Constante co¨effici¨enten

In deze paragraaf bestuderen we de differentiaalvergelijking (9.22) in het geval waarin de co¨effici¨enten a_ionafhankelijk zijn van x.

y⁽ⁿ⁾+ a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a_n−1y⁰+ a_ny= b(x) (9.30)

In principe kan men van (9.30) altijd de algemene integraal bepalen. De homogene vergelijking

Beschouw eerst het geval n = 1. De homogene vergelijking y⁰+ a₁y= 0

kan dan ge¨ıntegreerd worden met behulp van de methode der scheiding van veranderlijken. Men vindt gemakkelijk dat

y= ce^−a1x

Hierdoor ge¨ınspireerd stellen we voor de algemene homogene vergelijking

y⁽ⁿ⁾+ a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a_n−1y⁰+ a_ny= 0 (9.31)

oplossing voor van de vorm

y= eλx

waarbij λ een te bepalen parameter is. Afleiden geeft y⁽ⁱ⁾= λⁱeλx en na substitutie in (9.31) vinden we eλx^ λⁿ+ a₁λⁿ⁻¹+ · · · + a_n  = 0

of

P(λ) = λⁿ+ a₁λⁿ⁻¹+ · · · + a_n= 0 (9.32) y= eλxis dus een oplossing van (9.31) indien λ een wortel is van de n-de graadsvergelijking (9.32). Men noemt de veelterm P de karakteristieke veelterm van de differentiaalvergelijking (9.31). De vergelijking (9.32) noemen we de karakteristieke vergelijking. De karakteristieke vergelijking ont-staat door in de differentiaalvergelijking de i-de afgeleide van y te vervangen door de i-de macht van de veranderlijke λ.

In principe kunnen we nu de algemene integraal van de homogene vergelijking bepalen. De karak-teristieke vergelijking is een n-de graadsvergelijking en heeft dus n wortels. Elke wortel levert een oplossing, en zo verwachten we n lineair onafhankelijke oplossingen, die een basis vormen voor de vectorruimte der oplossingen. Er zijn echter twee moeilijkheden.

1. Het kan zijn dat de karakteristieke veelterm meervoudige wortels heeft; 2. het kan zijn dat de karakteristieke veelterm complexe wortels heeft.

Als f een differentieerbare functie is, dan noteert men D f voor de afgeleide functie. De tweede afgeleide kunnen we noteren als D²f, de derde als D³f, enzovoort.

We kunnen D beschouwen als de differentiaaloperator die een functie omzet in haar afgeleide. Dan is D²= D ◦ D, D³= D ◦ D ◦ D, enz. Nog algemener kunnen we schrijven:

(D − λ) f = f⁰− λ f Merk op dat (D − λ)(xⁿe^λx) = nxⁿ⁻¹e^λx (9.33) Immers (D − λ)(xⁿe^λx) = nxⁿ⁻¹e^λx+ λxⁿe^λx− λxⁿe^λx = nxⁿ⁻¹eλx

Verder gebruik makend van onze nieuwe notatie kunnen we de differentiaalvergelijking (9.31) herschrijven als volgt

P(D)( f ) = 0 (9.34)

waarbij

P(λ) = λⁿ+ a₁λⁿ⁻¹+ · · · + a_n

de karakteristieke veelterm is. Onderstel nu dat λ₁, λ2, · · · , λr de - eventueel complexe - wortels zijn van de karakteristieke vergelijking, en dat de multipliciteit van λ_ihet getal m_iis. Dan kan de karakteristieke veelterm P ontbonden worden tot

P(λ) = (λ − λ1)^m1(λ − λ2)^m2· · · (λ − λ_r)^mr

(9.34) kan nu herschreven worden onder de vorm

We beweren nu dat, voor m < mi,

y= x^meλix

een oplossing is van (9.34). Immers, Uit (9.33) volgt dat (D − λi)^m(x^meλix) = m!eλix

en dus is

(D − λi)^mi(x^me^λix) = 0 en

P(D)(x^meλix) = 0

We hebben dus in het totaal m₁+ m₂+ · · · m_r= n oplossingen van (9.34), namelijk

eλ1x, xeλ1x, x²eλ1x, · · · , x^m1−1eλ1x eλ2x, xeλ2x, x²eλ2x, · · · , x^m2−1eλ2x .. . eλrx, xeλrx, x²eλrx, · · · , x^mr−1eλrx (9.36)

We gaan nu aantonen dat deze n oplossingen lineair onafhankelijk zijn.

