Door de middens van de koorden

faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen

Door de middens van de koorden

Bacheloronderzoek Wiskunde

Juli 2012

Student: M.L. van Linschoten Eerste Begeleider: Prof. dr. J. Top Tweede Begeleider: Prof. dr. E.C. Wit

Inhoudsopgave

1 Inleiding 3

2 Koordemiddens 5

2.1 Introductie eenvoudig voorbeeld . . . 5

2.2 Hoofdstelling van de symmetrische polynomen met twee variabelen . . . . 8

2.3 Vergelijking koordemiddenoppervlak . . . 10

2.4 Graad vergelijking koordemiddenoppervlak . . . 10

3 Kubische krommen 12 3.1 Kubische kromme 1: y² = x³− x . . . 13

3.2 Kubische kromme 2: y² = x²(x + 1) . . . 15

3.3 Kubische kromme 3: y² = x³− 4x + 4 . . . 17

3.4 Kubische kromme 4: y² = x³ . . . 18

3.5 Kubische kromme 5: y² = x²(x − 1) . . . 19

3.6 De vorm van de punten op de kubische kromme . . . 21

3.7 Het derde snijpunt op y²= x³− x . . . 22

4 Het klassieke probleem 26 4.1 Snijkromme vangen in kubische kromme . . . 26

4.2 Koordemiddenoppervlak snijkromme . . . 30

5 Conclusie 32 Referenties 33 A Bijectie 34 B Maplecodes 35 B.1 Afbeelding koordemiddenoppervlak zonder complexe t en s . . . 35

B.2 Afbeelding koordemiddenoppervlak inclusief complex geconjugeerde t en s 35 B.3 Berekenen graad koordemiddenoppervlak . . . 35

B.4 Afbeeldingen 2D-grafieken . . . 35

B.5 Het vinden van de vergelijkingen van de koordemiddenoppervlakken van de kubische krommen . . . 35

B.6 Afbeeldingen koordemiddenoppervlakken kubische krommen . . . 37

B.7 Singulariteiten koordemiddenoppervlakken kubische krommen . . . 37

B.8 Elliptische cilinder, ellipso¨ıde en snijkromme . . . 38

B.9 Vergelijking en afbeelding koordemiddenoppervlak snijkromme . . . 38

B.10 Singulariteiten snijkromme . . . 39

B.11 Afbeelding singulariteiten snijkromme . . . 39

1 Inleiding

Op de vierde verdieping in de Bernoulliborg, van de Rijksuniversiteit Groningen, staat een vitrinekast met daarin verschillende gipsmodellen. Het gipsmodel dat centraal staat in deze scriptie, is gemaakt door dhr. F. B¨ohml¨ander aan het einde van de negentiende eeuw in M¨unchen. (De foto op het voorblad is dit gipsmodel.) Dit deed hij onder leiding van Professor Finsterwalder. In 1892 is door dhr. Walther von Dyck een catalogus geschreven met beschrijvingen van verschillende modellen, apparaten en instrumenten.

Hierin heeft professor Finsterwalder een beschrijving gegeven van dit gipsmodel. Het gipsmodel stelt het re¨ele deel van het koordemiddenoppervlak voor van de snijkromme tussen een elliptische cilinder en een ellipso¨ıde; in deze scriptie heet dit het klassieke probleem. (Dyck, W. 1892)

In 1911 bracht dhr. Martin Schilling ook een catalogus uit over wiskundige modellen.

Hierin benoemt hij verschillende series van modellen; ´e´en van de modellen is het gips- model. (Schilling, M. 1911) Deze catalogus werd gemaakt, omdat de modellen die erin staan te koop werden aangeboden. Hier hebben verschillende universiteiten in Nederland gebruik van gemaakt; onder andere de universiteiten in Utrecht, Amsterdam, Leiden en Groningen. Bij de modellen die in Groningen te vinden zijn wordt onderzocht wat de wiskundige achtergrond van deze modellen is. Er wordt ook gezocht naar een duidelijke wiskundige beschrijving van deze modellen. Het model uit deze scriptie komt uit serie XXX en heeft modelnummer 5. (Rijksuniversiteit Groningen, 2012)

Het doel van deze scriptie is de verzameling koordemiddens van een gegeven kromme te bestuderen, te beschrijven en daarmee begrijpen wat het gipsmodel voorstelt. Zoals eerder genoemd stelt het gipsmodel een koordemiddenoppervlak voor; in het volgende hoofdstuk zal dan ook worden uitgelegd wat dit voor oppervlak is. Om dit te begrijpen moet eerst het begrip koordemidden worden toegelicht; ook dit zal in hetzelfde hoofdstuk gebeuren. Dit hoofdstuk draait om een eenvoudig voorbeeld om deze twee begrippen te illustreren. In dit voorbeeld wordt gezocht naar het re¨ele deel van zon oppervlak. Ook worden er een aantal eigenschappen bij dit voorbeeld besproken, zoals de gladheid en de graad van de vergelijking van het ontstane oppervlak.

In het derde hoofdstuk worden vijf verschillende gevallen bestudeerd van een kubische kromme in weierstrass-vorm. Bij elk geval wordt weer gezocht naar het re¨ele deel van het koordemiddenoppervlak. Hierbij wordt ook gekeken naar de singulariteiten die deze oppervlakken bevatten en hoe deze singulariteiten tot stand komen. Ten twee wordt gekeken naar de vorm van de puntenparen die een re¨eel koordemidden hebben. Tot slot wordt in dit hoofdstuk een manier besproken om het derde snijpunt te vinden bij ´e´en van deze kubische krommen.

Het vierde hoofdstuk richt zich volledig op het gipsmodel. De koordemiddens uit hoofdstuk 2 lijken erg op de koordemiddens uit hoofdstuk 3. In hoofdstuk 4 wordt on- derzocht of het klassieke probleem van het gipsmodel te vangen is in het probleem van de kubische krommen, besproken in hoofdstuk 3. Uiteindelijk wordt het oppervlak van het gipsmodel geconstrueerd en bij dit oppervlak worden ook de singulariteiten bekeken.

