, dan volgt onmiddellijk dat x = x ∧ y = y.
3. Transitiviteit: Stel dat x ≤ y en y ≤ z, dan zal x = x ∧ y
= x ∧ (y ∧ z)
= (x ∧ y) ∧ z
= x ∧ z Door lemma 3.3is het verder evident dat
x ∨ y = x ∨ (x ∨ y)en x ∨ y = y ∨ (x ∨ y).
Dus zal x ∨ y inderdaad een bovengrens zijn van x en y. Stel nu dat z een andere bovengrens is, dan zal
z ∨ (x ∨ y) = (z ∨ x) ∨ y = z ∨ y = z.
Dit impliceert dat x ∨ y ≤ z en dus geldt dat x ∨ y = sup{x, y}. Analoog kan men aantonen dat x ∧ y = inf{x, y}.
We tonen ten slotte aan dat 1 het maximum is van B. Neem een willekeurige z ∈ B, dan geldt duidelijk
z ≤ z ∨ z0 = 1.
Gebruik makende van de andere complementatie-regel, toont men aan dat 0 het minimum is in B.
Het complement voldoet aan volgende eigenschappen:
3.7 Lemma. Zij B een Boolse algebra, dan gelden volgende uitspraken 1. y = x0 ⇔ x ∧ y = 0 en x ∨ y = 1,
2. (x0)0 = x,
3. 00 = 1 en 10 = 0,
4. De wetten van De Morgan: (x ∧ y)0= x0∨ y0 en (x ∨ y)0= x0∧ y0, Bewijs.
1. De implicatie ⇒ is de complementatie-wet uit definitie 3.1. Er rest ons dus nog om ⇐ te verifi¨eren. Kies dus x, y ∈ B zodat x ∧ y = 0 en x ∨ y = 1, dan
y = y ∧ 1
= y ∧ (x ∨ x0)
= (y ∧ x) ∨ (y ∧ x0)
= 0 ∨ (y ∧ x0)
= y ∧ x0.
Dus zal y ≤ x0. Anderzijds, zal
y = y ∨ 1
= y ∨ (x ∧ x0)
= (y ∨ x) ∧ (y ∨ x0)
= 1 ∧ (y ∨ x0)
= y ∨ x0.
Dit impliceert dan dat x0 ≤ y, zodat volgt dat inderdaad y = x0. 2. Dit volgt onmiddellijk door toepassing van (1).
3. Dit volgt eveneens door (1) en het feit dat 0 het minimum is van B en 1 het maximum van B.
4. Duidelijk geldt dat
(x ∧ y) ∧ (x0∨ y0) = x ∧ ((y ∧ x0) ∨ (y ∧ y0))
= x ∧ ((y ∧ x0) ∨ 0)
= x ∧ (y ∧ x0)
= y ∧ (x ∧ x0)
= y ∧ 0
= 0.
Eveneens zal
(x ∧ y) ∨ (x0∨ y0) = ((x ∨ x0) ∧ (y ∨ x0)) ∨ y0
= (1 ∧ (y ∨ x0)) ∨ y0
= (y ∨ x0) ∨ y0
= x0∨ (y ∨ y0)
= x0∨ 1
= 1 Door toepassing van (1) volgt dan onmiddellijk dat
(x ∧ y)0 = x0∨ y0.
De andere ongelijkheid volgt door toepassing van bovenstaande gelijkheid en van (2):
x0∧ y0 = (x0∧ y0)00
= (x00∨ y00)0
= (x ∨ y)0 Dit bewijst de andere gelijkheid van DeMorgan.
5. Uit x ≤ y volgt dat y = x ∨ y. Dan impliceert de wet van DeMorgan dat y0 = (x ∨ y)0
= x0∧ y0 zodat onmiddellijk volgt dat y0 ≤ x0.
Hoofdstuk 3. Boolse algebra’s 27
De orde ≤ is monotoon, i.e.
3.8 Eigenschap. Zij B een Boolse algebra. Als x1, x2, y1, y2 ∈ B zodat x1 ≤ x2 en y1 ≤ y2, dan
1. x1∧ y1 ≤ x2∧ y2, 2. x1∨ y1 ≤ x2∨ y2, 3. x02 ≤ x01.
Bewijs.
1. Dit volgt uit
(x1∧ y1) ∧ (x2∧ y2) = (x1∧ x2) ∧ (y1∧ y2) = x1∧ x2. 2. Analoog als in (1) volgt dat
(x1∨ y1) ∨ (x2∨ y2) = (x1∨ x2) ∨ (y1∨ y2) = x2∨ y2. 3. Uit de wetten van De Morgan volgt
x01∨ x02 = (x1∧ x2)0 = x01, zodat inderdaad volgt dat x02≤ x01.
