Anlagen und ihre Auswirkungen auf den Luftschall
Citation for published version (APA):Stulemeijer, I. P. J. M. (1981). Beschreibung der Druckschwankungen in hydrostatischen Anlagen und ihre Auswirkungen auf den Luftschall. Technische Hogeschool Eindhoven. https://doi.org/10.6100/IR16645
DOI:
10.6100/IR16645
Document status and date: Gepubliceerd: 01/01/1981
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UNO IHRE AUSWIRKUNGEN AUF DEN LUFTSCHALL
HYDROST ATISCHEN ANLAGEN
UNO IHRE AUSWIRKUNGEN AUF DEN LUFTSCHALL
PROEFSCHRIFT
ter verkrijging van de graad van doctor in de technische wetenschappen aan de Technische Hogeschool Eindhoven, op gezag van de rector magnificus,
prof. ir.
J.
Erkelens, voor een commissie aangewezen door het college van dekanen in het openbaar te verdedigen opvrijdag 20 november 1981 te 16.00 uur
door
IVO PETRUS JOZEF MARIA STULEMEIJER
geboren te BredaProf.dr.ir. W.M.J. Schlosser en
Hochschule Eindhoven durchgeflihrt wurde. Die Arbei t wurde in zwei Teilen durchgeflihrt. Der ertste Teil (Mai 1976 - Dezember 1979) wurde finanziell ermoglicht durch das Bundesministerium fUr Forschung und Technologie tiber die DFVLR. Der zweite. Teil (Januar 1980 - September 1981) wurde finanziell ermoglicht durch das Bundeswirtschaftsminis-terium tiber die Arbeitsgemeinschaft Industrieller Forschungsver-einigungen e. V. (A. I. F). AuSerdem wurde die Forschung durch den Forschungsfonds "Olhydraulik und Pneumatik" und mehrere deutsche Hydraulikfirmen gefordert.
Dieses Forschungsvorhaben wurde begleitet und betreut durch einen Arbeitskreis der Fachgemeinschaft "Olhydraulik und Pneumatik" im V.D.M.A •• Die Mitglieder dieses Arbeitskreises waren Vertreter aus der Industrie und der Wissenschaft und standen unter der Leitung von Herrn Dr.-Ing. H.J. Fricke, Robert Bosch G.m.b.H. Stuttgart, und im letzten Jahr von Herrn Freyschlag, Linde A.G. Aschaffenburg.
DANKESWORT
An dieser Stelle mochte ich denjenige danken, die beim Zustande-bringen dieser Arbeit mitwirkten;
insbesondere den Mitgliedern des Labors fUr Antriebstechnik der T.H. Eindhoven,
Herrn J. Banens fUr seine Hilfe bei dem Aufbau der Rechenprogramme, Frau A. Sprangers fUr die Schreibarbeiten,
Herrn R. Morth fUr die tibersetzung in die deutsche Sprache, Herrn R. Arends fUr die DurchfUhrung der Zeichenarbeiten und Herrn N. Linssen fUr die Beratung bei der Methode der kleinsten Quadrate.
Kapitel 1 Kapitel 2 Kapitel 3 Kapitel 4 Kapitel 5 Seite EinfUhrung . . . . . . . 12
Die Mikro-Dynamik der hydrostatischen Anlage • • • • • 14 2.1 Die hydrostatische Anlage
2.2 Das mikro-dynamische Verhalten im Vergleich zum makro-dynamischen Verhalten
2.3 -Der Betriebszustand und der mikro-dynamische Zustand einer Kontrollebene der hydrostatischen Anlage
2.4 Die Abschatzung der Grti8enordnung der verschiedenen GrUBen in einer hydrostatischen Anlage
2.5 Folgerungen
Die komponentenorientierte Beschreibungsmethode der
hydrostatischen Anlage • • • • • • • • • 28 3.1 Die Abgrenzung und die Voraussetzungen der Anlage 3.2 D~e· Komponenten-Beschreibung anhand von Zwei- und
Vierpolen
3.3 Die Impedanz und deren Transformation durch die Vierpole
3.4 Die Leistungsaufnahme aus der Volumenstromquelle 3.5 Die LeistungsbefUrderung durch das Elementarsystem
Das mikro-dynamische Verhalten der hydraulischen Druck-flUssigkeit. • • • • • • • • • • • • • • 42 4.1 Das System von Differentialgleichungen
4.2 Die Leitung mit DruckflUssigkeit
4.3 Das kleine Volumen mit DruckflUssigkeit
4.4 Der EinfluB nicht gelUster Gase auf die Eigenschaf-ten der DruckflUssigkeit
Das mikro-dynamische Verhalten der hydrostatischen
Pumpe. • • • • • • • • 60
5.1 Das allgemeine Rechenmodell
Kapitel 6
Kapitel 7
Kapitel 8
Kapitel 9
5.3 Messungen an verschiedenen Pumpentypen
5.4 Die Absch~tzung des elastischen Verhaltens der au8enverzahnten Zahnradpumpe
5.5 Folgerungen aus den Messungen
Das mikro-dynamische Verhalten der hydraulischen
Leitung. . . . . . • 73 6.1 Das allgemeine Rechenmodell
6.2 Die st~hlerne hydrostatische Leitung 6.3 Me8methode fUr hydrostatische Leitungen
6.5 Messungen an einigen hydraulischen Schl~uchen
6.6 Folgerungen aus den Messungen
Das mikro-dynamische Verhalten des Drosselventils • • • 87 7.1 Das allgemeine Rechenmodell
7.2 Messungen an einem Drosselventil 7.3 Folgerungen
Das mikro-dynamische Verhalten des hydrostatischen
Hydro-Zylinders. • • • • • • • • • • • • • • • • • 96 8.1 Das allgemeine Rechenmodell
8.2 Messungen an einem Hydro-Zylinder 8.3 Messungen an der Stichleitung 8.4 Folgerungen aus den Messungen
Die Versuchseinrichtung. • • • • • • • • • • • • • • • 110 9.1 Der Aufbau des Prlifstandes
9.2 Die automatische Erfassung und Verarbeitung der heiden Druck-Zeitsignale
Kapitel 10: Der Vergleich von Berechnung mit Messung der
Kapitel 11: Berechnungen an einer hydrostatischen Anlage • • • • • 120 11.1 Die Rechenmethode
11.2 Das Rechenprogramm
Kapitel 12: Die Verteilung der mikro-dynamischen GraBen in der aus Pumpe, Leitung und Drosselventil oder
Hydro-Zylinder bestehenden hydrostatischen Anlage. • • • • • 124 12.1 Die Verteilung in einer Leitung
12.2 Die Verteilung in der hydrostatischen Anlage: Hydropumpe, Leitung und Drosselventil
12.3 Die Verteilung in der hydrostatischen Anlage: Hydropumpe, Leitung und Hydro-Zylinder
Kapitel 13: Die dynamische Optimierung der hydrostatischen Anlage. 130 13.1 Die optimale Verteilung der Druckamplituden
13.2 Optimierung der hydrostatischen Anlage: Pumpe, Leitung und Hydro-Zylinder
13.3 Optimierung der hydrostatischen Anlage: Pumpe, Leitung und Drosselventil
Kapitel 14: Richtlinien fUr den Konstrukteur hydrostatischer
Anlagen. • . . . • • • • 141
14.1 Ziel der Richtlinien
14.2 Bemerkungen bei der Auswahl der Komponenten fUr minimale Druckamplituden
14.3 Die Realisierung von Antiresonanz-Verhaltnisse 14.4 Die Beeinflussung der Druckverteilung durch
An-derung der Parameter
14.5 Eine allgemeine Konstruktionsrichtlinie
Kapitel 15: Zukunftsbetrachtungen fUr die praktische Anwendung • • 150 15.1 Die Entwicklung von Komponenten mit genau
be-stimmtem elastischem Verhalten
15.2 Die Entwicklung sich automatisch optimierender Systeme
15.3 Die Verwendung der DruckflUssigkeit als In-formationstrager in hydraulischen Systemen
I
Kapitel 16: Theoretische Zukunftsbetrachtungen • • • • • • • • • • 153 16.1 Der Einflu8 der Druckschwankungen im
Energie-trager auf die Gerauschentwicklung der hydro-statischen Anlage
16.2 Die Beschreibung hydrostatischer Anlagen mit mehreren aktiven Komponenten
16.3 Eine analoge Betrachtung der Wellenfortpflanzungs-phanomene in verschiedenen Medien
Kapitel 17: Zusammenfassung • • • Summary. • • .•
Samenvatting •
Literaturverzeichnis • Symboleverzeichnis •
Anhang A: Eine numerische Schatzung der Energiegleichung der DruckflUssigkeit • • • • • • • • • • • • • • • 162 • • 163 164 • • 165 • • • 169 176 Anhang B: Definition und Berechnung der Wandadmittanz pro
Langen-einheit der mit DruckflUssigkeit gefUllten Leitung • • • 178 Anhang C: Losung der Differentialgleichungen hinsichtlich der mit
DruckflUssigkeit gefUllten Leitung
Anhang D: Das mikro-dynamische Geschwindigkeitsprofil und der Korrekturfaktor ~ als Funktion der dynamischen
Rey-181
noldszahl in der hydraulischen Leitung • • • • • • • 184
-
-
-*
-*
Anhang E: Die Transformation von M und m in M und m • • • • 187
EINFUHRUNG
Die hydrostatische Anlage ist ein Getriebe mit einer unter Druck stehenden Fltissigkeit als Energietrager. Urn die spezifische, zu tiber-tragende Leistung mijglichst groB zu machen, besteht die Tendenz, diese Systeme ftir immer hijhere Fltissigkeitsdrticke und Drehzahlen zu entwerfen. Man denkt bereits an einen Systemdruck von ca. 700 [bar].
