5-5-2015
1
Differentieerbaarheid en continuïteit
Zij 𝑓: ℝ𝑘 → ℝℓdifferentieerbaar in 𝑎 ∈ ℝ𝑘. Dan is 𝑓 continu in 𝑎.
Bewijs: er geldt
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎 = 𝑓′ 𝑎 ℎ + 𝑜 ℎ voor ℎ → 0 Propositie 8.16
Continuïteit van de afgeleide
Zij 𝐸 ⊆ ℝ𝑘en 𝑓: 𝐸 → ℝℓdifferentieerbaar. Als 𝑓′: 𝐸 → Lin(ℝ𝑘, ℝℓ) continu is op 𝐸, dan noemen we 𝑓continu differentieerbaar, ook wel 𝐶1.
Definitie 8.28
Zij 𝐸 ⊆ ℝ𝑘en 𝑓: 𝐸 → ℝℓdifferentieerbaar. Dan is 𝑓’ continu op 𝐸 desda elk van de partiële afgeleides 𝐷𝑗𝑓𝑖continu is op 𝐸.
Propositie 8.29
5-5-2015
2
Continuïteit van de partiële afgeleides
Zij 𝐸 ⊆ ℝ𝑘en 𝑓: 𝐸 → ℝℓ. Als elk van de partiële afgeleiden 𝐷𝑗𝑓𝑖bestaat en continu is op 𝐸, dan is 𝑓 (continu) differentieerbaar op 𝐸.
Stelling 8.30
We willen bewijzen dat 𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎 − 𝐷1𝑓 𝑎 ⋯ 𝐷𝑘𝑓 𝑎 ℎ = 𝑜( ℎ ).
Continuïteit van de partiële afgeleides
Zij 𝐸 ⊆ ℝ𝑘en 𝑓: 𝐸 → ℝℓ. Als elk van de partiële afgeleiden 𝐷𝑗𝑓𝑖bestaat en continu is op 𝐸, dan is 𝑓 (continu) differentieerbaar op 𝐸.
Stelling 8.30
We willen bewijzen dat 𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎 − 𝐷1𝑓 𝑎 ⋯ 𝐷𝑘𝑓 𝑎 ℎ = 𝑜( ℎ ).
We hebben voor 𝜉𝑗 ∈ (0, ℎ𝑗) dat 𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎 =
𝑗=1 𝑘
𝑓 𝑎 + 𝑣𝑗 − 𝑓 𝑎 + 𝑣𝑗−1 =
𝑗=1 𝑘
𝐷𝑗𝑓 𝑎 + 𝑣𝑗−1+ 𝜉𝑗𝑒𝑗 ℎ𝑗.
Dus 𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓 𝑎 − 𝐷1𝑓 𝑎 ⋯ 𝐷𝑘𝑓 𝑎 ℎ
