De duale van een vectorruimte

VI. Tensoralgebra.

§6.1. De duale van een vectorruimte.

Laat V een eindig-dimensionale re¨ele of complexe vectorruimte zijn. De vectorruimte L(V, K) van lineaire afbeeldingen van V naar het lichaam van scalairen K = R of C heet de duale vectorruimte van v. We noteren deze als V^∗. Als {e₁, . . . , e_n} een basis is van V dan laat e¹, . . . , eⁿ ∈ V^∗ gegeven zijn door eⁱ(ej) = δⁱ_j. Hierbij is δⁱ_j het Kronecker-symbool, dus δⁱ_j = 1 als i = j en δⁱ_j = 0 als i 6= j. We tonen aan dat {e¹, . . . , eⁿ} een basis is van V^∗. Laat hiertoe f ∈ V^∗. Dan is f =

Xn i=1

f (e_i)eⁱ. Verder, als Xn j=1

a_je^j = 0, dan is

0 = Xn j=1

a_je^j(e_k) = Xn j=1

a_jδ_k^j = a_k

en dus is {e¹, . . . , eⁿ} lineair onafhankelijk. We noemen {e¹, . . . , eⁿ} de duale basis van {e₁, . . . , e_n}.

I.h.b. is dus dim(V^∗) = dim(V ).

De duale van V^∗ geven we aan met V^∗∗. Er geldt dat V en V^∗∗ op een kanonieke manier isomorf zijn: zij immers v ∈ K. Dan is de afbeelding v^] : V^∗ → K gegeven door v^](f ) = f (v) een lineaire afbeelding en dus een element van V^∗∗. De afbeelding die v afbeeldt op v^] is een injectieve lineaire afbeelding van V naar V^∗∗, en omdat dim(V ) = dim(V^∗∗), een vectorruimte-isomorfisme van V op V^∗∗. Deze afbeelding heet natuurlijk of kanoniek omdat deze niet afhangt van speciale keuzen (bijv. van een basis).

§6.2. Tensoren en tensorproduct.

Laat V weer een eindig-dimensionale re¨ele of complexe vectorruimte zijn van dimensie n. Een tensor van rang (r, s) op V is een multilineaire afbeelding

T : V^∗× . . . × V^∗× V × . . . × V → K

waarbij K het lichaam van de scalairen is. Hierbij wordt r keer het product over V^∗ genomen en s keer over V . (Multilineair betekent dat de afbeelding lineair is in elke component.) De tensoren van rang (r, s) over V vormen een vectorruimte T_s^r(V ). Meestal nemen we V = Rⁿ of Cⁿ en schrijven dan T_s^r. Als {e1, . . . , en} een basis is van V en {e¹, . . . , eⁿ} de duale basis, dan zijn de componenten van T t.o.v. de gegeven bases

T (eⁱ¹, . . . , e^ir, e_j1, . . . , e_js) = T_j^i1...ir

1...j_s. (6.1)

Een tensor van rang (r, 0) heet contravariant van rang r, een tensor van rang (0, s) heet covariant van rang s. Een covariante tensor van rang 1 is een lineaire afbeelding V → K en is dus een element van V^∗. We noemen zo’n tensor ook wel een covector. Een contravariante tensor van rang 1 is een element van V^∗∗, maar omdat V en V^∗∗ op natuurlijke wijze isomorf zijn, kunnen we zo’n tensor opvatten als een gewone vector in V . Tensoren van rang (0, 0) heten scalairen.

Laat S een tensor van rang (r, s) zijn en T een tensor van rang (t, u). Dan is het tensorproduct S ⊗ T een tensor van rang (r + t, s + u), zodanig dat

(S⊗T )(v¹, . . . , v^r, w¹, . . . , w^t, x₁, . . . , x_s, y₁, . . . , y_u) = S(v¹, . . . , v^r, x₁, . . . , x_s)T (w¹, . . . , w^t, y₁, . . . , y_u)

waarbij xi, yi∈ V , v^j, w^j ∈ V^∗. Zo is T = ei⊗e^j de rang-(1, 1)-tensor zodanig dat T (e^k, e`) = δ<sup>k</sup><sub>i</sub>δ<sub>`</sub>^j. De vectorruimte T_s^r(V ) wordt opgespannen door tensoren van de vorm e_i1⊗. . .⊗e_ir⊗e^j1⊗. . .⊗e^js. De vectorruimte T_s^r heet het tensorproduct van r keer V en s keer V^∗. We noteren T_s^r ook als V ⊗ . . . ⊗ V ⊗ V^∗⊗ . . . ⊗ V^∗ (r keer V en s keer V^∗).