Tot slot wordt er een conclusie geformuleerd bij verschillende punten die besproken zijn. Hierin is te lezen dat het gipsmodel verkeerd in de vitrinekast stond. De foto op het voorblad is niet het juiste oppervlak; een foto van het juiste oppervlak is te vinden in deze conclusie.

Er zijn een aantal appendices. De eerste appendix bevat een bewijs dat nodig is om

te bewijzen dat het oppervlak uit hoofdstuk 2 glad is. Verder zijn er een aantal dingen met de computer uitgerekend en getekend. De andere appendices zijn de codes die hierbij gebruikt zijn. Het programma dat hiervoor gebruikt is, is Maple 13. In de scriptie staat vermeldt wanneer er een appendix hoort bij een bepaalde sectie of afbeelding.

2 Koordemiddens

In dit hoofdstuk zullen de begrippen koordemidden en koordemiddenoppervlak ge¨ıntrodu- ceerd worden. Verder wordt door middel van een voorbeeld dit oppervlak geconstrueerd en er wordt bekeken of dit oppervlak glad is. Ook wordt de graad van de vergelijking van dit koordemiddenoppervlak bekeken.

Een koorde is een lijnstuk tussen twee verschillende punten op een kromme. Het midden van een koorde heet een koordemidden. Bij een kromme kan bij elk punt op de kromme in combinatie met elk ander punt op de kromme een koorde geconstrueerd worden. Er bestaan dus veel verschillende koordemiddens bij een kromme. In afbeel- ding 1 is het koordemidden mab bij de punten a en b weergegeven; dit heet ook wel het koordemidden bij het puntenpaar (a, b).

Afbeelding 1. Koordemidden.

2.1 Introductie eenvoudig voorbeeld

De kromme C wordt, voor vaste n ∈ N, gedefinieerd door het beeld van de afbeelding φ(v) = (v, v², vⁿ),

waarbij v ∈ C. De willekeurige punten p en q op C kunnen geschreven worden als p = (t, t², tⁿ) en q = (s, s², sⁿ). De punten op een kromme kunnen worden opgevat als vectoren, zodoende wordt het koordemidden m bij p en q gegeven door:

m = t + s

2 ,t²+ s²

2 ,tⁿ+ sⁿ 2



. (1)

Alle mogelijke koordemiddens bij een vast punt p en een ander willekeurig punt op C vormen een nieuwe kromme en wanneer p ook gevarieerd wordt, vormen al deze krom- men bijna altijd een oppervlak in de drie-dimensionale ruimte; dit oppervlak heet het koordemiddenoppervlak M . Er geldt dus m ∈ M . Het wordt geen oppervlak als voor de kromme een rechte lijn wordt gekozen; dan is het resultaat de lijn zelf.

Om een re¨eel deel van het koordemiddenoppervlak van C te vinden kunnen er re¨ele waarden voor t en s worden ingevuld. Het resultaat is het koordemiddenoppervlak in afbeelding 2; hierbij is gekozen voor n = 3. De rode kromme is de kromme C.

Afbeelding 2. Koordemiddenoppervlak met t, s ∈ R³ (appendix: B.1).

Echter zijn er ook complexe puntenparen waarbij het koordemidden re¨eel is. Wan- neer deze puntenparen ook worden meegenomen wordt er een stuk aan het oppervlak toegevoegd, ten opzichte van afbeelding 2. Hoe de vergelijking van dit nieuwe oppervlak gevonden wordt zal in paragraaf 2.3 besproken worden. In afbeelding 3 is dit opper- vlak, van volledige re¨ele deel, weergegeven. Ook in deze afbeelding is de rode kromme de gekozen kromme C.

Afbeelding 3. Koordemiddenoppervlak met complex geconjugeerde puntenparen (t,s) (appendix: B.2).

Een complex punt vormt alleen samen met zijn complex geconjugeerde een re¨eel koorde- midden. In paragraaf 3.6 wordt hier dieper op ingegaan. In paragraaf 3.6 is er echter wel

sprake van een andere kromme maar de eerste twee co¨ordinaten van het koordemidden zijn hetzelfde. Met deze voorwaarde voor t en s kan gemakkelijk worden nagegaan dat de derde co¨ordinaat van het koordemidden bij deze kromme, met n = 3, dan ook altijd re¨eel is. Voor n > 3 kan de hoofdstelling van symmetrische polynomen met twee variabelen gebruikt worden; deze is te vinden in de volgende paragraaf. De redenering wordt dan: z is een symmetrische polynoom, dus z kan worden geschreven als een functie van t+s = 2x en ts = 2x²− y. Waarbij x en y, respectievelijk, de eerste een de tweede co¨ordinaat zijn van het koordemidden en deze zijn beide re¨eel onder de voorwaarde dat (t, s) een complex geconjugeerd puntenpaar is. Dus z is ook altijd re¨eel; dit is dus onafhankelijk van welke n er wordt gekozen.

Nu wordt nagegaan of het oppervlak van afbeelding 3 glad is. Deze vraag wordt beantwoord door verschillende afbeeldingen te beschrijven. Om te beginnen zijn er de twee reeds besproken afbeeldingen:

C × C −→ C × C −→ M.

Deze afbeeldingen zijn als volgt gedefinieerd:

(t, s) 7−→ ((t, t², tⁿ), (s, s², sⁿ)) 7−→ m.

Echter zijn deze afbeeldingen niet bijectief, want het koordemidden bij het puntenpaar (p, q) is hetzelfde koordemidden als bij het puntenpaar (q, p). Om dit probleem te vermij- den wordt de verzameling van de ongeordende paren gedefinieerd; hierin worden de paren behorend bij dezelfde koordemiddens weggedeeld. De verzameling van de ongeordende paren wordt genoteerd als het uitdelen van ∼. Er geldt dus (s, t) = (t, s) ∈ C × C/ ∼ en ((t, t², tⁿ), (s, s², sⁿ)) = ((s, s², sⁿ), (t, t², tⁿ)) ∈ C × C/ ∼. De afbeeldingen waarbij deze paren zijn weggedeeld zijn bijectief (appendix A: Bijectie):

C × C/ ∼−→ C × C/ ∼^∼ −→ M .^∼ (2)

Om te bepalen of M glad is, worden tot slot de volgende afbeeldingen gedefinieerd:

C × C/ ∼−→ C × C −→ M.^∼ (3)

Een belangrijke stap is de wijze waarop deze twee afbeeldingen gedefinieerd zijn, namelijk:

(t, s) 7−→ (σ1, σ2) 7−→ m.

