Analyse:
afleiden, integreren en wiskundige software
Syllabus Analyse II (2de semester)
S. Caenepeel
Syllabus 128 bij 1008037ANR, 1008034ANR en 1017092ANR
“Analyse: afleiden, integreren en wiskundige software”
Eerste Bachelor Ingenieurswetenschappen; Fysica en Sterrenkunde; Wiskunde. 2021
Inhoudsopgave
1 De lijnintegraal 1
1.1 Bepaalde integralen afhankelijk van een parameter . . . 1
1.2 Veralgemeende Riemann sommen . . . 5
1.3 De lijnintegraal . . . 7
1.4 Eigenschappen . . . 10
1.5 De grondstelling voor de lijnintegraal . . . 11
2 De dubbele integraal 15 2.1 De dubbele integraal over een rechthoek . . . 15
2.2 De dubbele integraal over een gebied . . . 18
2.3 De formule van Green-Riemann . . . 24
2.4 Het invoeren van nieuwe veranderlijken . . . 30
3 De oppervlakte¨ıntegraal 35 3.1 De oppervlakte¨ıntegraal . . . 35
3.2 De stelling van Stokes . . . 42
4 De drievoudige integraal 47 4.1 De drievoudige integraal . . . 47
4.2 De drievoudige integraal in bolco¨ordinaten . . . 51
4.3 De formule van Ostrogradsky . . . 53
5 Numerieke reeksen 57 5.1 Algemene eigenschappen . . . 57
5.2 Positieve reeksen . . . 63
5.3 Willekeurige reeksen . . . 73
6 Reeksen van functies 77 6.1 Uniforme convergentie van een rij functies . . . 77
6.2 Uniforme convergentie van een reeks functies . . . 82
6.3 Machtreeksen . . . 84
6.4 Taylorreeksen . . . 92
6.5 Goniometrische reeksen . . . 98
7 Differentiaalvergelijkingen 107
7.1 Definitie en voorbeelden . . . 107
7.2 Beginvoorwaarden en randvoorwaarden . . . 110
7.3 Invoeren van nieuwe veranderlijken 1 . . . 113
7.4 Invoeren van nieuwe veranderlijken 2 . . . 117
8 Differentiaalvergelijkingen van eerste orde 121 8.1 Juiste differentiaalvergelijkingen . . . 121
8.2 Homogene differentiaalvergelijkingen . . . 126
8.3 Lineaire differentiaalvergelijkingen van eerste orde . . . 129
9 Normale differentiaalstelsels en vergelijkingen 133 9.1 De methode van afleiding en eliminatie . . . 133
9.2 Lineaire differentiaalstelsels . . . 135
9.3 Lineaire differentiaalvergelijkingen van orde n . . . 140
9.4 Constante co¨effici¨enten . . . 143
9.5 De methode der eigenwaarden en eigenvectoren . . . 152
10 Oplossing van differentiaalvergelijkingen door reeksontwikkeling 155 10.1 Inleiding . . . 155
10.2 Oplossing in een omgeving van een gewoon punt . . . 156
10.3 Oplossing in een omgeving van een regelmatig singulier punt . . . 160
Hoofdstuk
1 De lijnintegraal
1.1 Bepaalde integralen afhankelijk van een parameter
Vaste eindige grenzen
Onderstel dat f = f (x, y) een functie van twee veranderlijken is. In dit hoofdstuk bestuderen we het volgend probleem. Wanneer is
d dy
Z b a
f(x, y)dx = Z b
a
∂
∂yf(x, y)dx
met andere woorden, wanneer mogen we integraal en afgeleide met elkaar verwisselen. Dit is niet evident: immers, zowel de afgeleide als de bepaalde integraal zijn limieten, en we hebben gezien dat limieten niet altijd verwisseld mogen worden.
In deze paragraaf beschouwen het geval waarin de grenzen a en b eindig zijn. In de volgende paragraaf beschouwen we de situatie waarin a en b functies zijn van y. We zullen de regel van Leibniz bewijzen. In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk bekijken we het geval waarin een van de grenzen oneindig wordt.
Stelling 1.1.1 Onderstel dat f : G = [a, b] × [c, d] ⊂ R2→ R continu is. Dan is de functie I: [c, d] → R : y 7→ I(y) =
Z b
a
f(x, y)dx een continue functie over het interval[c, d].
Bewijs. Voor elke y ∈ [c, d] is de functie f (•, y) : [a, b] → R een continue functie. We weten dus zeker dat de beschouwde integraal I(y) bestaat.
Omdat f continu is over G, is f ook uniform continu over G, cf. Analyse I, stelling 3.4.7. Voor elke ε > 0 bestaat er dus een δ > 0 zo dat
k(h, k)k < δ =⇒ | f (x + h, y + k) − f (x, y)| < ε In het bijzonder volgt hieruit (neem h = 0)
|k| < δ =⇒ | f (x, y + k) − f (x, y)| < ε en dan geldt
|I(y + k) − I(y)| = | Z b
a
( f (x, y + k) − f (x, y))dx|
≤ Z b
a
| f (x, y + k) − f (x, y)|dx
<
Z b
a
εdx = (b − a)ε
zodat I(y) continu is in elke punt y ∈ [c, d]. Stelling 1.1.2 Onderstel weer dat f : G = [a, b] × [c, d] ⊂ R2→ R continu is, en beschouw op- nieuw de functie
I: [c, d] → R : y 7→ I(y) = Z b
a
f(x, y)dx Als ∂ f
∂y bestaat en continu is over G, dan bestaat I0(y), en dan is I0(y) = d
dy Z b
a
f(x, y)dx = Z b
a
∂
∂yf(x, y)dx (1.1)
Bewijs.Neem y ∈ [c, d]. Uit de stelling van Lagrange volgt dat er een θ ∈ (0, 1) bestaat zodat I(y + k) − I(y)
k =
Z b
a
f(x, y + k) − f (x, y)
k dx
= Z b
a
∂ f
∂y(x, y + θk)dx
= Z b
a
∂ f
∂y(x, y)dx + Z b
a
∂ f
∂y(x, y + θk) −∂ f
∂y(x, y) dx
We hoeven dus alleen maar te bewijzen dat de laatste term in het laatste lid naar nul nadert als k→ 0. ∂ f
∂y is continu, en dus uniform continu over G, en dus bestaat er voor elke ε > 0 een δ > 0 zo dat
|k| < δ =⇒
∂ f
∂y(x, y + k) −∂ f
∂y(x, y) < ε hierbij is δ onafhankelijk van x en y. Als |k| < δ, dan is ook |θk| < δ, zodat
Z b
a
∂ f
∂y(x, y + θk) −∂ f
∂y(x, y)
dx
≤ Z b
a
∂ f
∂y(x, y + θk) −∂ f
∂y(x, y) dx
< (b − a)ε en hieruit volgt dat
k→0lim Z b
a
∂ f
∂y(x, y + θk) −∂ f
∂y(x, y) dx = 0 zodat
k→0lim
I(y + k) − I(y)
k =
Z b
a
∂ f
∂y(x, y)dx
Veranderlijke grenzen
Onderstel dat a, b : [c, d] → R twee continue functies zijn, en dat a(y) ≤ b(y) voor elke y ∈ [c, d].
