T I J D S C H R I F T V A N H E T N E D E R L A N D S C H R A D I O G E N O O T S C H A P
D E E L X I N O V E M B E R 1945 N o. 5
ITERATIEVE BEPALING VAN DE FREQUENTIE VAN MECHANISCHE TRILLINGEN
door }. J .K O C H
1
. Inleiding.D e Kier te behandelen m ethode to t h et bep alen van de freq u en tie van vrije m echanische trillingen kan to e g e p a st w o r
den op ingew ikkelde elastische system en, m et w illekeurige m assa- verdeeling. T e r w ille van de overzichtelijkheid zullen w e ons ech ter b ep erk en to t trillingen van rech te, voldoend o n d ersteu n de staven, bezet m et een eindig a a n ta l puntvorm ige m assa's.
D e s ta a f zelf w o rd t d aarb ij m assaloos gedacht.
2. De eigenschappen van een elastisch systeem, de invloedsgetallen, de stelling van JJlaxwell.
B elasten w e een voldoend o n d ersteu n d elastisch systeem m et een k ra c h t P y d an zullen de verschillende p unten van h e t sy- zich v erp laatsen . D e v ersp laatsin g en zijn d aarb ij evenredig m et de k ra c h t P ( W e t van H o o k e ) .
H a d d e n w e h e t systeem op een an d ere p la a ts b e la st m et een k ra c h t Q, dan zouden de v erp laatsin g en , die d a a rd o o r v e ro o r
z a a k t w erd en , evenredig m et Q g ew eest zijn. W e kunnen ons nu de v raag stellen, w elke v erp laatsin g en de p u n ten zullen o n d e r
gaan, w an n eer de k ra c h te n P en Q beide w erk en . V olgens de w e t d e r su p erp o sitie zullen deze v erp laatsin g en gelijk zijn aan de som van de v erp laatsin g en , door P en Q afzonderlijk opge
w ek t.
W e beschouw en een staaf, die de eigenschap heeft, d a t k rach ten w erk en d e in een b e p a ald v lak d o o r de s ta a f slechts v e rp la a t
sing in d a t vlak tew eeg brengen. In de m eeste gevallen zijn voor een s ta a f tw ee van dergelijke v lak k en aan te w ijzen ; deze tw ee vlakken sta a n lo o d rech t op elk aar.
98 J, J. KOCH
D e trillingen van de s ta a f zullen óf in h e t ééne, óf in h et an d ere vlak p la a ts vinden.
In fig. 1 is een s ta a f geteekend, w elke op 2 steu n p u n ten ru st.
W a n n e e r de s ta a f in een w illekeurig p u n t j b e la st is m et een éénheidskracht, lo o d rech t op de staaf, zij de v e rp laa tsin g van een a n d er w illekeurig p u n t i a{. . D eze a.. , de v e rp laatsin g van h e t p u n t i tengevolge van een één h eid sk rach t in h e t p u n t J , noem en w e een invloedsgetal. Z ijn bij een staaf, w a a ro p w e n p unten aangegeven hebben, alle n invloedsgetallen bekend, d an kunnen w e bij een gegeven la stste lse l, aangrijpende in de n p unten de v e rp laatsin g van elk van deze 7i p u n ten bepalen.
W o r d t de k ra ch t, w erk en d e op h e t j -de p u n t P . genoem d, dan vinden w e voor de zakking v an h e t z^-p u n t:
n
y . = 2 P .a . (
1
)S l j Ij \ /
J = *
T usschen de verschillende invloedsgetallen b e s ta a t nog de be-
f ig.l
langrijke b etrek k in g , de stelling van M ax w ell, volgens w elke :
3. H et opóteLlen van de tnLLincjóverpetijkuipen.
W a n n e e r de s ta a f u it fig. 1 b ezet is m et n puntvorm ige m assa's (m r z/z
2
. . . m.y n ij. . . ?;zw) , kunnen w e nagaan, w elke harm onische vrije trillingen deze s ta a f k an uitvoeren. D a a r geen dem ping aanw ezig is, is te v erw ach ten , d a t de trillingen van de verschillende m assa's m et e lk a a r in fase zijn. V o o r de J -m assa g eld t d a n : z . = rj. cos co t (j = i . . . n) , (3)%
w a a rin z. de m om enteele w a a rd e v an de v erp laatsin g , rj . de am plitude en co de cirk elfreq u en tie v o o rstelt. D e k ra c h t noodig om de m assa deze bew eging te laten uitvoeren is gelijk a a n :
ITERATIEVE FREQUENTIE-BEPALING 99
vi. z . —J 7 — co
2
n i. rj. cos cot ( j = I . . . n) (4) en w o rd t op de m assa uitgeoefend door de staaf. D e s ta a f o n d erv in d t d a a rd o o r van de m assa de tegengestelde k ra c h t:P .=j — m. z . — co? m. rj. cos co t ( j = i . . . 71)
( 5 )
Tengevolge van de k ra ch te n P . w o rd t de v erp laatsin g van de m assa volgens verg.
1
:11 n
z. = rj. cos co t = 2 P . a . — co2 cos co t 2 m .rj.a .. ( j =
1
. . . n) (6
)j= i j
-1
J 3 ZJof n a deeling door cc? cos cot “:
I n
-
2
V; = 2 mj aij r)j{i= i . . . n) .CO J = * ( 7 )
D eze n, in de grootheden rj. hom ogene, vergelijkingen laten slechts dan een van nul verschillende oplossing toe, w an n eer de d eterm in an t van de ;^ -o rd e , gevorm d u it de coëfficiënten, nul is, d a t w il zeggen, w a n n e er:
i ... . Vtfi Cl1H CO
WiOj, V12CL22 I ... . Vln Cl^n co
VIj Cin j Vt2Cln2, V'lfiCXftn
1 8
ste lt een en -m achtsvergelijking voor in - I co
I
=
0 (
8)
co -4. R ealiteit van de worteló van verg. 8.
D o o r de rijen van de d eterm in an t van verg.
8
m et l / m ïf^ wi-zy • • • , vtn te verm enigvuldigen en de kolom m en door resp. \P vi2> . . . m n te deelen, g a a t deze over in een seculairvergelijking, d a a r de d eterm in an t dan — om dat a,y = aji — ten opzichte van de d iag o n aal sym m etrisch is gew orden.
.Zijn bij een seculairvergelijking alle coëfficiënten reëel, dan zijn ook alle w o rtels reëel.
H e t is ech ter eveneens van belang te w eten, of de w o rtels p o sitief of n eg atief zijn, om dat een negatieve w a a rd e van —
co
100 J. J. KOCH
le id t to t een im aginaire w a a rd e van co. O m na te gaan, of er ook negatieve w o rtels kunnen o p tred en , schrijven w e de d e te r
m inant van verg.
8
uit.+
<+
/ I \*
- 2 + { * . a , i + m . d-22. +
V CO ) V
m 1 d \1 a I2
+ 7^2 ^22 a 23
m xd<2X ;« 2 a 22 a 32 m 3 a 32
= o .
n — i
K u nnen w e bew ijzen d a t alle in verg. 9 voorkom ende onder- d eterm in an ten p o sitief zijn, d an h eeft verg. 9 geen v a riaties dus geen positieve w o rtels van — —- . D a a r alle w^ortels reëel
ü)2 zijn, zal co
2
altijd p o sitief zijn.O m d a t de m assa's alle p o sitief zijn, behoeven w e slechts te bew ijzen d a t:
o-ii > O ; dü d j
O ji d j j
au dij dik
d j i d j j d j k djci dfcj dfck
^> O ; enz..