Voorbeeld: De tensor T = e₁⊗ e¹+ . . . e_n⊗ eⁿ heeft componenten T_i^j = δ_i^j. Het Kroneckersymbool is dus een tensor van rang (1,1).

Voorbeeld: Zij A een n×n-matrix met re¨ele of complexe co¨effici¨enten. Als een basis {e1, . . . , en} van V gegeven is, kunnen we A opvatten als een lineaire afbeelding van V naar V : A(e_j) =P_n

i=1A_ije_i. We kunnen A ook opvatten als een tensor van rang (1, 1): laat voor v ∈ V en w ∈ V^∗

A(w, v) = w(A(v)).

Dit geeft een bilineaire afbeelding van V^∗× V naar K. Dan is verder

Aⁱ_j = A(eⁱ, e_j) = eⁱ(A(e_j)) = eⁱ ÃXn

k=1

A_kje_k

!

= A_ij.

De componenten van de matrix A worden zo de componenten van de tensor A (t.o.v. de basis {e1, . . . , en}).

Het tensorproduct van twee vectorruimten. We kunnen het tensorproduct defini¨eren van twee willekeurige vectorruimten (met hetzelfde lichaam van scalairen). We beperken ons weer tot het eindig-dimensionale geval. Laten V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn over K met duale vectorruimten V^∗, resp. W^∗. Het tensorproduct V ⊗ W is de vectorruimte van bilineaire afbeeldingen T : V^∗× W^∗ → K. Laat {e₁, . . . , e_m} en {f₁, . . . , f_n} bases van V resp. W zijn. De duale basisvectoren geven we weer aan d.m.v. eⁱ, f^j. Een basis van V ⊗ W wordt gevormd door de mn tensorproducten e_i⊗ f_j waarvoor geldt dat e_i⊗ f_j(e^k, f^{`</sup>) = δ<sub>i</sub><sup>k</sup>δ<sub>j</sub><sup>`}. Als v ∈ V , w ∈ W , en v =P_m

i=1vⁱe_i, w =P_n

j=1w^jf_j, dan is v ⊗ w =

Xm i=1

Xn j=1

vⁱw^je_i⊗ f_j.

Voor de tensorproducten geldt dus

(v + v⁰) ⊗ w = v ⊗ w + v⁰⊗ w, v ⊗ (w + w⁰) = v ⊗ w + v ⊗ w⁰ (v, v⁰∈ V, w, w⁰∈ W ), en

λ(v ⊗ w) = (λv) ⊗ w = v ⊗ (λw) (λ ∈ K, v ∈ V, w ∈ W ).

Merk op dat V ⊗ W wordt voortgebracht door alle tensorproducten v ⊗ w (met v ∈ V , w ∈ W ) maar niet alle elementen van V ⊗ W zijn van de vorm v ⊗ w.

Herhaald nemen van tensorproducten is associatief: voor vectorruimten V, W, X (over K) geldt dat V ⊗ (W ⊗ X) = (V ⊗ W ) ⊗ X, dus we kunnen de haakjes weglaten en schrijven V ⊗ W ⊗ X.

V ⊗ W ⊗ X is de vectorruimte van trilineaire afbeeldingen van V^∗× W^∗× X^∗ naar K.

We bestuderen nu het gedrag van de componenten van een tensor onder een basistransformatie. We nemen we een tensor T van rang (2, 1), dus T is een lineaire afbeelding van V^∗×V^∗×V naar K. Laat {e₁, . . . , e_n} resp. {f₁, . . . , f_n} bases van V zijn; de duale bases zijn {e¹, . . . , eⁿ} resp. {f¹, . . . , fⁿ}.

