1
Examen Numerieke Analyse I, 8 september 1999
deel 1
1. Laten u = (u1, · · · , un)T en v = (v1, · · · , vn)T twee re¨ele vektoren zijn en S := uTv het inprodukt ervan, berekend met de algoritme
S := 0; for k := 1 to n do S := S + uk∗ vk.
Laat d.m.v. een afrondfoutenanalyse zien dat voor de berekende waarde van S (in floating point met machineprecisie η) geldt: | S − fl(S) | ≤ n η k u k2k v k2.
2. Gegeven is een collectie van p onafhankelijke vectoren {v1, v2, · · · , vp} in IRn (n > p).
Deze collectie spant dus een p-dimensionale deelruimte V op. Wat is de meest ef- fici¨ente manier om op numeriek stabiele wijze een orthogonale basis voor V te berekenen.
Beschrijf gedetailleerd de algoritme om zo’n basis te berekenen en geef ook aan, waarom deze numeriek stabiel is.
Geef vervolgens de algoritme om op numeriek stabiele wijze de orthogonale projectie van een vector u∈ IRn op V te berekenen.
3. Bepaal de Singuliere-WaardenOntbinding van de matrix
A := ( a1, a2, · · · , an)∈ IR1×n met α :=
vu utXn
k=1
a2k > 0 .
2
Examen Numerieke Analyse I, 8 september 1999
deel 2
4. a. Laat E een n× n matrix zijn, met kEk < 1, waar k · k een multiplicatieve matrixnorm is, d.w.z: kABk < kAk kBk. Bewijs, dat I + E inverteerbaar is en geef een (goede) bovengrens voork(I + E)−1k.
b. Laten x en y∈ IRn vectoren zijn, bewijs dan de formule van Sherman-Morrison:
(I + xyT)−1 = I − xyT 1 + yTx , mits de noemer niet nul is.
5. Bewijs de interpolatieformule van Lagrange (desgewenst alleen voor het geval n = 2):
Als f ∈ Cn[a, b] en als x1 < x2 <· · · < xn een verzameling van n onderling verschillende punten in het interval [a, b] is, dan is er een ξ∈ [a, b] zodat
f (x) =
Xn
i=1
f (xi) L(n)i (x) + f(n)(ξ) n!
Yn
i=1
(x− xi) , L(n)i (x) =
Yn
j=1 , j6=i
x− xj
xi− xj
,
of in het geval n = 2
f (x) = f (x1)x− x2
x1− x2
+ f (x2)x− x1
x2− x1
+ 1
2(x− x1)(x− x2)f00(ξ) .