N u is da altijd positief, om dat a;y de v erp laatsin g is van h et p u n t t, door een één h eid sk rach t d a a r te r p la a tse. H e t zou nl.
onlogisch zijn, d a t een p u n t van de sta a f, w an n eer h e t p u n t zelf b e la st w o rd t, zich tegen de richting van de k ra c h t in zou bew egen.
O n d e rste u n en w e de s ta a f (zie lig.
2
) in h e t p u n t i, w aarb ij h e t steu n p u n t een k ra c h t P op de s ta a f zal uitoefenen en p la a tsen w e in h e t p u n t j een k ra c h t Q, zoo groot, d a t de doorbuiging d a a r te r p la a tse / w o rd t, dan zal Q zeker p o sitief zijn. Q is te bepalen u it:y i — P da “F- Q dij — o
1
y?' — P dji + Q o.jj — i j
( 10 )
ITERATIEVE FREQUENTIE-BEPALING 101
Ö =
au O
aji I au
au aij au a{j
aji °.jj aji ajj
( 11 )
Q is positief, au is positief, dus m oet de n o em erd eterm in an t ook p o sitief zijn.
f ig. 3
Z oo v e rd er gaande p la a tse n w e de s ta a f in de punen i en j op v aste steu n p u n ten en b elasten h a a r in h e t p u n t k m et een k ra c h t R , zoo groot, d a t de doorbuiging d a a r te r p la a tse I w o rd t. E v en als in verg. 10 en 11 vinden w e voor d it geval:
au a/j
°ji ajj R = ---
au aij aik aji ajj ajk aki akj akk
R is positief, van de te lle rd ete rm in a n t is zoo ju ist bew ezen, d a t zij positief is, zo o d at de n o em erd eterm in an t ook positief m oet zijn. Z oo v o o rtg aan d e is te bew ijzen, d a t alle sym m e
trische o n d erd eterm in an ten positief zijn, zoodat alle w o rtels van
— uit verg.
8
en 9 p o sitief m oeten zijn.a
>2
W a n n e e r de steu n p u n ten n iet v eerend zijn, k an ook bew ezen w orden, d a t de w o rtels verschillend zijn. H ierv o o r zij verw ezen n a a r de lite ra tu u r l).
R esum eerende blijkt, d a t verg.
8
uitslu iten d positieve reëele en verschillende w o rtels heeft, zoodat e r n w a a rd e n ook (k = I . . . ; / ) b e sta an , w aarb ij a an de verg. 7 door van nul verschillende w a a rd e n i]i w o rd t voldaan. D eze w a a rd e n van co kt de eig en w aard en van h et probleem , w o rd en g eran g sch ik t n a a r hun g ro o tte, zoo, d a t col^aol^col . . . <Ca>,2.') C. B. Biezeno, C ritical speeds of ro tating shafts. Proceed. N ederl.
A kadem ie van W e te n s c h a p p e n , Vol. X L I I I , N o. 9, 1940.
( 12)
102 J. J. KOCH
5. H et bepalen van de trilling wormen o f eigeno plowingen.
H e t bij de w a a rd e co/ behoorende systeem van v erp laatsin g en 7]i w o rd t m et rjki aangeduid. T e r bepaling van rjki (f = I . . n) deelen w e verg. 7 d o o r rj&If zoodat uitgeschreven de volgende v erg e
lijkingen o n ts ta a n :
^ Tfjk
2
V kn 'WjCIII ~ "H 7//20CI2 ...7fln Q-m — O
O0k rjk I rjk x
, / 1 , Vkn
m 1 a 2I + lm 2 a22--- ---H • • a2n _ = o
\ co / rjkx rjki (13)
.
^2
, / I \ rjk-nMx a«! +
^2 ««2
--- h ... m n an k--- - —= 0
*lki \ col) rjkl
D it zijn Tl n iet hom ogene vergelijkingen m et n —
1
onbekenden, nl. — , Zij zijn afhankelijk, d a a r blijkens verg.8
derjk i rjkx
d eterm in an t, gevorm d u it de coëfficiënten en de bekende te r men, nul is. W e kunnen dus één van de vergelijkingen te r zijde stellen en m et de n — I vergelijkingen de n — I onbekenden op
lossen. B ekend zijn dan de verhoudingen van de ijk’s, zo o d at de rjk s op een n a d e r te bepalen ev en red ig h eid sfacto r bekend zijn. ijki (1 —
1
« . . . 71) noem en w e een eigenoplossing. In de keuze van den ev en red ig h eid sfacto r zijn we voorloopig vrij. W ^ordt hij zoo gekozen, d a t2 '
n M i T j l i =I (14)
i — 1
is, d an h eet de oplossing rjki (f — I . . . 7i) genorm eerd.
6. Orthogonaliteit van de eigenoploédingen.
E en belangrijke eigenschap van de eigenoplossingen is hun o rth o g o n aliteit, w elke w o rd t u itg e d ru k t d o o r:
2
71* Dli ijk/ rj/i — o (k y<— l) (15) i— iV ullen w e voor rjki de w a a rd e in, b e p a ald door verg. 7, dan g a a t verg. 15 over in :
n n 7i
2
v i ; r jk ; V u — < °k2 2
m ; n i j a ,y i ] t j >]a ■( 16 )
ITERATIEVE FREQUENTIE-BEPALING 103 S u b stitu eeren w e ech ter de u it verg. 7 volgende w a a rd e n van Yjn, dan krijgen w e:
« n tl
2 ni{ Y]ki rjn = a>i 2 2 Minij agrj/j 7]
i— i j — i KI (17)
l — i
D e uitdrukkingen onder h e t 2 2 -te e ken in verg. 16 en 17 zijn aan e lk a a r gelijk, hetgeen onm iddellijk blijkt w an n eer w e in h et tw eed e lid van verg. 17 i en j verw isselen en d a a rn a , gebruikm akende van de stelling van M ax w ell azy = dji stellen.
W e vinden dus:
ii ii ii ii
o>k 2 2 M i M j a i j r j k j r j n — coi 2 2 M jM jC L ïj T^kiTcju
i— i j — i (18)
l— X l—X
zoodat, w an n eer o>k ^ co?:
n ii
2 2 Mi Mj aijYjkjrjn = o
i — i j — i (19)
U it verg. 16 en 19 volgt d a a rn a :
2 Mi Tjkirjn = O, voor a>l ii
7
^ co] ,i — i
dus blijkens § 4; voor k z/L l.