Dan is er een basistransformatiematrix A zodanig dat fj =P_n

i=1Aijei. A is inverteerbaar, en de transformatie matrix voor de duale bases is dan (A⁻¹)^T, d.w.z. f^j =P_n

i=1(A⁻¹)_jieⁱ. Laat verder T_k^ij = T (eⁱ, e^j, ek) en T_r^0pq = T (f^p, f^q, fr) zijn. Dan geldt

T_r^0pq = T (f^p, f^q, fr) = Xn i,j,k=1

(A⁻¹)pi(A⁻¹)qjAkrT (eⁱ, e^j, ek) = Xn i,j,k=1

(A⁻¹)pi(A⁻¹)qjAkrT_k^ij. (6.2)

We kunnen de componenten van de transformatiematrices ook schrijven in termen van de co¨ordinaten van een willekeurige vector in V t.o.v. de verschillende bases. Laat x ∈ V en

x = Xn i=1

xⁱe_i= Xn j=1

x^0jf_j = Xn i,j=1

x^0jA_ije_i,

dus xⁱ= Xn j=1

Aijx^0j en net zo is x^0` = Xn k=1

(A⁻¹)`kx^k en

A_ij = ∂xⁱ

∂x^0j, (A⁻¹)<sub>`k</sub> = ∂x<sup>0`</sup>

∂x^k. (6.2) kunnen we dan schrijven in de vorm

T_r^0pq= Xn i,j,k=1

∂x^0p

∂xⁱ

∂x^0q

∂x^j

∂x^k

∂x^0rT_k^ij. (6.2⁰)

Let op de positie van de indices. In uitdrukkingen waarbij wordt gesommeerd over een of meer indices waarbij in de te sommeren termen elke index waarover wordt gesommeerd eenmaal boven en eenmaal beneden voorkomt, laat men dikwijls het somteken weg. Dit staat bekend als de Einstein- sommatieconventie. In het vervolg zullen we deze conventie ook hier aanhouden. Voor een tensor van rang (r, s) luidt de transformatieregel analoog aan (6.2’)

T_`^0k1...kr

1...`_s = ∂x^0k1

∂xⁱ¹ · . . . ·∂x^0kr

∂x^ir

∂x^j1

∂x^0`1 · . . . · ∂x^js

∂x^0`sT_jⁱ₁¹_...j^...i_s^r. (6.3) In de fysische literatuur wordt een tensor vaak gegeven door zijn componenten t.o.v. een basis te specificeren. (6.3) levert dan de componenten t.o.v. een willekeurige basis. Omgekeerd, als de componenten van een zekere grootheid t.o.v. een willekeurige basis gegeven zijn, en de componenten t.o.v. verschillende bases zijn gerelateerd d.m.v. (6.3) dan is de grootheid een tensor. Voorbeelden zullen we later tegenkomen.

Door het nemen van tensorproducten van twee tensoren kunnen we tensoren maken van hogere rang. Er bestaat ook een methode om tensoren van lagere rang te maken: laat T een tensor van rang (r, s) zijn. Neem een vaste basis in V . Beschouw de componenten T_jⁱ₁¹_...j^...i_s^r van T t.o.v. deze basis (en de duale basis in V^∗). Kies nu, voor zekere `, m de `-e component boven en de m-e component onder, laat de componenten gelijk zijn aan k en sommeer over k van 1 tot en met n.

Dit proces heet contractie van de tensor T en levert een tensor T⁰ op van rang (r − 1, s − 1). Er geldt dus

(T⁰)ⁱ_j¹₁^...i_...j^{`−1</sup><sub>m−1</sub><sup>i`+1}_jm+1^...i_...j^r _s = T_j^{i1...i`−1ki`+1...ir}

1...j_m−1kj_m+1...j_s. (6.4)

Het is niet moeilijk om aan te tonen dat het rechterlid van (6.4) transformeert als een tensor van rang (r − 1, s − 1), m.a.w. T⁰ is inderdaad een tensor. Het simpelste voorbeeld krijgen we als r = s = 1. De tensor T van rang (1, 1) kunnen we als een matrix opvatten. Contractie levert een tensor van rang (0,0), dus een scalar T_iⁱ. Deze scalar heet het spoor tr(T ) van T . Contractie van een tensor is dus op te vatten als een generalisatie van het spoor nemen. Een ander voorbeeld is het inwendig product: laat a resp b een vector, resp. een covector zijn. Het tensorproduct a ⊗ b geeft een tensor van rang (1, 1) met componenten aⁱb_j. Contractie geeft de scalar aⁱb_i, het inwendig product van a en b.

