Drie snijpunten

(1)

wiskunde B havo 2016-II

Drie snijpunten

1 maximumscore 2

• Beschrijven hoe de vergelijking 3 x3+3x2 +2x = opgelost kan worden 0 1 • (De x-coördinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as

zijn) x=0, x= −1 en x= −2 1

• l moet tussen de toppen van de grafiek van f liggen 1 • Beschrijven hoe de y-coördinaten van deze toppen gevonden kunnen

worden 1

• y≈ −0, 727 en y≈0, 727 (of nauwkeuriger) 1 • De gevraagde waarden van p zijn −0, 727≤ ≤p 0, 727

(of −0, 727< <p 0, 727) (of p ligt tussen –0,727 en 0,727) 1

(2)

wiskunde B havo 2016-II

Vraag Antwoord Scores

Zuinig verpakken

• (Voor de vergrotingsfactor k zou moeten gelden) 3 1, 50 0, 20

k = (=7, 5) 1

• Hieruit volgt k ≈1, 96 (of nauwkeuriger) 1

• Dus zou de hoogte van het voordeelpak gelijk moeten zijn aan

1, 96 12, 0⋅ ≈23, 5 (of nauwkeuriger) (cm) 1 • 24, 5≠23, 5 (dus het voordeelpak is geen vergroting van het kleine

pakje) 1

of

• (Voor de vergrotingsfactor k zou moeten gelden) 24, 5 12, 0 k=

(≈2, 04 (of nauwkeuriger)) 1

• Dus zou de inhoud van het voordeelpak gelijk moeten zijn aan

3

2, 04 ⋅0, 20 1, 70≈ (of nauwkeuriger) (cm3) 2 • 1, 50≠1, 70 (dus het voordeelpak is geen vergroting van het kleine

pakje) 1

of

• (Voor de vergrotingsfactor k zou moeten gelden) 24, 5 12, 0 k=

(≈2, 04 (of nauwkeuriger)) 1

• Dus zou de breedte van het voordeelpak gelijk moeten zijn aan

2, 04 3, 5⋅ ≈7,1 (of nauwkeuriger) (cm) en de lengte gelijk aan

2, 04 4,8⋅ ≈9,8 (of nauwkeuriger) (cm) 2 • 24, 5 7,1 9,8 1500⋅ ⋅ ≠ (dus het voordeelpak is geen vergroting van het

(3)

wiskunde B havo 2016-II

• Het kleine pakje heeft een oppervlakte van

(

)

2 4,8 3, 5 4,8 12, 0 3, 5 12, 0⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =232,8 (cm2) 1 • Het blikje heeft een oppervlakte van 2⋅ π⋅2, 52+ ⋅ π⋅2 2, 5 12,8⋅ ≈240, 3

(of nauwkeuriger) (cm2) 1

• De IQ’s zijn respectievelijk

2 3 36 200 0, 4 232,8 π⋅ _≈ (of nauwkeuriger) en 2 3 36 250 0, 5 240, 3 π⋅ _≈ (of nauwkeuriger) 1

• Het blikje (heeft een groter IQ en) is dus de meest efficiënte verpakking 1 Opmerking

Als een kandidaat de inhouden van de verpakkingen uitrekent in plaats van te werken met de gegeven waarden, hiervoor geen scorepunten in

mindering brengen.

• Voor een bol (met straal r) geldt V = π en 4₃ r3 A= π4 r2 1

• Invullen geeft

(

)

( )

2 3 4 3 3 2 36 4 r IQ r π⋅ π = π 1 • Dit levert 2 6 16 9 3 6 36 64 r IQ r π⋅ π ⋅ = π ⋅ 1 • Hieruit volgt 3 6 3 6 64 1 64 r IQ r π ⋅ = = π ⋅ 1 of

• Het volstaat om een bol met straal 1 (of met een andere straal) te nemen 1 • Voor een bol met (bijvoorbeeld) straal 1 geldt V = π en 4₃ A= π4 1