7. Convergenliebewijé van de oude benaderingsmethode.
E en algem een gebruikelijke m ethode to t h e t bepalen van de eerste (laag ste) eig en w aard e is de volgende: N eem een w ille
keurige doorbuiging j/1 van de s ta a f aan, d.w .z. neem een w il
lekeurig stel w a a rd e n y „• (i — I . . . u) aan voor de doorbuigingen d e r m assap u n ten Mi (i = I . . . u) en la a t in die p unten in de richting y IZ- k ra ch te n w erk en van de g ro o tte Mi y Tj (am plitude van de k rach ten , w elke de m assa's op de s ta a f uitoefenen bij co =
1
). N oem de bij deze k ra ch te n o p tred en d e doorbuigingen y 2i en h e rh a a l h et proces zóólang, to td a t tw ee opeenvolgendekrom m en j / / - i en yp gelijkvorm ig zijn. H e t q u o tiën t
yp — co
(
20)
b e p a a lt de eerste eig en w aard e co] van co
2
.W e zullen de juistheid van deze u itsp ra a k n a d e r onderzoe
ken m et behulp van de leer d e r eigenoplossingen. W^e anal}r- seeren d a a rto e y x in de eigenoplossingen van de staaf, hetgeen steed s m ogelijk is, d a a r er n doorbuigingen jyIZ- en ook 11 lin eair
104 J. J. KOCH
van e lk a a r onafhankelijke eigenoplossingen rj& zijn. M en kan dus s te lle n :
y i i ~ 01 x VJii 4“ CZ2 4“ ...0ln Vjni (j' — I • ^ ) ( 2 1 )
P assen w e h et bovengenoem de proces nu op de doorbuigingen y xi = eik rjkz (i = l . . . n) — geleverd d o o r den keH-term van boven
staan d e ontw ikkeling — toe, dan v in d t m e n :
_ n
y2t — ^ wij dij vjkj (i = i ...fi) (
22
) j — iof, indien w e gebruik m aken van verg. 7:
j v = —a r,ki (ï = (23)
n 00 k
D a a r j/IZ- = Hctkrjkt, le v e rt h et genoem de proces to e g e p ast o p y 1i ’.
k— i
00\ . 01
2
&n / • \ /r»^ 2/ = “ ^iz' 4 “ ^ 2z‘ • • • 4 ~ ?]nz ( l — I . . • ( 2 i)
CÜ! CO< c o ,z2
O p de voorgeschreven wijze v e rd er gaande, vinden w e v e r
volgens :
u z ci
2
/ • \_^3z' — ~ ^iz' 4 ~ ^2z’ 4- . . . “ 'Cjni \ l — I . . . 11J
CO 00' 10n
a i
, « 2
,0
« /• T \ / (25)yp -
1
»z’ — cüj2 ( / - 2) col2
r* - (/1 “ 2)2
Ï ^2Z‘ * * * 00 n2
2 (*> - ( / -2
2) 71ni \l ~ )1
• • • n)yp ,i — a I
2
(/ -1
)COx +
2
( /-1
) 7hi 4- ♦ • •2
(p_ x) 'Ojniil —1
• • • n)CO 2
D a a r col m et groeiende k steeds g ro o ter w o rd t, zullen, w an n eer p g ro o t genoeg is, de term en m et de hoogere eigenoplossingen
zeer klein w o rd en ten opzichte van den eersten term . W e kunnen dan schrijven:
yp -
1
) iyp,
2
{P- 2)a iCO 2
— r 0 = 1
__«I, CÜ!
2
(/I I)
—) 0 = 1 • • • n) ’ \
(26)zo o d at in d e rd aa d bij groote p p ractisch gelijkvorm igheid b e re ik t is en bij p —
00
(om dat — . — voor p — 00 n a a r nul conver-0l\ CO k
g eert) ab so lu te gelijkvorm igheid w o rd t verkregen.
T evens blijkt, d a t verg.
20
voor p — 00 ex act is en voor vol-ITERATIEVE FREQUENTIE-BEPALING 105 doend groote w a a rd e van p een bevredigende benaderingsop- lossing geeft. In de m eeste gevallen is h et voldoende p —3 te nem en.
8. Nieuwe benaderingsmethode.
H e t is ech ter mogelijk reed s u it de w a a rd e n van y a en y 2i cot m et zeer groote nauw keurigheid te bepalen en w el u it:
2 vit) 11« 2 l— I
CÜj = n (27)
2 M{}< .■212 Z — I
S u b stitu eeren w e voor y lt- en y 2t- de w a a rd e uit verg. 21 en 24 in 27, dan vinden w e, gebruik m akende van de o rth o g o n aliteit en h e t genorm eerd zijn van de eig en fu n cties:
n n
2 Miyxiy<2.i — 2 M{h^cix ?yIZ T ci2 ?y2/ 4~ • • • cin cjndj
l — I 7— 1
Cl i Cl 2 Cln
2 V 2Z' • • * 2 V ni }> —
CO i CO2 CO )i
a, C7, 11
—
2
2 Mi y 2.1 II21 1 4- —2
“ -*2. + .COi * = 1 C02 2 = I 2Z — « v* 2 .2 M{ IJni —
2
COn 1 = 1
Cl2 i + CX22 2
o o + • • • 2
COx co2 COn 2 m y \i11 11
= 2*m t\f Cl-L
— V*i+ Cl 2
2 ^/2* "t" ‘ * Cln
■ Ol z — :i z ZZ I \[ COx CO 2 COn
—c?2 11
1 4 2 ^Z^ Ii +
2 2
^2 ^ Mtll 2l2 4" . . . ii 2 Mi
cotl —i C02 1 COn7 = 1
(28)
2 ^2 2 2
= ---h --- h 4 , „ 4 . . . ---, 4
COx CO; co (29)
2 m i y xiy ^
l — I
2 2
C2-1 C?2
— + — + 2 2
COx CO 2
2 Mi y
2
2Z*z =: i
2 2
tfï cz
2
— H--- +4 4
CO x CO 2
Cl ii2 2
a
2
COx2 £ to COx2i + „
9
• ocol 2 «I co2 <2! COn
Cl ii 2
co„4
= co
al cot H ---. — +Cl i CO 2 4
2
an
Cl,
cot COn D eelen w e te lle r en noem er van de la a tste b reu k uit verg. 50 op e lk a a r en v erw aarlo o zen w e de term en, w a a rin —- (k = 2 .. .11)
COk
106 J. J. KOCH
in een zesde of hoogere m acht voorkom t, dan g a a t h et la a tste lid van verg. 30 over i n :
2 2/ 2>
2 1 ^ 2 CO I I CO x
co j | 1 I H---I 2 2 \ I ---2
& x CO 2 \ CO 2> + a l col
a\ col \I — 2'
COx
coni (31)
V erw aarlo o zen w e bovendien de term en m et k = j . . . n om dat co x
col m et k zeer ste rk afneem t (m eestal ongeveer evenredig m et l), d an g a a t verg. 31 w e e r over i n :
J
2 l CZ2 COx ( COl\ ) 2
COI ) I H--- - — 7 \ I ---7 ) | = COx
a\ col co2/2 (32)
ei"2 2 / 2v zo o d at verg. 27 m et een relatiev e (out van ongeveer — —-( i — 2 2
1
cz i CO 2 CO'
bevredigd w o rd t. JNu zal —- in een norm aal geval ongeveer 16co
CO'
bedragen, terw ijl —^ bij doelm atige keuze van ar niet g ro o ter dan V
100
b eh o eft te zijn. D e relatiev e fout in col zal dus in h e t algem een klein er dan0,1 °/0
zijn.W ille n w e een nog g ro o tere nauw keurigheid bereiken, dan co n stru eeren w e bovendien de krom m e y 3 en b ep alen de eerste eig en w aard e u it:
2 oiiy 2iy« 32
2 z — I
COx — « (33)
2 y g2
Z zz: I
w aarb ij de o p tred en d e relatiev e fo u t slechts ongeveer
2 6
# 2 CO 2
2 6
a x co 2
CÜ!2'
CO 2/ b e d ra a g t.