Tensordichtheden; het Levi-Civit`asymbool. Sommige objecten gedragen zich als een ten- sor alleen onder speciale co¨ordinatentransformaties. Beschouw het Levi-Civitasymbool ²_ijk dat is gedefinieerd als volgt: ²123 = 1 en verder is ²ijk totaal antisymmetrisch, d.w.z. het teken klapt om als we twee indices verwisselen. Dus is ²_ijk = 1, resp. −1 als i, j, k een even, resp. oneven permutatie is van 1, 2, 3 en ²_ijk= 0 als niet alle indices ongelijk zijn. Laat nu xⁱ→ x⁰ⁱ = Aⁱ_jx^j een co¨ordinatentransformatie zijn. Dan is

²ijk

∂xⁱ

∂x^0`

∂x^j

∂x^0m

∂x^k

∂x⁰ⁿ = ²`mndet µ∂x

∂x⁰

¶

(6.5) Onder de co¨ordinatentransformatie gedraagt ²_ijk zich als een tensor, op een extra factor na, die gelijk is aan de Jacobiaan van de transformatie. ² (met componenten ²ijk) noemen we hierdoor een tensordichtheid. Tensordichtheden worden onderscheiden naar de exponent van de Jacobiaan die in de transformatieformule optreedt. Als er in het rechterlid det

³∂x⁰⁰

∂x⁰

´_w

staat dan is het gewicht w. Het gewicht van ²ijk is dus -1.

§6.3. Symmetrische en antisymmetrische tensoren. Het uitwendig product.

We beperken ons hier tot contravariante tensoren, hoewel soortgelijke constructies ook voor co- variante tensoren opgaan.

Definitie: Een contravariante tensor T ∈ T₀^r(V ) (van rang r) heet symmetrisch als voor v₁, . . . , v_r ∈ V^∗

T (v₁, . . . , v_r) = T (v_i1, . . . , v_ir) waarbij i₁, . . . , i_r een permutatie is van 1, . . . , r.

Een contravariante tensor T ∈ T₀^r(V ) heet antisymmetrisch (of alternerend) als voor v₁, . . . , v_r ∈ V^∗

T (v₁, . . . , v_r) = ±T (v_i1, . . . , v_ir)

waarbij i₁, . . . , i_r een permutatie is van 1, . . . , r, en waarbij het teken ± plus is als de permutatie even is en min als de permutatie oneven. We kunnen dit schrijven als

T (v₁, . . . , v_r) = ²_i1i2...irT (v_i1, . . . , v_ir)

met het Levi-Civit`a-symbool ²_i1i2...ir = 1, −1, 0 als i₁, i₂. . . , i_r een even permuatie is van 1, 2, . . . , r resp. een oneven permutatie, resp. geen permutatie is (doordat niet alle i1, . . . , ir verschillend zijn).

Definitie: De antisymmetrisator A : T₀^r → T₀^r maakt van een tensor T van rang r een antisym- metrische tensor:

A(T )(v₁, . . . , v_r) = 1 r!

X

P

²P (1)...P (r)T (v_{P (1)}, . . . , v_{P (r)})

waarbij wordt gesommeerd over alle permutaties P van 1, . . . , r.

De antisymmetrische contravariante tensoren van rang r vormen een lineaire deelruimte van T₀^r(V ).

We geven deze aan d.m.v. V_r

(V ). Merk op datV₁

(V ) = V , en dimV_r

(V ) =¡_n

r

¢met n = dim(V ).

Voor r > n isV_r

(V ) = {0}. Op de directe som V

(V ) = ⊕ⁿ_r=0V_r

(V ) is een product gedefinieerd, het uitwendig product, als volgt: laat S ∈V_r

(V ) en T ∈V_s

(V ). Dan is S ∧T een antisymmetrische tensor van rang r + s gedefinieerd als

S ∧ T = (r + s)!

r!s! A(S ⊗ T ).