Beschouw het gebied
G= {(x, y) ∈ R2|c ≤ y ≤ d en a(y) ≤ x ≤ b(y)}
zoals aangegeven in Figuur 1.1.
c d y
0 x
b(y)
a(y)
Figuur 1.1: Veranderlijke grenzen
Stelling 1.1.3 (formule van Leibniz)
Onderstel dat f : G ⊂ R2→ R continu is, en beschouw de functie I: [c, d] → R : y 7→ I(y) =
Z b(y) a(y)
f(x, y)dx Als ∂ f
∂y bestaat en continu is over G, dan bestaat I0(y), en dan is I0(y) = d
dy Z b(y)
a(y)
f(x, y)dx = Z b(y)
a(y)
∂
∂yf(x, y)dx +db
dy(y) f (b(y), y) −da
dy(y) f (a(y), y) (1.2) Bewijs. Omdat f continu is over G, is voor elke y ∈ [c, d] de functie f (•, y) : [a(y), b(y)] → R continu. De beschouwde integralen bestaan dus.
We bekijken nu I(y) als een samengestelde functie
[c, d] −→ R3 −→ R
y 7→ (a(y), b(y), y) 7→ Rab f(x, y)dx We kunnen nu de kettingregel gebruiken om I0te berekenen
dI dy = ∂I
∂a da dy+ ∂I
∂b db dy+∂I
∂y
Omdat f continu is volgt uit de grondformule van de integraalrekening dat
∂I
∂b = ∂
∂b Z b
a
f(x, y)dx = f (b, y)
en
∂I
∂a = − ∂
∂a Z a
b
f(x, y)dx = − f (a, y) Uit stelling 1.1.2 volgt dat
∂I
∂y = Z b(y)
a(y)
∂
∂yf(x, y)dx
Na vervanging van deze drie laatste formules krijgen we de regel van Leibniz.
Oneindige grenzen
In stelling 1.1.2 waren de integratiegrenzen eindig. In vele toepassingen treft men de situatie aan waarin een of beide grenzen oneindig zijn, zodat we een oneigenlijke integraal hebben. Jammer genoeg zijn de voorwaarden van de stellingen 1.1.1 en 1.1.2 dan niet meer streng genoeg om het gewenste resultaat te garanderen. De dieperliggende reden hiervoor is de volgende: we gebruikten in het bewijs van zowel 1.1.1 als 1.1.2 dat een continue functie over een gesloten interval uniform continu is over dat interval; dit resultaat is niet langer geldig over een oneindig interval.
Men kan ook gemakkelijk een tegenvoorbeeld geven: beschouw de integraal I(y) =
Z +∞
0
ye−xydx
f is continu over [0, +∞) × [0, +∞), en de integraal convergeert voor elke y ≥ 0. Toch is I(y) niet continu in 0, immers
I(y) = lim
u→+∞
Z u
0
ye−xydx
= lim
u→+∞
h−e−xyiu 0
=
®1 als y > 0 0 als y = 0
Om dat te verhelpen voeren we eerst de volgende uniforme versie van de oneigenlijke integraal in:
Definitie 1.1.4 Onderstel dat f : [a, +∞) × [c, d] → R continu. We zeggen dat de oneigenlijke integraal
Z +∞
a
f(x, y)dx uniform convergeert naar I(y) over [c, d] als
∀ε > 0, ∃u0≥ a : ∀u > u0en y ∈ [c, d] : I(y) −
Z u
a
f(x, y)dx| < ε De stellingen 1.1.1 en 1.1.2 kunnen nu als volgt veralgemeend worden:
Stelling 1.1.5 Onderstel dat f : G = [a, +∞) × [c, d] ⊂ R2→ R continu is in elke (x, y) ∈ G. Als de oneigenlijke integraal
I(y) = Z +∞
a
f(x, y)dx uniform convergeert over[c, d], dan is de functie
I: [c, d] → R : y 7→ I(y) = Z +∞
a
f(x, y)dx continu over het interval[c, d].
Als bovendien ∂ f
∂y continu in elk punt van G, en Z +∞
a
∂ f
∂y(x, y)dx uniform convergeert over[c, d], dan is
dI dy(y) =
Z +∞
a
∂ f
∂y(x, y)dx voor elke y∈ [c, d].
Bewijs. Het bewijs gelijkt sterk op de bewijzen van de stellingen 1.1.1 en 1.1.2. We komen hierop
terug in de cursus “Complexe Analyse”, §6.1.
1.2 Veralgemeende Riemann sommen
In de volgende hoofdstukken zullen we het begrip integraal nog verder verruimen door het invoeren van lijnintegralen, dubbele integralen, oppervlakteintegralen en meervoudige integralen. Hierbij zullen we enkele fundamentele stellingen bewijzen, namelijk de stellingen van Green, Stokes en Ostrogradsky. Deze belangrijke stellingen, ook wel de integraaltheorema’s genoemd, steunen alle op de fundamentele stelling van de integraalrekening.
Vanaf nu zullen we uitsluitend in R3werken. De basisvectoren van R3noteren we als volgt:
~u1= (1, 0, 0) ; ~u2= (0, 1, 0) ; ~u3= (0, 0, 1)
Vooraleer we de lijnintegraal invoeren geven we eerst een veralgemening van de Riemann integraal.
We nemen twee continue functies f , g : R → R, en een partitie P= (a = x0, x1, · · · , xn= b)
van [a, b]. Voor elke i = 1, · · · , n kiezen we nu twee punten x0i, x00i ∈ [xi−1, xi] in de i-de cel van de partitie, en we vormen de veralgemeende Riemann som
Ref g(P) =
n
∑
i=1
f(x0i)g(x00i)∆xi
Als x0i= x00i, dan is deze som een gewone Riemann som. De veralgemeende Riemann som conver- geert ook naar de bepaalde integraal van f g als de norm van P naar nul gaat:
Stelling 1.2.1 Onderstel dat f , g : R → R continue functies zijn, en beschouw een partitie P= (a = x0, x1, · · · , xn= b)
van[a, b], en kies voor elke i twee punten x0i, x00i ∈ [xi−1, xi], en associ¨eer hiermee de veralgemeende Riemann som
Ref g(P) =
n i=1
∑
f(x0i)g(x00i)∆xi Dan geldt dat
NlimP→0Ref g(P) = I = Z b
a
f(x)g(x)dx en de limiet is onafhankelijk van de keuze van de punten x0i, x00i. Bewijs.We moeten aantonen
∀ε > 0, ∃δ > 0 : NP< δ =⇒ | eRf g(P) − I| < ε (1.3) ongeacht de keuze van de deelpunten. We weten reeds (zie de paragraaf over de Riemann integraal in Analyse I, §5.1):
∀ε > 0, ∃δ1> 0 : NP< δ =⇒ |Rf g(P) − I| < ε 2 Omdat g continu (en dus uniform continu) is over [a, b] hebben we ook
∀ε0> 0, ∃δ2> 0 : |x − y| < δ2 =⇒ |g(x) − g(y)| < ε0 Verder stellen we A = max{| f (x)| | x ∈ [a, b]}.
