Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Hertentamen Inleiding Kansrekening 5 juli 2017, 14:00–17:00

Docent: Prof. dr. F. den Hollander

Bij dit tentamen is het gebruik van boek en aantekeningen niet toegestaan, wel het gebruik van rekenmachine. Er zijn 8 vragen, elk met twee of drie onderdelen. Elk onderdeel is een aantal punten waard, dat vet gedrukt is aangegeven. Het totaal aantal punten is 100. Er zijn vragen in drie categorie¨en: R = reproductie, T = toepassing, I = inzicht.

Schrijf je naam, studentnummer en studierichting op elk blad dat je inlevert. Mo- tiveer steeds je antwoorden: een los antwoord zonder uitleg is niet voldoende. Elke berekening dient van een toelichting te worden voorzien.

(1) [R] Gegeven zijn vier gebeurtenissen A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ met kansen P(A 1 ) = ¹ ₆ , P(A 2 ) = ¹ ₅ , P(A 3 ) = ¹ ₄ , P(A 4 ) = ¹ ₃ .

(a) [6] Laat zien dat

1

3 ≤ P(A 1 ∪ A ₂ ∪ A ₃ ∪ A ₄ ) ≤ ¹⁹ ₂₀ .

(b) [4] Geef voorbeelden, aan de hand van een Venn-diagram, waaruit blijkt dat de ondergrens en de bovengrens bereikt kunnen worden.

(2) [R] Zij A de gebeurtenis dat de ijssalon morgen open is. Zij B i , i = 1, 2, de gebeurtenis dat morgen de maximale temperatuur 20 + 10i graden Celsius is. Het weerbericht meldt dat P(B 1 ) = ¹ ₃ en P(B 2 ) = ² ₃ . De eigenaar van de ijssalon meldt dat P(A | B ¹ ) = ¹ ₄ en P(A | B ² ) = ³ ₄ .

(a) [5] Bereken P(A).

(b) [5] Bereken P(B 1 | A) en P(B 2 | A).

(3) [R] Zij X de continue stochast met kansdichtheidsfunctie f X (x) =  1 − ¹ ₂ x, 0 ≤ x ≤ 2,

0, elders.

Zij Y = (X − 1) ² .

(a) [8] Bereken de cumulatieve kansverdelingsfunctie F _Y en met behulp daar- van de kansdichtheidsfunctie f _Y .

(b) [4] Bereken E(Y ).

(c) [4] Bereken var(Y ).

(4) [I] Zij X, Y het paar discrete stochasten met gezamenlijke kansmassafunctie

p X,Y (k, `) =







6

π ² (k + ` − 1) <sup>3</sup> , k, ` ∈ N,

0, elders.

(a) [4] Zijn X, Y identiek verdeeld? Zijn X, Y onafhankelijk?

(b) [4] Bereken de kansmassafunctie p _Z van Z = X + Y − 1.

(c) [8] Geef een formule voor P(X > Y ). Bereken deze kans vervolgens tot en met twee decimalen achter de komma nauwkeurig.

(5) [R] Het paar continue stochasten (R, S) heeft gezamenlijke kansdichtheids- functie

f _R,S (r, s) =  e ^−s , 0 < r < s < ∞, 0, elders.

Zij (U, V ) = (e ^R , e ^S ).

(a) [8] Bereken de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie f _U,V . Hint: Bepaal eerst de Jacobiaan van de inverse van de transformatie T : (r, s) → (u, v) = (e ^r , e ^s ).

(b) [2] Bereken E(UV ).

(6) [T] Zijn X, Y discrete stochasten met kansmassafunctie

p _X (k) = ( ( ¹ ₂ ) ^k , k ∈ N,

0, elders, p _Y (`) = ( ₁

2 , ` = 1, 2, 0, elders.

Veronderstel dat X, Y onafhankelijk zijn.

(a) [5] Bereken de kansmassafunctie p _Z van Z = XY .

(b) [5] Bereken de kansgenererende functie G _Z . Wat is de convergentiestraal?

(7) [T] Zij X = (X _n ) _n∈N

de Markovketen met toestandsruimte S = {1, 2, 3, 4} en

overgangsmatrix

P =













0 p 0 1 − p

1 − p 0 p 0

0 1 − p 0 p

p 0 1 − p 0











 ,

waar p ∈ [0, 1] een parameter is.

(a) [4] Voor welke waarden van p is X irreducibel, respectievelijk, is X ape- riodiek?

(b) [4] Bereken de invariante kansverdeling π = (π ₁ , π ₂ , π ₃ , π ₄ ).

(c) [4] Voor welke waarden van p is π reversibel?