Zo wordt de vectorruimteV

(V ) tot een algebra, de uitwendige of Grassman-algebra. Voor v, w ∈ V is

v ∧ w = v ⊗ w − w ⊗ v.

Propositie 6.1: Het stelsel vectoren {v1, . . . , vr} is lineair afhankelijk dan en slechts dan als v₁∧ . . . ∧ v_r = 0.

Bewijs: Als het stelsel lineair afhankelijk is, dan is (zeg) v_r= a₁v₁+. . .+a_r−1v_r−1 voor constanten a1, . . . , ar−1 ∈ K. Dan is, wegens lineariteit en antisymmetrie,

v₁∧ . . . ∧ v_r = a₁v₁∧ . . . ∧ v₁+ . . . a_r−1v₁∧ . . . ∧ v_r−1∧ v_r−1 = 0.

Als het stelsel lineair onafhankelijk is, dan vul het aan tot een basis {v1, . . . , vn} van V . Laat {v¹, . . . , vⁿ} de duale basis van V^∗ zijn. Nu is

v₁∧ . . . ∧ v_r(v¹, . . . , v^r) = v₁(v¹) . . . v_r(v^r) = 1.

I.h.b. is dus v₁∧ . . . ∧ v_r 6= 0. ¦

M.b.v. het uitwendig product kunnen we de determinant van en matrix op co¨ordinaat-onafhankelijke wijze defini¨eren: laat A een re¨ele of complexe n × n-matrix zijn. Als een basis {e1, . . . , en} van V gegeven is, definieert A op V een lineaire afbeelding: Ae_j = Aⁱ_je_i. Nu geldt voor n vectoren v₁, . . . , v_n∈ V

Av1∧ . . . ∧ Avn= (det A)v1∧ . . . ∧ vn.

Het teken van de determinant kan worden gebruikt om een ori¨entatie aan bases van de vectorruimte V te geven. Als e₁, . . . , e_n en f₁, . . . , f_n bases van V zijn, dan is er een matrix A zodanig dat Ae_j = f_j voor j = 1, . . . , n. Als det(A) > 0 dan zeggen we dat de beide basis dezelfde ori¨entatie hebben, als det(A) < 0, dan hebben de bases tegengestelde ori¨entatie. In het geval van Rⁿ is de standaardbasis per definitie positief geori¨enteerd (we zeggen ook: rechtshandig. Een basis met tegengestelde (negatieve) ori¨entatie heet linkshandig.

Opmerking: Zoals al gezegd, kunnen we een soortgelijke constructie uitvoeren voor covariante tensoren. Een antisymmetrische covariante tensor van rang p, dus een element vanV_p

(V^∗), wordt ook een p-vorm genoemd.

§6.4. Cartesische tensoren.

In sommige gevallen zijn we alleen ge¨ınteresseerd in orthogonale co¨ordinatentransformaties, die orthonormale bases in orthonormale bases overvoeren.

Definitie: X = (X_i^j₁¹_i^j₂²_...i^...j_{`</sub><sup>k</sup>) heet een Cartesische tensor als de componenten X<sub>i</sub><sup>j</sup><sub>1</sub><sup>1</sup><sub>i</sub><sup>j</sup><sub>2</sub><sup>2</sup><sub>...i</sub><sup>...j</sup><sub>`}^k trans- formeren als de componenten van een tensor onder orthogonale transformaties (dus rotaties) x⁰ⁱ = Aⁱ_jx^j (waarbij A een orthogonale matrix is met componenten Aⁱ_j:

(X_i^j₁¹_i^j₂²_...i^...j_`^k)⁰= Yk a=1

∂x^0ja

∂x^qa Y` b=1

∂x^pb

∂x^0ib(X_p^q₁^1q_p²₂^...q_...p^k_`).