Lemma 9.4.1 Als P 6= 0 een veelterm is van graad n, en λ 6= 0, dan is, voor elke k ≥ 0, D^k(P(x)eλx) = Q(x)eλx

waarbij Q6= 0 ook een veelterm van graad n is. Bewijs.

D(P(x)eλx) = (λP(x) + P⁰(x))eλx

en de graad van λP + P⁰is dezelfde als die van P. Herhaal deze redenering k keer.  Lemma 9.4.2 Onderstel dat λ₁, λ2, · · · , λr niet aan elkaar gelijk zijn en dat P₁, P₂, · · · , P_r veelter-men zijn. Als

P₁(x)eλ1x+ P₂(x)eλ2x+ · · · + P_r(x)eλrx= 0 (9.37) voor elke x, dan zijn de veeltermen P₁, P₂, · · · , P_r allemaal nul.

Bewijs. Het bewijs gaat via inductie op r. Voor r = 1 is de bewering evident: als P₁(x)eλ1x= 0 voor elke x, dan is P1(x) = 0, aangezien eλ1xnooit nul is.

Onderstel nu dat de bewering waar is voor r = 1, 2, · · · , s. We beweren dat ze ook geldt voor r= s + 1. Onderstel dat

P₁(x)eλ1x+ P₂(x)eλ2x+ · · · + P_s(x)eλsx+ P_s+1(x)eλs+1x= 0, (9.38)

voor alle x. Als een van de veeltermen P_i= 0, dan zijn ze allemaal nul, door de inductiehypothese. Onderstel daarom dat alle P_i6= 0. We delen (9.38) door eλ_s+1x:

P₁(x)e^(λ1−λ_s+1)x

+ P₂(x)e^(λ2−λ_s+1)x

+ · · · + P_s(x)e^(λs−λ_s+1)x

We leiden deze betrekking gr(Ps+1) + 1 maal af. Volgens lemma 9.4.1 krijgen we

Q₁(x)e^(λ1−λ_s+1)x+ Q₂(x)e^(λ2−λ_s+1)x+ · · · + Q_s(x)e^(λs−λ_s+1)x= 0,

en, als we terug vermenigvuldigen met eλ_s+1x,

Q₁(x)eλ1x+ Q₂(x)eλ2x+ · · · + Q_s(x)eλsx= 0.

Hierbij zijn alle Q_i6= 0 (zie lemma 9.4.1). Maar uit de inductiehypothese volgt ook dat alle Q_i= 0.

Dit is een contradictie. 

Gevolg 9.4.3 De n oplossingen (9.36) van (9.34) zijn lineair onafhankelijk. Voorbeelden 9.4.4 1) y⁰⁰− y = 0. De karakteristieke vergelijking is

λ²− 1 = 0

en de wortels zijn λ = ±1. y = e^x en y = e^−x zijn dus oplossingen, en uit gevolg 9.4.3 weten we dat deze lineair onafhankelijk zijn. De algemene integraal is dus

y= c₁e^x+ c₂e^−x

2) y⁰⁰+ 2y⁰+ y = 0. De karakteristieke vergelijking is nu

λ²+ 2λ + 1 = 0 of

(λ + 1)²= 0

−1 is een dubbele wortel van de karakteristieke vergelijking, en y = e^−x en y = xe^−x zijn twee lineair onafhankelijke oplossingen van de differentiaalvergelijking. De algemene integraal is

y= (c₁x+ c₂)e^−x

3) y⁽⁴⁾− 6y⁰⁰⁰+ 13y⁰⁰− 12y⁰+ 4y = 0. De karakteristieke vergelijking is nu λ⁴− 6λ³+ 13λ²− 12λ + 4 = 0

of

(λ − 1)²(λ − 2)²= 0 De algemene integraal is

y= c₁e^x+ c₂xe^x+ c₃e^2x+ c₄xe^2x

4) y⁽ⁿ⁾= 0. De karakteristieke vergelijking is λⁿ= 0. λ = 0 is de enige wortel, met multipliciteit n. De algemene integraal is