(4)

wiskunde B havo 2016-II

Vierdegraadsfunctie

• (Uit

(

x2−7

)

2−25=0 volgt)

(

x2−7

)

2 =25 1

• Hieruit volgt x2− = of 7 5 x2 − = −7 5 1

• Dus x2 =12 of x2 =2 1

• (De x-coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn) x= − 12, 2 x= − , x= 2 en x= 12 1 • Dus AD= ⋅2 12 (=4 3) en BC= ⋅2 2 1 • Dus 2 12 2 2 AD BC = (of 4 3 2 2

= ) (= 6) (of een vergelijkbare vorm) (dus

AD is 6 keer zo lang als BC) 1

of

• (Uit

(

x2−7

)

2−25=0 volgt) x4−14x2+24= 0 1

• Hieruit volgt

(

x2−12

)(

x2−2

)

=0 1

• Dus x2 =12 of x2 =2 1

• (De x-coördinaten van de snijpunten met de x-as zijn) x= − 12, 2 x= − , x= 2 en x= 12 1 • Dus AD= ⋅2 12 (=4 3) en BC= ⋅2 2 1 • Dus 2 12 2 2 AD BC = (of 4 3 2 2

= ) (= 6) (of een vergelijkbare vorm) (dus

AD is 6 keer zo lang als BC) 1

Opmerking

(5)

wiskunde B havo 2016-II

• f ' x( )=4x x

(

2− (of een minder uitgewerkte vorm)7

)

2 • (Uit 4x x

(

2−7

)

= volgt) (0 x=0 of) x2 =7 1

• x= − 7 of x= 7 1 •

( ) ( )

2 2 7 7 7 25 25 f =_ − _ − = −   1 •

( ) ( )

2 2 7 7 7 25 25 f − = −_ − _ − = −   1

• Dus het bereik van f is

[

−25,→ (of f x( )≥ −25) 1 of • (Uit f x( )=x4−14x2+24 volgt) f ' x( )=4x3−28x 1 • (Uit 4x3−28x= volgt) 0 x x

(

2−7

)

=0 1 • (x=0 of) x2 =7 1 • x= − 7 of x= 7 1 •

( ) ( )

2 2 7 7 7 25 f =_ − _ −   (of

( )

4 2 7 14 7 24 = − + ) = −25 1 •

( ) ( )

2 2 7 7 7 25 f − = −_ − _ −   (of

( )

4 2 7 14 7 24 = − − − + ) = −25 1 • Dus het bereik van f is

[

−25,→ (of ( )f x ≥ − )25 1 Opmerking

Als een kandidaat bij het eerste alternatief bij het differentiëren de

(6)

wiskunde B havo 2016-II

Energieverbruik

• Aangeven hoe log E op de verticale as afgelezen kan worden

( )

1

• log

( )

E ≈19, 6 1

• E≈1019,6 (of beschrijven hoe hieruit E gevonden kan worden) 1 • (E≈3, 98 10⋅ 19, dus het gevraagde energieverbruik is) 40 (exajoule) 1 Opmerking

Voor log E

( )

is een afleesmarge van 0,1 toegestaan.

• De vergelijking log 3, 0 10

(

⋅ 20

)

=0, 0125t+15,8 moet worden opgelost 1 • Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden 1 • t≈374, 2, dus in het jaar 2025 1 Opmerking

Het antwoord 2024 ook goed rekenen.