Nu is (omdat A orthogonaal is) ^∂x_∂x⁰ⁱj = _∂x^∂x0i^j zodat er geen verschil is tussen contra- en covariant gedrag en een Cartesische tensor X van rang k transformeert dus onder de co¨ordinatentransformatie xⁱ → x⁰ⁱ = Aⁱ_jx^j als (X⁰)_i1...ik = ³Q_k

a=1A_iaja

´

X_j1...jk met A = (A_ij) een orthogonale matrix.

Indien de componenten van de tensor een extra minteken krijgen onder orthogonale transformaties met det(A) = −1 (dus ori¨entatie-omkerende transformaties) dan spreken we van een pseudotensor (resp. pseudoscalar, pseudovector als de rang 0, resp. 1 is). Pseudotensoren zijn dus in feite tensordichtheden van oneven gewicht. Een voorbeeld is de Levi-Civita-pseudotensor ²_ijk (vergelijk (6.5)), een ander voorbeeld is het uitwendig product van twee vectoren in R³: bij inversie x → −x gaan de componenten vi van een vector v over in −vi; de componenten zk = ²ijkviwj van het uitwendig product z = v × w van twee vectoren over in +z_k; z is dus een pseudovector. Merk op dat z_k de contractie is van het product van twee vectoren en een pseudotensor. In het algemeen is het tensorproduct van twee pseudotensoren weer een gewone tensor en het product van een tensor met een pseudotensor levert een pseudotensor op.

Isotrope Cartesische tensoren. Beschouw nu de volgende situatie: neem aan dat ai en Xij

(componenten van) Cartesische tensoren zijn en dat er een lineair verband is tussen beide: a_i = C_ijkX_jk (we houden ook hier de sommatieconventie aan). Door te bekijken hoe deze uitdrukking transformeert onder de transformatie xⁱ→ x⁰ⁱ, zien we dat uit a⁰_p= C_pqr⁰ X_qr⁰ volgt dat

C_pqr⁰ = ∂x^0p

∂xⁱ

∂x^j

∂x^0q

∂x^k

∂x^0rCijk

m.a.w. Cijk is een tensor van rang 3. (Dit is een voorbeeld van wat wel de quoti¨entregel voor tensoren wordt genoemd.) Als de vorm van het lineaire verband niet afhangt van de keuze van de orthonormale basis van de vectorruimte, dan geldt voor de componenten van C (bij een orthogonale transformatie x_i → x⁰_i) C_ijk = C_ijk⁰ . Een dergelijke (pseudo)tensor, waarvan de componenten onveranderd blijven onder een directe orthogonale transformatie, heet isotroop.

Het is mogelijk om alle isotrope Cartesische tensoren van gegeven rang k te bepalen. Zoals we weten is een Cartesische (pseudo)tensor van rang k een mulilineaire afbeelding C : (Rⁿ)^×k → R is, zodanig dat voor de componenten geldt dat C_i1,...,in = C(e_i1, . . . , e_in) met {e₁, . . . , e_n} een orthonormale basis van Rⁿ. Een Cartesische (pseudo)tensor C is nu isotroop als C(e1, . . . , en) = C(Oe₁, . . . , Oe_n) waarbij O een directe orthogonale transformatie is. Het geval dat n = 1 is triviaal, we nemen aan dat n > 1.

1. Rang 1. C_i= C(e_i). Aangezien er voor elke i, j = 1, . . . , n een orthogonale transformatie bestaat zodat Oei = ej, is Ci= Cj. Verder is Ci= C(eicos θ + ejsin θ) = Cicos θ + Cisin θ voor θ ∈ R.

Maar dit is alleen mogelijk als C_i = 0, m.a.w. de enige isotrope Cartesische tensor van rang 1 is de nultensor.