Eine schadliche Nebenwirkung dieser Tendenz zeigte sich hierbei in der laufend steigenden Gerauscherzeugung dieser hydrostatischen An-lagen. Diese Tatsache ftihrte schon vor Jahren zu entsprechenden Untersuchungen [1.1]. Diese Untersuchungen waren erfolgreich und ftihrten zu einer neuen Generation gerauscharmer Komponenten.
In bezug auf die Gerauschentwicklung ftihrte der Zusammenbau verschie-dener Komponenten zu einer hydrostatischen Anlage jedoch haufig zu schlechten Ergebnissen. So entstand das Bedtirfnis, die Wechselwir-kungen der verschiedenen Komponenten in einer hydrostatischen Anlage und die sich daraus ergebende Gerauscherzeugung zu erforschen. Obige Gesichtspunkte veranlaBten uns daher zu dieser Untersuchung.
Die Wechselwirkung zwischen den Komponenten ftihrt zu einer Druckam-plituden-Verteilung in dem Energietrager der hydrostatischen Anlage. Diese Druckamplituden-Verteilung ist in diesem Rahmen, tiber die Wande dieses Systems, Ursache eines Tei1s der gesamten Gerauschabgabe der hydrostatischen Anlage.
Es stellte sich sehr schnell heraus, daB man diese Phanomene nicht ohne genaue Kenntnis tiber die Entstehung der
Druckamplituden-Verteilung in der hydrostatischen Anlage erforschen kann.
Die Forschungsergebnisse in der Fach1iteratur beztiglich dieser Druck-amplituden-Vertei1ung waren auBerst schwierig auf einen Nenner zu bringen und fUhrten auBerdem zu wiedersprUchlichen Folgerungen.
Auf Grund obiger Tatsachen muSten wir das Hauptaugenmerk unserer Untersuchung auf die Entstehung und die Beeinflussung der Druckam-plituden-Verteilung in der hydrostatischen Anlage richten.
Das Ergebnis der vorliegenden Untersuchung besteht daher einmal aus
der Methode zur Beschreibung des Drucks in dem Energietr~ger der
hydrostatischen Anlage, dies als Funktion von Ort und Zeit, und zum anderen aus Richtlinien zur Minimierung dieser Druckamplituden-Verteilung.
Wegen der verschiedenen Konstruktionen hydrostatischer Anlagen haben
wir in dieser Untersuchung die Beschreibungs- und Beeinflussungsm~g
lichkeit der Druckamplituden-Verteilung in der hydrostatischen Anlage
m~glichst komponentengerichtet angestrebt.
Wir sind der Meinung, daB jetzt die Grundlage gelegt ist fUr die Fortsetzung der Forschung bezliglich der Ubertragung der
Druckam-plituden-Verteilung in dem Energietr~ger auf ~ie Ger~uscherzeugung
DIE MIKRO-DYNAMIK DER HYDROSTATISCHEN ANLAGE
2.1 Die hydrostatische Anlage.
Zur Ubertragung von Energie von der Energiequelle zum Belastungsproze8 dient im allgemeinen eine Anlage, welche durch die stufenlose
Umwand-lung von Kraft und Bewegung die charakteristischen Daten des
Belas-tungsprozesses denen der Energiequelle moglichst optimal anpa8t. Optimal bedeutet in diesem Zusammenhang einmal die Erzeugung des denkbar gro8ten Wirkungsgrades und zum anderen eine Steuer- und
Regelmoglichkeit, um den optimalen Verlauf des Belastungsprozesses in
seinem jeweiligen Arbeitsgebiet zu erreichen.
Schlosser [2.1] charakterisiert solche Anlage ganz allgemein mit folgenden Einzelkomponenten (Bild 2.1):
- der generatorische Teil G - der konduktive Teil C - der motorische Teil M
und vergleicht die charakteristischen Gro8en (Kraftdichte und
Volumi-t~t) dieser Komponenten in einer hydrostatischen, mechanischen, pneumatischen und elektrischen Anlage.
E
Energie Que/ ler---,___
®=I=®
EnergieiJbertragungs-anlageL
Belastungs ProzessBild 2.1: Die Energielibertragungsanlage zwischen Engergiequelle und Belastungsprozess [2.1]
Eine sehr h~ufig verwendete Anlage zur Ubertragung von Energie ist die hydrostatische Anlage. In ihr zirkuliert eine Druckfllissigkeit als
Energietr~ger zwischen einer Verdr~ngerpumpe(G) und einem Motor(M), tiber die Leitungen(C). Der Motor kann sowohl ein Hydromotor als auch einen Hydro-Zylinder sein. Die Vorteile der hydrostatischen Anlage sind:
*
hohe Kraftdichte (dadurch kleines Bauvolumen);*
Flexibilit~t in der Anpassungsf~higkeit zwischen Energiequelle und BelastungsprozeS;*
gute Steuer- und Regelm~glichkeiten;*
glinstiger energetischer Wirkungsgrad.Schon nach der Art und Weise, wie der Volumenstrom vom Energietr~ger
in den konduktiven Teil der Anlage kommt, kann man unterscheiden: (BUd 2 .2) Gl•ichstrom-An1•9• -Z~it -., 1
1
-... - l • i lBild 2.2: Der Verlauf des Volumenstroms q' im konduktiven Teil verschiedener hydrostatischen Anlagen
- die hydrostatische Gleichstrom-Anlage; - die hydrostatische Pulsstrom-Anlage; - die hydrostatische Wechselstrom-Anlage.
Die Pulsstrom-Anlage kann man als Kombination einer Gleichstrom- und Wechselstrom-Anlage ansehen. In bezug auf die neuesten Entwicklungen der hydrostatischen Wechselstrom-Anlage sind Hibi [2.2], [2.3] und Seubers
[2.4]
zu nennen.Der fUr die Arbeitsweise notwendige Verlauf der hydraulischen GrtlBen Druck und Volumenstrom ist in der Praxis fast immer Uberlagert mit kleinen Variationen hoher Frequenz (die Runzeln in Bild 2.2). Die Beschreibung und Beherrschung dieser mikro-dynamischen Erscheinungen sind Ziel unserer Untersuchungen. Wir beschr~nken uns dabei auf die mikro-dynamischen Schwankungen der hydraulischen Gr~Ben in der hydro-statischen Gleichstrom-Anlage.
2.2
Das mikro-dynamische Verhalten im Vergleich zum makro-dynamischen VerhaltenIm allgemeinen spricht man im Energietr~ger bei hydrostatischen Anlagen von den Gr~Ben "Druck", "Volumenstrom" und "Temperatur", mit denen die hydrostatische Energie von der Pumpe (dem generatorischen Teil) tiber den hydraulischen Leiter (den konduktiven Teil) zum Hydro-motorten) oder Hydro-Zylinder (dem motorischen Teil) Ubertragen wird. Man meint damit jedoch den Mittelwert der meistens zeitabh~ngigen, zeitpunktbezogenen (momentanen) GrtlBen innerhalb eines passend gew~hlten Zeitintervalles ~t. Oder:
Mittelwert
=
1 tJ
tzeitabh~ngige
GrtlBe) dt • • • • {2.1} t1mit: t2 - t1
=
ein passend gew~hltes Zeitintervall ~tAuSerdem sind die Momentangr5Sen im allgemeinen nicht nur
zeit-sondern auch ortsabh~ngig. Das bedeutet:
-Druck p'
=
p'(~,t)- Volumenstrom: q' q'(~,t) • • • • • • • • • • • • • • • {2.2}
- Temperatur ~'
=
~'(x,t)mit: x
=
(x1, x2, x3) der Ortsvektor in derDruckflUssigkeit
Das mikro-dynamische Verhalten des Energietr~gers in der
hydrosta-tischen Anlage ist das gesamte Verhalten der momentanen Gr~Sen Druck,
Volumenstrom und Temperatur im Energietr~ger unter der Voraussetzung,
daS sich die Mittelwerte der Gr~Sen innerhalb einer Reihe aufeinander
folgender, passend gew~hlter Zeitintervalle (~tl, ~t2 ••• ~tn)
nicht ver~ndern. Dies bezeichnen wir als station~ren Betriebszustand.