(8) [I] Neem twee 3-zijdige dobbelstenen. Werp de twee dobbelstenen en noteer hun uitkomst. Kies daarna willekeurig ´ e´ en dobbelsteen, werp die dobbelsteen en noteer de uitkomst van beide dobbelstenen. Herhaal dit laatste kansexpe- riment.

(a) [4] Laat zien dat de aldus gegenereerde rij van paren van uitkomsten X = (X _n ) _n∈N

een Markovketen vormen.

(b) [4] Wat is de toestandsruimte S van X? Wat is de overgangsmatrix P van X?

(c) [8] Zij Y _n de som van het paar uitkomsten na n worpen. Is Y = (Y _n ) _n∈N

een Markovketen?

OPLOSSINGEN

(1) (a) De bovengrens volgt uit de ongelijkheid

P(A 1 ∪ A ₂ ∪ A ₃ ∪ A ₄ ) ≤ P(A 1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) + P(A 4 ), de ondergrens uit de ongelijkheid

P(A ¹ ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ A 4 ) ≥ max 

P(A ¹ ), P(A ² ), P(A ³ ), P(A ⁴ ) .

(b) De bovengrens wordt bereikt door A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ disjunct te kiezen, de ondergrens door te kiezen A 1 ⊂ A 2 ⊂ A 3 ⊂ A 4 .

(2) (a) Bereken

P(A) = P(A | B 1 ) P(B 1 ) + P(A | B 2 ) P(B 2 ) = ¹ ₄ ¹ ₃ + ³ ₄ ² ₃ = ₁₂ ⁷ . (b) Bereken

P(B 1 | A) = P(A | B 1 ) P(B 1 )

P(A) =

1 4

1 3 7 12

= ¹ ₇ ,

P(B 2 | A) = P(A | B 2 ) P(B 2 )

P(A) =

3 4

2 3 7 12

= ⁶ ₇ . (3) (a) Bereken, voor y ∈ [0, 1],

F _Y (y) = P(Y ≤ y) = P (X − 1) ² ≤ y
= P − √

y + 1 ≤ X ≤ √ y + 1

=

Z ^√ y+1

− √ y+1

f _X (x) dx =

Z ^√ y+1

− √ y+1

(1 − ¹ ₂ x) dx = Z ^√ y

− √ y

( ¹ ₂ − z) dz

=  ₁

2 z(1 − z)  z= √ y z=− √

y = ¹ ₂ √

y (1 − √

y) + ¹ ₂ √

y (1 + √

y) = √ y.

Het is verder evident dat F _Y (y) = 0 voor y ≤ 0 en F _Y (y) = 1 voor y ≥ 1.

Na differenti¨eren volgt

f _Y (y) = F _Y ⁰ (y) =

 1 2 √

y , y ∈ (0, 1), 0, elders.

(b) Bereken

E(Y ) = Z

yf _Y (y) dy = Z 1

0 1 2

√ y dy =  ₁

3 y ^3/2  y=1

y=0 = ¹ ₃ .

(c) Idem geldt

E(Y ² ) = Z

R

y ² f Y (y) dy = Z 1

0 1

2 y ^3/2 dy =  ₁

5 y ^5/2  y=1 y=0 = ¹ ₅ , en derhalve var(Y ) = E(Y ² ) − E(Y ) ² = ¹ ₅ − ¹ ₉ = ₄₅ ⁴ .

(4) (a) Vanwege symmetrie geldt p _X = p _Y , dus zijn X, Y identiek verdeeld. Om- dat p X,Y 6= p X p Y zijn X, Y niet onafhankelijk.

(b) De som Z = X + Y − 1 heeft kansmassafunctie p _Z (m) = 6

π ² X

k∈N

X

`∈N

1 {k+`−1=m} p <sub>X,Y</sub> (k, `)

= 6 π ²

m

X

k=1

1 m ³ = 6

π ² 1

m ² , m ∈ N.

(c) Vanwege symmetrie geldt

P(X > Y ) = ¹ ₂ P(X 6= Y ) = ¹ ₂ 1 − P(X = Y )

= ¹ ₂

"

1 − X

k∈N

6 π ²

1 (2k − 1) ³

# .

De gevraagde benadering krijgen we door de som na k = 2 af te breken.

Omdat ¹ ₂ [1 − (6/π ² )(1 ⁻³ + 3 ⁻³ )] = 0.1622... en ¹ ₂ (6/π ² )5 ⁻³ = 0.0024..., is het antwoord P(X > Y ) ≈ 0.16.