Hierbij is σ1 = t + s en σ2 = ts, oftewel de som en het product van de eerste co¨ordinaat van de twee punten op de kromme. De afbeelding van deze som en dit product naar het koordemidden is ook bijectief, omdat de afbeeldingen bij (2) beide bijectief zijn en de eerste afbeelding bij (3) ook.

Het koordemiddenoppervlak is glad wanneer de afbeelding van (σ1, σ2) naar m bijectief is en wanneer de afgeleiden van de co¨ordinaten van m naar σ₁ en de afgeleiden van de co¨ordinaten van m naar σ2lineair onafhankelijk van elkaar zijn. Dat de afbeelding bijectief is, is hierboven geconcludeerd. Nu worden de co¨ordinaten van de punten op M als functie van σ₁ en σ₂ geschreven, om de co¨ordinaten ervan te kunnen differenti¨eren naar σ₁ en σ₂. Voor twee willekeurige punten op de kromme C is het koordemidden m gelijk aan (1).

Voor de eerste en tweede co¨ordinaat van m is dit eenvoudig. De eerste co¨ordinaat is te

schrijven als σ1/2 en de tweede is (σ²₁− 2σ₂)/2. Voor de derde co¨ordinaat is dit moeilijker.

De oorzaak hiervan is de onbekende waarde van n. Echter is het voldoende om te weten dat het mogelijk is om (tⁿ+ sⁿ)/2 in termen van σ₁ en σ₂ te schrijven. De hoofdstelling van de symmetische polynomen geeft hierbij het antwoord.

2.2 Hoofdstelling van de symmetrische polynomen met twee variabelen De stelling luidt als volgt:

Stelling: Neem R een commutatieve ring met een 1-element. Elk symmetrisch polynoom f ∈ R[X₁, X₂] is te schrijven als een polynoom in termen van σ₁ en σ₂ met co¨efficienten uit R. Dat wil zeggen f (X1, X2) = g(σ1, σ2) voor een zekere g ∈ R[X1, X2]. Bovendien is deze g uniek bepaald.

Bewijs: Neem aan f 6= 0. Orden de termen van f zo, dat de term raX₁^a1X₂^a2 voor de term r_bX₁^b1X₂^b2 staat als ai > bi voor de kleinste i waarvoor geldt ai 6= b_i, met i = 1, 2 en r_a en r_b co¨efficienten in R.

Voor de kopterm rX₁^c1X₂^c2, van f , geldt dus: c1 is de grootste exponent van X1 die voorkomt en c2 is de grootste exponent van X2 die bij c1 voorkomt, met r 6= 0. Hier heet r de kopco¨efficient van f . Omdat f symmetrisch is en het verwisselen van X₁ en X₂ dus f weer als resultaat geeft, geldt c1≥ c₂, want anders zou dit verwisselen resulteren in een eerdere term en is rX₁^c1X₂^c2 niet de kopterm van f .

Het symmetrische polynoom rσ^c₁^1−c2σ₂^c2 heeft ook kopterm rX₁^c1X₂^c2. Er geldt namelijk kopterm (g) · kopterm(h) = kopterm(g · h). Dus

kopterm(rσ₁^c1−c2σ₂^c2) = kopterm(r) · kopterm(σ₁^c1−c2) · kopterm(σ^c₂²)

= r · kopterm((X1+ X2)^c1−c2) · kopterm(X1X₂^c2) = rX₁^c1−c2X₁^c2X₂^c2 = rX₁^c1X₂^c2. Omdat de koptermen van f en rσ^c₁^1−c2σ^c₂² hetzelfde zijn, valt deze kopterm weg wanneer deze twee polynomen van elkaar worden afgetrokken. Dus in

f₁ = f − rσ₁^c1−c2σ₂^c2

komen alleen termen voor die later voorkomen in de gekozen ordening.

Als f1 = 0 dan is f al op de gewenste wijze geschreven, namelijk f = rσ₁^c1−c2σ₂^c2. Als f₁ 6= 0 dan is al bekend dat f₁ symmetrisch is dus dezelfde werkwijze kan worden aange- houden. De kopterm van f₁ wordt r⁰σ^c

0 1

1 σ^c

0 2

2 genoemd. Vervolgens wordt f₂ geconstrueerd:

f2 = f1− r⁰σ^c

0 1−c⁰₂

1 σ^c

0 2

2 .

Als f2= 0 dan is de schrijfwijze, in termen van σ1 en σ2, verkregen, namelijk f = rσ₁^c1−c2σ₂^c2 + r⁰σ^c

0 1−c⁰₂

1 σ^c

0 2

2 . Als f26= 0 dan wordt f₃ geconstrueerd, etcetera.

Is er altijd een k zodanig dat f_k = 0? Hiervoor wordt naar de totale graad, totgr(f ), van f gekeken. De totale graad is het grootste a₁ + a₂ die voorkomt in de termen rX₁^a1X₂^a2(6= 0) van f . Kennelijk geldt: totgr(σ1) = 1 en totgr(σ2) = 2, dus

totgr(σ^c₁^1−c2σ2c2) = 1 · (c1− c₂) + 2 · c2 = c1+ c2≤ totgr(f ).

Hieruit volgt

totgr(f1) ≤ totgr(f ) en zo verder volgt

. . . ≤ totgr(fm) ≤ totgr(fm−1) ≤ . . . ≤ totgr(f ).

Er zijn maar eindig veel termen X₁^d1X₂^d2 mogelijk met vaste totale graad d = d₁+ d₂, daarom gaat na eindig veel stappen de totale graad van het polynoom omlaag. Op een gegeven moment zijn al die termen weg; met als resultaat f_k= 0.

Er is nu aangetoont dat er inderdaad altijd een fk= 0 bestaat. De laatste vraag die in dit bewijs gesteld wordt is: is de schrijfwijze van f als functie van σ₁ en σ₂ eenduidig?