Dies im Gegensatz zum instation~ren Betriebszustand. Hierbei ver~ndern
sich die Mittelwerte der Gr~Sen wie Druck, Volumenstrom und Temperatur
in der Reihe aufeinander folgender, passend gew~hlter Zeitintervalle.
Das damit zusammenh~ngende Verhalten der momentanen Gr~Sen wird als
das makro-dynamische Verhalten des Energietr~gers in der
hydro-statischen Anlage gekennzeichnet.
Wenn sich aber die Mittelwerte in einer Reihe aufeinander folgender,
passend gew~hlter Zeitintervalle nur sehr langsam ver~ndern, dann kann
man von einem quasi-station~ren Betriebszustand sprechen. In diesem
Fall kann man im allgemeinen das Verhalten der momentanen Gr~Ben in
den sukzessiven Zeitintervallen als mikro-dynamisch bezeichnen.
Bild 2.3 zeigt eine Ubersicht des Verlaufs der Mittelwerte
verschiede-ner Betriebszust~nde.
Die Gr58e des oben gekennzeichneten "passend gew~hlten
Zeitinterval-les" wird bestimmt durch eine charakteristische Zeit der Anlage wie z.B. die Umdrehungszeit der Antriebswelle der Pumpe oder die Umdre-hungszeit der Abtriebswelle des Hydromotors.
M1 Mz c.... Ql 0'1 :ro c.... +-Ql
·cr.
c.... Zeit <II c: UJ .5 Ql ~ :o c.... 0'1 c: ro +-c: Ql E 0 ~1
Zeit --•Zeit M3 M4 Ms Stationarer Betriebszustand Quasi-stationiirer Betriebszustand Instationar.t-BetriebszustandI
Hitte/wertBild 2.3: Die verschiedenen Betriebszustande in einer hydrostatischen Anlage.
Im folgenden beschranken wir uns auf die Betrachtung eines stationaren Betriebszustandes bzw. auf eine Reihe von quasi-stationaren Betriebs-zustanden.
2.3 Der station~re Betriebszustand, der mikro-dynamische Zustand und der thermodynamische Zustand in einer Kontrollebene der hydro-statischen Anlage.
2.3.1. Definitionen
In unserer Untersuchung spielt der Zustand der DruckflUssigkeit in einer Kontrollebene der hydrostatische Anlage eine sehr wichtige Rol-le. Als Kontrollebene definieren wir einen Querschnitt senkrecht zur StrBmungsrichtung der DruckflUssigkeit in den Anschlu8leitungen der hydrostatischen Komponenten.
Dieser Zustand kann in einer Kontrollebene, vorgreifend auf die in Kapitel 4 gemachten Voraussetzungen, beschrieben werden durch:
- Den momentanen Druck:
p'(t) Pst
+
p(t) [N/m2 ] • • • • • • • • • • • {2.3}- Den momenta~en Volumenstrom:
q'(t)
=
Qst+
q(t)[m3fs] • • • • • • • • • • •
{2.4}
- Die momentane Temperatur:z;'(t) Tst
+
l;(t)[De] • • • • • • • • • • • •
{2.s}
- Die momentane durchflie8ende Leistung:e'(t) Est
+
e(t)[w] • • • • • • • • • • • • •
{2.6}
Nachweisbar ist, da8 von diesen vier Momentangro8en jeweils zweiunab-h~ngig sind. Das heiSt, liegen einmal zwei GrB8en fest, dann sind die zwei andere GrB8en daraus ableitbar. Es liegt nahe, den momentanen Druck und den momentanen Volumenstrom als unabh~ngige Variablen und die momentane Temperatur und die momentane durchflie8ende Leistung als abh~ngige Variablen in einer Kontrollebene zu w~hlen.
Unsere Rechenmodelle sind deswegen nur auf die Beschreibung des momen-tanen Drucks p'(x,t) und des momenmomen-tanen Volumenstroms q'(x,t) als Funktion der Ortskoordinate x und der Zeit t in der hydrostatischen Anlage gerichtet.
Den auf diese Weise definierten Zustand betrachten wir als die Summe des stationaren Betriebszustandes und eines mikro-dynamischen Zu-standes. Der stationare Betriebszustand wird beschrieben durch die zeitunabhangigen Gro8en Pst, Qst, Tst und Est, wahrend
der mikro-dynamische Zustand beschrieben wird durch die zeitabhangige Gro8en p(t), q(t), ~(t) und e(t).
Die Verbindungen zwischen den vier Momentangro8en in einer Kontroll-ebene werden einerseits durch die Thermodynamika der Druckfllissigkeit und andererseits durch das Arbeitsgesetz bedingt.
Aufgrund des Arbeitsgesetzes gilt:
e' ( t) p'(t) q'(t)
[ w] • • • •
. • • . • • . • {2.7}
Der thermodynamische Zustand der Druckfllissigkeit (Witt [2.5]) la8t sich u.a. durch den Druck p', die Temperatur ~' und die Entropie S beschreiben. Dabei sind jeweils zwei Gro8en unabhangig. Das heiSt:
s
S(p',~') [ Nm/ kg°
CJ • • • • • •
~• • • • • • • • {
2. 8}In Anhang A wird gezeigt, da8 die durch die viskosen Reibungskrafte hervorgerufene Dissipationsleistung und die durch die Warmeleitung abflie8ende Leistung in der Druckfllissigkeit kaum zu einer Entropie-anderung eines Druckfllissigkeitsteilchens flihren kann.
Wir dUrfen also annehmen, da8 der thermodynamische Zustand in einer Kontrollebene sich isentropisch andert. Die durch die DruckflUssigkeit bedingte Gleichung {2.8}, Witt [2.5], liefert also zu jedem Zeitpunkt die Verbindung zwischen p'(t) und ~'(t).
Wie schon im Vorhergehenden abgeleitet, ist der mikro-dynamische Zu-stand in einer Kontrollebene der Anlage vollZu-standig bestimmt durch die zwei Funktionen der Zeit p(t) und q(t).
Das mikro-dynamische Verhalten der Druckfllissigkeit laBt sich am ein-fachsten im Frequenzbereich beschreiben. Deswegen ist es notwendig, diese heiden Zeitfunktionen im Frequenzbereich darzustellen. Wir setzen dabei voraus, daB diese Funktionen periodisch mit einer Periodezeit T
[s] verlaufen. Nach Fourier sind die Zeitfunktionen als die Summe einer Reihe komplexer Frequenzkomponenten zu schreiben. Danach gilt:
p( t) q( t) co Re{
L
j=O co P.eijwt} J Re{L
Q.eijwt} j=O J • • • • • • • • • • {2.9} • • • {2.10}mit: i komplexe Einheit /-1 w
=
2Tr/T Pj ·=~
0fTp(t) e-ijwtdt [N/m3] • • • • • • • • {2.11}=
komplexer DruckQ
.
=
T2 JTq(t) e-ijwtdt [m3/s] • • • • • • • • {2.12} J 0=
komplexer VolumenstromDie komplexen Frequenzkomponenten mit Schwingungs-Kreisfrequenz jw sind so zu verstehen, daB die Absolutwerte die Amplituden darstellen und die Argumente die Phasenwinkel.
Zur Aufgliederung der momentanen durchflieBenden Leistung e'(t) in Frequenzkomponenten bestimmen wir vorher die mittlere durchflieBende Leistung e'm in einer Periodezeit T.
Danach gilt:
1 T
e' =-
J
e'(t) dt[w] . . .
{2.13} m To
Die Ausrechnung mit Hilfe der Gleichungen {2.7}, {2.3} und {2.4} ergibt:
e' m
=
[w]
. . .
.
. .
.
.{2.14} Mit Hilfe der Gleichungen {2.9} und {2.10} ergibt die Gleichung {2.14} nach L~sung der Integrale:00
e~
= P8tQst
+
0+
0+
\j~
1
jPjl
jqjlcos(Arg{Pj}- Arg{qj})[w]
.{2.15}
Es liegt nahe, die mittlere durchflieSende Leistung e'm als die Summe einer durchflieSenden Gleichstromleistung Est und einer durchflie-Senden Schwingungsleistung em zu betrachten; ~ wird im weiteren die Schwingungsleistung genannt. Danach ergibt sich:
E .t; = p Q
st st st
[w]
• . . . • . . . • . . . . • . . • . . . •
{2.16}
E m
00 00
\ I jP.I jqjjcos(Arg{PJ.}- Arg{qj}) =IE
j=1 J j=1 mj
[w] •••
{2.11}
Die Gleichungen {2.9}, {2.10} und {2.15} bieten nunmehr die ~oglich keit, den mikro-dynamischen Zustand in einer Kontrollebene der hydro-statischen Anlage pro Frequenzkomponente j in dem Frequenzbereich zu beschreiben.