Rf g(P) =
n
∑
i=1
f(x0i)g(x0i)∆xi
is een gewone Riemann som van de functie f g. Als NP< δ2, dan is |x0i− x00i| < δ2, voor elke i, en
|Ref g(P) − Rf g(P)| =
n i=1
∑
f(x0i)(g(x0i) − g(x00i))∆xi
≤
n
∑
i=1
| f (x0i)||g(x0i) − g(x00i)|∆xi
≤
n i=1
∑
Aε0∆xi= Aε0(b − a) = ε/2
als we ε0= ε/2A(b − a) stellen. Onderstel nu dat NP< δ = min(δ1, δ2). Dan is
|Ref g(P) − I| ≤ | eRf g(P) − Rf g(P)| + |Rf g(P) − I| < ε 2+ε
2= ε
1.3 De lijnintegraal
We gaan uit van het volgende fysische voorbeeld. Onderstel dat een deeltje door een constante kracht ~Flangs een rechte lijn voortbewogen wordt van een punt ~Anaar een punt ~B. Dan is de arbeid verricht door de kracht ~F gegeven door de formule A = ~F.(~b −~a). Wat wordt deze formule als de kracht ~F variabel is, en als het deeltje zich langs een kromme voortbeweegt? Om dit probleem op te lossen beschouwen we een parametrisatie
~r : [a, b] ⊂ R → R3
van de (continue) boog ıAB. De kracht ~F die op het deeltje inwerkt, hangt af van de plaats op de boog, en wordt dus gegeven door een functie
~F: ıAB⊂ R3→ R3
In feite is ~F dus een vector die afhangt van de plaats in R3. We noemen zulk een functie R3→ R3 een vectorveld. Beschouw een partitie (a = t0,t1, · · · ,tn= b) van [a, b]. Zoals gezien in het vorige hoofdstuk stemt hiermee een partitie
P= ( ~M0= ~A=~r(a), ~M1=~r(t1), · · · , ~Mn= ~B=~r(b)) overeen.
A
B M0
M1 M2
Mk–1 Mk
Mk+1
y z
x
Figuur 1.2: Partitie van een continue boog
Kies ti0∈ [ti−1,ti] willekeurig, en stel ~Mi0=~r(ti0). Dan wordt de arbeid verricht terwijl het deeltje beweegt van ~Mi−1naar ~Miin benadering gegeven door
Ai= ~F( ~M0i).( ~Mi− ~Mi−1) De totale arbeid wordt dus benaderd door de som
sP=
n
∑
i=1
Ai=
n
∑
i=1
~F( ~M0i).( ~Mi− ~Mi−1)
Naar analogie met een vorig hoofdstuk noemen we deze som de Riemannsom geassocieerd met de partitie P. Klaarblijkelijk is de benadering beter als de partitie fijner is. Herhaal dat de norm NP van de partitie P gegeven wordt door de formule
NP= max
1≤i≤nk ~Mi− ~Mi−1k
Per definitie stellen we dat de arbeid verricht door ~F op het deeltje gegeven wordt door A= lim
NP→0sP
en we zullen deze limiet de lijnintegraal van ~F over de kromme ıABnoemen, en deze noteren door Z
ABı
~F(~r).d~r Laten we deze definitie formaliseren:
Definitie 1.3.1 Beschouw een continue boog ıAB en een vectorveld ~F : V ⊂ R3 → R3 dat ten minste gedefinieerd is op de boog ıAB. Indien, met dezelfde notaties als hierboven, de limiet
NlimP→0sP
bestaat en onafhankelijk is van de gekozen deelpunten ~Mi0, dan noemen we deze limiet de lijninte- graal van ~F over ıAB, en we noteren ze door
Z
ABı
~F(~r).d~r
In de volgende stelling geven we het verband tussen de lijnintegraal en de gewone Riemanninte- graal. Deze stelling zal ons in staat stellen in de meeste gevallen de lijnintegraal te berekenen.
Stelling 1.3.2 Onderstel dat de boog ıAB een parametrisatie~r = ~r(t) bezit, waarbij de compo- nentfuncties van~r continu differentieerbare functies zijn (we zeggen dan dat de boog zelf continu differentieerbaar is). Indien ook het vectorveld ~F continu is dan bestaat de lijnintegraal van ~F over ıAB en
Z
ABı
~F(~r).d~r = Z b
a
~F(~r).d~r dtdt
Bewijs. We gebruiken dezelfde notaties als die hierboven ingevoerd. Beschouw een partitie P van AB, en bekijk de Riemannsomı
sP=
n
∑
i=1
~F( ~Mi0).( ~Mi− ~Mi−1)
We hebben dat ~Mi0=~r(ti0), met ti0∈ [ti−1,ti]. Schrijf x, y, z voor de drie componenten van~r. Vanwege de middelwaardestelling bestaan er dan ui, vi, wi∈ (ti−1,ti) zo dat
x(ti) − x(ti−1) = dx dt(ui)∆ti
y(ti) − y(ti−1) = dy dt(vi)∆ti
z(ti) − z(ti−1) = dz
dt(wi)∆ti
zodat
sP =
n
∑
i=1
Fx(~r(ti0))dx dt(ui)∆ti
+Fy(~r(ti0))dy
dt(vi)∆ti+ Fz(~r(ti0))dz
dt(wi)∆ti
Uit stelling 1.2.1 volgt nu dat
NlimP→0sP = Z b
a
Fx(~r(t))dx dtdt +
Z b
a
Fy(~r(t))dy dtdt +
Z b
a
Fz(~r(t))dz dtdt
= Z b
a
~F(~r).d~r dtdt
en dit bewijst de stelling.
Opmerkingen
1) Merk op dat de formule hierboven sterk gelijkt op de subsitutieregel voor de bepaalde integraal.
Indien we even vergeten dat ~F en~r vectoren zijn, dan krijgen we juist de substitutieregel.