Oftewel als g₁ en g₂ twee verschillende symmetrische polynomen met twee variabelen zijn, zijn g1(σ1, σ2) en g2(σ1, σ2) dan ook verschillend? Het plan van aanpak is als volgt.

Definieer g = g₁ − g₂ en probeer aan te tonen dat als g ∈ R[Y₁, Y₂] en g 6= 0 dan g(σ₁, σ₂) 6= 0. Hierbij geldt voor g(σ₁, σ₂) dat σ_i in g wordt gesubstitueerd op de plaats van Yi. Dit gaat als volgt in zijn werk.

Elke term die in g voorkomt kan in de vorm rY₁^a1−a2Y₂^a2 worden geschreven, met r ∈ R, r 6= 0, a_i∈ Z≥0. Dit is simpelweg een schrijfwijze waar voor gekozen wordt en dit kan altijd. Bekijk de kopterm van g. Door substitutie van σi = Yi volgt:

rσ^a₁^1−a2σ₂^a2 = r(X₁+ X₂)^a1−a2(X₁X₂)^a2 = r(X₁^a1−a2 + X₂^a1−a2+ . . .)(X₁X₂)^a2

= r(X₁^a1X₂^a2+ X₁^a2X₂^a1+ . . .).

Dus de kopterm van g is rX₁^a1X₂^a2 (*). De andere termen r⁰σ^a

0 1−a⁰₂

1 σ^a

0 2

2 van g geven po- lynomen in X1 en X2 met een later komende kopterm. Dit betekent dat de kopterm (*) niet kan wegvallen en dus g(σ₁, σ₂) 6= 0. Hiermee is bewezen dat de schrijfwijze van elk symmetrisch polynoom in termen van σ1 en σ2 eenduidig. Hiermee is de stelling bewezen.

(van Geemen et al. 2012)

Het is nu duidelijk dat de derde co¨ordinaat, (tⁿ+ sⁿ)/2, van M in termen van σ₁ en σ2 geschreven kan worden, want het is een symmetrisch polynoom. Ook is bekend dat deze omschrijving een polynoom, die m₃ wordt genoemd, opleverd. Er kan nu antwoord worden gegeven op de vraag of M een glad oppervlak is.

m = σ₁

2 ,σ²₁− 2σ₂ 2 , m₃



dm dσ1

= d^σ₂¹ dσ1

,d^σ21−2σ₂ ² dσ1

,dm₃ dσ1

!

= 1

2, σ1,dm₃ dσ1



dm

dσ₂ = d^σ₂¹

dσ₂,d^σ12−2σ₂ ² dσ₂ ,dm3

dσ₂

!

=



0, −1,dm3

dσ₂



Nu kan geconcludeerd worden dat M glad is, want de tweede afbeelding van (3) is bijectief en voor alle punten (a, b) zijn _dσ^dm

1(a, b) en _dσ^dm

2(a, b) lineair onafhankelijk.

2.3 Vergelijking koordemiddenoppervlak

In deze paragraaf wordt de vergelijking van het koordemiddenoppervlak M , zoals te zien in afbeelding 3, uitgerekend. Net als bij deze afbeelding wordt er gekozen voor n = 3. De koordemiddens worden dan gegeven door

m = t + s

2 ,t²+ s²

2 ,t³+ s³ 2



= (x, y, z).

Nu wordt z als functie van x en y geschreven. Dat gaat als volgt.

2x²= t²+ 2st + s²

2 = y + st

Hiermee is een uitdrukking gevonden voor st als functie van x en y, namelijk st = 2x²− y.

Nu kan er een relatie tussen x, y en z worden gezocht.

4x³ = 1

2 t³+ s³+ 3st(t + s)
= z + 3 · (2x²− y) · x = z + 6x³− 3xy De vergelijking voor z wordt dan

z = 4x³− 6x³+ 3xy = −2x³+ 3xy.

Op deze wijze kan voor elke n een uitdrukking gevonden worden voor z (als functie van x en y), want

z = tⁿ+ sⁿ 2

is een symmetrische polynoom, dus z is te schrijven als een polynoom als functie van de som, t + s = 2x, en het product ts = 2x²− y.

2.4 Graad vergelijking koordemiddenoppervlak

Wanneer voor verschillende waarden van n de graad van de vergelijking wordt bepaald is er een duidelijk patroon te zien. De graad van een vergelijking is hier, bij een vergelijking met twee variabelen, de totale graad. In de meeste gevallen is de graad gelijk aan n, echter zijn er een aantal waarden van n waarvoor de graad n − 1 is. In tabel 1 is dit patroon duidelijk zichtbaar. De dikgedrukte graden wijken af van de bijbehorende n.

Het is duidelijk zichtbaar dat bij n = 2 + 4k de graad niet hetzelfde is als n, met k = 1, 2, . . .. Ik heb geprobeerd dit aan te tonen door eerst te bewijzen dat n gelijk is aan de graad als n een priemgetal, ongelijk aan 2, is. Vervolgens wordt dan aangetoont dat wanneer n oneven is dat altijd geldt graad=n en bij n is even soms geldt graad=n en soms graad=n − 1. Echter bleek dit moeilijker dan gedacht dus zal alleen de volgende stelling bewezen worden.

Stelling: als n een priemgetal p > 2 is, dan is de graad van het koordemiddenoppervlak gelijk aan p.

Bewijs: Neem aan p > 2 is een priemtal. Er geldt z = t^p+ s^p

2 .

Tabel 1: n vergeleken met graad (appendix: B.3)

n Graad n Graad n Graad

2 1 13 13 24 24

3 3 14 13 25 25

4 4 15 15 26 25

5 5 16 16 27 27

6 5 17 17 28 28

7 7 18 17 30 29

8 8 19 19 34 33

9 9 20 20 38 37

10 9 21 21 42 41

11 11 22 21 46 45

12 12 23 23

Het Binomium van Newton kan hierbij worden gebruikt, omdat t, s ∈ C en C een com- mutatieve ring is. Het Binomium van Newton vertelt:

(t + s)^p =

p

X

k=0

p k



t^ps^p−k, metp k



= p!

k!(p − k)! ∈ Z.