2. Rang 2. C_ij = C(e_i, e_j). Als n = 2, dan geldt C₁₁ = C₂₂ en C₁₂ = −C₂₁. Verder zijn er geen beperkingen. Dus isotrope Cartesische tensoren van rang 2 in n = 2 zijn van de vorm A(e1⊗ e1+ e₂⊗ e₂) + B(e₁⊗ e₂− e₂⊗ e₁) ofwel Aδ_ij + B²_ij met ²_ij weer het totaal antisymmetrische Levi- Civitasymbool. Merk op dat als we ook orthogonale transformaties met determinant -1 beschouwen, dan is B = 0 (immers dan is C12 = C(e1, e2) = C(−e1, e2) = −C12) dus in dat geval is de enige tensor van rang 2 gelijk aan Aδ_ij. Ga na dat ²_ij wel een pseudotensor is. Voor n > 2 is er voor i 6= j ook een directe orthogonale transformatie e_i → −e_i, e_j → e_j en dan is dus C_ij = 0. Verder geldt weer dat er een transformatie is zodanig dat e_i→ e_j zodat C_ii = C(e_i, e_i) = C(e_j, e_j) = C_jj. De enige isotrope Cartesische tensor van rang 2 voor n > 2 is dus Aδij.

3. Rang 3. Voor n = 3 is er de pseudotensor ²_ijk. Verder zijn er geen (pseudo)tensoren van rang 3.

4. Rang ≥ 4. De Cartesische isotrope tensoren C_i1...iN van even rang N op Rⁿ zijn lineaire combinaties van de vorm δ_i1i2. . . δ_{iN −1iN} (Zo heeft een Cartesiche tensor van rang 4 de vorm Aδijδk`+ Bδikδj`+ Cδi`δjk.) De enige Cartesische pseudotensor van rang N is de volledig anti- symmetrische pseudotensor ²_i1...iN op R^N. Andere Cartesische (pseudo)tensoren zijn er niet.

Toepassingen: Beschouw de n-dimensionale Euclidische ruimte E_n. Door een vast punt O (de oorsprong) te kiezen en een orthonormale basis {e₁, . . . , e_n} krijgt E_n de structuur van een vec- torruimte Rⁿ. Co¨ordinaten x¹, . . . , xⁿ van een punt x = x¹e1+ . . . + xⁿen ten opzichte van zo’n orthonormale basis heten Cartesische co¨ordinaten. Als {x⁰¹, . . . , x⁰ⁿ} een ander stelsel van Carte- sische co¨ordinaten is, dan geldt x⁰ⁱ = Aⁱ_jx^j + bⁱ waarbij A = (Aⁱ_j) een orthogonale matrix is en bⁱ de componenten van een vector b ∈ Rⁿ. A en b hangen niet af van x. Een tensorveld X van rang (r, s) op een open deel U ⊂ En is een continue afbeelding X : U → T_s^r. Als r = s = 0 spreken we van een scalair veld, als r = 1, s = 0 van een vectorveld. X heet een Cartesisch tensorveld als X(x) een Cartesische tensor is voor alle x ∈ U . Een voorbeeld is het volgende: als v een vectorveld is op U en xⁱzijn Cartesische co¨ordinaten, dan is de gradi¨ent ∇v met componenten (∇v)ⁱ_j = ^∂v_∂xⁱj =: vⁱ,j

een Cartesisch tensorveld van rang 2.

1. Zij uⁱ een vectorveld op Ω ∈ En, n ≥ 2. f is een scalair veld dat lineair en isotroop van de eerste parti¨ele afgeleiden uⁱ,_j= ^∂u_∂xjⁱ afhangt. Dan is f (x) = C(x)div(u) waarbij de divergentie din(u) gedefinieerd is als uⁱ,_i. Immers is f (x) = C_ij(x)uⁱ,_j en wegens isotropie is C_ij = Cδ_ij.

2. Zij uⁱeen vectorveld op Ω ∈ E₃. X = (X^j) is een vectorveld dat lineair en isotroop van de parti¨ele afgeleiden uⁱ,_j afhangt. Dan is X(x) = C(x)curl(u). Immers is X^k(x) = C_ijk(x)uⁱ,_j. Wegens isotropie is C_ijk= C²_ijk en dus is X^k = C²_ijkuⁱ,_j= C(curl(u))^k.

§6.5. Toepassing: Isotrope elastische lichamen.