2) Bewijs zelf als oefening dat de formule in stelling 1.3.2 onafhankelijk is van de gekozen para- metrisatie van ıAB. We zullen daarom ook de volgende notatie gebruiken:
Z
ABı
~F(~r).d~r = Z b
a
Fx(~r(t))dx dtdt +
Z b
a
Fy(~r(t))dy dtdt +
Z b
a
Fz(~r(t))dz dtdt
= Z b
a
Fxdx + Z b
a
Fydy + Z b
a
Fzdz
= Z b
a
Fxdx + Fydy + Fzdz
Deze formule betekent in feite dat men ~F(~r).d~r mag behandelen als een scalair produkt. Als we formeel stellen:
d~r = dx~u1+ dy~u2+ dz~u3 en
~F= Fx~u1+ Fy~u2+ Fz~u3 dan is
~F· d~r = Fxdx + Fydy + Fzdz
3) Indien de boog ıABeen interval op de x-as is, dan kunnen we voor de boog de volgende parame- trisatie nemen:
x= x y= 0 z= 0 De Riemannsom uit de definitie wordt dan:
sP=
n
∑
i=1
~F( ~M0i).( ~Mi− ~Mi−1) =
n
∑
i=1
Fx(~r(x0i))(xi− xi−1)
Als we de limiet nemen voor NP naar nul, krijgen we de gewone RiemannintegraalRabf(x)dx.
4) Neem Fy= Fz= 0, en stel Fx(x, y, z) = p(x, y, z). Dan zien we dat ook het symbool Z
ABı
p(x, y, z)dx
een betekenis heeft. Het is namelijk de lijnintegraal van het vectorveld ~F = p~u1.
1.4 Eigenschappen
De volgende drie eigenschappen zijn volledig analoog aan die van de Riemannintegraal:
Stelling 1.4.1
Z
ABı
~F(~r).d~r = − Z
BAı
~F(~r).d~r
Stelling 1.4.2 Onderstel dat ~C een punt is gelegen op de kromme ıAB. Dan geldt Z
ABı
~F(~r).d~r = Z
ACı
~F(~r).d~r + Z
CBˆ
~F(~r).d~r.
Stelling 1.4.3 Voor elke α, β ∈ R geldt dat Z
ABı
(α~F(~r) + β~G(~r)).d~r = α Z
ABı
~F(~r).d~r + β Z
ABı
~G(~r).d~r
Bewijs. Men kan deze stellingen op twee verschillende manieren bewijzen: men kan uitgaan van de definitie. Het bewijs is dan volledig analoog aan dat voor de bepaalde integraal. Men kan ook stelling 1.3.2 gebruiken ; de formules volgen dan onmiddellijk uit de overeenstemmende formules voor de bepaalde integraal. Dit is iets minder algemeen, want er moet voldaan zijn aan de voorwaarden van stelling 1.3.2. Dit is niet zo erg aangezien in de praktijk hier toch altijd aan
voldaan is.
Opmerkingen
1) Stelling 1.4.2 stelt ons in staat lijnintegralen te berekenen over continue krommen die slechts stuksgewijs continu differentieerbaar zijn (bijvoorbeeld een vierkant): we splitsen de kromme ge- woon op in continu differentieerbaare deelkrommen.
2) Onderstel dat Γ een gesloten kromme is die zichzelf niet snijdt, waarop een omloopszin gekozen is (zie Figuur 1.3). Neem twee punten ~Aen ~Bop Γ. Uit stelling 1.4.2 volgt dat
Z
ABA¯
~F(~r).d~r = Z
ABı
~F(~r).d~r + Z
BAı
~F(~r).d~r
= Z
BAı
~F(~r).d~r + Z
ABı
~F(~r).d~r
= Z
BAB¯
~F(~r).d~r
B
A
G
Figuur 1.3: Een gesloten kromme Γ
De lijnintegraal over een gesloten kromme hangt dus alleen af van de omloopszin, en niet van het gekozen begin- en eindpunt. Men gebruikt daarom de volgende notaties:
I
Γ+
~F(~r).d~r en I
Γ−
~F(~r).d~r
alnaar de kromme Γ in positieve (d.i. tegenuurwijzer-) of negatieve (d.i. uurwijzer-)zin doorlopen wordt.
Voorbeeld
Beschouw het vectorveld ~F = x~u1+ y~u2, en de volgende krommen die (0, 0) en (1, 1) met elkaar verbinden:
C1 : het paraboolsegment y = x2 C2 : het lijnstuk y = x
C3 : de lijnstukken [(0, 0), (1, 0)] en [(1, 0), (1, 1)]
Een parametervergelijking voor C1is de volgende:
ß x = t y= t2 waarbij t varieert tussen 0 en 1, zodat we krijgen:
Z
C1
~F(~r).d~r = Z
C1
xdx + ydy = Z 1
0
(t + 2t3)dt =ht2 2 +t4
2 i1
0= 1 Ga zelf na dat ook
Z
C2
~F(~r).d~r = Z
C3
~F(~r).d~r = 1
1.5 De grondstelling voor de lijnintegraal
Onderstel dat ~F : G ⊂ R3→ R3 een vectorveld is dat continu is over een gebied G. Neem twee punten ~Aen ~Bin G, en beschouw een kromme C binnen G die de punten ~Aen ~B verbindt. In het
algemeen zal de lijnintegraal afhankelijk zijn van de kromme C. In het voorbeeld aan het eind van de vorige paragraaf blijkt de lijnintegraal onafhankelijk te zijn van de gekozen kromme C.
Wanneer kunnen we stellen dat de lijnintegraal onafhankelijk is van de gekozen kromme? Het antwoord hierop wordt gegeven door de volgende stelling, die ook wel de grondstelling voor de lijnintegraal wordt genoemd.
Stelling 1.5.1 Beschouw een continue boog ıAB die stuksgewijs continu differentieerbaar is, en gelegen binnen een gebied G. Voor elke differentieerbare functie ψ : G ⊂ R3→ R geldt:
Z
ABı
grad ψ(~r).d~r = ψ(~B) − ψ(~A)
De lijnintegraal van een gradi¨ent is dus onafhankelijk van de gevolgde weg.
Bewijs.Onderstel eerst dat de boog continu differentieerbaar is. Beschouw een parametrisatie
x= x(t) y= y(t) z= z(t)
van de boog ıAB (a ≤ t ≤ b). Gebruik makende van stelling 1.3.2 en de grondstelling voor de bepaalde integraal vinden we:
Z
ABı
grad ψ(~r).d~r = Z
ABı
∂ψ
∂x(~r).dx +∂ψ
∂y(~r).dy +∂ψ
∂z(~r).dz
= Z b
a
∂ψ
∂x dx
dt +∂ψ
∂y dy dt +∂ψ
∂z dz dt
dt
= Z b
a
d
dt(ψ ◦~r)dt
= ψ(~r(b)) − ψ(~r(a)) = ψ(~B) − ψ(~A)
Indien de boog slechts stuksgewijs continu differentieerbaar is, splitsen we hem op in een eindig aantal continu differentieerbare deelbogen ˜AC1, ¯C1C2, · · · , ˙Cn−1B. Herhaaldelijk toepassen van de formule hierboven geeft nu:
Z
ABı
grad ψ(~r).d~r
= Z
AC˜1
grad ψ(~r).d~r + · · · + Z
C˙n−1B
grad ψ(~r).d~r
= ψ(~C1) − ψ(~A) + ψ(~C2) − ψ(~C1) + · · · + ψ(~B) − ψ(~Cn−1)
= ψ(~B) − ψ(~A)
en dit bewijst de stelling.