De teller van ^p_k
is deelbaar door p maar de noemer niet als 0 < k < p, omdat p een priemgetal is. Dan geldt

(t + s)^p= t^p+ s^p+ c,

opgevat als een gelijkheid in de polynoomring Z[t, s], voor een zekere c ∈ Z[t, s]. (Alle co¨efficienten van c zijn veelvouden van p.) Vervolgens wordt hier naar gekeken modulo p.

(t^p+ s^p) mod p ≡ (t + s)^p

Dit wordt gebruikt om te bepalen wat de graad van z is. Modulo p is z:

(t + s)^p

2 = 2^p−1 t + s 2

p

= 2^p−1x^p.

Dus de graad van het koordemiddenoppervlak is gelijk aan p wanneer n een priemgetal is. De stelling is nu bewezen.

Wanneer p = 1 dan geldt z = x, dus dan is de graad 1 en wanneer p = 2 dan z = x² = y dus is de graad ook 1.

3 Kubische krommen

Zo’n koordemiddenoppervlak kan bij elke kromme worden geconstrueerd. In dit hoofdstuk wordt er gekeken naar deze oppervlakken van vijf verschillende gevallen van de kubische kromme in de weierstrass-vorm. Een kubische kromme in de weierstrass-vorm is een kromme die voldoet aan de volgende vergelijking:

y²= x³+ ax²+ bx + c. (4)

In het vervolg zal enkel worden gesproken van ’kubische kromme’; wat verwijst naar de bovenstaande vorm. De waarden die voor a, b en c worden gekozen zijn bepalend voor de grafiek van de kubische kromme; door de keuze kunnen grafieken gemaakt worden die sterk van elkaar verschillen. In afbeelding 4 staan de vijf verschillende gevallen die zich voor kunnen doen. Dit zijn natuurlijk niet de enige vijf mogelijkheden maar het gaat om de vorm van de grafiek.

Afbeelding 4. De vijf verschillende kubische krommen (appendix: B.4).

Merk op dat het in afbeelding 4 lijkt alsof alleen naar de re¨ele waarden wordt gekeken.

Dit is niet de bedoeling. Er wordt ook gekeken naar de complexe waarden die voldoen aan de kubische krommen (en die uiteindelijk een re¨eel koordemidden opleveren).

In dit hoofdstuk worden alle vijf gevallen per paragraaf besproken. Zo wordt er een koordemiddenoppervlak bij elk geval geconstrueerd en wordt er gekeken naar de singula- riteiten behorende bij die oppervlakken. De eerste paragraaf is een stuk uitgebreider dan de vier die daarop volgen. Dit komt doordat in deze paragrafen vergelijkbare stappen worden uitgevoerd als in de eerste.

3.1 Kubische kromme 1: y² = x³− x

Het koordemiddenoppervlak wordt niet geconstrueerd bij de kromme zelf maar bij een inbedding van deze kromme. Een koordemiddenoppervlak van een kromme in het platte vlak is minder interessant en bij het klassieke probleem ligt de snijkromme ook niet in het platte vlak en daar wordt naar toe gewerkt.

Het inbedden van de kubische kromme gaat op een soortgelijke wijze als in hoofdstuk 1. Hiertoe wordt gedefinieerd:

C² −→ C³, met (x, y) 7−→ (x, x², y).

Hierbij is (x, y) een punt die voldoet aan de kubische kromme. Nu worden opnieuw twee willekeurige punten p = (x1, y1) en q = (x2, y2) op de kubische kromme gekozen. Na de inbedding in C³ zijn deze punten p_nieuw = (x₁, x²₁, y₁) en q_nieuw = (x₂, x²₂, y₂). Het koordemidden bij deze punten pnieuw en qnieuw wordt gegeven door:

 x₁+ x₂

2 ,x²₁+ x²₂

2 ,y₁+ y₂ 2

 .

Het koordemidden lijkt erg op het koordemidden uit het voorbeeld in hoofdstuk 1; alleen de derde co¨ordinaat komt niet overeen. Om de berekeningen, die hierna zullen volgen, eenvoudiger te kunnen volgen, krijgen de co¨ordinaten van het koordemidden een nieuwe naam:

 x₁+ x₂

2 ,x²₁+ x²₂

2 ,y₁+ y₂ 2



= ξ₁ 2,λ

2,η₁₁ 2



= (x, y, z).

Er worden in totaal vijf nieuwe symbolen ingevoerd:

ξ₁= x₁+ x₂, ξ₂ = x₁x₂, λ = x²₁+ x²₂, η₁₁= y₁+ y₂, η₁₂= y₁y₂.

Zo geldt dus: x = ξ₁/2, y = λ/2 en z = η₁₁/2. En er geldt y²₁ = x³₁− x₁ en y²₂ = x³₂− x₂. Het doel is dus (nog steeds) het construeren van het bijbehorende re¨ele deel van het koordemiddenoppervlak M1; hiertoe dient de vergelijking van dit oppervlak gevonden te worden. Er is een relatie tussen ξ₁, ξ₂ en λ, namelijk:

ξ²₁− λ

2 = (x1+ x2)²− x²₁− x²₂

2 = 2x1x2

2 = ξ2.

Om de vergelijking van het bijbehorende koordemiddenoppervlak te vinden wordt er een vergelijking gezocht als functie van x, y en z. Dit wordt gedaan met een truc en deze gaat als volgt:

η₁₁² = (y1+ y2)² = y₁²+ y²₂+ 2y1y2 = x³₁− x₁+ x³₂− x₂+ 2η12= (x1+ x2)(x²₁− x₁x2+ x₂²) − ξ1+ 2η12= ξ1(λ − ξ2) − ξ1+ 2η12.

Dus wanneer de vergelijking voor ξ2 wordt ingevuld en vrijwel alles naar ´e´en kant wordt gebracht, resulteert dit in

2η12= η₁₁² + ξ1− ξ₁(ξ₁²−3

2(ξ²₁− λ)).

Echter is dit een vergelijking waar η12 ook in voorkomt; die wordt weggewerkt, want de co¨ordinaten van de koordemiddens bevatten alleen ξ1, λ en η11 dus de vergelijking van het koordemiddenoppervlak ook.

