Examen Numerieke Analyse I, juli 1996 Naam: . . . .
1. Gegeven is een collectie van p onafhankelijke vectoren {v1, v2,· · · , vp} in IRn (n > p). Deze collectie spant dus een p-dimensionale deelruimte V op. Wat is de meest effici¨ente manier om op numeriek stabiele wijze een orthogonale basis voor V te berekenen. Beschrijf gedetailleerd de algoritme om zo’n basis te berekenen en geef ook aan, waarom deze numeriek stabiel is.
Geef vervolgens de algoritme om op numeriek stabiele wijze de orthogonale projectie van een vector u∈ IRnop V te berekenen.
2. Voor een continu differentieerbare re¨ele funktie f op IR beschouwen we het iteratieve proces
kies x0; for k := 1, 2, 3, · · · do xk:= f (xk−1) . (1) Als gegeven is dat | f0(x)| ≤ γ < 1 voor alle x ∈ [x0−d , x0+ d] voor zekere d > 0, bewijs dan dat (1) convergeert naar een limiet binnen [x0− d , x0+ d] als | x1− x0| ≤ (1 − γ)d .
3. Laten u = (u1,· · · , un)T en v = (v1,· · · , vn)T twee re¨ele vektoren zijn en S := uTv het inprodukt ervan, berekend met de algoritme S := 0; for k := 1 to n do S := S + uk∗ vk.
Laat d.m.v. een afrondfoutenanalyse zien dat voor de berekende waarde van S (in floating point met machinepre- cisie η) geldt: | S − fl(S) | ≤ n η k u k2k v k2.
4. Laat f een voldoend gladde re¨ele funktie op zijn op het interval [0 , 1], laat τ een punt zijn binnen dat interval (0 < τ < 1) en laat π een polynoom van graad 2 zijn waarvoor geldt:
π(τ ) = f (τ ) , π0(τ ) = f0(τ ) en π(0) = f (0) .
a. Bewijs, dat er voor iedere x∈ (0 , 1) een ξ ∈ (0 , 1) bestaat, zodat f (x) = π(x) +16x(x− τ)2f000(ξ) .
b. Bepaal de parameters τ , α en β en de foutconstante γ voor de tweepunts Radau-formule Z 1
0
f (x) dx = αf (0) + βf (τ ) + γf000(ζ) ,
en bewijs, dat er voor iedere f∈ C3([0, 1]) een ζ∈ (0, 1) bestaat waarvoor deze formule correct is.
c. Laat ook zien, dat voor de gerepeteerde Radau-formule met stapgrootte h := b−an (n∈ IN) en voor iedere f∈ C4([a, b]) geldt:
Z b a
f (x)dx = Xn−1
j=0
h{αf(a + jh) + βf(a + jh + τh)} + γh3¡
f00(b)− f00(a)¢
+ O(h4) (h→ 0) .
d. Bij het integreren van de funkties f (x) := x cos x en g(x) := (x−12) cos πx over het interval [0 , 1] met 1, 2, 4, 8, 16 en 32 deelintervallen van gelijke lengte vinden we de volgende uitkomsten:
Z 1 0
x cos(x) dx
Z 1 0
(x−12) cos πx dx
n In log2(In/2− In) In log2(In− In/2)
1 0.39294363 -0.18750000
2 0.38309735 -6.67 -0.20200316 -6.11
4 0.38193595 -9.75 -0.20260568 -10.70
8 0.38179349 -12.78 -0.20264012 -14.83
16 0.38177581 -15.79 -0.20264223 -18.86
32 0.38177360 -18.79 -0.20264236 -22.86
Komen deze uitkomsten overeen met wat je verwacht op grond van de theorie (motiveer!) en kun je er een betere waarde voor de integraal mee berekenen?
1