Gevolg 1.5.2 Indien ψ : G ⊂ R3 → R continu differentieerbaar is over een gebied G, en een gesloten kromme C volledig binnen G gelegen is, dan geldt
I
C+
grad ψ(~r).d~r = 0
Bewijs.Neem een punt ~Aop C. Dan is I
C+
grad ψ(~r).d~r = ψ(~A) − ψ(~A) = 0
Opmerking
In de natuurkunde komt het meermaals voor dat een krachtveld gegeven wordt door de gradi¨ent van een scalaire functie ψ. ψ wordt dan de potentiaal genoemd, en het krachtveld conservatief. In een conservatief krachtveld geldt dus dat de arbeid verricht door het krachtveld niet afhangt van de gevolgde weg, alleen van het begin- en het eindpunt. Een typisch voorbeeld van een conservatief krachtveld is het zwaartekrachtveld.
We beschrijven het zwaartekrachtveld van de aarde. De oorsprong plaatsen we in het centrum van de aarde, en schrijven
~r = x~u1+ y~u2+ z~u3 en r = k~rk =
»
x2+ y2+ z2
De kracht die de aarde uitoefent op een deeltje met massa m gelegen op een afstand r > R0van het centrum van de aarde is dan
~F = −γMm r3 ~r
Hierbij is R0de straal van de aarde, M de massa van de aarde, en γ de gravitatieconstante. We zien gemakkelijk dat ~F = grad (ψ), waarbij
ψ(x, y, z) = γMm
r = γMm
px2+ y2+ z2
Hoofdstuk
2 De dubbele integraal
2.1 De dubbele integraal over een rechthoek
Definitie en eigenschappen
Beschouw een rechthoek R = [a, b] × [c, d] in het vlak, en een begrensde functie f : R ⊂ R2→ R.
Het ligt in onze bedoeling de integraal van de functie f over R te defini¨eren. We zullen een definitie geven die analoog is aan die van de Riemannintegraal.
Bekijk een partitie
P1= {a = x0, x1, x2, · · · , xn= b}
van [a, b], en een partitie
P2= {c = y0, y1, y2, · · · , ym= d}
van [c, d]. De produktverzameling
P= P1× P2= {(xi, yj)|0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m}
noemen we dan een partitie van de rechthoek R. Deze partitie verdeelt R onder in nm deelrecht- hoeken [xi−1, xi] × [yj−1, yj]. De oppervlakte van zulk een rechthoek is ∆xi∆yj.
Als norm van de partitie nemen we per definitie
NP= max{NP1, NP2} Kies in elk van deze rechthoeken een willekeurig punt
Mi j = (x∗i j, y∗i j) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj] en vorm de som
sP=
n i=1
∑
m
∑
j=1f(x∗i j, y∗i j)∆xi∆yj
Definitie 2.1.1 Indien de limiet
I= lim
NP→0sP
bestaat en onafhankelijk is van de gekozen deelpunten (x∗i j, y∗i j), dan zeggen we dat de functie f integreerbaar is over R, en we noteren
I= Z Z
R
f(x, y)dO
c y1 y2 y3 d
a x1 x2 x3 x4 x5 b x
y
Figuur 2.1: Partitie van een rechthoek
Zoals hierboven reeds vermeld, is deze definitie analoog met die van de Riemannintegraal. We heb- ben dan ook soortgelijke eigenschappen: we sommen ze hieronder op - zonder bewijs. De meeste van de formules hieronder worden bewezen zoals de analoge formules voor de Riemannintegraal.
Stelling 2.1.2 Onderstel dat f : [a, b] × [c, d] → R begrensd.
1. Indien f continu is over R, dan bestaatRRR f(x, y)dO.
2. RRR(a f (x, y) + bg(x, y))dO = aRRR f(x, y)dO + bRRRg(x, y)dO 3. Als f(x, y) ≥ 0 voor alle (x, y) ∈ R, dan geldt datRRRf(x, y)dO ≥ 0
4. Als f(x, y) ≤ g(x, y) voor alle (x, y) ∈ R, dan geldt datRRRf(x, y)dO ≤RRRg(x, y)dO 5. |RRRf(x, y)dO| ≤RRR| f (x, y)|dO
6. Indien f, g continu over R, en indien g een vast teken heeft over R, dan bestaat een punt (ξ, η) ∈ R zodanig dat
Z Z
R
f(x, y)g(x, y)dO = f (ξ, η) Z Z
R
g(x, y)dO
Meetkundige interpretatie
Net zoals in het geval van de Riemannintegraal kunnen we aan de dubbele integraal een meet- kundige interpretatie geven. Onderstel dat f overal in R niet negatieve waarden aanneemt. De term
f(x∗i j, y∗i j)∆xi∆yj
in de Riemannsom sP is het volume van een balk met zijden ∆xi, ∆yj en f (x∗i j, y∗i j). Als we dit sommeren over i en j, krijgen we bij benadering het volume van het ruimtestuk begrensd door het xy-vlak, de cilinder bepaald door de rechthoek R, en het oppervlak met vergelijking z = f (x, y). De benadering wordt beter als de norm van de partitie kleiner wordt, en daarom zullen we stellen dat het hierboven beschreven volume gegeven wordt doorRRRf(x, y)dO.
Berekening van de dubbele integraal over een rechthoek
Onderstel dat we weten dat de dubbele integraal van f over R bestaat (dit is bijvoorbeeld het geval als f continu is). Hoe kunnen we dan deze integraal berekenen ? Maak in definitie 2.1.1 de volgende keuze voor de punten (x∗i j, y∗i j):
(x∗i j, y∗i j) = (xi, yj) Dan krijgen we
sP =
n i=1
∑
m j=1
∑
f(xi, yj)∆xi∆yj
=
n i=1
∑
m
∑
j=1f(xi, yj)∆yj
∆xi
Nu geldt, vanwege de definitie van de (gewone) Riemannintegraal, voor elke i = 1, · · · , n :
NlimP2→0 m
∑
j=1f(xi, yj)∆yj= Z d
c
f(xi, y)dy en
NlimP1→0 n i=1
∑
Z d
c
f(xi, y)dy
∆xi= Z b
a
Z d
c
f(x, y)dydx zodat
lim
NP→0sP = lim
NP1→0 lim
NP2→0sP
= Z b
a
Z d
c
f(x, y)dydx Op volledig analoge wijze bewijzen we dat
NlimP→0sP= Z d
c
Z b
a
f(x, y)dxdy Hiermee hebben we dus volgende eigenschap bewezen:
Stelling 2.1.3 Indien f integreerbaar is over een rechthoek [a, b] × [c, d], dan geldt dat Z Z
R
f(x, y)dO = Z b
a
Z d c
f(x, y)dydx = Z d
c
Z b a
f(x, y)dxdy Vanwege deze stelling gebruikt men ook dikwijls de volgende notatie:
Z Z
R
f(x, y)dO = Z b
a
dx Z d
c
f(x, y)dy
x y
R G
g=0
g=f
Figuur 2.2: De dubbele integraal over een gebied
Voorbeeld Stel R = [0,π2] × [0,π2]. Dan geldt Z Z
R
sin(x + y)dO =
Z π/2
0
Z π/2
0
sin(x + y)dxdy
=
Z π/2
0
− cos(x + y)π/20 dy
=
Z π/2
0 (− cos(π/2 + y) + cos(y))dy
=
Z π/2
0
(sin(y) + cos(y))dy = 2 Gevolg 2.1.4
Z Z
R
f(x)g(y)dO = Z b
a
f(x)dx Z d
c
g(y)dy
2.2 De dubbele integraal over een gebied
Definitie en eigenschappen
Beschouw nu een gebied G ⊂ R2, en een begrensde functie f : G → R. We onderstellen dat G begrensd is door een stuksgewijs continue differentieerbare kromme. Om de integraal van f over G te defini¨eren voeren we een hulpfunctie in: kies een rechthoek R in het vlak, met zijden evenwijdig met de assen die het gebied G volledig omvat.