Hiertoe wordt η²₁₂ als functie van ξ1 en λ geschreven.

η₁₂² = y₁²y₂²= (x³₁−x₁)(x³₂−x₂) = x₁x₂(x²₁x²₂−x²₁−x²₂+1) = ξ²₁− λ 2

 ξ²₁− λ 2

2

− λ + 1

!

Er geldt

 1 2· 2η₁₂

2

− η²₁₂= 0 = 1 2



η²₁₁+ ξ1− ξ₁

 ξ₁²−3

2 ξ₁²− λ

2

−ξ²₁− λ 2

 ξ₁²− λ 2

2

− λ + 1

! .

Wanneer x, y en z worden ingevuld, is de vergelijking voor het koordemiddenoppervlak gevonden (appendix: B.5). Die is

M1 : −4z⁴− 4z²x − 8z²x³+ 12z²xy + x²− 4x⁴+ 2x²y + 4x⁶− 3x²y²− y³+ 2y²− y = 0 In afbeelding 5 is het koordemiddenoppervlak van deze kubische kromme weergegeven.

Afbeelding 5. Koordemiddenoppervlak M1 bij y² = x³− x (kromme ingebed in C³) (appendix: B.6).

De rode curve in de afbeelding is de gekozen kubische kromme ingebed in C³.

In afbeelding 5 is het niet makkelijk te zien maar dit oppervlak heeft een aantal singu- lariteiten. Om er achter te komen waar de singulariteiten zich bevinden op dit oppervlak, wordt gekeken naar de afgeleiden van de vergelijking naar alle drie de variabelen, x, y en z. De singulariteiten zijn de co¨ordinaten van die punten van M₁ waarvoor alle drie de afgeleiden gelijk zijn aan nul (appendix: B.7).

dM1

dx = −4z²− 24z²x²+ 12z²y + 2x − 16x³+ 4xy + 24x⁵− 6xy²

dM1

dy = 12z²x + 2x²− 6x²y − 3y²+ 4y − 1 dM1

dz = −16z³− 8zx − 16zx³+ 24zxy Deze afgeleiden zijn allen gelijk aan nul wanneer

(x, y, z) = (x, −2x²+ 1, 0).

De kromme met singulariteiten is in het blauw weergegeven in afbeelding 5. Een punt op de blauwe kromme is alleen singulariteit op het oppervlak wanneer dit punt op het oppervlak ligt. Het oppervlak heeft op alle punten die zowel op de kromme en op het oppervlak liggen een afwijkende vorm. De singulariteiten komen tot stand door de sym- metrie ten opzichte van de x-as van de oorspronkelijke kromme die ingebed is in C³. Zo zijn er meedere gevallen waarbij twee verschillende puntenparen hetzelfde koordemidden voortbrengen.

3.2 Kubische kromme 2: y² = x²(x + 1)

Nu de tweede kubische kromme. De tweede kromme die wordt ingebed in C³ is y² = x²(x + 1). Alle kubische krommen worden op dezelfde wijze ingebed. De koordemiddens worden weer gegeven door

 x₁+ x₂

2 ,x²₁+ x²₂

2 ,y₁+ y₂ 2



= ξ₁ 2,λ

2,η₂₁ 2



= (x, y, z).

Merk wel op dat de laatste co¨ordinaat niet hetzelfde is als bij de vorige kubische kromme;

anders zouden alle kubische krommen hetzelfde koordemiddenoppervlak hebben. Hier is y₁² = x²₁(x₁+ 1) en y₂² = x²₂(x₂+ 1). Daarom heeft de laatste co¨ordinaat ook een andere naam, namelijk ^η21₂ . Het product van de twee y-waarden krijgt daarom ook een andere naam, namelijk η₂₂. Er wordt gewerkt met de volgende variabelen.

ξ1 = x1+ x2, ξ2= x1x2, λ = x²₁+ x²₂, η21= y1+ y2, η22= y1y2

Merk ook op dat de relatie tussen ξ₁, ξ₂ en λ niet is veranderd.

Dezelfde truc wordt toegepast om de vergelijking van het bijbehorende oppervlak te vinden.

η²₂₁= y₁²+ y²₂+ 2y₁y₂= x²₁(x₁+ 1) + x²₂(x₂+ 1) + 2η₂₂

= x³₁+ x²₁+ x³₂+ x²₂+ 2η22= (x1+ x2)(x²₁− x₁x2+ x²₂) + λ + 2η22

= ξ₁(λ − ξ₂) + λ + 2η₂₂= ξ₁



λ − ξ₁²− λ 2



+ λ + 2η₂₂ Oftewel

2η22= η₂₁² − ξ₁



λ −ξ₁²− λ 2



− λ.

Nu wordt η²₂₂ berekend.

η²₂₂= y₁²y²₂ = x²₁(x₁+ 1)x²₂(x₂+ 1)

= x²₁x²₂(x1+ 1)(x2+ 1) = x₁²x²₂(x1x2+ x1+ x2+ 1)

= ξ₂²(ξ2+ ξ1+ 1) = ξ₁²− λ 2

2

 ξ₁²− λ 2



+ ξ1+ 1



Er geldt (¹₂· 2η₂₂)²− η²₂₂= 0 en x, y en z worden ingevuld in deze vergelijking (appendix:

B.5).

 1 2



η₂₁² − ξ₁



λ −ξ₁²− λ 2



− λ

2

− ξ₁²− λ 2

2

 ξ₁²− λ 2



+ ξ1+ 1



= 0

M2 : −4z⁴+ 12z²xy − 8z²x³+ 4z²y − 3x²y²− 4xy²+ 4x⁶

−4x³y + 8x⁵+ 4x⁴− 4x²y − y³= 0

In afbeelding 6 is het koordemiddenoppervlak te zien bij deze kubische kromme. De rode curve is de kubische kromme ingebed in C³.

Afbeelding 6. Koordemiddenoppervlak M2 bij y²= x²(x − 1) (kromme ingebed in C³) (appendix: B.6).