(5) (a) De transformatie T gegeven door (u, v) = T (r, s) = (e ^r , e ^s ) is een bijectie met inverse T ⁻¹ gegeven door (r, s) = T ⁻¹ (u, v) = (log u, log v). De Jacobiaan van T ⁻¹ is de determinant

J (u, v) =     

∂r

∂u

∂r

∂v

∂s

∂u

∂s

∂v

=     

u ⁻¹ 0 0 v ⁻¹

= (uv) ⁻¹ . Volgens de Jacobi formule geldt dus dat

f _{(U,V )} (u, v) = f _(R,S) r(u, v), s = (u, v)
|J(u, v)|

= ( v ⁻¹ (uv) ⁻¹ , 1 < u < v < ∞,

0, elders.

(b) Er volgt E(U V ) =

Z

R

du Z

R

dv uv f _{(U,V )} (u, v) = Z ∞

1

du Z ∞

u

dv v ⁻¹ = ∞.

De integraal divergeert.

(6) (a) De kansmassafunctie van Z = XY wordt gegeven door p _Z (m) = X

k∈N

X

`=1,2

1 {k`=m} ( ¹ ₂ ) ^{k 1} ₂ = ¹ ₂ ( ¹ ₂ ) ^m + 1 {m even} ( ¹ ₂ ) ^m/2 , m ∈ N, (b) De kansgenererende functie van Z is

G _Z (s) = X

m∈N

s ^m p _Z (m) = ¹ ₂ X

m∈N

( ¹ ₂ s) ^m + ¹ ₂ X

m∈N

( ¹ ₂ s ² ) ^m

= ¹ ₂ s

2 − s + ¹ ₂ s ²

2 − s ² , s ∈ C.

De convergentiestraal van G _Z is √ 2.

(7) (a) De toestandsruimte S kun je zien als de punten van een vierkant die kloksgewijs geordend zijn. De overgangskansen zijn zo dat sprongen met de klok mee kans p hebben en sprongen tegen de klok in kans 1 − p.

Daardoor is X voor alle waarden van p irreducibel en voor geen enkele waarde van p aperiodiek (de periode is 2 voor p ∈ (0, 1) en 4 voor p = 0, 1).

(b) De invariante verdeling is een oplossing van de vergelijking π = πP met π 1 + π 2 + π 3 + π 4 = 1. Omdat X irreducibel is, is de oplossing uniek. Dit geeft het stelsel vergelijkingen

π ₁ = (1 − p)π ₂ + pπ ₄ , π ₂ = (1 − p)π ₃ + pπ ₁ , π ₃ = (1 − p)π ₄ + pπ ₂ , π ₄ = (1 − p)π ₁ + pπ ₃ ,

dat π = ( ¹ ₄ , ¹ ₄ , ¹ ₄ , ¹ ₄ ) als unieke oplossing heeft voor alle p.

(c) De Markovketen is reversibel dan en slechts dan wanneer p = ¹ ₂ . Alleen dan geldt dat π ₁ p _ij = π _j p _ji voor alle 1 ≤ i < j ≤ 4.

(8) (a) De Markoveigenschap volgt uit het feit dat, voor elke n ∈ N 0 , de kansver-

deling van X _n+1 alleen maar afhangt van X _n . Immers, een van de twee

dobbelstenen wordt niet geworpen en de uitkomst van de worp met de

andere dobbelsteen is toevallig.

(b) De toestandsruimte is

S = {11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33}, de overgangsmatrix is

p _(ij)(k,`) =



 

 

1

6 , k = i, ` 6= j of k 6= i, ` = j,

1

3 , k = i, ` = j, 0, elders.

(c) Wanneer X _n = (X _n ¹ , X _n ² ), dan geldt Y _n = X _n ¹ + X _n ² . Omdat informatie verloren gaat door de sommatie, is Y g´ e´ en Markovketen. Bijvoorbeeld de toestand Y _n = 4 correspondeert met X _n ∈ {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}. Er geldt echter

P X n+1 = x | X _n = (1, 3)
= ( ₁

6 , x = (1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3),

1

3 , x = (1, 3), P X ⁿ⁺¹ = x | X n = (2, 2)
=

( ₁

6 , x = (1, 2), (3, 2), (2, 1), (2, 3),

1

3 , x = (2, 2), en derhalve

P Y ⁿ⁺¹ = y | X n = (1, 3)
= ( ₁

6 , y = 2, 3, 5, 6,

1

3 , x = 4, P Y ⁿ⁺¹ = y | X _n = (2, 2)
=

( ₁

3 , x = 3, 4, 5, 0, x = 2, 6.

De kansverdeling van Y _n+1 hangt dus niet alleen maar van de waarde van Y _n

af.