Daraus folgt:
MIKRD-DYNAMISCHER ZUSTAND:
bestimmt durch die Grl:58en:
mit: j
*
den komplexen Druck:*
den komplexen Volumenstrom:*
die Schwingungsleistung:Eutj
[w]
1, 2, 3 ••••• , HHierbei stellt H die Ziffer der h1:5chsten, noch relevanten komponente dar. Hierdurch wird die unendliche Reihe der Frequenz-komponente endlich, so daB praktische Berechnungen m1:5glich werden.
2.4 Die Abschatzung der Grl:58enordnung der verschiedenen Grl:58en in einer hydrostatischen Anlage
In diesem Zusammenhang ist es sinnvoll, die in den obigen Abschnitten genannten Grl:58en auf ihre Grl:58enordnung und ihr Verhaltnis zueinander zu untersuchen. Die Tabelle 2.1 gibt dazu eine Ubersicht.
Minimale Maximale Einheit Bemerkungen Werte Werte
Pst 50
*
105 350*
105 [N/m2 ] Druckp(t) o.s
*
105 10*
105 [N/m2 ] Amplitude:t.p Volumen- Qst 1o-s lo-3 [m 3is]strom
q(t) lo-6 lo-'+ (m31s] Amplitude:t.q
Tst 20 80
(Oc]
Temperatur(Oc]
l;(t) o.oos 0.1 Amplitude: t.T Leistungs- Est 1000 100000[w]
str<Sme Em 1 100[w]
abgegebene akustische Pak 0.001 0.1[w]
Lei stungTabelle 2.1 Ubersicht der Gr<S~enordnung einiger Gr~~en in hydro-statischen Anlagen
Hierbei sind einige Bemerkungen zu machen:
1. Die minimalen bzw. maximalen Werte in Tabelle 2.1 sind nicht als absolute Grenzen zu interpretieren, sondern eher als eine Gr~~en
ordnung realistischer, in der Praxis vorkommender Werte.
2. Die Temperaturschwankung l;(t) kann aus der Druckschwankung p(t) mit Hilfe der Thermodynamika des Energietragers abgeleitet werden, wobei die Unterstellung gemacht wird, da~ es sich um isentropische anderungen handelt. Bild 2.5 zeigt die isentropischen
Zustands-anderungen in einem Zustandsdiagram einer hydraulischen Druck-flUssigkeit (Witt [2.5]).
Aus den Hauptregeln der Thermodynamik ist auf einfache Weise die isen-tropische Temperaturschwankung t.T bei der Druckschwankung t.p abzu-leiten: (siehe die Gleichung {4.4})
~T Cl.. 1'0 ..c
-
tE
1
~p 0[ c] . . .
{2.18}
mit: ap
=
Volumetrischer Ausdehnungskoeffizient der Druck-fllissigkeit bei konstantem Druckcp
=
Spezifisische Warme der Druckfllissigkeit beikonstantem Druck [Nm/kgOc)
p
=
Dichte der Druckfllissigkeit [kg/m3). Mittlere TemperaturBild 2.4: Die isentropische Zustandsanderung im Zustandsdiagram einer hydraulischen Druckfllissigkeit
Die Druckfllissigkeitseigenschaften ap, cp und p werden durch den Betriebszustand bestimmt. FUr Mobil-Oil DTE-25 zeigt die Tabelle 2.2 einige Temperaturschwankungsamplituden bei einer Druckschwankungsamplitude von lO[bar] bei verschiedenen Betriebs-zustanden.
Tst fiT in
[Oc]
[Oc]
Pst=
100[bar] Pst=
200[bar]20 0.092 0.076
70 0.102 0.084
Tabelle 2.2: Einige isentropische Temperaturschwankungen fUr Mobil-Oil DTE-25 bei einer Druckschwankungsamplituden von 10 [bar]
3. Da die abgegebene Schalleistung der hydrostatischen Anlage in der vorliegenden Untersuchung eine wichtige Rolle spielt, sei es auch indirekt, ist denen Gro6enordnung ebenfalls in Tabel1e 2.1 auf-gezeichnet. Die abgegebene akustische Schalleistung Pak 1~6t sich mit Hilfe der folgenden Formel leicht schatzen:
Pak 10 Log
--'=~-1o-l2
s
LP
+
10 LogT
(dB) • • • • • • • • • • • {2.19}In dieser Gleichung stellt Lp den Mittelwert des Schalldruck-pegels Uber einer umhUllenden Me6flache der Anlage von s[m2J dar. FUr eine hydrostatische Anlage liegen die normalen Werte von Lp auf einer kugelformigen Oberflache mit einem Radius von 1[m] zwischen etwa 86 und 106[dB]. Durch Einsetzen in die Gleichung {2.19} ergibt sich eine abgegebene akustische Leistung von ca. 10-3 bis 10-1
[w].
2.5 Folgerungen.
Aus diesem Kapitel ergeben sich die Folgerungen:
1. In dieser Darstellung wird der mikro-dynamische Zustand bei
sta-tion~ren oder quasi-stationaren Betriebszustanden der hydrostati-schen Gleichstromanlage untersucht.
2. Dazu wird der mikro-dynamische Zustand in einer Kontrollebene einer hydrostatischen Anlage beschrieben und definiert.
3. Aus Tabelle 2.1 ergibt sich folgende interessante Feststellung: Die abgegebene akustische Leistung der hydrostatischen Anlage ist etwa tausendmal kleiner als die durchflieBende
Schwingungs-leistung. Will man die akustische Leistung vermindern, erscheint es daher nicht sinnvoll, MaBnahmen zur Verminderung der durch-flieBenden Schwingungsleistung zu ergreifen, sondern insbesondere die Verminderung der Schwankungen des Drucks als Funktion der Zeit
DIE KOMPONENTENORIENTIERTE BESCHREIBUNGSMETHODE DER HYDORSTATISCHEN ANLAGE
3.1 Die Abgrenzung und die Voraussetzungen des Systems
Das zu untersuchende System ist das der hydrostatischen Anlage. Die Verbindungen des Systems mit der "AuSenwelt" werden bestimmt durch ( Bild 3.1):
- mehrere mechanische Durchgange flir die Zu- und Abflihrung mechani-scher Energie;
- mehrere thermische Durchgange flir die Zu- und Abflihrung der Warme-energie;
- mehrere akustische Ausgange flir die Abflihrung der Schallenergie.
Zufilhrung mechanischer Energie Systemgrenze
,-1---,
I
I
Abfilhrungc::::(':::>l
Die hydrostatische Anlagel==t:>
mechanischerL;;---\\j
Energiethermische Energie
Schal lenergie
Bild 3.1: Die Energiebilanz des zu untersuchenden Systems
Die mechanischen Durchgange werden durch die Welle der Pumpe und die Welle des Hydromotors oder die Kolbenstange des Hydro-Zylinders ge-bildet.
Aufgrund unserer Abschatzungen sind die GroSen der thermischen Schwingungsleistung und der Schalleistung vernachlassigbar klein im Verhaltnis zur Schwingungsleistung der mikro-dynamischen GroSen in der Druckfllissigkeit.
AuBerdem machen wir die Beschr~nkung, daB keine Schwingungsenergie durch die mechanischen Durchg~nge in und aus dem System flieBt. Wir haben dazu bei dem Bau unseres PrUfstandes entsprechende Vorkehrungen getroffen.
In Kapitel 4 wird nachgewiesen, daB die mikro-dynamischen GrtiBen mit Hilfe linearer Modelle dargestellt werden kBnnen. Wir dUrfen daher das Superpositionsprinzip verwenden. Hierdurch ist es erlaubt unsere Rechenmodelle im Frequenzbereich darzustellen. Aufgrund dieser Tat-sache sind die mikro-dynamischen Konsequenzen der eventuell durch die mechanischen Durchg~nge flieBenden Schwingungsenergie als eine linea-re Uberlagerung der mikro-dynamischen GraBen in unselinea-ren
Rechen-modellen zu betrachten.