Nu de singulariteiten van dit oppervlak (appendix: B.7). Dus wanneer zijn de afgeleiden van M₂ naar x, y en z gelijk aan nul? Dit geldt wanneer

(x, y, z) = (x, −2x²− 2x, 0), (x, 2x², ±√

2x + 1x).

De twee sets met singulariteiten zijn krommen; deze zijn in het blauw weergegeven in afbeelding 6. De eerste set singularteiten ontstaat weer door de symmetrie ten opzichte van de x-as. De tweede set singulariteiten ontstaan door het feit dat y² = x²(x + 1) (ingebed in C³) een singulariteit heeft, namelijk in het punt (0, 0, 0). Het punt (0, 0, 0) is vanaf de negatieve z-as te benaderen maar ook vanaf de positieve kant. Op deze manier komen de koordemiddens voortgebracht uit het punt (0, 0, 0) twee maal voor.

3.3 Kubische kromme 3: y² = x³− 4x + 4

De derde kubische kromme is y² = x³− 4x + 4. De koordemiddens hiervan, na inbedden in C³, zijn

 x₁+ x₂

2 ,x²₁+ x²₂

2 ,y₁+ y₂ 2



= ξ₁ 2,λ

2,η₃₁ 2



= (x, y, z),

met y₁² = x³₁− 4x₁+ 4 en y²₂ = x³₂− 4x₂+ 4. De variabelen die weer worden gebruikt zijn ξ₁ = x₁+ x₂, ξ₂= x₁x₂, λ = x²₁+ x²₂, η₃₁= y₁+ y₂, η₃₂= y₁y₂

Hiermee wordt weer de vergelijking van het koordemiddenoppervlak geconstrueerd.

η²₃₁= y²₁+ y²₂+ 2η32= x³₁− 4x₁+ 4 + x³₂− 4x₂+ 4 + 2η32

= (x1+ x2)(x²₁− x₁x2+ x²₂) − 4(x1+ x2) + 8 + 2η32= ξ1(λ − ξ2) − 4ξ1+ 8 + 2η32

2η32= ξ²₃₁− ξ₁



λ − ξ²₁− λ 2



+ 4ξ1− 8 Nu wordt η²₃₂ uitgerekend.

η²₃₂= y²₁y²₂ = (x³₁− 4x₁+ 4)(x³₂− 4x₂+ 4)

= x³₁x³₂− 4x₂x³₁+ 4x³₁− 4x₁x³₂+ 16x1x2− 16x₁+ 4x³₂− 16x₂+ 16

= ξ₂³+ 4ξ1(λ − ξ2) − 4ξ2λ + 16ξ2− 16ξ₁+ 16

= ξ²₁− λ 2

3

+ 4ξ1



λ − ξ²₁− λ 2



− 4ξ₁²− λ

2 λ + 16ξ₁²− λ

2 − 16ξ₁+ 16

Vervolgens worden de juiste vergelijkingen van elkaar afgetrokken en worden x, y en z er in gesubstitueerd (appendix: B.5).

 1 2· 2η₃₂

2

− η₃₂² = 0

= 1 2·



ξ₃₁² − ξ₁



λ − ξ₁²− λ 2



+ 4ξ1− 8

2

−  ξ²₁− λ 2

3

+ 4ξ₁



λ − ξ²₁− λ 2



− 4ξ₁²− λ

2 λ + 16ξ₁²− λ

2 − 16ξ₁+ 16

!

= 0

M₃: −16y + 16x²− 8z²x³− 16z²x − 3x²y²+ 8x²y +6y²+ 12z²xy − 4z⁴+ 4x⁶− 16x⁴− y³+ 16z² = 0

Het koordemiddenoppervlak M₃ dat bij deze vergelijking hoort is weergegeven in af- beelding 7. De rode curve is weer de kubische kromme.

Afbeelding 7. Koordemiddenoppervlak M₃ bij y²= x³− 4x + 4 (kromme ingebed in C³) (appendix: B.6).

Ook dit oppervlak heeft singulariteiten (appendix: B.7). De singulariteiten zitten bij (x, y, z) = (x, −2x²+ 4, 0).

Dit is de blauwe kromme in afbeelding 7. Deze singulariteiten ontstaan op dezelfde manier als in paragraaf 3.1; de kromme is symmetrisch en zo komt een koordemidden twee maal voor.

3.4 Kubische kromme 4: y² = x³

De vierde kubische kromme die bekeken wordt is y² = x³. Na inbedden in C³ zijn de koordemiddens

 x1+ x2

2 ,x²₁+ x²₂

2 ,y1+ y2

2



= ξ1

2,λ 2,η41

2



= (x, y, z), met y²₁ = x³₁ en y₂²= x³₂. De variabelen die worden gebruikt zijn

ξ1= x1+ x2, ξ2 = x1x2, λ = x²₁+ x²₂, η41= y1+ y2, η42= y1y2. Hiermee wordt weer de vergelijking van het koordemiddenoppervlak geconstrueerd.

η₄₁² = y²₁+ y₂²+ 2η₄₂= x³₁+ x³₂+ 2η₄₂

= ξ₁(λ − ξ₂) + 2η₄₂= ξ₁



λ − ξ₁²− λ 2

 + 2η₄₂

2η42= η²₄₁− ξ₁



λ −ξ₁²− λ 2



En verder

η²₄₂= y²₁y²₂ = x₁³x³₂= ξ₂³= ξ²₁− λ 2

3

.

Nu wordt de truc weer toegepast.

 1 2· 2η₄₂

2

− η₄₂² = 0

= 1 2 ·



η₄₁² − ξ₁



λ − ξ₁²− λ 2

2

− ξ₁²− λ 2

3

= 0

Nu worden x, y en z ingevuld om de vergelijking voor het koordemiddensoppervlak M₄ te verkrijgen (appendix: B.5).

M4 : −4z⁴+ 12z²xy − 8z²x³− 3x²y²+ 4x⁶− y³ = 0

In afbeelding 8 is het koordemiddenoppervlak van deze kubische kromme weergegeven.

De rode kromme in de afbeelding is de kubische kromme.

Afbeelding 8. Koordemiddenoppervlak M4 bij y²= x³ (kromme ingebed in C³) (appendix: B.6).

