Tentamen Analyse 1NA en 1W

Tentamen Analyse 1NA en 1W

Vrijdag 6 februari 2015, 14:00-17:00 uur

• Schrijf op ieder vel uw naam en studentnummer.

• Er zijn vijf opgaven. VERGEET DE ACHTERKANT NIET!

• Ieder antwoord dient gemotiveerd te worden met een (korte) berekening, redenering of verwijzing naar de theorie.

• Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan, dat van een formulekaart niet. Bedenk wel dat exacte antwoorden worden gevraagd, tenzij anders vermeld staat.

1.) Beschouw de functie f : R → R gegeven door

f (x) =

 

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

xe ^x voor x < 0;

2 voor x = 0;

4x

x + 1 voor 0 < x ≤ 1;

−2x ² − x + 9

x + 2 voor x > 1.

(a) Is f continu in 0? Beargumenteer uw antwoord.

(b) Is f differentieerbaar in 1? Beargumenteer uw antwoord.

(c) Bepaal de afgeleide f ⁰ van f buiten de punten 0 en 1.

(d) Laat zien dat f ⁰ geen nulpunt op het open interval (1, ∞) heeft.

(e) Bepaal alle asymptoten (horizontaal, verticaal, schuin) van f .

(f) Bepaal alle extrema van f . Geef niet alleen plaats en grootte, maar vermeld ook of het om een maximum of een minimum gaat en stel, zonder een rekenmachine te gebruiken, vast of het betreffende extre- mum lokaal of globaal (absoluut) is.

2.) Beargumenteer of de volgende reeksen absoluut convergent, voorwaardelijk convergent of divergent zijn. Geef duidelijk aan welke stellingen gebruikt worden.

(a)

X ∞ n=1

( −1) ⁿ √

n ² + n − n  , (b)

X ∞ n=1

(2 + ( −1) ⁿ )n 2 ⁿ , (c)

X ∞ n=1

n ⁿ

n! e ²ⁿ .

3.) Bepaal de verzameling van alle x waarvoor de machtreeks X ∞

n=1

1 3 ⁿ n √

n (x − 5) ⁿ convergeert.

4.) Laat met behulp van een nulde orde Taylorbenadering van ln x rond het punt a = e en de daarvoor geldende restterm (ook wel foutterm) zien dat

31 30 ≤ ln

 e + 1

10



≤ 26 25 . U kunt hierbij gebruiken dat ⁵ ₂ ≤ e ≤ ²⁹ ₁₀ .

5.) Bereken de volgende bepaalde (eventueel oneigenlijke) dan wel onbepaalde integralen:

(a)

Z

ln(x ² + 1) dx, (b)

Z 8x ² − 14x + 1

(2x + 1)(2x ² − 2x + 1) dx, (c)

Z _∞

1

1

x ² e

dx.

Puntenverdeling (onder voorbehoud)

Opgave: 1 2 3 4 5 Totaal

Punten: 24 17 11 10 28 90

(3+4+4+2+5+6) (5+6+6) (11) (10) (8+10+10) Cijfer = Totaal aantal punten

9