9. H ei bepaten van de hoogere eigenwaarde en eicjenopLoééincjen.
H erh alen w e het in § 7 beschreven ite ratiep ro c e s een vol
doend a a n ta l k eeren en w el zooveel m aal, to t tw ee opeenvol
gende ite ra tie s ) ’p-x en yp gelijkvorm ig zijn, dan zal yp m et rjx gelijkvorm ig zijn en kunnen w e de genorm eerde eigenfunctie 7]x u it yp b erek en en :
ITERATIEVE FREQUENTIE-BEPALING 107
Bij een v erstan d ig e keuze van y x kunnen w e m eestal v o lstaan m et één k e e r h et beschreven proces toe te p assen (p —
2
).W e nem en nu een krom m e u x a a n en b ep alen in de o n tw ik keling :
n
Uii — k=i
2
a% rjki (z = I . . . n ) (35
)de coëfficiënt a x . D it geschiedt n a a r analogie van de wijze, w a a ro p bij een functie de coëfficiënten van h a a r F o u rierreek s- ontw ikkeling w o rd en gevonden. W e verm enigvuldigen dus beide leden van verg. 35 m et ?/zz- r j1i en som m eeren d a a rn a de beide leden over z. M en vindt d a n :
n 11 n n n
2 7ZZz U iiTJxi — ^ Y]\i ^ Wli d-krjki ~~ ^ ^ Z/Zz d k 7j ki 7j IZ —
2 — i i — i k — \ i ~ \ k — \
n n n n
— ^ ^ 7fi{ a k Tjki i j i t ^ d k ^ z/zz rjki rjxi • (36)
k — i i — i k — i i = i
W a g en s de o rth o g o n aliteit van rjk en rjt (yt=t= i) w o rd t di t : ZZj n 'iM'i'ijxi — ZZj .
i — i
B epalen w e d a a rn a een nieuw e functie ux u it:
__ n
Z Z ii — Z Z IZ Clx Ijx i = 2 (I k 2jki y ( 3 7 )
k — 2
d an zal deze functie in h a a r ontw ikkeling n a a r de eigenoplos- singen geen term m et rjxi b e v a tten . O p deze ux w o rd t h et in
§ 7 aangegeven proces to eg ep ast, w a a rd o o r een krom m e zz2 v e r
kregen w o rd t. D o o r onnauw keurigheid in de constructie of de berekening van a x zal ech ter de eerste eigenfunctie voor een zek er b ed rag in n x zijn blijven steken en dus verm enigvuldigd m et den fa c to r — in zz
2
ingeslopen zijn. E venals u it nx k an d it b ed rag w ederom u it z/2 v erw ijderd w orden, w a a rd o o r een krom m e (Dj zz2 o n tsta a t, w elke rjT niet b ev at. W"e vinden nu evenals w e in§
8
u it y x en y 2 de eerste eig en w aard e vonden, uit n x en zz2 de tw eed e eig en w aard e.108 J. J. KOCH
n __ __
2 m { u ri u*i i= i
n _
2 nii u\i
i — i
Cls CO 22 2
2 2
H---- - -r .. . —-2 2 COo co«
CO 2
+ a.
co
CO 22
+ • • • 4 co„
D e tw eed e eigenoplossing w o rd t op een fa c to r n a m eestal vol
doende n au w k eu rig d o o r voorgesteld, nl. steed s dan, w a n n e er u ï en
?/2
blijken ongeveer gelijkvorm ig te zijn. L a a t deze gelijkvorm igheid te w enschen over, dan kunnen w e achtereenvolgens u3, u4 . . . Up berekenen.
T o t h e t b ep alen van de d erd e eig en w aard e gaan w e u it van een krom m e Vx, die noch de eerste noch de tw eed e eigenoplos
sing b ev at, w elke krom m e analoog m et u1 b e p a a ld w o rd t. Z oo v o o rtg aan d e zijn ook, zij h e t m et aanm erkelijk m eer re k en w e rk de hoogere eig en w aard en te bepalen.
TELEFONIEFILTERS EN DE INVLOED VAN AFSLUITING EN VAN VERLIEZEN OP HUNNE
EIGENSCHAPPEN
door
J. F. S C H O U T E N
Natuurkundig Laboratorium der N .V . Philipó’ Gloeilampenfabrieken, Eindhoven — Hottand
(Voordracbt gehouden voor het Neder tand och Radiogenootócha p op 15 O c tob er 1955).
Samenvatting.
E r is een gro o t verschil in de wijze van behandelen van fil
te rs voor radio- resp . telefoniedoeleinden. R adiofilters b o u w t men gew oonlijk op als een sam enstel van gekoppelde kringen, terw ijl telefoniefilters gew oonlijk w o rd en b erek en d v an u it een beschouw ing over h et oneindig lange filter. M en k an h et tele- foniefilter beschouw en als een k ab el w aarb ij de continu v e r
deelde serie- en p arallelad m ittan ties in d iscrete punten zijn geconcentreerd. M ath em atisch gesproken kom t d it n eer op de overgang van een differentiaalvergelijking n a a r een differentie
vergelijking. H e t gedrag van h e t eindige filter k an men b e grijpen d o o r u it de g o lfw eerstan d en de afsluitingsim pedanties de reflecties d er golven aan in- en uitgangszijde van h e t filter n a te gaan.
O n d e rs te lt men, d a t alle elem enten van een n e tw e rk zijn b eh ep t m et dezelfde v erliesm aat k, dan is de invloed d e r v e r
liezen op de eigenschappen van h et n e tw e rk teru g te voeren op h e t m athem atisch probleem van h et bepalen van een functie van com plex argum ent, w an n eer deze functie voor im aginair argum ent gegeven is. D e theorie d er com plexe functies leid t
110 J. F. SCHOUTEN
dan to t een a a n ta l in te rp re ta tie s, w a a rv a n een d rie ta l n a d e r onder oogen w o rd t gezien, m et bijzondere n a d ru k op de a a n schouw elijke voorstelling d aarv an .
D e differentiaalvergelijkingen van C a u c h y - R i e m a n n leiden to t de m ethode van de loodrechte afgeleide. A ls tw eed e m ethode leid t de differentiaalvergelijking van L a p l a c e to t de m oge
lijkheid de dem ping en phase van een filter als functie van de frequentie in de v erliesm aat voor te stellen m et behulp van zeepvliesm odellen. D e in te g raa l van C a u c h y te n slo tte leid t een in te rp re ta tie analoog aan de onscherpe afb eeld in g in de optica.
E r b e sta a t, m et zekere beperking, een v erb an d tusschen dem ping en phase van een n e tw e rk als functie van de freq u en tie. D it v erb an d b e ru st uiteindelijk op h et oorzakelijk v erb an d , d a t tusschen b.v. ingangs- en uitgangsspanning van een n e tw e rk b e sta a t.
A ls voorbeeld van de gegeven beschouw ingen w o rd t v o o ral h et laag d o o rlaten d e filter van h et g ro n d ty p e, als p ro to ty p e van m eer ingew ikkelde filters, behandeld.
