Manjul Bhargava jaagt op mooie snijpunten
An a l y s e
Elliptische kromme
Fields-winnaar Manjul Bhargava heeft al ‘t weederde b ew i j s ’ voor een van de m i l l e n n i u m p ro b l e m e n .
Door Alex van den Brandhof
AM ST E RD AM . Manjul Bhargava (40) – die de Canadese en de Amerikaanse nationaliteit heeft – was als peuter al dol op getallen. Op driejarige leeftijd kon zijn moeder, die wiskundeprofes- sor was aan Hofstra University (New York), hem alleen stil krijgen door hem grote getallen bij elkaar op te la- ten tellen. In een interview met NRC Handelsblad vertelde hij in 2006 een vroege herinnering: „Mijn moeder had sinaasappels gekocht. Ik ging spe- len met de sinaasappels en vroeg me af hoeveel je er nodig hebt om ze in een piramidevorm van een willekeu- rig aantal etages te stapelen. Daar heb ik toen een formule voor afgeleid.” Bhargava leerde Sanskriet van zijn opa, de Indiase historicus Purushot- tam La Bhargava. Hij is ook geoefend t abla- drummer.
Fieldsmedailles Deze week kregen vier wiskundigen de ‘Nobelpr ijs’ voor de wiskunde
Op 28-jarige leeftijd werd Bhargava professor aan Princeton University.
Het was net geen leeftijdsrecord.
„Als wiskundigen aan hun proble- men denken, denken we niet onmid- dellijk aan hun toepassingen, maar aan het nastreven van schoonheid”, zei Bhargava eens in een interview.
Dat neemt niet weg dat zuivere wis- kunde vaak onverwacht kan worden toegepast. Een van Bhargava’s onder- zoeksgebieden betreft elliptische krommen. Die worden bijvoorbeeld gebruikt in mobiele telefoons om het versturen van de ingebouwde identifi- catiecode veilig te stellen.
Een elliptische kromme is een ver- gelijking van de vorm y2= x3+ ax + b, waarbij a en b vastgekozen gehele ge- tallen zijn. Voor a = –43 en b = 166 krijg je de kromme die hier rechts is is afge- beeld. Het punt (3, 8) op deze kromme is ‘mooi’, omdat x en y allebei gehele getallen zijn. Teken je de raaklijn in dit punt, dan snijdt deze lijn de kromme in nog een ander punt: (–5, 16), alweer gehele getallen. Ook in dit punt kun je weer een raaklijn tekenen, en wie dit principe voortzet, komt na zes stap- pen weer uit bij het uitgangspunt (3, 8). De vraag is of er een ander mooi punt op de kromme bestaat, waarbij je
níet terugkomt in je beginpunt. Als dat zo is, bevat de kromme oneindig veel mooie punten.
Wiskundigen proberen al lang uit te dokteren wanneer een elliptische kromme slechts een handvol mooie punten bevat, of oneindig veel. Het woord ‘mooi’ moet dan wat ruimer worden opgevat dan zo-even: de getal-
L E ID S HOOG L E RAAR
Analytische algebra
M anjul Bhargava (1974) is hoogle- raar aan Princeton University.
Sinds 2010 is hij ook hoogleraar Analytische algebraïsche getalthe- orie aan de Universiteit Leiden.
Eerder was hij daar ook gasthoog- leraar. Hij won al vele andere wis- ku n d e p r i j ze n .
y
2= x
3-43ax + 166
len moeten rationaal zijn (een getal is rationaal als het geschreven kan wor- den als een breuk), niet perse geheel.
In de jaren zestig van de vorige eeuw voerden de Britse wiskundigen Bryan Birch en Peter Swinnerton-Dyer een omvangrijk, door de computer ondersteund onderzoek uit, om grip te krijgen op het gedrag van elliptische krommen. Zij vonden een criterium om uit te maken of een elliptische kromme eindig danwel oneindig veel mooie punten bevat. Maar de juist- heid van hun criterium konden ze niet bewijzen en staat sindsdien bekend als het vermoeden van Birch en Swin- nerton-Dyer (kortweg BSD-vermoe- de n ) .
In 2000 kwam dit probleem op de lijst van zeven millenniumproblemen, waarvoor het Clay Mathematics Insti- tute in Cambridge zeven miljoen dol- lar reserveerde: een miljoen voor een- ieder die als eerste zo’n probleem weet op te lossen.
Bhargava heeft bewezen dat het BSD-vermoeden voor ten minste 66 procent van alle elliptische krommen juist is. Als hij nu ook de overige 34 procent gaat bewijzen, maakt hij zijn nieuwe prijs waar: de Fields-medaille is een aanmoedigingsprijs.
(3, 8) (–5, 16)
raaklijn
elliptische kromme 5 5
5 5
NRC 140814 / EvG / Bron: Alex vd Brandhof