We voeren nu de hulpfunctie g : R ⊂ R2→ R in als volgt:
®g(x, y) = f (x, y) als (x, y) ∈ G g(x, y) = 0 als (x, y) /∈ G Per definitie stellen we nu:
Z Z
G
f(x, y)dO = Z Z
R
g(x, y)dO
voor zover deze laatste integraal bestaat. De eigenschappen uit stelling 2.1.2 kunnen dan veralge- meend worden. Zo formuleren we - zonder bewijs - de volgende stelling:
Stelling 2.2.1 1. Als f continu is over G, dan bestaatRRGf(x, y)dO.
2. Als f(x, y) ≥ 0 voor (x, y) ∈ G, dan stelt RRGf(x, y)dO het volume voor van het ruimtestuk begrensd door het xy-vlak, de cilinder met beschrijvenden door de rand van G en evenwijdig met de z-as, en het oppervlak met vergelijking z= f (x, y) (zie Figuur 2.3).
3. Opp(G) =RRGdO.
S
f(Mk)
x
z
y z = f(x, y)
Gk Mk G
Figuur 2.3: De dubbele integraal als een volume
Berekening van de dubbele integraal over een gebied
Onderstel eerst dat het gebied G regelmatig is ten opzichte van de y-as, dit wil zeggen dat G begrensd wordt door twee verticale rechten x = a en x = b, en twee krommen met vergelijking y= h(x) en y = k(x), met h(x) ≤ k(x) voor elke x ∈ [a, b]. Kies een rechthoek R die G omvat. We kunnen nu stelling 2.1.3 toepassen op R en g:
Z Z
G
f(x, y)dO = Z Z
R
g(x, y)dO = Z b
a
dx Z d
c
g(x, y)dy
x y
R G
g=0 g=f g=0
y=k(x)
y=h(x)
x
a b
c d
Figuur 2.4: Een gebied dat regelmatig is t.o.v. de y-as
Nu geldt, voor elke a ≤ x ≤ b dat Z d
c
g(x, y)dy
=
Z h(x) c
g(x, y)dy + Z k(x)
h(x)
g(x, y)dy + Z d
k(x)
g(x, y)dy
= 0 + Z k(x)
h(x)
f(x, y)dy + 0
zodat
Z Z
G
f(x, y)dO = Z b
a
dx Z k(x)
h(x)
f(x, y)dy (2.1)
Vergelijking 2.1 vertelt ons dus hoe we een dubbele integraal over een gebied dat regelmatig is ten opzichte van de y-as kunnen uitrekenen. Een analoge formule geldt uiteraard voor een gebied dat regelmatig is ten opzichte van de x-as (Figuur 2.5).
x y
c d
x=h(y) x=k(y)
G
Figuur 2.5: Een gebied dat regelmatig is t.o.v. de x-as
Z Z
G
f(x, y)dO = Z d
c
dy Z k(y)
h(y)
f(x, y)dx (2.2)
Voorbeeld 1 Laat G het gebied zijn dat begrensd wordt de rechten y = 0, x = 1 en y = x:
We berekenen bij wijze van voorbeeld:
I= Z Z
G
(x2+ y2)dO Met behulp van (2.2) krijgen we:
I = Z 1
0
dx Z x
0
(x2+ y2)dy
= Z 1
0
ï
x2y+y3 3
òx 0
dx
= Z 1
0
4
3x3dx =1 3 We kunnen ook formule (2.1) toepassen:
I = Z 1
0
dy Z 1
y
(x2+ y2)dx
= Z 1
0
ï 1
3x3+ xy2 ò1
y
dy
= Z 1
0
(1
3+ y2−4
3y3)dy = 1 3
y
x y=x
1
1 0
G
Figuur 2.6: Het gebied G uit voorbeeld 1
Voorbeeld 2 Bekijk het viervlak begrensd door de drie co¨ordinaatvlakken, en het vlak x + y + z = 1.
Wat is het volume van dit viervlak? Gebruik makende van stelling 2.2.1 krijgen we : V =
Z Z
G
(1 − x − y)d0
waarbij G de driehoek is in het xy-vlak met hoekpunten (0, 0), (1, 0) en (0, 1). We vinden gemak-
kelijk dat
V =
Z 1
0
dx Z 1−x
0
(1 − x − y)dy
= Z 1
0
dx ï
(1 − x)y −y2 2
ò1−x 0
= Z 1
0
(1 − x)2 2 dx
= ï (x − 1)3 6
ò1 0
= 1 6 Berekening van inhoud
x y
d
c
a b
y = j2(x)
y = j1(x)
Figuur 2.7: Berekenen van inhoud met behulp van enkelevoudige integralen
Zoals we hierboven gezien hebben kunnen we vele volumes berekenen met behulp van dubbele integralen. Soms is het echter mogelijk volumes te berekenen met een gewone enkelvoudige inte- graal.
Onderstel dat G regelmatig is t.o.v. de y-as, en dat f (x, y) ≥ 0 voor (x, y) ∈ G (zie Figuur 2.7).
Definieer V : [a, b] → R als volgt : V (x) is het volume van het lichaam begrensd door het xy-vlak, de twee vlakken evenwijdig met het yz-vlak gaande door de punten (a, 0, 0) en (x, 0, 0), het opper- vlak z = f (x, y) en de cilindermantel met beschrijvenden evenwijdig met de z-as en steunende op de krommen y = ϕ1(x) en y = ϕ2(x) in het xy-vlak. Zoals we hierboven hebben gezien wordt V (x) dan gegeven door de formule
V(x0) = Z x0
a
dx Z ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(x, y)dy Als we onderstellen dat ϕ1, ϕ2en f continu zijn, dan is
g(x) =
Z ϕ2(x)
ϕ1(x)
f(x, y)dy
0 a
G f(x)
P
y = f(x)
y z
x b
Figuur 2.8: Inhoud van een omwentelingslichaam een continue functie van x, en dan geldt dat
dV
dx = g(x),
de oppervlakte van de vlakke doorsnede van het lichaam met het vlak door (x, 0, 0) en evenwijdig met het yz-vlak. Indien men g(x) rechtstreeks kan berekenen, dan krijgt men V (x) met een enkele integratie:
V(x) = Z x
a
g(x)dx
Voorbeeld 1: Inhoud van een omwentelingslichaam
Onderstel dat een kromme in het xy-vlak met vergelijking y = f (x), met x gelegen tussen a en b rond de x-as gewenteld wordt.