§
1
. H et radio- en het telefoniejdter.E en electrisch filter h eeft ten doel b ep aald e gebieden uit h et frequentiegebied geheel of gedeeltelijk door te laten , an d ere geheel of gedeeltelijk te dem pen. H e t m erk w aard ig e is, d a t men bij h et ontw ikkelen van filters voor radiodoeleinden ge
w oonlijk gebruik m aak t van een volkom en an d ere g ed ach ten gang dan w an n eer d it geschiedt voor toepassing op h e t tele- foniegebied.
In de rad io b e s ta a t h et eenvoudigste filter uit een enkele afgestem de kring, die is opgebouw d uit een zelfinductie en een cap aciteit. M e e r ingew ikkelde filters k an men denken opge
b o u w d te zijn u it een sam enstel van eenige afgestem de kringen die door koppelelem enten verbonden zijn. D e m athem atische wijze van behandelen sluit onm iddellijk aan bij deze g ed ach ten gang door van afzonderlijke afgestem de kringen u it te gaan (
1
).H e t is duidelijk, d a t deze wijze van behandelen nauw sam en
h an g t m et de successieve opbouw u it afzonderlijke elem enten of kringen. Zij zal h a a r zin verliezen n a a rm a te h et filter inge
w ik k eld er w o rd t. D it b e p e rk t d an ook h et toepassingsgebied in hoofdzaak to t de radio, w a a r men m eestal eenvoudige filters bezigt.
TELEFONIEFILTERS
111
In de telefonie volgt men een geheel an d ere gedachtengang, d o o r aan te sluiten bij de eigenschappen van de electrische kabel. iMen is d aarm ed e in s ta a t de eigenschappen van een filter, b e sta an d e uit een oneindig a a n ta l identieke cellen, ex act a f te leiden. D e eigenschappen van h e t eindige filter b e sta an d e u it een gering a a n ta l, bij voorbeeld tw ee to t zes, cellen zullen d a a rv a n des te m eer afw ijken, n aarm ate h e t a a n ta l cellen ge
rin g er is. O o k deze afw ijkingen zijn ech ter in rekening te brengen. D eze m ethode zal h a a r zin verliezen n aarm ate h et filter eenvoudiger w o rd t. H e t toepassingsgebied is dan ook in hooi dzaak b e p e rk t to t de telefonie, en w el in h e t bijzonder to t de draaggolftelefonie, w a a r men over h et algem een zeer sam en
gestelde en relatief breede filters bezigt.
W ij zullen e e rst de gedachtengang uiteenzetten, die h et filter- probleem teru g b ren g t to t een v a ria n t van h et kabelprobleem . D it leid t dan tevens to t een form uleering van de invloed van de eindige lengte van h et filter. T en slo tte zullen wij d iep er ingaan op de invloed, die de verliezen d e r o n d e rd ed e n uitoefe
nen op h et gedrag van electrische n etw erk en .
§ 2. H et telefonie fitter a h dherete kabel.
D e v o o rtp lan tin g van stroom en spanning d o o r een k ab el kan men voorstellen als de v o o rtp lan tin g van een electrische
i(s-ds) i(s) i(s+ds)
---'5» ---ï».
1.
Schem atische voorstelling van de continue kabel.
golf. D eze v o o rtp lan tin g kan men k a ra k te rise e re n door een v o o rtp lan tin g sco n stan te, die b e s ta a t uit een reëel deel, d a t de verandering van de amplitude p e r lengte-eenheid van de k ab el (de dem ping) en uit een im aginair deel, d a t de phaóeoerandering van de golf p e r lengteeenheid van de k ab el aangeeft. D eze phasev eran d erin g hangt onm iddellijk sam en m et de v o o rtp la n tingssnelheid van de golf langs de kabel.
112 J. F. SCHOUTEN
D e spanningsval langs de k ab el o n ts ta a t door de spannings- val langs de serieim pedantie van de kabel. D e stroom verande- ring langs de k ab el o n ts ta a t door de lekstroom en langs de p aralle la d m itta n tie van de kabel.
N oem en wij de serieim pedantie p e r lengteeenheid Z f de p a rallelad m ittan tie p e r lengte eenheid Y, d an verkrijgen wij voor de som d er spanningen in de m aas A B C D A (fig. 1)
— i (s — ds) +
2
i (s) — i (s + ds)Y d s + i(s) Z d s = o
of, w an n eer wij overgaan,
voor de continue k ab el to t de lim iet ds — O
— = YZi. (1)
ds
2
H ie rv an lu id t een oplossing v v ./ \ — I/ EZ. s
i(s) — i(o)e - z(o)e ./ v — Os = i(o)e v ' yr/v v - ( a - f jP)s (
2
), w a a rin de v o o rtp lan tin g sco n stan te0
de som is van een reëel gedeelte, de dem ping a, en een im aginair gedeelte, de phase- d raaiin g /?, beide p e r lengteeenheid van de kabel.In h e t eenvoudigste geval, d a t de serieim pedantie van de k ab el zuiver inductief en de p a rallelad m ittan tie zuiver capa- citief is, w o rd t Z = jooL en E = JcoC, zo o d at
• / \ • / \ —J co \ Z Z C . s ( rz\
t( s ) = z (o) e y (3)
en dus
a = O
p = a> L C .
D e dem ping a is dus nul, de p h ased raaiin g p re c h t even
redig m et de frequentie. D em ping tre e d t e e rst op w an n eer bijv.
de zelfinductie een se rie w e e rsta n d v erto o n t.
D e n k t m en zich m eer algem een de serieim pedantie en de p aralle la d m itta n tie te b e sta a n u it w illekeurige v erliesv n je im- p ed an ties d an blijft de v o o rtp lan tin g sco n stan te im aginair. H et continue verliedorije medium vertoont duó nimmer bet optreden van dempingógebieden. W
3
j gebruiken h ier h e t w o o rd medium, om dat de geldigheid van de stelling m et to t de k ab el is b e p e rk t, doch m eer algem een van k ra c h t is voor eenig m edium, w a a rin zich een golf v o o rtp lan t.W ij gaan th an s over to t h e t filter, d a t wij ons denken op
gebouw d u it een oneindig a a n ta l onderling gelijke cellen. W ij
TELEFONIEFILTERS 113 m oeten nu in aanm erking nem en, d a t de lim ietovergang n a a r oneindig kleine afstan d en , die wij hierboven to ep asten , n iet m eer is geoorloofd. S erieim pedantie en p a ralle la d m itta n tie zijn nu in discrete punten geconcentreerd. W ij stuiten als h et w a re
op
de atom istiek van de kabel.
In de m aas A B C D A (fig. 2) g eld t nu
— i (s — A s) +
2
i(s) — i (s + A s) Y J shetgeen wij kunnen schrijven als
j2 • A i
+ i (s) Z A s = o ,
= Y Z i
A s‘ (4)
w aarbij A2i
A s 2 h et tw eed e differentie q u o tiën t van i n a a r s v o o r
s te lt (2). H ierm ede is dus, in navolging van v a n d e r P o l (2), h et gedrag van h et filter g e k a ra k te rise e rd door een differentie
vergelijking. E en oplossing hiervan, n a a r men door su b stitu tie gem akkelijk k an verifieeren, lu id t:
i(s ) — i(o)e A s
2s arsink I--- -— A s. . /I/ YZ A (5)
)(S -A S )---=►
— v w v i(s)-/(s-4s)k
i(s) K--- ^s+a s)
vwv
Z a sA S
— \N V \/—
< i(S )-t(S + A S )
\ *
4 ---
Schem atische voorstelling
Fig.
