Rational Tangles
P
RIMEPSA 18 februari 2013
Jens Bossaert
•
n-tangle:inbedding van disjuncte unie van n bogen in een 3-bal,
zodat diens eindpunten op 2n posities op de bal liggen
•
John H. Conway•
Tangles ⇌ knopenTangles?
•
n-tangle:inbedding van disjuncte unie van n bogen in een 3-bal,
zodat diens eindpunten op 2n posities op de bal liggen
•
John H. Conway•
Tangles ⇌ knopenTangles?
•
Rational tangle:2-tangle homeomorf met triviale 2-tangle
•
Kunnen “ontward” wordenRational
tangles?
•
Rational tangle:2-tangle homeomorf met triviale 2-tangle
•
Kunnen “ontward” wordenRational
tangles?
Van tangle naar breuk
Rational Tangle Dance
Twist‘em up
(T)
t t t
Rechtse uiteinden één slag over elkaar wentelen
t t t
t 7! t + 1
Turn‘em roun’
(R)
t t t
Hele tangle kloksgewijze kwartslag roteren
t t t
t 7! 1
t
Startwaarde
t = 0
Voorbeeld
T, T, T, T, R, T, T, R, T, T, R, T.
0 7! 3
10
Ontwarren...
Voorbeeld
R, T, T, T, T, R, T, T, R, T, T.
3
10 7! 0
Algemeen
t > 0 → R t < 0 → T Herhaal tot t = 0.
Van breuk
naar tangle
p
q = n
0+ 1
n
1+ 1
n
2+ 1
. . . + 1 n
kKettingbreuken
T
nkR . . . T
n2R T
n1R T
n0Kettingbreuken
algoritme’ van Euclides
p = n
0· q r
1q = n
1· r
1r
2r
1= n
2· r
2r
3.. .
r
k 1= n
k· r
kalgoritme’ van Euclides
T
nkR . . . T
n2R T
n1R T
n0Live
performance
Elke breuk
correspondeert
met juist één tangle
Groepentheorie
•
Gesloten•
Associatief•
Identiteit•
InvertibiliteitGroeps-
structuur
Combinaties
van (R) en (T)
•
Gesloten•
Associatief•
Identiteit•
InvertibiliteitGroeps-
structuur
✓
•
Gesloten•
Associatief•
Identiteit•
InvertibiliteitGroeps-
structuur
✓
✓
•
Gesloten•
Associatief•
Identiteit•
InvertibiliteitGroeps-
structuur
✓
✓
✓
•
Gesloten•
Associatief•
Identiteit•
InvertibiliteitGroeps-
structuur
✓
✓
✓
✓
Ter afsluit
Turn’em roun’ op 0?
Turn’em roun’ op 0?
0 7! 1
0 = 1
Turn’em roun’ op 0?
0 7! 1
0 = 1
Twist’em up’ op ∞?
Twist’em up’ op ∞?
1 7! 1 + 1 = 1
Twist’em up’ op ∞?
1 7! 1 + 1 = 1
1 7! 1 + 1 = 1
Twist’em up’ op ∞?