De singulariteiten (appendix: B.7) van dit oppervlak zitten bij (x, y, z) = (x, −2x², 0),



z² 2

¹₃ , 2

z² 2

²₃ , z

 .

De blauwe krommen zijn de twee sets singulariteiten. Deze singulariteiten ontstaan op een soortgelijke manier als de singulariteiten in paragraaf 3.2; het punt (0, 0, 0) kan vanuit de negatieve maar ook vanuit de positieve z-as benaderd worden. Zo zijn alle koordemidden voorgebracht door het punt (0, 0, 0) dubbel.

3.5 Kubische kromme 5: y² = x²(x − 1)

Nu de laatste kubische kromme; deze is y²= x²(x − 1). Eerst wordt de kromme ingebed in C³ op de gebruikelijke wijze. De koordemiddens worden vervolgens gegeven door

 x₁+ x₂

2 ,x²₁+ x²₂

2 ,y₁+ y₂ 2



= ξ₁ 2,λ

2,η₅₁ 2



= (x, y, z),

met y²₁ = x²₁(x1− 1) en y₂² = x²₂(x2− 1). Er worden weer nieuwe variabelen ingevoerd:

ξ1= x1+ x2, ξ2 = x1x2, λ = x²₁+ x²₂, η51= y1+ y2, η52= y1y2.

Nu wordt eerst weer η²₅₁ berekend, vervolgens wordt η₅₂² berekend en uiteindelijk zal de vergelijking van het koordemiddenoppervlak gevonden worden.

η₅₁² = y₁²+ y₂²+ 2η₅₂= x²₁(x₁− 1) + x²₂(x₂− 1) + 2η₅₂

= x³₁− x²₁+ x³₂− x²₂+ 2η₅₂= ξ₁(λ − ξ₂) − λ + 2η₅₂

= ξ₁



λ − ξ₁²− λ 2



− λ + 2η₅₂ 2η₅₂= η²₅₁− ξ₁



λ − ξ²₁− λ 2

 + λ En verder geldt

η²₅₂= y₁²y²₂ = x²₁(x1− 1)x²₂(x2− 1) = x²₁x²₂(x1− 1)(x₂− 1).

= x²₁x²₂(x1x2− x₁− x₂+ 1) = ξ²₂(ξ2− ξ₁+ 1) = ξ₁²− λ 2

2

 ξ₁²− λ 2



− ξ₁+ 1



(1

2· 2η₅₂)²− η²₅₂= 0

 1 2·



η²₅₁− ξ₁



λ − ξ₁²− λ 2

 + λ

2

− ξ²₁− λ 2

2

 ξ₁²− λ 2



− ξ₁+ 1



= 0 De vergelijking van het koordemiddenoppervlak (appendix: B.5) is nu

M₅ : −4z⁴+ 12z²xy − 8z²x³− 4z²y − 3x²y² +4xy²+ 4x⁶+ 4x³y − 8x⁵+ 4x⁴− 4x²y − y³.

Het koordemiddenoppervlak is in afbeelding 9 weergegeven, met de kubische kromme in het rood.

Afbeelding 9. Koordemiddenoppervlak M5 bij y²= x²(x − 1) (kromme ingebed in C³) (appendix: B.6).

De singulariteiten (appendix: B.7) van dit oppervlak zijn (x, y, z) = (x, −2x²+ 2x, 0), (x, 2x², ±√

2x − 1x).

De twee sets singulariteiten zijn weer weergeven in het blauw in afbeelding 9. De eerste set singulariteiten ontstaat weer door symmetrie ten opzichte van de x-as; er bestaan dubbele koordemiddens. De tweede set singulariteiten ontstaat op dezelfde wijze als de tweede set singulariteiten bij kubische kromme 2. Het punt (0, 0, 0) is hier weer een singulier punt op de kubische kromme. De koordemiddens voortgebracht uit het punt (0, 0, 0) zijn daarom ook singulier.

3.6 De vorm van de punten op de kubische kromme

Nu alle soorten kubsiche krommen besproken zijn kan ook worden gekeken naar welke waarden voor (x1, y1) en (x2, y2) ingevuld kunnen worden zodat het volledige re¨ele beeld verkregen wordt. Zijn dit alleen re¨ele waarden voor x₁, y₁, x₂ en y₂? Of kunnen er ook complexe getallen worden ingevuld, waarvan de co¨ordinaten van het koordemiddenopper- vlak toch weer re¨eel zijn?

In het begin van dit hoofdstuk is beschreven op welke wijze de co¨ordinaten van de koordemiddens worden bepaald. Er wordt een punt op de desbetreffende kromme gekozen, zeg p = (x1, y1), en een ander punt op deze kromme, zeg q = (x2, y2), de kromme wordt ingebed in C³ zodat het koordemidden gegeven wordt door:

 x₁+ x2

2 ,x²₁+ x²₂

2 ,y1+ y2

2

 .

Alle co¨ordinaten zijn re¨eel als x₁+ x₂, x²₁+ x²₂ en y₁+ y₂ re¨eel zijn.

Er wordt aangenomen dat alle co¨ordinaten re¨eel zijn. Stel p = (a1 + b1i, y1) en q = (a2+ b2i, y2). x1+ x2 is re¨eel en

x1+ x2 = a1+ b1i + a2+ b2i.

Dus b₁i = −b₂i. Ook is bekend: x²₁+ x²₂ is re¨eel en

x²₁+ x²₂ = a²₁− b²₁+ 2a₁b₁i + a²₂− b²₂+ 2a₂b₂i.

Oftewel

2a₁b₁i = −2a₂b₂i a₁b₁i = −a₂b₂i = a₂b₁i.

En dus is bekend dat a₁ = a₂. De conclusie is x₁ = x₂ (de complex geconjugeerde van x1). Nu de y-co¨ordinaat. De y-co¨ordinaat hangt af van de x-co¨ordinaat. Bij de kubische kromme wordt er altijd voldaan aan de vergelijking y² = x³+ αx²+ βx + γ. Zo geldt

y₁² = x³₁+ αx²₁+ βx1+ γ en y₂²= x³₂+ αx²₂+ βx₂+ γ.