2
.van de discrete kabel (het filter).
W ij m erken a lle re e rst op, d a t voor zeer kleine A s de functie
| / ^ Y Z \
arsin h | --- A s te vervangen is door h e t argum ent, w a a r
door de vergelijking (5) in de oplossing (
2
) van h e t continue probleem o v erg aat.H e t s ta a t ons nog vrij de len g tem aat s te definieeren. W ij kiezen als lengte van één sectie A s — I en noem en de len g te
m aat s vervolgens n te r o n d erstrep in g van h e t feit, d a t deze grootheid slechts d iscrete w a a rd e n aanneem t. D e vergelijking (5) w o rd t dan
114 J. F. SCHOUTEN
i(n) — i(o)e —
2
n ar sink ]/.( 6 )
In h et eenvoudigste geval Z = jcoL en Y — jcoC w o rd t nu i(n) — i(o)e — 2n arsinh jcoV—— . . ,
—2
inr 4 = i(o) e J arcsin co \ ——' 4 = ./ , —
2
\jn arcsin— co .. . — (aiß)n— i(o) e coi —- z(o) e
( 7 )
w a a rin co, = --- en w a a rinL C d raaiin g p e r cel u itdrukken, 4 vergelijking
a en ft resp . dem ping en phase- V o o r a en ft vinden wij dus de . co = sink a + jß
2
. j a ft . a . ft sin/i — cos — b / cosh — sin —
2 2 2 2 ’
H e t reëele deel m oet gelijk nul zijn. D it k an in de eerste p la a ts w a n n e er a = o, dan w o rd t
co - ft o . c o
— = sin — , ft =
2
are sin —COj 2 co,
(
8)
D it k an blij kb a a r alleen gelden voor freq u en ties co kleiner dan co,. D it v erleen t co, = j / —^ b e t e e k e n i s van eengrenófrecjuentie.
D e tw eed e m ogelijkheid is ft = n> dan w o rd t
co
7
a co— = cosh — , a = 2 ar cos k —
co, 2 co,
( 9 )
D it k an b lijk b a a r alleen gelden voor freq u en ties co g ro o ter dan co,. V o o r freq u en ties co beneden de g ren sfreq u en tie co, is dus, evenals bij de ideale kabel, de dem ping identiek nul, de phase lo o p t aanvankelijk lineair, la te r steiler op, to td a t zij bij de g rensfrequentie de w a a rd e n b ereik t. D eze w a a rd e blijft voor hoogere freq u en ties behouden, nu b eg in t de dem ping ech ter a b ru p t op te loopen (hg.
3
). De overgang van de continue naar de d loc re ie kabel heeft geleid tot het optreden van een demping o band boven de frequentie co,. W ij sp rek en van een la a g d o o rla te n d filte r van h et g ro n d ty p e. V o o r zeer lage freq u en ties g a a t de vergelijking (7) voor h et laag d o o rlaten d filter over in die voor de continue kabel. D e argelooze onderzoeker, die, gew apend m et lage frequenties, d it filter zou b estu d eeren , zou geen o n d er
scheid m et de continue k ab el co n stateeren , de atom istiek zou aan hem voorbijgaan. E e rs t w an n eer hij hoogere frequenties bezigt, kom t deze atom istiek to t uiting, aanvankelijk in h e t
TELEFONIEFILTERS 115 sn eller dan lineair oploopen van de phase, vervolgens in h et o p tred en van dem ping en h et v e rd er co n stan t blijven van de phase. Bij de grensfrequentie is de p h ased raaiin g p er cel n, de golflengte langs h et filter is dan dus gelijk aan de lengte van
D em p in g (boven) en p h a se d ra a iin g (onder) p e r cel van het laagdoor- latende filter van het g ro n d ty p e als functie van de frequentie.
afgesloten m et de golfw eerstand.
— één cel a a n beide zijden afgesloten m et een co n stante w e e rs ta n d R = \ / L j C .
- tw e e cellen aan beide zijden afgesloten m et een constante w e e rs ta n d R = J / L , C .
tw ee cellen. D it leid t to t de form uleering, d a t de atom istiek zich e e rst d o et gelden voor die golven, w a a rv a n de golflengte n iet m eer g ro o t is ten opzichte van de lengte d e r cellen.
Bezien wij de form ule (
6
) nog eens in h a a r algem eenheid, dan co n stateeren wij, d a t voor een id eaal filter (w a arv o o r Y116 J. F. SCHOUTEN
en Z zuiver im aginaire grootheden zijn) de grootheid Y Z j
4
steeds zuiver reëel is.U it de vergelijking
= sink — a cos —ß + jcosh — a . ßsin —
2 n 2n 2n 2n
v a lt dan eenvoudig a f te leiden, d a t voor w a a rd e n —
1
<C Y Z 14. <C o een doorlatingsgebied (a = o, /$ ^ o), voor de overige w a a rd e n een dem pingsgebied o n ts ta a t (a o, fi een geheel veelvoud van 71).JVe zien duó, dat het óamenklonteren van de continue verdeelde oerLeunpedanlieo en paralleladmittantieó van een kabel lot de discrete
<tene impedantie*) en paralleladmittantieó van een Jiller leidt Lot het oplreden van een o f meerdere de m ping ó- o f abóorptiebanden.
H e t b eh o eft ons niet te v erw o n d eren d a t geheel analoge verschijnselen bijv. o p tred en bij h e t v o o rtp lan ten van golven door m aterie. D e atom aire opbouw d e r m aterie h eeft op de golfvoortplanting een invloed die volkom en analoog is aan die van de d iscrete opbouw van de kabel. ^V o rd t, voor zeer hooge frequenties, de golflengte kleiner dan tw eem aal de ro o ste raf- stan d d e r atom en, of de a fsta n d van deeltjes in een p o ed er
vorm ige m assa, dan tre d en op een zelfde wijze als hier b e
schreven, dem pingsverschijnselen op.
§ 3. H et eindige filter a h eindig medium.
W ille n wij de eigenschappen leeren kennen van h et eindige filter, d a t slechts u it enkele cellen b e sta a t, dan m oeten wij deze eindigheid in te rp re te e re n in de hierboven ontw ikkelde v o o rstel
ling van de golfvoortplanting. D a a rto e m oeten wij h et medium w a a rin de v o o rtp lan tin g p la a ts vindt, hetzij de continue dan w el de d iscrete kabel, behalve d o o r de v o o rtp lan tin g sco n stan te kenschetsen door een tw eede g ro o th eid : de golfweeroland. D eze g o lfw eerstan d Z / op een b ep aald p u n t in een oneindig lange k ab el is p e r definitie de verhouding tusschen spanning en stroom in d a t p u n t
Z / = j . ( 11 )
P la n t zich een golf van één medium n a a r een a n d e r medium m et an d ere g o lfw eerstan d voort, dan is aan beide zijden van h e t g rensvlak de g o lfw eerstan d , dus de verhouding tusschen
TELEFONIEFILTERS 117 stroom en spanning, verschillend. A an de g ren sv o o rw aard en , d a t stroom en spanning geen sprong mogen vertoonen, k an dus n iet w o rd en voldaan.