Des weiteren werden in dieser Untersuchung allein die mikro-dynami-schen Erscheinungen betrachtet, die die Folge des nicht konstanten Volumenstroms der Pumpen und Hydromotoren sind, und die u.a. durch die Bewegungskinematik des jeweiligen Verdr~ngungsprinzips entstehen. Die mikro-dynamischen Erscheinungen in bezug auf schwingende Ventile, die ihre Erregungsenergie aus der durchfliessenden Gleichstromleistung beziehen, bleiben hier auBer Betracht. Wir haben deswegen in unserem PrUfstand ein Drosselventil als passive Belastung verwendet.
3.2 Die Komponenten-Beschreibung anhand von Zwei- und Vierpolen
Jede Komponente (Pumpe, Leitung, Hydro-Zylinder) innerhalb des Sys-tems "hydrostatischer Anlage" kann zur Beschreibung ihres Verhaltens als ein Zwei- oder Vierpol aufgefasst werden, abh~ngig davon, ob sie ein oder zwei Energiedurchgange besitzt (Bild 3.2). Unter Energie-durchgang wird hier verstanden: Ein Tor, durch das die Energie in und aus der Komponente flieBen kann. Also eine Kontrollebene der
hydrostatischen Anlage.
Die Differentialgleichungen, die das mikro-dynamische Verhalten der DruckflUssigkeit innerhalb dieser Zwei- und Vierpole beschreiben,
werden in den n~chsten Kapiteln mit Hilfe der Randbedingungen in den Kontrollebenen gel~st. Zweipo/ Energie-durchgang
I
(t)
I
.,-.q(t)
I
l
P!(t)
Tt
II
.&. .!.
IBild 3.2: Der Zwei- und Vierpol
P2(t)
1
t
T IVierpo/
I
l
(t1'
"!'I
Diese Beschreibungsmethode von Komponenten ist schon seit langem Uh-lich in der Systemlehre, z.B. bei der Analyse linearer elektrischer Netzwerke ([3.1] Butterweck). Hierbei sind der momentane elektrische Strom i(t) und die momentane elektrische Spannung v(t) analog mit beziehungsweise dem momentanen hydraulischen Druck p'(t) und dem momentanen hydraulischen Volumenstrom q'(t).
Der mikro-dynamische Zustand in den Energiedurchg~ngen der Zwei- und Vierpole wird !aut der Definition bestimmt von den dort geltenden Zeitfunktionen des Drucks p(t) und des Volumenstroms q(t). Der Vor-teil dieser Beschreibungsmethode ist die Einfachheit, mit der die Komponenten mit ihren Energiedurchg~ngen miteinander verbunden werden
k~nnen. Hierbei gilt, daB der aus einer Komponente kommende Volumen-strom dem einer anderen Komponenten zugefUhrten VolumenVolumen-strom gleich ist. Das gleiche gilt ebenfalls fUr den Druck.
Der wichtigste Vorteil dieser Beschreibungsmethode liegt jedoch dar-in, daB es mit dieser m~glich ist, die mikro-dynamischen
Eigen-schaften jeder Komponente einzeln in Zwei- oder VierpoleigenEigen-schaften auszudrUcken. Mit anderen Worten, man kann daher Komponenten unabh~n
Au8erdem kBnnen die mikro-dynamischen Eigenschaften gleichartiger Komponenten auf einfache Weise miteinander verglichen werden.
Aufgrund des Superpositionsprinzips l~St sich jedes lineare System, in dem sich N Schwingungserzeuger befinden mittels einer Summe von N Elementarsystemen, die aus 2 Zweipolen und einem Vierpol bestehen, (Bild 3.3), darstellen. Kontro/1 ebenen:
1
Zweipol mit Schwingungs erzeuger Aktiver ZweipolI
I
I-
TI
PassiverI
Vierpol....
T
I Durchlaufrichtung der Schwingungsenergie2
I
I
!
T I I....
"'''
I IBild 3.3: Die Zusammensetzung eines Elementarsystems
Passiver Zweipol
Der aktive Zweipol liefert die Schwingungsenergie, wahrend der passive Zweipol lediglich Schwingungsenergie absorbieLen kann. Dadurch liegt die Durchlaufrichtung der Schwingungsenergie fest (Bild 3.3).
Abhangig von der gewlinschten Anzahl der Kontrollebenen und ihrem
geometrischen Ort innerhalb der hydrostatischen Anlage kann hierzu das oben angegebene Elementarsystem auf einfache Weise transformiert
werden (Bild 3.4).
In der vorliegenden Untersuchung beschranken wir uns auf ein Elemen-tar-system. Dabei ist der aktive Zweipol der schwingungserzeugende Mechanismus der hydrostatischen Pumpe, die Hochdruckleitungen sind die passiven Vierpole, und der Hydrozylinder oder das Drosselventil ist der passive Zweipol.
Kontrollebenen 1
I:
TI
:
ill:
1 I 1I
2 I I 3 4 I I Kom onenten 4I
II -TI
Zusammenfassung mehrererVierpole zu "einem" Vierpol.
IT
-ill
Zusammenfassung einesVier pols und eines passi ven Zweipols zu einem passiven Zweipol.
Bild 3.4: Einige verschiedenartige Darstellungen eines Elementarsystems, abh~ngig von der gewUnschten Anzahl und den geometrischen Orten der Kontrollebenen in der hydrostatischen Anlage
3.3 Die Impedanz und deren Transformation durch die Vierpole
-Analog der elektrischen Impedanz kann die hydraulische Impedanz Z definiert werden als komplexes Verh~ltnis des komplexen Drucks P zu dem komplexen VolumenstromQ
in einer Kontrollebene der hydrostati-schen Anlage. Daher ist:Z(w)
=
~
Q(w)
Im folgenden wird der Begriff "hydraulische Impedanz" in einer Kon-trollebene des Getriebes kurz "Impedanz" genannt. Die Impedanz z 1st im allgemeinen komplex, eine Funktion der Frequenz und hat einen realen Teil ) 0. Das letzte gilt deshalb, wei! die mittlere durchflie8ende Schwingungsleistung
Em
in der Durchlaufrichtung ) 0 sein mu8. Gema8 der Gleichung {2.15} in Verbindung mit der Gleichung {3.1} gilt:[w] . . . • . . •
{3.2}
Hieraus folgt, da8 bei
Em )
0 gelten mu8:Re{Z}
>
0 • • • • • • • • • • . • • • • • • • • • • • • . • •
{3.3}
Bild 3.5 zeigt mtlgliche Werte der Impedanz Z in der komplexen Ebene.
-00
Bild 3.5: Die Sammlung der mtlglichen Werte der Impedanz
Ebenso ktlnnen analog der elektrischen Impedanz eine Anzahl besondere Impedanzen definiert werden (Bild 3.6). Hierbei werden der Phasenwin-kel und das Frequenzverhalten vorgegeben.
1. Der hydraulische Widerstand R:
Z(w)
=
R [Ns/m5 ]. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.{3.4}
2. Die hydraulische Induktivitat 1:
Z(w)
=
iwL [Ns/mSJ. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.{3.5}
3.
Die hydraulische K.apazitat C:Z(w)
= - -
1 [ Ns/m 5 J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.{3.6}
iwC izl 1-R---4 IZI 1z1i
i
i
--w
+Tt +Tt Arg(z) 0--w
t_Tt
Widers tand R Induktivitat L Kapazitat
c
Bild
3.6:
Einige besondere ImpedanzenVorgreifend auf Kapitel 4 kann bereits hier eine Indikation der physischen Interpretation dieser besonderen Impedanzen gegeben
werden. Dabei deuten die zu nennenden Effekte auf das Gesamtverhalten jenes Teils eines Elementarsystems, das sich hinter der angegebenen Kontrollebene (in Durchlaufrichtung der Schwingungsenergie) befindet. Der hydraulische Widerstand weist auf einen
Energiedissipations-effekt hin (mit
Em:::>
0, denn Re{z} > 0). Die hydraulische Induk-tivitat deutet auf einen Tragheitseffekt (mitEm
=
0, dennRe{z}
=
0). Die hydraulische Kapazitat weist auf einen elastischen Effekt hin (mitEm=
0, denn Re{z}=
0).In Wirklichkeit ist eine Impedanz in einer Kontrollebene der Anlage eine Kombination obiger besonderen Impedanzen.
Es ist jetzt an der Zeit, zwei viel verwendete Begriffe naher zu erlautern:
1. Die Eingangsimpedanz eines Zwei- und Vierpols; 2. Die Ausgangsimpedanz eines aktiven Zweipols.
Zu 1: Die Eingangsimpedanz eines Zwei- oder Vierpols ist (in der Durchlaufrichtung gesehen) die Impedanz in der Kontrollebene direkt vor dem betreffenden Zwei- oder Vierpol (Bild 3.7). Hierbei ist anzumerken, daB die Eingangsimpedanz eines passiven Zweipols eine Eigenschaft dieses Zweipols ist, wahrend dies bei einem Vierpol nicht der Fall ist. Dies wegen der Tatsache, daB die Eingangsimpedanz des Vierpols die durch den Vierpol trans-formierte Eingangsimpedanz des abschlieBenden Zweipols dar-stellt.
