Opgave 1 Zij f, g ∈ A(S1). (Dus: f ∈ C(S1) en P
n∈Z|cn(f )| < ∞, en hetzelfde voor g.) (a) Bewijs dat
X
k∈Z
ck(f )cn−k(g) (1)
voor elk n ∈ Z absoluut convergeert.
(b) Defineer dn= (c(f ) ∗ c(g))n door (1) en bewijs dat X
k∈Z
|dn| < ∞.
(c) Dankzij (b) convergeert
h(x) =X
n∈Z
dneinx
absoluut en uniform. Bewijs dat h(x) = f (x)g(x) voor alle x ∈ S1.
Opmerking: We hebben dus bewezen dat f, g ∈ A(S1) ⇒ f · g ∈ A(T ) (dus: “A(T ) is een algebra t.o.v. puntsgewijze vermenigvuldiging”) en
cn(f · g) = (c(f ) ∗ c(g))n ∀n ∈ Z.
Dit resultaat is het “duale” van cn(f ∗ g) = cn(f )cn(g).
Opgave 2 De Fej´er kern FN(x) is gedefineerd door
FN(x) = D0(x) + D1(x) + · · · + DN(x)
N + 1 ,
waar
Dn(x) =
n
X
k=−n
eikx= sin(n + 12)x sinx2 . (a) Laat zien dat
FN(x) =
n
X
k=−n
1 − |k|
N + 1
eikx.
(b) Gebruik (a), de substitutie z = eix en
n
X
k=0
kzk = z
n
X
k=0
zk
!0
om te bewijzen dat
FN(x) = sin2(N +12 )x (N + 1) sin2 x2.
Zie vervolg op achterkant!!
1
Opgave 3 Defineer een 2π-periodieke functie f : R → C door f (x) = x op (−π, π).
(a) Bereken de Fourierco¨efficienten cn(f ).
(b) Gebruik de formule van Plancherel 1 2π
Z π
−π
|f (x)|2dx=X
n∈Z
|cn(f )|2
om P∞
n=1 1
n2 te berekenen.
(c) Analoog met f (x) = x2 op (−π, π).
(d) Bonus: Hetzelfde met f (x) = xn, n∈ N.
2