De strain- en de deformatietensor. Laat in E₃ een massief lichaam M gegeven zijn. Onder invloed van een krachtveld worden de posities van de punten van M veranderd, zo dat een punt met aanvankelijke positie x de positie x + u(x) aanneemt. Dit levert een omkeerbare transformatie x → x + u(x) op. We nemen aan dat zowel u(x) als de parti¨ele afgeleiden ^∂u_∂xjⁱ overal klein zijn. Hierbij zijn x^j en uⁱ Cartesische co¨ordinaten van x resp. u(x). De rang-2-tensor ∇u met componenten uⁱ,_j= ^∂u_∂xⁱ_j heet de deformatietensor. We kunnen ∇u splitsen in een symmetrisch en een antisymmetrisch deel: ∇u = (∇u)^S+ (∇u)^A. We tonen aan dat alleen het symmetrische deel te maken heeft met werkelijke vervorming. Merk eerst op dat onder een uniforme translatie u(x) constant is en de deformatietensor dus nul. Beschouw nu een uniforme infinitesimale rotatie om een as die we zonder beperking der algemeenheid door de oorsprong in E₃ kunnen kiezen: de componenten van ∇u veranderen niet als we de Cartesische co¨ordinaten transleren: xⁱ→ xⁱ+ aⁱ. Onder een infinitesimale rotatie gaat x over in x + δφn × x (waarbij n een eenheidsvector langs de rotatie-as is). Dus u(x) = δφn × x. Voor de componenten geldt dus uⁱ = ²_ijk(δφ)n^jx^k en uⁱ,_k= ²_ijkδφn^j = −u^k,_i. De deformatietensor is dus antisymmetrisch en evenredig met de grootte van de infinitesimale rotatiehoek. Omgekeerd, als ∇u antisymmetrisch is, dan is u(x) = Ax + b met A een antisymmetrische matrix en b een vector. b is irrelevant en we kunnen deze nul maken door de oorsprong te verschuiven. Voor een antisymmetrische matrix A is er een unieke vector n zodanig dat Ax = n × x. Dus (∇u)^A correspondeert met een infinitesimale rotatie.

We bekijken nu het gedeelte van de tensor dat een werkelijke deformatie voorstelt. Beschouw daartoe een infinitesimaal lengte-element δx tussen twee punten x en x + δx in M . Voor de lengte geldt δx²= (δxⁱ)² (met sommatie over i). Onder de verplaatsing x → x + u(x) gaat δx over in δx + u(x + δx) − u(x) met lengte (δxⁱ+ uⁱ,_jδx^j)²= (δx)²+ 2e_ijδxⁱδx^j waarbij de strain tensor e_ij = 1

2 µ∂uⁱ

∂x^j + ∂u^j

∂xⁱ + ∂u^k

∂xⁱ

∂u^k

∂x^j

¶

de lokale lengte-verandering van een lijnelement weergeeft. Als de parti¨ele afgeleiden klein zijn, kunnen we het kwadratische gedeelte van e_ij verwaarlozen t.o.v.

het lineaire gedeelte en in deze lineaire benadering is eij dan gelijk aan het symmetrische deel

1

2(uⁱ,_j+u^j,_i) van de deformatietensor.

De stresstensor. Deformaties in een elastisch lichaam worden veroorzaakt door een krachtveld.

Om een verband te vinden tussen zo’n krachtveld en de daardoor veroorzaakte deformatie, proberen we dit krachtveld ook als een tensorveld te beschrijven. Beschouw een klein gedeelte van het lichaam M , dat wordt gevormd door een gebied V ingesloten door een bijna overal glad oppervlak A = ∂V . Op V werken twee soorten krachten: inwendige krachten of volumekrachten, zoals de zwaartekracht, en verder oppervlaktekrachten. Deze laatste werken alleen op de rand omdat krachten op inwendige oppervlakken elkaar wederzijds opheffen vanwege de derde wet van Newton. De totale kracht op V is dan

Z

V

f dτ + I

A

F dA. Hierbij zijn f en F de volume- resp. oppervlaktekrachtdichtheden (d.w.z.

kracht per volume, resp. per oppervlakte). Beide zijn vectori¨ele grootheden. Zo is in het geval van de zwaartekracht f = ρg met ρ de lokale dichtheid. f is in principe in elk punt van V gedefinieerd en vormt een vectorveld. Dit is echter niet het geval voor F . F is alleen op het oppervlak gedefinieerd