N em en wij ech ter v an u it h et g rensvlak tevens een terugloo- pende golf aan, dan kunnen wij w el aan de g ren sv o o rw aard en voldoen. A an de overgang van tw ee m edia m et verschillende
Fig. 4.
Analogie tusschen het eindige filter en de golfvoortplanting door v e r
schillende media.
Boven : F ilter m et ingangs- en uitgangsim pedantie resp. Z ft en Z /u en afsluitim pedanties resp. Z l en Z u>
B ened en : S tralen g an g bij voortplanting van een golf v an u it m edium I via m edium F n a a r m edium U. V o o r de duidelijkheid zijn de stralen onder een kleine hoek m et de horizontale lijn geteekend.
g o lfw eerstan d tre e d t dus een gereflecteerde golf op. D e m ate van reflectie w o rd t u itslu iten d b e p a ald door de verhouding d e r beide g o lfw eerstan d en en n iet door de v o o rtp lantin g s- constante. ])
W a n n e e r wij nu de eigenschappen w illen leeren kennen van h e t eindige filtersegm ent, m oeten wij d it aldus form uleeren, d a t h e t segm ent aan beide zijden n iet m eer m et de g o lfw eerstan d
l) In de optica schrijft men dikwijls reflectie aan de grens van tw ee m edia toe aan het verschil in brekingsindex n . D it is principieel gesproken onjuist. D e brekingsindex n = \ / £ tu kom t overeen m et de voortplantings- constante, hierin stelt s de diëlectrische constante, de m agnetische p e r m eabiliteit voor. D e grootheid n b e p a a lt w el de voortplantingssnelheid doch niet de reflectie. D e z e reflectie w o r d t b e p a a ld door de golfw eerstan d
. A angezien echter bij optische m edia de m agnetische perm eabi- liteit practisch gelijk 1 is, kan men straffeloos de brekingsindex voor de reflectie verantw oordelijk stellen.
118 J. F. SCHOUTEN
doch m et an d ere im pedanties is afgesloten. H e t geldt hier dus de behandeling van een golf, die zich van h e t medium I (fig. 4) (de ingangsim pedantie) via h e t medium F (h et fdter) n a a r h et medium U (de uitgangsim pedantie) v o o rtp lan t.
Z ooals fig. 4 d o et zien, b e la n d t in h et medium U niet alleen de door tw ee reflecties v erzw ak te d irecte golf, doch eveneens een groep golven, die 2, 4 . , . . . enz. reflecties hebben o n d er
gaan. Deze bijdrage to t de dem ping, die al n a a r de phase zoo
w el positief als n eg atief k an zijn, p leegt men als in terferen tie- verlies (in teractio n loss) te b etitelen ').
H e t is duidelijk, d a t deze wijze van in te rp re ta tie physisch allengs h a a r aanschouw elijkheid verliest, w an n eer de verschil
lende gereflecteerde golven niet als afzonderlijke na e lk a a r kom ende verschijnselen zijn w a a r te nemen. M ath em atisch blijft de m ethode n atu u rlijk altijd van k ra c h t (3), zelfs al zou h et filtersegm ent slechts uit drie of zelfs tw ee im pedanties b estaan .
In vele gevallen h eeft h et ech ter zin de afzonderlijke golven ook m athem atisch niet afzonderlijk to t u itd ru k k in g te. brengen.
D e vierpooltheorie le v e rt ons dan, indien wij de effectieve v o o rtp lan tin g sco n stan te T — a + jb en de voortplantingscon- sta n te voor h e t oneindige filter © = a + j/3 noem en, de volgende form ule
e T — cosh © + iu (— + \ S^ L © • V? Z r )
H ierin zijn filter en a fslu itw e e rsta n d aan in- en uitgangszijde sym m etrisch o n d ersteld en is Z{ — Z u = R en Zji — Z fu — Z f ge
noem d. W ij laten de behandeling van h e t m eer algem eene ge
val, d a t in- en uitgangszijde niet sym m etrisch zijn, achterw ege.
B lijkbaar w o rd t T — © voor Z f — R .
W ij zullen d it re s u lta a t nu to ep assen op h e t reed s genoem de laag d o o rlaten d e filter. V o o r één cel van d it filter (fig. 3) geldt, w an n eer wij x = co/co 1 als gereduceerde frequentie invoeren, volgens (7)
. 7 0 . cd
suilt — = / — = ix ,
2 C01
) de optica tree d t een zeer analoog gedrag op bij het etalon. D it in te rfe re n tie -a p p a ra a t van hoog oplossend verm ogen b e s ta a t uit tw ee ev en wijdige halfdoorlatende zilveren spiegels. D e h erhaalde reflecties bepalen hier op soortgelijke wijze een v ersterk en resp. uitdooven v an de prim aire lichtstraal.
TELEFONIEFILTERS 119
en dus sink 0 = 2 j x j/ \ — x~ \
cosh 0 = I — 2 x 2 . (14)
en
V o o r h et b epalen van de g o lfw eerstan d m oeten wij e e rst u it
m aken op w elke punten wij de coupures in cellen w illen a a n brengen. W ij kiezen als voorbeeld de coupure in h e t m idden van de serieim pedantie (Z-cel). D e filtertheorie geeft voor de g o lfw eerstan d de volgende uitd ru k k in g (4)
2> =
f c ^ -
x (15)H ierin ste lt j / — de g o lfw eerstan d voor, die de overeenkom stigei L continue k ab el zou bezitten. De fa cto r j/l — x 2 is aan de atom is
tiek te danken, zij b e w e rk stellig t d a t Z / slechts voor x <C I reëel is en d aarb o v en im aginair w o rd t. S lechts voor frequenties beneden de grensfrequentie k an h e t filter dus aan de ingangs- zijde energie opnem en (d o o rlaatb an d ),
K iezen wij als afsluitim pedantie een co n stan te w eerstan d , dan is h et duidelijk, d a t h et fd ter slechts voor één frequentie goed kan w o rd en afgesloten. K iezen wij R = dan d it dus slechts voor de frequentie nul h e t geval. Slechts voor deze frequentie blijven dem ping en phase on v eran d erd , overal elders w o rd en zij gewijzigd. C om binatie van de vergelijkingen (12), (14) en (15) leid t to t ])
a = In j
/1
H- x e neper — i o log ( I + x 6) d Bb — arctg x (2 — x 2) (16)
2 x‘
V o o r een filtersegm ent b e staan d e u it twee Z-cellen vinden wij op soortgelijke wijze voor dem ping en ph ase p e r cel
a — b =
In j
/ 1
+ 4X84- 16 x6 — 16 x1 2X (2 — Kx2 -F 2 x 4) i a r c tg& Q ----^--- --- d .o 2 . o 4
i — 8x + 8x
10
Z ooals fig. 3 d o et zien, w ijken de eigenschappen van een segm ent b e staan d e uit één cel, aan beide zijden afgesloten op
L) O p deze form ules w e rd schrijver gew ezen door I r H . v a n d e W e g v an dit laboratorium .