De vlakke doorsnede met oppervlakte g(x) is hier een cirkelschijf met straal f (x). Dus is g(x) = π f (x)2, en
V = π Z b
a
f(x)2dx
Beschouw nu deel G van het xy-vlak begrensd door de x-as, de grafiek van f en de verticale rechten x= a en x = b. De gemiddelde waarde y van y over G wordt gegeven door de formule
y= 1 S
Z Z
G
ydxdy =1 S
Z b
a
dx Z f(x)
0
ydy = 1 2S
Z b
a
f(x)2dx, waarbij S de oppervlakte van G is. Hieruit kunnen we besluiten dat
V = 2πSy.
a
y z
x
z = f2(x)
y = f1(x) b
Figuur 2.9: Inhoud van een regeloppervlak
Dit is de eerste formule van Guldin.
Als voorbeeld rekenen we het volume uit van de bol met straal R. We wentelen de kromme met vergelijking y =√
R2− x2 (−R ≤ x ≤ R) rond de x-as. We krijgen V = π
Z R
−R(R2− x2)dx =4 3πR3 Voorbeeld 2: Inhoud van een regeloppervlak
In het xy-vlak beschouwen we een kromme met vergelijking y = f1(x), waarbij x varieert van a tot b. In het xz-vlak beschouwen we een kromme met vergelijking z = f2(x), met a ≤ x ≤ b.
Het oppervlak S dat beschreven wordt door de rechten die de punten (x, f1(x), 0) en (x, 0, f2(x)) verbinden noemen we een regeloppervlak. Het volume begrensd door dit oppervlak, het xy-vlak, het xz-vlak en de vlakken x = a en x = b kunnen we uitdrukken door een enkele integraal. Immers, in dit geval is g(x) =12f1(x) f2(x), zodat
V =1 2
Z b
a
f1(x) f2(x)dx
2.3 De formule van Green-Riemann
Het opstellen van de formule
In hoofdstuk 2 hebben we de grondformule van de integraalrekening gezien: indien voor f : [a, b] → R geldt dat f0continu is over [a, b], dan geldt
Z b
a
f0(x)dx = f (b) − f (a)
G H
x y
Figuur 2.10: Enkelvoudig en niet-enkelvoudig samenhangende gebieden
x y
d
c
a b
y = j2(x)
y = j1(x)
Figuur 2.11: G is regelmatig t.ov. de y-as
We willen nu een soortgelijke formule opstellen voor de dubbele integraal. Bekijk een gesloten continue kromme C, die stuksgewijs continu differentieerbaar is. Onderstel verder dat C zichzelf niet snijdt. Het gebied G dat door C wordt ingesloten noemen we dan een enkelvoudig samenhan- gend gebied. Een enkelvoudig samenhangend gebied is dus, intu¨ıtief gezegd, een gebied zonder
”gaten”. In Figuur 2.10 is G enkelvoudig samenhangend, maar H niet:
Onderstel dat P : G → R een continue parti¨ele afgeleide naar y heeft over G. We berekenen Z Z
G
∂P
∂y(x, y)dO
Laten we om te beginnen onderstellen dat G regelmatig is ten opzichte van de y-as (zie Figuur 2.11) Gebruik makende van formule (2.1) en de grondformule vinden we
Z Z
G
∂P
∂y(x, y)dO = Z b
a
dx Z ϕ2(x)
ϕ1(x)
∂P
∂y(x, y)dy
= Z b
a
dx ï
P(x, y) òϕ2(x)
ϕ1(x)
= Z b
a
P(x, ϕ2(x))dx − Z b
a
P(x, ϕ1(x))dx
Dit zijn alle twee lijnintegralen, respectievelijk langs de krommen y = ϕ2(x) (a ≤ x ≤ b) en y = ϕ1(x) (a ≤ x ≤ b), geparametreerd in x. Als we deze twee krommen C2en C1noemen, dan krijgen
we dus
Z Z
G
∂P
∂y(x, y)dO = Z
C2
P(x, y)dx − Z
C1
P(x, y)dx
= − I
C+
P(x, y)dx
Indien G niet regelmatig is ten opzichte van de y-as, dan blijft deze formule geldig : we hoeven alleen maar G op te splitsen in deelgebieden G1, G2, · · · , Gn die regelmatig zijn ten opzichte van de y-as, en hierop de formule toe te passen. We laten de details achterwege, en geven alleen een eenvoudig voorbeeld, als geschetst in Figuur 2.12 Uit
G3 G1
G2
Figuur 2.12: G is niet regelmatig t.ov. de y-as Z Z
Gi
∂P
∂y(x, y)dO = − I
C+i
P(x, y)dx voor i = 1, 2, 3 volgt dat
Z Z
G
∂P
∂y(x, y)dO = − I
C+
P(x, y)dx
De stukken kromme die gebruikt worden om G in deelgebieden te verdelen worden tweemaal doorlopen in tegengestelde zin, zodat de integralen langs deze stukken bij het sommeren wegvallen.
Op volkomen analoge manier kunnen we aantonen dat, indien Q : G → R een continue parti¨ele afgeleide naar x bezit over G, de volgende formule geldt:
Z Z
G
∂Q
∂x(x, y)dO = I
C+
Q(x, y)dy
Veronderstel namelijk eerst dat G regelmatig is ten opzichte van de x-as (Figuur 2.13). Dan geldt:
Z Z
G
∂Q
∂x(x, y)dO = Z d
c
dy Z ψ2(y)
ψ1(y)
∂Q
∂x(x, y)dx
= Z d
c
dy ï
Q(x, y) òψ2(y)
ψ1(y)
= Z d
c
Q(ψ2(y), y)dy − Z d
c
Q(ψ1(y), y)dy
= I
C+
Q(x, y)dy
x y
x = y1(y) d
x = y2(y) c
Figuur 2.13: G is regelmatig t.ov. de x-as
Een redenering analoog aan de bovenstaande vertelt ons dat deze formule ook nog geldig blijft indien G niet regelmatig is ten opzichte van de x-as. Als we beide formules combineren, dan krijgen we de formule van Green-Riemann:
Stelling 2.3.1 Formule van Green-Riemann Onderstel dat G een enkelvoudig samenhangend gebied is, ingesloten door de kromme C. Indien P, Q : G → R zo zijn dat P continue parti¨ele afgeleiden bezit naar y, en Q continue parti¨ele afgeleiden bezit naar x over G, dan geldt :
I
C+
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = Z Z
G
∂Q
∂x −∂P
∂ydO Voorbeelden en toepassingen
De formule van Green-Riemann maakt het mogelijk om oppervlakten te berekenen met behulp van een lijnintegraal:
Stelling 2.3.2 Onderstel dat een enkelvoudig samenhangend gebied G wordt omsloten door een gesloten kromme C. Dan geldt:
Opp(G) = I
C+
xdy = − I
C+
ydx =1 2
I
C+
xdy − ydx
Bewijs. We hoeven alleen maar in de formule van Green-Riemann achtereenvolgens p = 0 en
q= x, en p = −y en q = 0 te nemen.