Z·
IBild 3.7: Die Eingangsimpedanz des Zwei- und Vierpols
p
zi
=--a
Die Eingangsimpedanz wird auch Belastungsimpedanz des vorgehen-den Teils des Elementarsystems genannt.
Zu 2: Bei der Erl~uterung des Begriffs Ausgangsimpedanz wird das Theorem von Thevenin verwendet. Darin wird ausgesagt, daB jeder
willkUrliche Zweipol, der mehrere Schwingungsquellen ent-h~lt, als ein Volumenstromerreger QB mit einer parallel-geschalteten Ausgangsimpedanz
Zu
(Bild 3.8) dargestellt werden kann. Aktiver Zweipol mit Schwing-ungs erzeugera
Bild 3.8: Die Ausgangsimpedanz eines aktiven Zweipols
-
p
Zu=-
-o.a-a
Ein anderer h~ufig vorkommender Begriff ist die Impedanztransforma-tion eines passiven Vierpols. Hiermit wird die Ver~nderung der Impe-danz in einer Kontrollebene angesprochen, dies als Folge des Ein-fUgens des passiven Vierpols direkt hinter dieser Kontrollebene (Bild 3.9). Passiver Zweipol Passiver Vier pol Passiver Zweipol
Im Gegensatz zu der Eingangsimpedanz des Vierpols muB die Impedanz-transformation vollst~ndig den Eigenschaften des Vierpols selbst zuge-schrieben werden.
Allgemein gilt:
[Ns/m5] • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
{3.7}
In dieser Formel werden die komplexen GraBen
A, B, C,
und D al-lein durch die Vierpoleigenschaften bestimmt. Gleichung{3.7}
wird auch als die bilineare Abbildung vonZ2
aufZ1
(Butterweck(3.1],
Par. 8.4 und Par. 8.5) bezeichnet.
Zusammenfassend konnen die Zwei- und Vierpole wie folgt beschrieben werden:
1. Der aktive (Erreger) Zweipol:
Darstellung Gleichung
mit den Zweipoleigenschaften:
QB Volumenstromerregerst~rke [m3/s]
2. Der passive Zweipol:
-
-zi
Q 1 •. • • . • . .
{3.9}
Darstellung Gleichung
mit der Zweipoleigenschaft: Zi
=
Die Eingangsimpedanz 3. Der passive Vierpol.[ ::]-[ : : ]· [:: l . . .
{3 .10)
Darstellung Gleichungen
Das Gleichungssystem {3.10} ergibt sich auf einfache Weise aus der linearen Abh~ngigkeit zwischen den EingangsgrBBen
(P
1 ,Q
1) und den AusgangsgrBBen(P
2,Q
2). Die Dbertragungsmatrix aus dem Gleichungs-system {3.10} wird als die Kettenmatrix des Vierpols bezeichnet [3.1]. Die KomponentenA, B, C
undD
sind identisch mit denen in Gleichung {3.7}.3.4 Die Schwingungsleistungsaufnahme aus der Volumenstromquelle
Da die durchflie6ende Schwingungsleistung in einem Elementarsystem in dieser Untersuchung eine wichtige Rolle spielt, ist zu fragen, welche Grtleen die Grtlee der abgegebenen Schwingungsleistung des aktiven Zwei-pols bestimmen. Hierzu wird das Elementarsystem "Aktiver Zweipol, belastet durch einen passiven Zweipol" untersucht (Bild 3.10).
Fig. 3.10 Der belastete aktive Zweipol
Man kann sagen (Butterweck[3.1], Par. 4.6), dae die abgegebene Schwingungsleistung maximal ist, wenn die Belastungsimpedanz Zs mit dem konjugierten Wert der Ausgangsimpedanz {Zu}*gleich ist. Dies wird auch Leistungsanpassung genannt. Es gilt daher bei maximaler LeistungsUbertragung:
Zs = {Zu}
*
[Ns/ms]. • • • • • • • • • • • • • • • •{3.11}
Die maximal an die Belastungsimpedanz abgegebene Schwingungsleistung ergibt sich mittels der Gleichungen {3.2}, {3.8}, {3.9} und {3.11} aus:
[w] • • • • • • • • • •
{3.12}
In diesem Fall mue der Erreger selbst die doppelte Schwingungsleis-tung erbringen. Die ~lfte wird dabei in der Ausgangsimpedanz
Zu
in Warme umgesetzt.Aus der Gleichung
{3.12}
kann man schlieSen, daS die abgegebene Schwin-gungsleistung des aktiven Zweipols kein Maximum hat, wenn die Aus-gangsimpedanz rein imagin~r ist. Diese Tatsache hat groae Bedeutung bei der Beschreibung hydrostatischer Pumpen. Es hat sich n~mlichgezeigt (Kapitel 5), daS die Ausgangsimpedanz der untersuchten Pumpen sich kapazitiv verh~lt. Das heiSt, daS diese Pumpen eine sehr groae Schwingungsleistung abgeben kBnnen.
Die tats~chlich abgegebene Schwingungsleistung des aktiven Zweipols
folgt aus: E = \ IQBI
2
Re{zB} m ZB11
+ -
12
[w] • • • • • • • • • • • • • • •
{3.13}
z
uGleichung
{3.13}
geteilt durch Gleichung{3.12}
gibt das Verh~ltnis zwischen der tatsiichlichen und der maximalen abgegebenen Schwingungs-leistung des aktiven Zweipols an:E
m
max(E ) m
[-] . . . . • . . • . • . . •
{3.14}
3.5 Die LeistungsbefBrderung durch das Elementarsystem
Im vorgehenden wird die Leistungsaufnahme aus dem aktiven Zweipol durch eine bestimmte Belastungsimpedanz aufgezeigt. Allgemein ist diese Bela-stungsimpedanz jedoch die Eingangsimpedanz einer Reihe aneinander ge-schalteter Vierpole, deren letzter durch einen Zweipol belastet wird.
Jeder Vierpol wird, abh~ngig davon, ob er verlustfrei ist oder nicht, nur Schwingungsleistung dissipieren oder nicht. Die aufgenommene
Schwingungsleistung aus dem Erreger kann daher auf ihrem Weg durch das Elementarsystem nur abnehmen.
Daneben kann ein Vierpol reziprok sein oder nicht. Ein reziproker Vier-pol ist umkehrbar. Das bedeutet, daa sich der VierVier-pol unabhangig von der Durchlaufrichtung der Schwingungsleistung identisch verhalt. Aus dieser Eigenschaft folgt, da6 die Determinante der Kettenmatrix eines rezipro-ken Vierpols (Gleichungssystem {3.10}) gleich 1 sein mu6:
D
ii]
= A D - B C = 1. . . {3.15}
Die in dieser Untersuchung erstellten Vierpole sind alle reziprok. Mehr hierUber findet man in Butterweck [3.1] Par. 8.3 ••Die Eigenschaft des reziproken Vierpols, verlustfrei zu sein oder
- - -
-nicht, spiegelt sich in den Vierpoleigenschaften A, B, C und D wi-der. Man kann nahmlich beweisen, daa bei einem verlustfreien
Vier--
-pol die komplexen Eigenschaften A und D rein real und die
komple--
-xen Eigenschaften B und C rein imaginar sein mUssen. Daher:
Im{A}
Re{B}
=
rm{n}
Re{c}
0 0. . . {3.16}
Ein reziproker Vierpol ist demgegenUber passiv, wenn die Vierpoleigen-schaften folgende Bedingungen erfUllen [3.1]:
Re{A.c*}
>
o
Re{i5.c*}
>
o . . . . .
. . . . .
. . • . .
Re{A.c*} Re {i5.c*} - (Re{c})
2 >o . . . .
• • • {3.17} .{3.18} .{3.19}
DAS MIKRO-DYNAMISCHE VERHALTEN DER HYDRAULISCHEN DRUCKFLUSSIGKEIT
4.1 Das System von Differentialgleichungen
Bevor wir das Verhalten der DruckflUssigkeit untersuchen, bier in den Komponenten der hydrostatischen Anlage, werden wir erst auf das allge-meine Gleichungssystem zur Beschreibung des mikro-dynamischen Verbal-tens von DruckflUssigkeiten naher eingehen.
Ausgangspunkt hierzu sind einmal das aus der Str~mungslehre bekannte System von Differentialformeln der Erhaltungsregeln fUr Masse, Impuls und Energie und zum andern die heiden Hauptgesetze der Thermodynamika.
AuSerdem werden die Viskositats- und Dichtefunktion herangezogen, die fUr die hydraulische DruckflUssigkeit beide eine Funktion des Drucks und der Temperatur sind (Witt [2.5]).