• De vergelijking 1, 2 10⋅ 13⋅10t =1, 7 10⋅ 17 moet worden opgelost (met t de

tijd in honderden jaren) 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden 1

• t≈4, 2 (of nauwkeuriger) 1

• Dus over (ruim) 4 eeuwen 1

of

• (Voor de groeifactor g per jaar geldt) g100 =10, dus _g=₁₀1001 ₁

• De vergelijking _{1, 2 10}13

( )

₁₀1001 _{1, 7 10}17

t

⋅ ⋅ = ⋅ moet worden opgelost (met t

de tijd in jaren) 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden 1 • t≈415 (of nauwkeuriger), dus over (ruim) 4 eeuwen 1 of

• De vergelijking 1, 2 10⋅ 13⋅10t =1, 7 10⋅ 17 moet worden opgelost (met t de

tijd in honderden jaren) 1

• Beschrijven hoe deze vergelijking met een tabel onderzocht kan worden 1 • 1, 2 10⋅ 13⋅104 <1, 7 10⋅ 17 <1, 2 10⋅ 13⋅105 1

(7)

wiskunde B havo 2016-II

Sinusoïden

• Uit 2 cos

(

1₂x− π =1₈

)

0 volgt cos

(

1₂x− π =1₈

)

0 1 • Hieruit volgt 1 1 1

2x− π = π + ⋅ π (voor gehele k) 8 2 k 1

• Op het gegeven domein levert dit x= π 5₄ 1

12 maximumscore 2 • De richtingscoëfficiënt van kis 2 9 1 4 4 2 2 π − − _{= −}

π − π (dus k heeft een

vergelijking van de vorm y= −_π2x b+ ) 1

• Invullen van de coördinaten van

(

1₄π, 2

)

(of van

(

9₄π − ) in , 2

)

2

y= −_πx b+ geeft b= (dus een vergelijking voor k5₂ is inderdaad

5 2 2 y= −_πx+ ) 1 13 maximumscore 5 • Er moet gelden:

(

1

)

4 sin x− π =1 en

(

1

)

4 sin x− π = −1 1 • Hieruit volgt 1 1 4 2 2 x− π = π + ⋅ π (voor gehele k) en k 1 3 4 2 2 x− π = π + ⋅ π k (voor gehele k) 1

• Op het gegeven domein levert dit x= π of3₄ x= π 7₄ 1 • Dus de toppen van de grafiek van g zijn

(

3

)

4π, 1 en

(

)

7

4π −, 1 1

• − ⋅ π + = en 2_π ₄3 5₂ 1 − ⋅ π + = − _π2 7₄ 5₂ 1

(dus de toppen van de grafiek van gliggen op k) 1 of

• g ' x( )=cos

(

x− π1₄

)

1

• (Uit g ' x( )=0 volgt) 1 1

4 2

x− π = π + ⋅ π (voor gehele k) k 1 • Op het gegeven domein levert dit 3

4

x= π of 7

4

x= π 1

• Dus de toppen van de grafiek van g zijn

(

3₄π, 1

)

en

(

7₄π −, 1

)

1

• 2 3 5 4 2 1 π − ⋅ π + = en 2 7 5 4 2 1 π − ⋅ π + = −

(8)

wiskunde B havo 2016-II

Het midden en de top

• (Voor de x-coördinaten van A en B geldt) x2 −5x+ =5 0 1 • Beschrijven hoe deze vergelijking exact opgelost kan worden 1 • Hieruit volgt 5 5 2 A x = − en 5 5 2 B x = + 1 • Dus 1₂ 5 5 5 5 2 2 ₂ 2 M x − ₊ + = = 1 15 maximumscore 6 • f ' x( )=x2−5x+ +5

(

x+1 2

)(

x−5

)

2 • f ' x( )=3x2−8x 1 • (Uit f ' x( )=0 volgt) x

(

3x− =8

)

0 1

• (x=0 of) x= (dus de x-coördinaat van C8₃ is 8₃) 1

• Het gevraagde verschil is 8₃−21₂= 1₆ 1

of • f x( )=x3−5x2 +5x+x2−5x+ =5 x3−4x2+5 2 • f ' x( )=3x2−8x 1 • (Uit f ' x( )=0 volgt) x

(

3x− =8

)