120 J. F. SCHOUTEN
de aangegeven wijze, nog tam elijk veel a f van die van h e t oneindige filter. V a n tw ee cellen zijn de afw ijkingen reed s a a n m erkelijk geringer. V o o r een nog g ro o te r a a n ta l cellen zijn, behalve voor de g rensfrequentie zelve, de afw ijkingen geleidelijk te v erw aarlo o zen klein. D a t bij de gren sfreq u en tie de g ro o tste afw ijkingen o p tred en , b eh o eft ons niet te v erw o n d eren , de fil- terim p ed an tie im m ers w o rd t hier volgens 15) gelijk nul, zo o d at de reflectiecoëfficiënten een maximum bereiken.
§ 4. De invloed der verliezen.
D e berekening van de eigenschappen van filters is een n e te lige zaak. K enerzijds m oet men, om to t num erieke gegevens te geraken, de m oeizam e w eg d e r vlijtige berekening bew andelen.
A nderzijds w il men toch, los van een dergelijke g ed etailleerd e berekening, een globaal inzicht verkrijgen in de invloed van de verschillende facto ren , die hierbij een rol spelen. D it tre ft w el h et m eeste bij de invloed, die de verliezen d er afzonderlijke elem enten op de gedragingen van h et uiteindelijke filter uitoefenen.
V e ro n d e rste lt men nam elijk, d a t deze elem enten vrij van v e r
liezen zijn, dan k an men m et de bekende num erieke en graphi-
— 0515MD— - ^ W ^ - n R R n j u ^ — a>
Z=j ojL Z=R+j(i)L
IIC
\\C II
II
GL-TmiLrirü-J
y= jcoc y=G+JCüC 41389
Fig. 5.
V ervangingsschem a van de ideale (links) en de actueele elementen (re c h ts ):
a) de actueele zelfinductie is te beschouw en als een ideale zelfinductie L in serie m et een reëele w e e rs ta n d R ,
b) de actueele capaciteit is te besch o u w en als een ideale capaciteit C parallel aan een reëele afleiding G.
sche m ethoden b etrek k elijk snel to t een re s u lta a t geraken. In d it re s u lta a t is de invloed d e r verliezen m athem atisch w elis
w a a r op eenvoudige wijze te verd isco n teeren , de num erieke u it
w erking ech ter w o rd t buitengew oon om slachtig.
"We zullen nu laten zien, d a t men op basis van een v ereen voudigende onderstelling, eenige zeer algem eene b etrek k in g en
k an afleiden, die bovendien een aanschouw elijke in te rp re ta tie to e la ten 5).
TELEFONIEFILTERS 121 D e ideale zelfinductie heeft een zuiver im aginaire im pedantie, die van de actueele zelfinductie is com plex. D eze com plexe im pedantie kunnen wij vo o rstellen als een v erliesw eerstan d R in serie m et de zelfinductie L (fig. 5). D e im pedantie w ijzigt zich dus als v olgt:
Z = j co L -> R + j co L . (18)
Op
dezelfde wijze kunnen wij de verliezen van een co n d en sato r voorstellen door een p a ra lle lw e e rsta n d over de condensator.D e ad m ittan tie w ijzigt zich d an als volgt
Y = jc o C-> G + jao C , (19) w a a rin
W ij
G de geleiding van de v erliesw ee rsta n d v o o rstelt,
schrijven de form ules (18) en (19) nu in de volgende vorm
(
n \
— + j m \ L = (q + jc o ) L
Y = G + j co C = ^ + j C = (y + j
( 20 )
D e overgang van de ideale n a a r de actueele spoel kom t dus, m et behoud van de oorspronkelijke zelfinductie, n eer op h et vervangen van de im aginaire grootheid j co door de com plexe grootheid q + j co. H ierin ste lt q = R /L de verliejmaat van dc opoel voor. O p dezelfde wijze kom t de overgang van de ideale n a a r de actueele co n d en sato r, m et behoud van de oorspronkelijke c a p a citeit, n eer op h e t vervangen van de grootheid J co door y + J co, w arin y — G jC de verileomaal van de condensator v o o rstelt.
D e vereenvoudigende v eronderstelling, die wij nu invoeren, is, d a t de v erliesm aten van alle spoelen en co n d en sato ren in h et n e tw e rk aan e lk a a r gelijk zijn. D eze v erliesm aat noem en wij k. A an deze v ero n d erstellin g is gew oonlijk n iet voldaan. G e
m eenlijk zijn w e lisw a a r de verliesm aten d er spoelen onderling gelijk en evenzoo die d e r condensatoren, doch is de v erliesm aat d e r spoelen aanm erkelijk g ro o ter dan die d e r condensatoren.
M en k an ech ter bew ijzen d a t men in d a t geval voor k h et gem id
delde van q en y m oet nem en en d a t een kleine correctie in de freq u en tie m oet w o rd en ingevoerd, die ech ter in de m eeste gevallen is te v erw aarlo o zen . W ij o n d erstellen v o o rts, d a t R e n G in h et beschouw de frequentiegebied n iet van de frequentie afhangen.
B aseeren wij ons nu
op
de grootheid k = q — y, dan kunnen wij de volgende conclusie tr e k k e n :122 J. R SCHOUTEN
Zijn van een ideaal netwerk de eigenschappen a h functie van de frequentie en van de waarden der onderscheidene zelfinduclles en ca
paciteiten bekend, dan ifolgen daar ui t onmiddellij k de eigenschappen van het actueele netwerk, dat met verhezen behept Is, door In de fo r mules de Imaginaire grootheid j co door de complexe grootheid k + j co te vervangen.
ordl dus een eigenschap van het Ideale netwerk voorgesteld door een analytische functie van het argument j co, die wij f ( j co) willen noemen, dan wordt deze zelfde eigenschap voor het actueele netwerk voorgesteld door dezelfde functie van het complexe argument k + j co, dus door f (k + j co).
H e t filtertechnische probleem van h e t bepalen van de invloed d e r verliezen op de eigenschappen van een n e tw e rk is hierm ede dus teru g g eb ra c h t to t h e t m athem atische probleem van h e t b e
palen van de w a a rd e n van een com plexe functie f voor com
plex argum ent k -f- j os, w an n eer de w a a rd e n voor im aginair a rg u m ent j co bekend zijn.
D it probleem , w a a rv a n de oplossing in de theorie d e r com
plexe luncties is gegeven, zullen wij nu n a d e r onder oogen zien.
W e zullen daarbij kom en to t een v ie rta l form uleeringen, w a a r
van wij er drie n a d e r zullen behandelen en w aarb ij wij de n a d ru k zooveel m ogelijk op de aanschouw elijke in te rp re ta tie van de m athem atische form uleering zullen leggen.
D e relaties, die wij daarbij zullen afleiden, zijn uit de a a rd d er zaak niet b e p e rk t to t de to ep assin g op electrische n etw erk en , zij gelden voor alle lineaire system en die als functie van de tijd v eranderingen ondergaan, dus bijv. ook voor m echanische s y stem en.
§ 5. De methode van de loodrechte afgeleide.
V o o r een eigenschap van h e t n etw erk , die wij d o o r de functie ƒ voorstelden, kiezen wij de v o o rtp lan tin g sco n stan te
0
= a + j fi.E r geldt dus
f (k + j ao) = a + j f l
(21)V o o r een dergelijke com plexe functie geldt, hetgeen men d o o r differentieeren n a a r k resp. oo gem akkelijk k an verifieeren
da d j
d k d oo f
d /3 — d a \>