FUr eine kontinuierliche, homogene, isotrope und Newtonsche DruckflUs-sigkeit fUhrt dies zu folgendem a11gemeinen Gleichungssystem:
1. ~E~~!!~~S-~~E-~~~~:
ie_
at
+
div(pv)=
0av
p
at
+
pvgrad (~)[kg/m3s] • • • • • • • • • • • • • • • • • {4.1}
p~- grad(p')
+
grad(n'div(~))+
div(2nD) [N/m3 ] {4.2}(1. und 2. Hauptgesetz der Thermodynamik) a I;' ~;'ds = c [d~;'-
-L
dp'] [w/kg] • • • • • • • • • • • • • • {4.4} pcl
oder: c 1 1 l; IdS = _.E. [- - dp+ -
dp] a p K [w/kg] • • • • • • • • • • • • •{4.5}
p s p=
p(p' ,I;') (kg/m3 ] • • • • • • • • • • • • • • • • • • •{4.6}
n n(p',~;') [Ns/m2 ] • • • • • • • • • • • • • • • • • • • {4.7}Dieses System von 8 Gleichungen mit den 8 Unbekannten:
p, ~, p', ~;', S und n
ist bei gegebenen Randbedingungen des zu untersuchenden Systems prin-zipiell losbar. Die hier zu betrachtenden mikro-dynamischen Erschei-nungen bestehen aus kleinen periodischen Ver~nderungen der Variablen um die Werte eines Gleichgewichtszustands. Dadurch ist es unter folgenden Voraussetzungen moglich das Gleichungssystem zu verein-fachen:
1. Die EinflUsse der Gravitationsfeld~r sind vernachl~ssigbar, auf Grund der Tatsache, daB die Hohenunterschiede im System klein sind. Dadurch entf~llt das Glied P£ in Gleichung {4.2};
2. Wir gehen davon aus, daB sich keine Warmequellen in der Druckfllis-sigkeit befinden, wie dies beim Auftreten der Mikrodieseleffekte der Fall sein wlirde (Mikrodieseleffekte
=
Verbrennen derDruckfllissigkeit in kleinem Umfang; Lorentz
(4.1)).
Dann gilt 0 0;3. Die s.g. 2. Viskositat
n'
der FlUssigkeit wird als abhangig von der 1. Viskositat n angenommen. In der Stromungslehre ist diese Annahme Ublich. Man ist haufig geneigt, in diesem Zusammenhang folgende Abhangigkeitsrelation zu verwenden, die jedoch theoretisch nur fUr einatomige Gase gilt:• . . . • . . .
{4.8}
Z.B. fUr DruckflUssigkeiten stellt Rosenhead [4.2) die Richtigkeit dieser Relation in Frage. Da uns jedoch keine bessere Relation fUr hydraulische DruckflUssigkeiten bekannt ist, wird diese {4.8} auch hier verwendet. Die 2. Viskositat hat aber in diesen Untersuchungen eine untergeordnete Bedeutung;
4. Das nichtlineare konvektive Glied (pvgrad(v)) in der Gleichung {4.2} kann hinsichtlich der anderen Glieder in dieser Gleichung vernachlassigt werden. Dies gilt aufgrund der Tatsache, da6 der absolute Wert des Geschwindigkeitsvektors
~~~
hier immer sehr viel kleiner ist als die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Druck-wellen in der DruckflUssigkeit;5. Die DruckflUssigkeitseigenschaften
n,
A,
cp, ap und Ks, dieim Prinzip eine Funktion des Druckes und der Temperatur darstellen, werden als konstant vorausgesetzt. Die numerischen Werte werden in diesem Fall vom durchschnittlichen Druck Pst und von der
durch-schnittlichen Temperatur Tst bestimmt (Witt [2.5]).
6. Der numerische Wert der Dichte p kann in derselben Weise bestimmt werden; dies deshalb, weil das Verhaltnis ap/p nach den mikro-dyna-mischen Regeln der hydraulischen DruckflUssigkeit sehr klein ist. Dies bedeutet jedoch nicht, da6 die Veranderung der Dichte ap ver-nachlassigbar klein ist. Die DruckflUssigkeit wird in dieser Unter-suchung immer als ein kompressibles Medium betrachtet.
7. Die Zustandsveranderungen finden isentropisch statt. Im Anhang A wird mit Hilfe einer Schatzung fUr die Gleichung
{4.3}
nachge-wiesen, daB man folgendes voraussetzen kann:~ ... 0
dt
. . . • . . • • • . • . • . . . • •
.
{4.9}
Mit diesen Voraussetzungen und der Eliminierung von
ap
reduziert sich obengenanntes Gleichungssystem zu:1. Erhaltung der MaBe
(+
Zustandsgleichung):.!..._ le_
+
div(_v)K
at
s
0
[1/s] . . .
{4.10}2. Erhaltung des Impulses (=linearisierte Navier Stokes Gleichung):
av
pat
=
- grad(p)+
n{v2(~)+
3
1 grad(div(~))}Dieses System von 4 Differentialgleichungen mit den 4 unbekannten v und p bildt die Ausgangsgleichungen fUr die vorliegende Untersuchung.
4.2 Die Leitung mit DruckflUssigkeit
Als Leitung gilt eine zylindrische Rohre, die rotatorisch symmetrisch ist (Bild 4.1). Die Leitungswand kann aus mehreren homogenen Schichten aufgebaut sein:
Als erstes wird vorausgesetzt, daB alle Phanomene sowohl in der Wand als auch in der DruckflUssigkeit rotatorisch symmetrisch ablaufen. Der EinfluB der Wand auf die DruckflUssigkeit kann dann durch die Wandadmittanz Yw [m4/Ns] pro Langeneinheit angegeben werden und bildet eine der benotigten Randbedingungen zur Losung der Differen-tialgleichungen. Die anderen notwendigen Randbedingungen werden durch den mikro-dynamischen Zustand in den Kontrollebenen 1 und 2 bestimmt.
6
mit Druckfliissigkeit gefii/1 t Pz R
+
-a,
---I Kontroll ebene 1Bild 4.1: Die Leitung mit DruckflUssigkeit
I I
I
Kontrollebene 2
Die Wandadmittanz Yw ist einfach aus den visko-elastischen,
elas-tischen und/oder Wandtr~gheitseigenschaften abzuleiten. Anhang B zeigt einige Resultate hierzu.
Zumal ein zylindrisches DruckflUssigkeitssystem untersucht wird, ist es naheliegend, die Differentialgleichungen {4.10} und {4.11} in Zylinder-koordinaten (x, r, ~) darzustellen. Da rotatorische Symmetrie vorausge-setzt wurde, entf~llt die Gleichung in bezug auf die Erhaltung des Im-pulses in der ~-Richtung. Der Geschwindigkeitsvektor v kann daher aus-geschrieben werden als ~
=
(u, v, o). Damit ergibt sich:Erhaltung der Masse:
0 [1/s] • • • • • • • • • • • • • • {4.12}
Erhaltung des Impulses in der x-Richtung:
Folgende Voraussetzungen sind mtlglich (siehe auch D'Souza et Al. [4.3])
*
Gleichung {4.14} kann hinsichtlich der Gleichung {4.13} vernach-lassigt werden, da hier gilt: u>> v. Daraus resultiert ein konstan-tes Druckprofil in einem Leitungsquerschnitt senkrecht zur Symmetrie-achse.*
Da die Wellenlange A der zu untersuchenden Frequenz urn ein Viel-faches gro8er ist als der Leitungsdurchmesser, konnen die Viskosi-tatsgliederund
3
1a {av
ax ar+
Y}
rin der Gleichung {4.13} hinsichtlich der anderen Viskositatsglieder vernachlassigt werden.
Hierdurch reduziert sich das System auf die Ausgangsgleichungen von D'Souza et Al. [4.1]:
[1/s] • i • • • • • • • • • • {4.15}
[N/m3] • • • • • • • • • • {4.16}
Diese Gleichungen werden manchmal auch die Telegraphgleichungen ge-nannt.
Anhang C zeigt die Losung dieses Systems mit Randbedingungen fUr die druckflUssigkeitsgefUllte Leitung. Jedoch wird im Gegensatz zu D'Souza et Al. [4.3] das radiale dynamische Verhalten der Leitungswand mitein-bezogen. D'Souza setzte namlich eine unendlich starre Leitungswand vor-aus.