De hierboven geschetste methode laat toe om van een homogene differentiaalvergelijking met constante co¨effici¨enten de algemene integraal te bepalen. De enige beperking tot nu toe is dat de wortels van de karakteristieke vergelijking re¨eel moeten zijn. Wat gebeurt er als de karakteristieke vergelijking complexe wortels heeft? Formeel is er geen enkel probleem, als we gebruik maken van de complexe exponenti¨ele functie (zie volume 1). Herinner dat

e^a+ib= e^a(cos b + i sin b)

Herhaal ook dat de formule

d dx^e

λx= λeλx

blijft gelden als λ een complex getal is. De procedure hierboven geschetst levert dus, ook in het geval dat de karakteristieke vergelijking complexe wortels heeft, n lineair onafhankelijke oplossin-gen van de differentiaalvergelijking (9.31). Alleen staan deze oplossinoplossin-gen oplossin-genoteerd in complexe vorm, en voor vele toepassingen hebben we liever de re¨ele vorm. We kunnen echter makkelijk overgaan naar de re¨ele vorm als volgt. Als λ = α + iβ een complexe wortel is van de karakteris-tieke vergelijking, dan is ook de complex toegevoegde λ = α − iβ een wortel, en wel met dezelfde multipliciteit. Als i kleiner is dan deze multipliciteit, dan zijn

xⁱeλx= xⁱeαx(cos βx + i sin βx) en

xⁱe^λx= xⁱe^αx(cos βx − i sin βx)

oplossingen. Lineaire combinaties hiervan (eventueel met complexe co¨effici¨enten) zijn ook oplos-singen, en dus zijn

xⁱeαxcos βx en xⁱeαxsin βx

oplossingen van (9.31). Deze oplossingen staan in re¨ele vorm, en op deze manier verkrijgen we n lineair onafhankelijke oplossingen van (9.31).

Voorbeelden 9.4.5 1) y⁰⁰+ y = 0. De karakteristieke vergelijking is

λ²+ 1 = 0

De wortels zijn i en −i. De complexe oplossingen zijn

cos x + i sin x en cos x − i sin x of, in re¨ele vorm, cos x en sin x. De algemene integraal is dus

y= c₁cos x + c₂sin x

2) y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y = 0. Karakteristieke vergelijking:

λ²+ 2λ + 2 = 0 De wortels zijn λ = −1 ± i, en de algemene integraal is

3) y⁰⁰⁰− y = 0. Karakteristieke vergelijking: λ³− 1 = 0 De wortels zijn λ = 1 en λ = −1 ± i^√3 2 en de algemene integraal is y= c₁e^x+ e^−x2(c₂cos √ 3 2 ^{x+ c3sin} √ 3 2 ^x) 4) y^iv+ 2y⁰⁰+ y = 0. Karakteristieke vergelijking: λ⁴+ 2λ²+ 1 = 0 of (λ²+ 1)²= 0

We hebben twee dubbele wortels λ = ±i, en de algemene integraal is y= (c₁+ c₂x) cos x + (c₃+ c₄x) sin x

De volledige vergelijking

We bekijken nu de volledige vergelijking

y⁽ⁿ⁾+ a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a_n−1y⁰+ a_ny= b(x) (9.39)

Om een particuliere integraal te bepalen kunnen we altijd de methode van de variatie van de con-stante toepassen.

Voorbeeld 9.4.6 y⁰⁰+ y = e^x. De oplossing van de homogene vergelijking is

y_h= A cos x + B sin x

Als particuliere oplossing stellen we voor:

y_p= A(x) cos x + B(x) sin x

A⁰en B⁰zijn dan de oplossingen van het lineair stelsel (zie (9.29))

ß A0cos x + B⁰sin x = 0 −A⁰sin x + B⁰cos x = e^x Oplossen geeft A⁰(x) =     0 sin x e^x cos x     = −e^xsin x

B⁰(x) =     cos x 0 − sin x ex     = e^xcos x Integratie geeft A(x) =¹

2^{(cos x − sin x)e}

x en B(x) = ¹

2^{(cos x + sin x)e}

x

Voor de particuliere oplossing vinden we dus y_p= ¹

2^{cos x(cos x − sin x)e}

x+¹

2^{sin x(cos x + sin x)e}

x=^e

x

2

Zoals uit dit eenvoudig voorbeeld blijkt is de methode nogal omslachtig. Als b(x) van een speciale vorm is, dan bestaan er meer eenvoudige technieken. Vooraleer we het meest algemene geval bespreken, geven we eerst enkele eenvoudige voorbeelden.