0 1 • (x=0 of) 8 3

x= (dus de x-coördinaat van Cis 8

3) 1

• Het gevraagde verschil is 8 1 1

3−22= 6 1

Opmerking

Als een kandidaat bij het eerste alternatief bij het differentiëren de

(9)

wiskunde B havo 2016-II

Het Gebouw

• De oppervlakte van één balk is

2 3, 90 3, 90 4 27, 30 3, 90⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (=456, 30) (m2) 1 • De oppervlakte van het deel dat niet met de buitenlucht in aanraking

komt is 2 3, 90 3, 90 27, 30 3, 90⋅ ⋅ + ⋅ (=136,89) (m2) 1 • De gevraagde oppervlakte is

(

) (

)

2 2 3, 90 3, 90 4 27, 30 3, 90⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅2 3, 90 3, 90 27, 30 3, 90⋅ + ⋅ (of 2 456, 30 139,89⋅ − ) ≈776 (m2) 1 of

• De oppervlakte van één rechthoek is 27, 30 3, 90⋅ ( 106, 47= ) (m2) en de oppervlakte van één vierkant is 3, 90 3, 90⋅ ( 15, 21= ) (m2) 1 • Het deel dat met de buitenlucht in aanraking komt bestaat uit 7

rechthoeken en 4 vierkanten minus twee vierkanten waar de balken op

elkaar liggen 1

• De gevraagde oppervlakte is 7 27, 30 3, 90 2 3, 90 3, 90⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

(10)

wiskunde B havo 2016-II

• De balken hebben op schaal 1 : 390 de afmetingen 1,0 bij 1,0 bij 7,0 cm 1 • In het aanzicht is de lengte van de zijkant van een balk 7, 0

2 (≈4, 9) cm 1 • In het aanzicht is de breedte van de kopse kant van een balk

1, 0

2 (≈0, 7) cm 1

• Het aanzicht heeft de vorm van een rechthoek met hoogte 2,0 cm 1 • Een horizontaal lijnstuk deelt de rechthoek middendoor 1 • Het tekenen van de verticale lijnstukken binnen de rechthoek op de

juiste plaats 1

of

• De balken hebben op schaal 1 : 390 de afmetingen 1,0 bij 1,0 bij 7,0 cm 1 • Het aanzicht heeft de vorm van een rechthoek met hoogte 2,0 cm 1 • Een berekening waaruit volgt dat de breedte van het aanzicht gelijk is

aan (ongeveer) 5,7 cm 1

• Een horizontaal lijnstuk deelt de rechthoek middendoor 1 • Het aanzicht van een vierkant zijvlak is een rechthoek met de afmeting

1,0 bij 1 2

2 (≈0, 7) cm 1

• Het tekenen van de verticale lijnstukken binnen de rechthoek op de

juiste plaats 1

of

• Het tekenen van een bovenaanzicht op schaal 1 : 390 1 • Het tekenen van de vier projectielijnen evenwijdig aan kijklijn PQ 2 • Het aanzicht heeft de vorm van een rechthoek met hoogte 2,0 cm 1 • Een horizontaal lijnstuk deelt de rechthoek middendoor 1 • Het tekenen van de verticale lijnstukken binnen de rechthoek op de

(11)

wiskunde B havo 2016-II

Twee parabolen

• Uit x2−6x= volgt 0 x x

(

−6

)

=0 1

• Hieruit volgt (x=0 of) x− =6 0 (dus voor de x-coördinaat van A geldt

6 x= ) 1 • De x-coördinaat van T is (6 0 2 − = (of 6 2 1 − − = ⋅ )) 3 (of f ' x( )=0 geeft 3 x= ) 1

• De y-coördinaat van T is ( f(3)=) –9 (dus T

(

3,− )9

)

1 • g heeft een functievoorschrift van de vorm g x( )=a x

(

−6

)

2 1 • (T ligt op de grafiek van gdus geldt) a

(

3 6−

)

2 = − dus9 9 1

9

a= − = − 1

• Dus g x( )= − −

(

x 6

)

2 (= −

(

x2−12x+36

)

) = − +x2 12x−36 (dus a= −1,

12