Eine wichtige Rolle in dieser Losung spielt die sogenannte dynamische Reynoldsziffer Red• Diese Ziffer gibt das Verhaltnis an zwischen den
instation~ren Tr~gheitskr~ften und den instation~ren viskosen Kr~ften in der Druckfllissigkeit. Daher:
Re = R'\
~
d
v--v
[-] • . . . • . . . . • • • . . . • •
{4.17}
mit: R Der Innenradius des Leitungsquerschnitts [ m] w
=
Der Schwingungskreisfrequenz [rad/s]\) ,. Der kinematische Viskosit~t der
Druck-fllissigkeit [m 2/s]
Anhang D gibt den EinfluB von Red hinsichtlich des mikro-dynamischen Geschwindigkeitsprofils in der Leitung wider.
Aus Anhang C geht die Losung der tibertragungsmatrix hervor, die die mikro-dynamischeen Zust~nde in der Kontrollebene 2 mit denen in 1 ver-bindet:
mit y
zo
• • . . . •
{4.18}
der Fortpflanzungskoeffizient [1/m] die charakteristische Impedanz [Ns/m5]
-Die komplexen, im allgemeinen frequenzabh~ngigen Faktoren y und Zo werden sowohl durch die Eigenschaften der Leitungswand als auch der Druckfllissigkeit bestimmt.Aus Anhang C folgt:
[1/m] • • • • • • • • • • • • • • • • . •
{4.19}
Neben dieser auf die Welleneigenschaften gerichteten Darstellung mit y und Zo gibt es noch eine weitere. Diese bezieht sich mehr auf die Leitungseigenschaften und ist ebenfalls auf zwei komplexen Koeffizienten basiert, n~mlich auf:
- der Reihen-Impedanz
z
pro ~ngeneinheit;- der Parallel-Admittanz
y
pro ~ngeneinheit. Bild 4.2 zeigt die Bedeutung dieser Koeffizienten.gt-1"
L t-1 1 2z
lz
I.
6.I
N-oo
Bild 4.2: Die Aufgliederung des Leitungsvierpols in T-Netzwerken
Die Verbindung zwischen heiden Darstellungsformen wird aus folgenden Relationen ersichtlich:
y
=F
[1/m] • • • • • • • • • • • . • • • . • •
{4.21}
'o"f
[Ns/m5] • • • • • • • • • • • • • • • • • • { 4.22}z
=
y mit: [Ns/m6 ] • • • • • • • • • • • • • • • • • •{4.23}
k A (m4/Ns] • • • • • • • • • • • • • • • • • •{4.24}
[m
2
/Ns] • • • • • • • • • • • • • • •{4.25}
~ komplexer Faktor, der den EinfluS der viskosen Reibungskrafte berlicksichtigt (= Funktion von Red; siehe auch Anhang D)
Im Hinblick auf die physische Bedeutung der Koeffizienten
y
undZQ
sei auf folgendes besonders aufmerksam gemacht.-
z, y,Die Gleichungen
{4.23}
und{4.24}
geben deutlich die unterschied-lichen Einfllisse an, wahrend die Reihen-Impedanzz
ausschlieSlich die Tragheit und die viskose Reibung miteinbezieht. Die Parallel-Admittanzy
hingegen berlicksichtigt die Elastizitat der Druckfllis-sigkeit und die radialen wanddynamischen Eigenschaften.Den Fortpflanzungskoeffizienten
y
kann man in einen Dampfungskoeffi-zienten a und einen PhasenfortpflanzungskoeffiDampfungskoeffi-zienten S aufteilen:y a+ iS
[1/m] . . . .
• . . •
{4.26}
-Die Bedeutung der Koeffizienten a, S und Zo laSt sich am besten mit Hilfe des folgenden gedanklichen Experimentes aufzeigen. Zu
die-sem Zweck stelle sich man eine Druckwelle mit der Winkelfrequenz w in einer halbseitig unendlichen hydraulischen Leitung vor (Bild
4.3).
-Durchlaufrichtung der Welle
In dieser Leitung werden keine Wellenreflektionen auftreten, weshalb nur von einer Durchlaufrichtung der Welle die Rede ist. An jeder Stel-le x in dieser Leitung wird das Verhaltnis des kompStel-lexen Drucks
-
Px zum komplexen Volumenstrom Qx durch die charakteristischeImpedanz
Zo
bestimmt. Der Phasenfortpflanzungskoeffizient S schreibt die Phasendrehung pro Langeneinheit vor. Hiermit ist es m~glich, die Phasengeschwindigkeit der Welle abzuleiten:21Tf w
cph
=-a-= a
[ m/ s ] • • • • • • • • • • • • • • • • • • { 4. 2 7 } Die Phasengeschwindigkeit Cph ist prinzipiell nicht der theoretischen Schallgeschwindigkeit Cth in der Druckfllissigkeit gleich und sie ist auSerdem frequenzabhangig. Bei abnehmendem EinfluS der Wandeigenschaften und der viskosen Reibungsverluste in der Druckfllissigkeit nahert sich die Phasengeschwindigkeit Cph der theoretischen, frequenzabhangigenSchallgeschwindigkeit Cth• Die theoretische Schallgeschwindigkeit Cth ist eine Eigenschaft der Druckfllissigkeit und berechenbar aus dem isentropischen Kompressionsmodul Ks und der Dichte p:
cth
-~
[m/s] • • • • • • • • • • • • • • • • • • • {4.28}
Der Dampfungskoeffizient a ist ein logarithmisches MaS fUr die Abnahme der Amplitude je Langeneinheit in der halbseitig unendlichen Leitung. Diese tritt auf als Folge der Dissipation eines Teils der Schwingungs-energie durch die viskosen Reibungskrafte in der Druckfllissigkeit und durch die Hysterese in der Leitungswand. Es gilt daher:
-
-p x+L Qx+L -aL--= --=
e[-] • • . • . . . • • . • . . . • . {4.29}
p Qx XWegen der Verwendung natlirlicher Neperianer Logarithmen wird a meis-tens in Neper je Meter (NEPER/m) ausgedrlickt.
4.3
Das kleine Volumen mit DruckfllissigkeitI
Unter dem kleinen Volumen mit Druckfllissigkeit verstehen wir einen Raum, welcher in allen Richtungen kleine Abmessungen hinsichtlich der Wellenl~nge der zu untersuchenden Frequenz aufweist (Bild
4.4).
,. a.,.,
'IT
Kontrollebene 2 r j j l/
I u I I Druckfliissigkeit : Ia__---{
It
Iv
fm3J-az
I I I fNim1J I I Ks I ~,----A
H
I p {N/m1 I J I /1,- I I I I I Kontrollebene 1/1L---y---
_J \ umhiillte OberflacheBild
4.4:
Das kleine mit Druckfllissigkeit geflillte VolumenIn diesem Fall kann unterstellt werden, daB der momentane Druck an je-der Stelle des Volumens gleich ist. Dies ergibt sich aus einer Ab-sch~tzung der drei Impulsgleichungen {4.11}. Das Druckfltissigkeitsver-halten wird damit nur noch durch die Gleichung {4.10} beschrieben.
Die Ltlsung ergibt sich durch Integration dieser Gleichung tiber das Druckfllissigkeitsvolumen
v.
Daher:Jff
~ ~
dV+
JJJ
div(~)
dV0
[m3/s] • • • • • • • • •{4.30}
s oder:~
fr
+
J J (
v • n ) dA [ m 3I
sJ
• • • • • • • • • • • • • •
•
{
4 • 3 1 } s umhlillte Oberfl~cheDas zweite Glied der Gleichung {4.31} kann man auffassen als den Nettovolumenstrom durch die umhUllte Oberfl~che. Dieser Netto-volumenstrom ist die Summe folgender Volumenstrome:
*
Der Volumenstrome durch die Kontrollebenen 1 und 2 (-Q1 und+
Q2).*
Des Volumenstroms durch die Ubrigbleibende umhUllte Oberfl~che-wegen der dynamischen Eigenschaften der Wand (Qw)• Diese Wand
kann, abh~ngig von der jeweiligen Stelle auf dieser Wand, verschiede-ne dynamische Eigenschaften aufweisen. Diese konverschiede-nen im Frequenz-bereich durch eine diskrete Reihe der Wandadmittanz y~ [m5/Ns] (~=1, 2, •••• ) dargestellt werden.
FUr sinusformige Ver~nderungen mit Kreisfrequenz
w
gilt:J J
<~·.!!_) dA = Re { ( -Ql+
Q2+ p
I
y~) eiwt} [m3/s].. .
.{4.32}umhUllte ~
Oberfl~che
Die Gleichung {4.31} ~ndert sich damit in:
0 • • • • • • • • • • • • {4.33}
Diese Gleichung fUhrt recht einfach zu der Ubertragungsmatrix, die den mikro-dynamischen Zustand in der Kontrollebene 2 mit dem der Kontroll-ebene 1 des druckflUssigkeitsgeflillten kleine, Volumens verbindet. Daher:
• • • • • • • • • • {4.34}