Voorbeelden 9.4.7 1) We hernemen het voorgaande voorbeeld y⁰⁰+ y = e^x. De techniek bestaat er in om een particuliere oplossing voor te stellen die van “dezelfde vorm” is als het rechterlid. We proberen

y_p= Ae^x

met A een te bepalen constante. Substitutie in de vergelijking geeft Ae^x+ Ae^x= e^x

waaruit volgt dat A = 1/2. De algemene integraal van de differentiaalvergelijking is y= ¹

2^e

x+ A cos x + B sin x

2) y⁰⁰+ y = x²+ x + 1. Het rechterlid is een veelterm van graad 2 in x, en als particuliere oplossing stellen we een veelterm van graad 2 voor:

y_p= Ax²+ Bx +C

Invullen in de vergelijking levert

2A + Ax²+ Bx +C = x²+ x + 1

waaruit

A= 1, B = 1, 2A +C = 1 of C = −1 De particuliere integraal is dus

y_p= x²+ x − 1 en de algemene integraal van de differentiaalvergelijking is

y= x²+ x − 1 + A cos x + B sin x

3) y⁰⁰− y = e^x. Zoals in voorbeeld 1) proberen we y_p= Ae^x

Substitutie in de vergelijking levert

Ae^x− Ae^x= e^x

of 0 = 1. In dit geval werkt onze methode dus niet! Eigenlijk is dit niet verwonderlijk, aangezien y_h= Ce^x+ De^−x

Onze voorgestelde particuliere oplossing was dus een oplossing van de homogene vergelijking, en a fortiori geen oplossing van de volledige vergelijking. Om toch een particuliere oplossing te vinden gebruiken we een truucje dat we verderop zullen veralgemenen. Stel als particuliere oplossing voor:

y_p= Axe^x Invullen in de vergelijking levert nu

A(x + 2)e^x− Axe^x= e^x

waaruit volgt dat A = 1/2. De algemene integraal van de differentiaalvergelijking is dus y= (C +^x

2^)e

x+ De^−x

Onderstel dat het rechterlid van de vergelijking (9.39) van de vorm b(x) = V (x)e^µx

is, waarbij V een veelterm van graad p is. De karakteristieke vergelijking van de homogene verge-lijking is

λⁿ+ a₁λⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1λ + a_n= 0 (9.40) Onderstel dat µ, λ₁, · · · , λrde wortels van (9.40) zijn, met multipliciteiten respectievelijk m, m₁, · · · , m_r. Als µ geen wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan stellen we gewoon m = 0, en al hetgeen volgt blijft geldig. (9.39) kan dan herschreven worden als volgt:

(D − µ)^m(D − λ1)^m1· · · (D − λr)^mry= V (x)e^µx (9.41) Onderstel dat y_p een oplossing is van (9.39). We passen op beide leden van (9.41) de operator (D − µ)^p+1. We vinden, gebruik makend van (9.33), dat

(D − µ)^m+p+1(D − λ1)^m1· · · (D − λr)^mry_p= (D − µ)^p+1(V (x)e^µx) = 0

y_pis dus de oplossing van een homogene differentiaalvergelijking met constante co¨effici¨enten. We kunnen besluiten dat y_pkan geschreven worden onder de vorm

y_p=  c₁x^m+p+ c₂x^m+p−1+ · · · + cm+px+ cm+p+1  e^µx+ r

∑

i=1 Q_i(x)eλix

waarbij de c_iconstanten zijn, en Q_iveeltermen van graad kleiner dan m_i. Nu is

 c_p+2x^m−1+ c_p+3x^m−2+ · · · + c_m+px+ c_m+p+1^e^µx+ r

∑

i=1 Q_i(x)eλix

een oplossing van de homogene vergelijking. Dus is

(c₁x^m+p+ c₂x^m+p−1+ · · · + c_p+1x^m)e^µx= x^m(c₁x^p+ c₂x^p−1+ · · · + c_p+1)e^µx

een particuliere oplossing van de volledige vergelijking (9.30). We kunnen onze resultaten samen-vatten als volgt:

Stelling 9.4.8 Beschouw de differentiaalvergelijking

y⁽ⁿ⁾+ a₁y⁽ⁿ⁻¹⁾+ · · · + a_n−1y⁰+ a_ny= V (x)e^µx (9.42)

waarbij V(x) een veelterm van graad p is. Onderstel dat de multipliciteit van µ als wortel van de karakteristieke vergelijking

λⁿ+ a₁λⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1λ + an= 0

m is. Dan bestaat er een particuliere oplossing van (9.42) van de vorm y_p= x^mV₁(x)e^µx

waarbij V₁een veelterm van dezelfde graad als V is.

Voorbeelden 9.4.9 1) y⁰⁰⁰+ y⁰⁰= x². De oplossing van de homogene vergelijking is

y_h= c₁e^−x+ c₂+ c₃x

0 is dus een dubbele wortel van de karakteristieke vergelijking. Het rechterlid bestaat uit e^0x vermenigvuldigd met een veelterm van graad 2. Daarom stellen we een particuliere oplossing voor van de vorm

y_p= x²(Ax²+ Bx +C) Invullen in de vergelijking geeft

y⁰_p= 4Ax³+ 3Bx²+ 2Cx y⁰⁰_p= 12Ax²+ 6Bx + 2C y⁰⁰⁰_p = 24Ax + 6B

Invullen in de vergelijking levert

12Ax²+ (6B + 24A)x + 6B + 2C = x² waaruit A= ¹ 12^{; B = −} 1 3^{; C = 1} en de algemene integraal is y= c₁e^−x+ c₂+ c₃x+ x²−^x 3 3 ⁺ x⁴ 12

2) y⁰⁰−2y⁰+ y = e^x. λ = 1 is een dubbele wortel van de karakteristieke vergelijking, en de oplossing van de homogene vergelijking is

y_h= (c₁x+ c₂)e^x Als particuliere oplossing stellen we voor

y_p= Ax²e^x Afleiden geeft

y⁰_p= A(x²+ 2x)e^x y⁰⁰_p= A(x²+ 4x + 2)e^x

Invullen in de vergelijking levert 2Ae^x= e^x, en A = 1/2. De algemene integraal is dus

y= (^x

2

2 ^{+ c1x+ c2)e}

x

3) y⁰⁰− y = cos x. De algemene integraal van de homogene vergelijking is y_h= c₁e^x+ c₂e^−x

Het rechterlid is cos x = ¹₂(e^ix+ e^−ix). Als particuliere oplossing stellen we daarom een lineaire combinatie van e^ix en e^−ix voor, of, hetgeen op hetzelfde neerkomt, een lineaire combinatie van cos x en sin x:

y_p= A cos x + B sin x Afleiden geeft

y⁰⁰_p= −A cos x − B sin x Invullen in de vergelijking levert −2A = 1 en 2B = 0.

y_p= −¹ 2^{cos x} is dus een particuliere oplossing van de vergelijking.

4) y⁰⁰+ y = sin x. De oplossing van de homogene vergelijking is nu y_h= c₁cos x + c₂sin x

ien −i zijn enkelvoudige wortels van de karakteristieke vergelijking. Als particuliere oplossing stellen we nu een lineaire combinatie van xe^ix en xe^−ix voor, of, hetgeen op hetzelfde neerkomt, een lineaire combinatie van x cos x en x sin x:

y_p= Ax cos x + Bx sin x Afleiden geeft

y⁰_p= A cos x + B sin x − Ax sin x + Bx cos x y⁰⁰_p= −2A sin x + 2B cos x − Ax cos x − Bx sin x Invullen in de vergelijking levert

−2A sin x + 2B cos x = sin x

zodat A = −1/2 en B = 0. De algemene integraal van de vergelijking is y_h= (c₁−^x

In document Analyse: afleiden, integreren en wiskundige software (pagina 147-157)