Ten slotte bewijzen we nog een handige eigenschap over de parti¨ele orde op Boolse algebra’s:
3.9 Eigenschap. Zij B een Boolse algebra en zij x, y, z ∈ B. Er geldt dat 1. x ≤ y ⇔ y0≤ x0 ⇔ x ∧ y0 = 0.
2. z ∧ x ≤ y ⇔ x ≤ z0∨ y.
Bewijs. 1. Als x ≤ y, dan volgt uit Eigenschap 3.8 onmiddellijk dat ook y0 ≤ x0. Indien y0 ≤ x0 dan volgt dat
x ∧ y0 ≤ x ∧ y0 = 0.
Ten slotte impliceert x ∧ y0 = 0 dat
x = x ∧ 1
= x ∧ (y ∨ y0)
= (x ∧ y) ∨ (x ∧ y0)
= (x ∧ y) ∨ 0
= x ∧ y zodat inderdaad x ≤ y.
2. Als z ∧ x ≤ y, dan volgt uit de ongelijkheid z0∧ x ≤ z0 en Eigenschap3.8dat x = (z ∧ x) ∨ (z0∧ x) ≤ y ∨ z0.
Omgekeerd volgt uit de ongelijkeheid x ≤ y ∨ z0 en Eigenschap3.8 dat z ∧ x ≤ z ∧ (y ∨ z0) = z ∧ y ≤ y.
Dit bewijst de eigenschap.
3.2 Boolse homomorfismen en deelalgebra’s
We beginnen met een definitie van een deelalgebra:
3.10 Definitie. Zij B = (B, ∧, ∨,0, 0, 1) een Boolse algebra. Als voor een verzameling A geldt dat
1. A ⊆ B,
2. 0 ∈ A en 1 ∈ A,
3. x, y ∈ A ⇒ x ∧ y ∈ A, x ∨ y ∈ A en x0 ∈ A,
dan noemt men de Boolse algebra A = (A, ∧, ∨,0, 0, 1) een deelalgebra van B.
3.11 Lemma. Zij B een Boolse algebra en zij (Bi)i∈I een familie deelalgebras. Dan is T
i∈IBi
ook een deelalgebra van B.
Voor elke deelverzameling van een Boolse algebra bestaat er ook een kleinste deelalgebra die deze verzameling bevat:
3.12 Definitie. Zij B een Boolse algebra en zij X ⊆ B. De deelalgebra voortgebracht door X definieert men als
\{A ⊆ B | X ⊆ A en A is een deelalgebra van B}.
Uit lemma 3.11 volgt eenvoudig dat de doorsnede in vorige definitie inderdaad de kleinste deelalgebra is die X bevat.
3.13 Definitie. Zij B en C Boolse algebra’s. Men noemt een functie h : B → C een Bools homomorfisme indien
1. h(0) = 0 en h(1) = 1,
2. h(x ∧ y) = h(x) ∧ h(y), h(x ∨ y) = h(x) ∨ h(y) en h(x0) = h(x)0 voor elke x, y ∈ B.
Merk op dat een Bools homomorfisme ook de orde bewaart, dit volgt uit x ≤ y ⇒ x = x ∧ y
⇒ h(x) = h(x ∧ y) = h(x) ∧ h(y)
⇒ h(x) ≤ h(y).
De Boolse algebra’s met de Boolse homomorfismen vormen een categorie, die we door Bool noteren. Analoog als in andere categorie¨en vinden we in Bool nog een aantal speciale morfis- men:
3.14 Definitie. Zij B en C Boolse algebra’s en zij h : B → C een Bools homomorfisme.
1. Als h injectief is en als h(B) een deelalgebra is van C, dan noemen we h een inbedding.
2. Als h bijectief is en als h−1 ook een Bools homomorfisme is, dan noemen we h een isomorfisme.
3. Als h een isomorfisme is en als B = C, dan noemen we h een automorfisme.
Hoofdstuk 3. Boolse algebra’s 29
Men kan isomorfismen van Boolse algebra’s ook iets makkelijker beschrijven:
3.15 Eigenschap. Zij B en C Boolse algebra’s en zij h : B → C een afbeelding. Dan zijn de volgende voorwaarde equivalent:
1. h is een isomorfisme,
2. h is een bijectief Bools homomorfisme, 3. h is bijectief en voor elke x, y ∈ B geldt dat
x ≤ y ⇔ h(x) ≤ h(y).
Bewijs.
(1) ⇒ (2) Dit is evident.