Deze formule is niet zo nieuw als ze wel lijkt! Neem G regelmatig ten opzichte van de y-as, als in Figuur 2.11. De formule vertelt ons dan dat
Opp(G) = Z b
a
ϕ2(x)dx − Z b
a
ϕ1(x)dx maar dit wisten we al langer.
Speciaal geval Bekijk een gebied G, ingesloten tussen twee voerstralen en een boog Γ, zoals geschetst in Figuur 2.14 We hebben nu
2Opp(G) = Z
ˆOA
xdy − ydx + Z
ABı
xdy − ydx + Z
BOˆ
xdy − ydx
x y
0
A
B G
Figuur 2.14: G is ingesloten tussen twee voerstralen en een boog Γ De lijnintegraal langs ˆOAparametrizeren we in x : y = kx. Dan krijgen we
Z
OAˆ
xdy − ydx = Z a
0
(xk − kx)dx = 0 en, op analoge wijze
Z
BOˆ
xdy − ydx = 0 zodat
2Opp(G) = Z
ABı
xdy − ydx (2.3)
Als toepassing berekenen we de oppervlakte van een hyperboolsector.
Beschouw de gelijkzijdige hyperbool x2− y2= 1. In parametervorm kunnen we de vergelijking
y
x P (x, y)
A
Figuur 2.15: De hyperboolsector schrijven als
ß x = ch (t) y= sh (t)
Neem een punt (x = ch (t∗), y = sh (t∗)) op de hyperbool. De oppervlakte van het gearceerde gebied wordt gegeven door
Opp(G) =1 2
Z
APı
xdy − ydx = 1 2
Z t∗ 0
xdy dt − ydx
dtdt =1 2
Z t∗ 0
(x2− y2)dt =t∗ 2
Speciaal geval : poolco¨ordinaten
Onderstel dat de boog ıABgegeven is in poolco¨ordinaten:
ρ = ρ(θ)
We kunnen dit in parametervorm schrijven met θ als parameter:
ß x = ρ(θ) cos θ y= ρ(θ) sin θ waaruit
ß dx = (ρ0cos θ − ρ sin θ)dθ dy = (ρ0sin θ + ρ cos θ)dθ en
xdy − ydx = ρ2dθ en formule (2.3) wordt nu
Opp(G) = 1 2
Z θ2
θ1
ρ2(θ)dθ (2.4)
Speciaal Geval
Onderstel dat de boog ıAB geparametrizeerd is in t = y/x. Dan is y = tx, dy = tdx + xdt, zodat xdy − ydx = x2dt. Formule (2.3) wordt nu
Opp(G) = 1 2
Z t2
t1
x2(t)dt (2.5)
Als voorbeeld berekenen we de oppervlakte van de lus van het Folium van Descartes. De vergelij- king hiervan wordt gegeven door
x3+ y3− 3axy = 0
waarbij a een strikt positieve parameter is. In onderstaande figuur wordt de grafiek gegeven in het geval dat a = 1. Neem t = y/x als parameter; dan volgt
x= 3at 1 + t3 y= 3at2
1 + t3 Studie van het tekenverloop van t, x en y geeft:
t −∞ −1 0 +∞
x 0 + +∞|−∞ − 0 + 0
y 0 − −∞|+∞ + 0 + 0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
...
......................................................
....
....
....
......
......
.......
........
.......
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..............................
Folium van Descartes (a=1)
x-as
y-as
Figuur 2.16: Het folium van Descartes
Ga zelf na dat de grafiek symmetrisch is ten opzichte van de rechte y = x. Verder is x + y = −a een schuine asymptoot:
t→−1lim x+ y = lim
t→−1
3at(t + 1) 1 + t3 = −a
Als t het interval [0, +∞) doorloopt, dan loopt (x, y) door de lus. Derhalve is de oppervlakte van de lus
1 2
Z +∞
0
9a2t2
(1 + t3)2dt =3a2 2
Z +∞
0
d(1 + t3) (1 + t3)2 =3a2
2
2.4 Het invoeren van nieuwe veranderlijken
De algemene formule
Voor de bepaalde integraal hebben we de substitutieregel gezien: onderstel dat ϕ : [c, d] → [a, b]
een continu differentieerbare bijectie is. Als f een continue functie is op [a, b], dan geldt Z b
a
f(x)dx = Z d
c
f(ϕ(t))|ϕ0(t)|dt
Immers, als ϕ stijgend is, dan is dit de substitutieregel zoals we hem gezien hebben in Analyse I, stelling 9.2.2. Indien ϕ dalend is, dan is ϕ(c) = b, ϕ(d) = a, en we moeten dan de integratiegrenzen omwisselen. We compenseren dit door de absolute-waardestrepen rond ϕ0(t) in de formule.
We willen nu een analoge formule opstellen voor de dubbele integraal. Onderstel dat g een gebied is in het uv-vlak, en G een gebied in het xy-vlak, en beschouw een transformatie
T : g ⊂ R2→ G ⊂ R2
gegeven door de transformatieformules
ß x = φ(u, v) y= ψ(u, v)
0 v
u 0
y
x G
g g G
T
Figuur 2.17: Een substitutie in twee veranderlijken
Stelling 2.4.1 Indien de transformatie T : g ⊂ R2→ G ⊂ R2voldoet aan de volgende voorwaar- den:
1. T is bijectief ; 2. De functies φ, ψ,∂φ
∂u,∂ψ
∂u,∂φ
∂v,∂ψ
∂v zijn continu over g;
3. De Jacobiaanse determinant
j= ∂(φ, ψ)
∂(u, v) 6= 0 is in geen enkel punt van g gelijk aan nul.
Dan geldt
Z Z
G
f(x, y)dxdy = Z Z
g
f(φ(u, v), ψ(u, v))
∂(φ, ψ)
∂(u, v)
dudv
Bewijs.Hierop zullen we terugkomen in het volgende hoofdstuk. De dubbele integraal in poolco¨ordinaten
y
q x
q q
r
r = j1(q)
r = j2(q)
r = j2(q)
r = j1(q)
q1
q2
Figuur 2.18: Poolco¨ordinaten en carthesische co¨ordinaten