(2) ⇒ (3) De pijl ⇒ is reeds aangetoond voor willekeurige Boolse homomorfismen. Voor de andere pijl aan te tonen, nemen we x, y ∈ B zodat h(x) ≤ h(y). Dan volgt dat
h(x) = h(x) ∧ h(y) = h(x ∧ y).
Door de injectiviteit van B volgt dan dat x = x ∧ y en dus x ≤ y.
(3) ⇒ (1) We moeten bewijzen dat h en h−1 Boolse homomorfismen zijn. We zullen dit bewijzen voor h, het bewijs voor h−1 is volstrekt analoog. We gaan nu de voorwaarde van de definitie van Boolse homomorfismen na:
(a) h(0) = 0 en h(1) = 1
Veronderstel dat er een y ∈ C bestaat zodat y ≤ h(0). Door de surjectiviteit van h bestaat er een x ∈ B zodat h(x) = y. Wegens (3) volgt dan dat x ≤ 0. Maar omdat 0 het minimum is van B zal volgen dat x = 0, en dus geldt dat h(0) = y.
Het bewijs dat h(1) = 1 is analoog.
(b) h(x ∧ y) = h(x) ∧ h(y) en h(x ∨ y) = h(x) ∨ h(y)
We bewijzen de eerste gelijkheid. Aangezien x ∧ y ≤ x, y volgt dat h(x ∧ y) ≤ h(x), h(y). Omdat h(x) ∧ h(y) het infimum is van h(x) en h(y), zal dan
h(x ∧ y) ≤ h(x) ∧ h(y).
Wegens de surjectiviteit van h bestaat er een z ∈ B zodat h(z) = h(x) ∧ h(y). Uit h(x∧y) ≤ h(z) ≤ h(x), h(y) kunnen we dan afleiden dat x∧y ≤ z ≤ x, y. Aangezien x ∧ y het infimum was van x en y geldt dan dat x ∧ y = z en dit impliceert dat h(x ∧ y) = h(z) = h(x) ∧ h(y). De andere gelijkheid is analoog.
(c) h(x0) = h(x)0.
Uit het voorgaande volgt dat
h(x) ∧ h(x0) = h(x ∧ x0)
= h(0)
= 0 en
h(x) ∨ h(x0) = h(x ∨ x0)
= h(1)
= 1.
Vanwege lemma3.7volgt dan dat h(x0) = h(x)0. Dit bewijst dat h een Bools homomorfisme is.
3.3 Filters en idealen
Een fundamenteel begrip in topologie is die van filters en ultrafilters. We zullen nu trachten dit begrip te generaliseren naar Boolse algebra’s.
3.16 Definitie. Zij B een Boolse algebra. De verzameling I ⊆ B noemt men een ideaal op B als
1. 0 ∈ I,
2. als x, y ∈ I dan x ∨ y ∈ B,
3. als x ∈ B, y ∈ I en x ≤ y, dan x ∈ I.
Men noemt I een echt ideaal als I 6= B (dit is equivalent met 1 /∈ I).
De verzameling F ⊆ B noemt men een filter op B als 1. 1 ∈ F ,
2. als x, y ∈ F , dan x ∧ y ∈ F ,
3. als y ∈ B, x ∈ F en x ≤ y, dan y ∈ F .
Men noemt F een echte filter als F 6= B (dit is equivalent met 0 /∈ F ).
3.17 Voorbeelden.
1. Voor elke Boolse algebra B geldt dat {0} een ideaal is en dat {1} een filter is. Men noemt deze resp. het triviale ideaal en de triviale filter.
2. Voor elke Boolse algebra B en voor elke x0 ∈ B geldt dat I = {x ∈ B | x ≤ x0}
een ideaal is op B. Men noemt dit het hoofdideaal voortgebracht door x0. Merk op dat I echt is als en slechts als x0 6= 1.
3. Analoog met vorig voorbeeld geldt voor elke Boolse algebra B en x0∈ B dat F = {x ∈ B | x0 ≤ x}
een filter is op B. Men noemt dit de hoofdfilter voortgebracht door x0. Merk op dat F echt is als en slechts als x0 6= 1.
4. Zij X een niet-lege verzameling. De echte filters op P(X) stemmen overeen met de filters die we reeds tegengekomen zijn in topologie.
Filters voldoen aan volgende eigenschappen:
3.18 Eigenschap. Zij B een Boolse algebra en zij (Ji)i∈I een familie idealen op B, dan is T
i∈IJi eveneens een ideaal. Analoog geldt voor een familie filters (Fi)i∈I op B datT
i∈IFi ook een filter is.
Bewijs. Dit is een eenvoudige verificatie.
